鱼的重量和长度-数学建模考试小论文大学开放性作业

1、生活中的数学鱼的体量与长度作者 05级班级 学号 目 录 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc76359558 目 录 PAGEREF _Toc76359558 h 2 HYPERLINK l _Toc76359559 摘要 PAGEREF _Toc76359559 h 3 HYPERLINK l _Toc76359560 一、引言 PAGEREF _Toc76359560 h 3 HYPERLINK l _Toc76359561 二、模型 PAGEREF _Toc76359561 h 3 HYPERLINK l _Toc76359562 （一）问题的化简和假设 P

2、AGEREF _Toc76359562 h 3 HYPERLINK l _Toc76359563 （二）模型的建立 PAGEREF _Toc76359563 h 4 HYPERLINK l _Toc76359564 三、分析 PAGEREF _Toc76359564 h 4 HYPERLINK l _Toc76359565 （一）第一种数据估计模型 PAGEREF _Toc76359565 h 4 HYPERLINK l _Toc76359566 （二）第二种数据估计模型 PAGEREF _Toc76359566 h 4 HYPERLINK l _Toc76359567 （三）第一种数据估计模

3、型和第二种数据估计模型与实际情况的比较 PAGEREF _Toc76359567 h 5 HYPERLINK l _Toc76359568 四、结论 PAGEREF _Toc76359568 h 5 HYPERLINK l _Toc76359569 五、进一步的探讨 PAGEREF _Toc76359569 h 5 HYPERLINK l _Toc76359570 五、参考文献 PAGEREF _Toc76359570 h 6摘要本文将从分析如何根据鱼的身长来估计鱼的体重的方法出发，研究动物的身长和体重的关系。本文建立了两种不同的鱼的身长和体重关系的数学模型，比较了用两种不同的方法计算的鱼的体

4、重与实际称重情况的误差，并进一步推广到四足动物，用类比法建立四足动物身长和体重关系的模型。关键词：鱼的体重与长度，初等数学模型，四足动物，类比法一、引言我们在初中时就学过正比例函数和反比例函数，当时我们也许并没有想过可以用它来解决生产生活中的实际问题，其实利用正比例函数和反比例函数建立初等数学模型来解决许多侥有兴趣的实际问题。我们不用在乎它是不是太过于简单，因为衡量一个模型的优劣全在于它的应用效果，而不是采用了多么高深的数学方法。随着人们物质生活的越来越丰富，人们开始享受起休闲时光，垂钓就是一项非常受欢迎的休闲运动。为了考虑到不破坏自然资源，一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上来的鱼放生，打算按照放生

5、的鱼的重量给予奖励，但俱乐部只准备了一把软尺用于测量，于是众垂钓者开始考虑按照测量的鱼的长度估计鱼的体重的方法。建立一个简单易懂的数学模型是解决这个问题的最好办法。侧得的八条鱼的数据如表所示：表身长（cm）36.831.843.836.832.145.135.932.1重量（g）76548211627374821389652454胸围（cm）24.821.327.924.821.631.822.921.6二、模型（一）问题的化简和假设为了简化模型，假定鱼池中只有一种鲈鱼。对于同一种鱼不访以为其整体形状是相似的，密度也大体上相同。（二）模型的建立这个初等数学模型中的主要符号说明如下所示：W鱼的体

6、重鱼的身长鱼的胸围，即鱼的最大周长K1第一种数学估计模型中的系数K2第二种数学估计模型中的系数，建立的第一种数据估计模型为：重量与身长的立方成正比，即WK12，建立的第二种数据估计模型为：横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，即W=K2l三、分析（一）第一种数据估计模型对于同一种鱼，不访认为其整体形状是相似的，密度也大体上相同，所以重量w与身长l的立方成正比，即WK1,K1为比例系数。把实际测得的数据代入WK1计算比例系数K1。计算出实际测得的身长的平均值为: 36.8计算出实际测得的重量的平均值为：765.375把W=765.375,l=36.8代入WK1计算得：K10.0153（二）第二种数

7、据估计模型常调得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待，如果只假设鱼的模截面是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是W=K2l，K2为比例系数。把实际测得的数据代入W=K2l计算比例系数K2。计算出实际测得的胸围的平均值为：24.5875把W=765.375,d=24.5875, l=36.8,代入W=K2l计算得：K20.0344（三）第一种数据估计模型和第二种数据估计模型与实际情况的比较比较第一种数据估计模型和第二种数据估计模型与实际情况的差别，并计算误差。计算结果如表2所示：表2实际重量（）76548211627374821384652454模型WK1

8、72746912267274831339675483模型WK1的误差4.97%2.70%5.51%1.36%0.02%3.25%3.53%6.39%模型W=K2l73046511007304831471607483模型W=K2l的误差4.58%3.535.34%0.09%0.02%6.29%0.07%0.06%计算出第一种数据估计模型与实际情况的误差为3.47%计算出第二种数据估计模型与实际情况的误差为2.50%由上述计算结果知，第二种数据估计模型与实际情况的误差小于第一种数据估计模型与实际情况的误差。所以，应选用W=K2l来建立数学模型。 四、结论 第一种数据估计模型只用到了简单的比例法，只

9、是简单的认为重量与身长的立方成正比（WK1），提出的鱼的整体形状是相似的、密度也大体上相同的假设与实际情况相差太远，不适合实际应用。第二种数据估计模型中用到了类比法，认为横截面积与鱼身最大周长的平方成正比（W=K2l），这种建模方法更符合实际情况，模型的计算结果也表明它与实际情况的误差更小。类比法是数学建模中常用的一种方法。这个模型中把鱼的躯干类比作弹性梁实属一个大胆的假设，其可信程度自然应该用实际数据仔细检验。但是这种充分发挥想象力，把鱼的躯干长度与体重的关系这样一个看来无从下手的问题，转化为已经有确切研究成果的弹性梁在自重下绕曲问题的作法，是值得借鉴的。五、进一步的探讨第二种数据估计模型可

10、推广到四足动物的长度（不含头尾）与它的体重的关系。动物的生理构造因种类不同而异，如果馅入对生物学复杂生理结构的研究，将很难得到满足上述目的的有使用价值的模型。这里我们仅在十分粗略的恶假设基础上，利用类比法，借助力学的有些结果，建立动物身长和体重间的比例关系。把四足动物的躯干看作圆柱体，长度了l、直径d、截断面积s，如图1所示。将这种圆柱体的躯干类比作一根支撑在四肢上的弹性梁，以便利用弹性力学的一些研究结果。dld图1 设动物在自身体重f作用下躯干的最大下垂度为b，即梁的最大弯曲，根据对弹性梁的研究b(1)因为fsl，所以（2）b/l是动物躯干的相对下垂度。b/l太大，四肢将无法支撑；b/l太小，四肢的材料和尺寸超过了支撑躯干的需要，无疑是一种浪费。因此从生物学的角度可以假定，经过长期进化，对于每一种动物而言b/l已经达到其最合适的数值，换句话说，b/l应视为与这种动物的尺寸无关的常数，于是由（2）式得到（3）再从fsl，s，以（3）