哈尔滨市数学科理科三模试题

1、2015年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（三）理科数学本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，其中第 II卷第22-24为选考题，其它题为 必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将答题卡交回。注意事项：.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证 号，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置上。.选择题答案用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写

2、的答案无效。.保持卡面清洁，不折叠，不破损。.做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。第I卷（选择题共60分）、选择题：本大题共 12小题，每小题 求的。5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要1、已知全集 U =1,2,3,4, A =1,4, B=2,4,则(CU A) o B =A.?B. 2C. 4D. 2,3,42、若复数 Ubi是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b =2 i1- 1 HYPERLINK l bookmark8 o Current Document A. -2B.C.-223、执行下面的程序框图，那么输出的S等

3、于D. 2A. 42B.56C.72D. 9014、设 a = log 3 g , b = ln 2, c = 5 2,则A. c b ab a ca c ba b c5、已知（1+x）n （nwN*）的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则这两项的二项式系数为A.36B.45C.55D. 1206、已知右口为等差数列且公差d #0,其首项ai =20,且a3,a7,a9成等比数列，Sn为Gn）的前n项和,* . _ TOC o 1-5 h z n w N ，则S10的值为（）A. -110B. -90C. 90D. 1107、某抛物线的通径与圆 x2 + y2 4x+2y_11 =0的半

4、径相等，则该抛物线的焦点到其准线的距离为 HYPERLINK l bookmark32 o Current Document A. 2B. 4C. 6D. 88、某数学教师一个上午有3个班级课，每班一节。如果上午只能排4节课，并且不能连上 3节课，则这位教师上午的课表有（）种可能的排法 HYPERLINK l bookmark34 o Current Document A.6B. 8C. 12D. 16 9、函数f（x） = Asin（x+a,（A 0,刃0）的一个最高点坐标为（2,2）,相邻的对称轴与对称中心之间的距离为2,则f (2015) =A. 1B. 2C.-1D. - 210、偶函

5、数f (x) =loga | x+b|在(*,0)上单调递减，则f (a+1)与f(2 b)的大小关系是Af(a 1) f (2 -b)B.f (a 1)= f(2 -b)C.f(a+1)f(x+2) = f(x)+1KxW0,1W,f(x)=4x, xJ1,2)时，f (1)f (x)=,令 g(x) = 2 f (x) -x-4 , x = -6,2,则 函 数 g(x)的手点个数为xB.7C. 8D. 9二填空题：本大题共 4小题，每小题5分13、边长为2的正方形ABCD ,对角线的交点为 E ,则（AB + AC） AE=.,则这个几何体的14.如右图是一个空间几何体的三视图（俯视图外

6、框为正方形）侧视图正视图表面积为15、甲乙两位同学约定早上7点至12点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去。设两人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响，则二人能会面的概率为 16、棱长为1的正方体ABCD ABiCiDi中，点M,N,P分别为AB1,BCi,DDi的中点，给出下列结论:MN，AA 直线cm与平面ABCD所成角的正弦值为,5MN BP1四面体b da1cl的体积为13则正确结论的序号为.(本小题满分12分)已知f(x) =V3sin2x+2cos2x, AABC的三边a,b,c对应的角分别为 A, B,C ,其中f(A) = 2.求角A的大小；(2)当a =2时

7、，求AABC面积的最大值.(本小题满分12分)全国学生的体质健康调研最新数据表明，我国小学生近视眼发病率为22.78 %,初中生为55.22 %,高中生为70.34 %.。影响青少年近视形成的因素有遗传因素和环境因素。主要原因是环境因素，学生长时期近距离的用眼状态，加上不注意用眼卫生、不合理的作息时间安排很容易引起近视。除了学习，学生平时 日常爱看电视、上网、玩电子游戏，不喜欢参加户外体育活动都是造成近视情况日益严重的原因。为了解 情况现从哈市某中学随机抽取18名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点的前一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：学生视力测试结果

8、3 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 8 9 90 1 1 2(1)求这18名学生视力的平均数(精确到 0.1 )和中位数；(2)若视力测试结果不低于 5.0,则称为“正常视力”，求校医从这18人中随机选取3人，至多有1人是“正常视力”的概率；以这18人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记巴表示抽到“正常视力”学生的人数，求之的分布列及数学期望.19.(本小题满分12分)如图：四棱锥 PABCD中，底面 ABCD是边长为 2的正方形，平面 PCD，底面 ABCD ,且PC =PD = a.(1)求证：PD BC ；IT(2)若二面角A PC B的大小为求a

9、的值.620.(本小题满分12分)2已知椭圆xy + y2 =1,(a1),过点A(-a,0)斜率为k(k A0)的直线交椭圆于点B .直线 aBO(O为坐标原戊交椭圆于另一点C.(1)当a =2时是否存在k使彳#|AC|=|BC|?- 一 1 一(2)若k一,1,求AABC的面积的最大值 2已知函数(x) = aln(1 x) - aln(1 - x) - x -3(1-x2).(本小题满分12分)(1)当0 x1时，f(x)0,求实数a的取值范围;(2)证明： 0|n2+9|n* *(n*)ln - 1,且 ab =10.（1）求1g a lg b的最大值;(2)求证：log a c 10

10、gbe _ 41g c.2015年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（三） 理科数学答案123456789101112BACBADACDACC680 4二25 TOC o 1-5 h z （1） f （A） = J3sin 2A+2cos2 A = V3sin2A+cos2A + 1 = 2 （1 分）一 、, 一1.2sin（2A 十一）=1 ,二 sin（2A + ） = （ 3分）662一 一 一一一 13又 0An,/. 一 2A + n （4 分）666二 5八2A+=n，（5 分） HYPERLINK l bookmark81 o Current Document 66二 A =

11、- （ 6 分）3b2 c2 -4（2） cos A =2 2bc: b2 +c2 =bc +4 （ 8 分）又，b2 +c2 =bc+4至2bc （当且仅当b=c = 2时取等号）（9分）. 一一 . 3 .ABC面积 S =-bcsin A = bc （ 10 分）4所以AABC面积的最大值为 E （ 12分）18. （1）由茎叶图这18名学生视力的平均数为4.3 2 4.4 3 4.5 3 4.6 2 4.7 4.8 2 4.9 5 2 5.1 5.2 ， 土 4.7 ;18（2 分）中位数为 4.65 （4分）(2)“正常视力”人数为 4人，设事件A为至多1人是“正常视力”，则p(a尸

12、C14 +C14C4 = _91 ,故在18人中随机抽3人， TOC o 1-5 h z C；102至多1人为“正常视力”的概率为 -91. (6分)1022k 2k 73k由题可知 之 b(3,一),故 P(人k)=C3 () (一) (k=0,1,2,3),999(8 分)-的分布列为:0123P343729279482974_297（10 分） TOC o 1-5 h z 2 2二 E（ t） =3x- = - （12分）9 319. (1) ; 平面 PCD 平面 ABCD ,平面 PCD c 平面 ABCD =CD ,且 BC u 平面 ABCD , BC CD所以BC 平面PCD

13、, (2分)PD仁平面ABCD二 PD，BC (4 分)(2)取CD的中点为O,连接PO平面PCD 平面ABCD 平面PD c平面AD =cd ,且 PO u 平面 PCD , PO CD所以PO 平面ABCD (6分)以D为原点，射线 DA方向为x轴，射线DC方向为y轴，平行于PO的方向为z轴建立空间坐标系,A(2,0,0),P(0,1, h),C(0,2,0), B(2,2,0)，设 PO = h平面PBC的法向量为(0,h,1) ( 7分)（8分）平面PAC的法向量为(h,h,1)-213 =h +12 h2 1 ,2h2 1（10 分）（11 分）a（12 分）1 .20.（1）设直线

14、AB的万程为x + a = my（m = 1）,代入椭圆方程得 k,22、2（m a ）y -2amy = 0将a = 2代入得（m2 +4）y2 -4my = 0（1分）则AB的中点坐标为P（-8,-2m-） （2分）m 4 m 4222m -8 4m2m -8B（ 2 , . , -2 , .） C（ 2m 4 m 4m 44mm2 4（3分）2m 4mm2 4 m2 4 = 1-82m2 -8 - km2 4 m2 4（4分）解得m = J5(5分)5所以存在k =使得| ac |=| BC |5（6分）（2）由（1）得 B（23cam -a2ama2），C（23八am -a 2am22

15、，22）m a m a（7分）- 1ABC的面积S=x2八 4ama rn2a22m m（8分）2/a令 f （m）; m m222a m - af （m） =1 - -22 （1 - m - 2）m m2当a之2时，f(m)W0, f (m) =m + 在1,2上单调递减，所以当m = 2时mMBC的面积的最大值为4a24 a2(10 分)2 a 当1a2时f（m）=m+a-在1,a上单调递减，在a,2上单调递增,m所以当m=a时，AABC的面积的最大值为a （12分）21. (1)解:f (x)=-2x4 (3-6a)x2 6a -3Z223(1-x2)2(1分) TOC o 1-5 h

16、z 1 依题知 f(0) =0,故 f (0) 0 ,则 a W 。(2 分)222令 g(x)=-2x +(36a)x+6a-3, x w (0,1 , A=(36a) +8(6a3) = (6a3)(6a+5)_51.一.一一一.EaE 那E0,此时 g(x) E0,VxW (0,1),故 f(x) E0, Vxw (0,1),而 f(0)=0,所以 621 “人人、_WaW_符合题意。(4分)23-6a_一a。，而g(x)对称轴x =2 ,故g(x)在(0,1)单调递增且g(1) = 2 ,则4g(x) 0,Vx0,1),故 f(x)MQVxW (0,1),而 f(0)=0,所以 a5 符合题意。 (6 分)6，一,1综上，a - ( 7分)2(2)证明：由(1)知，当 a =1 时，f(x) 0,Vx= (0,1),1即11n231 xx- x k1 -x 3(1 -x2)(8分)入 11 n 111令 x=(nWN*),则 2ln1-，(10 分)2n 12 n 2n 112(2n 1)(n2 n)裂项累加(n 1)ln n-1 -1/(1 -) 2 n 12 n n 1531 n 1n所以 一 In 2 + ln +(n +)ln 0, 即 1g a + 1g b = 1 之 2 vlg alg b （ 2 分）1