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1、数字图像处理第2章 图像处理中的正交变换（第二讲） 2 离散余弦变换 图像处理中常用的正交变换除了傅里叶变换外，还有其他一些有用的正交变换。其中离散余弦就是一种。离散余弦变换表示为DCT。 21 离散余弦变换的定义 一维离散余弦变换的定义由下式表示(374) (375) 式中 是第 个余弦变换系数， 是广义频率变量， ； 是时域 N 点序列， 。一维离散余弦反变换由下式表示 (376) 显然，式(374)式(375)和式(376)构成了一维离散余弦变换对。二维离散余弦变换的定义由下式表示(377) 式(377)是正变换公式。其中 是空间域二维向量之元素。 ， 是变换系数阵列之元素。式中表示的阵

2、列为N N 二维离散余弦反变换由下式表示(378) 式中的符号意义同正变换式一样。式(377)和式(378)是离散余弦变换的解析式定义。更为简洁的定义方法是采用矩阵式定义。如果令N4，那么由一维解析式定义可得如下展开式(379) 写成矩阵式(380) 若定义 为变换矩阵， 为变换系数矩阵， 为空域数据矩阵，则一维离散余弦变换的矩阵定义式可写成如下形式(381) 同理，可得到反变换展开式(382) 写成矩阵式即 (384) 当然，二维离散余弦变换也可以写成矩阵式(385) 式中 是空间数据阵列， 是变换系数阵列， 是变换矩阵， 是 的转置。22 离散余弦变换的正交性 由一维DCT的定义可知 它的

3、基向量是(386) 在高等数学中，切比雪夫多项式的定义为(387) 式中 是 和 的多项式。它的第N个多项式为如果 那么 将此式代入 (388) 则 显然，这与一维DCT的基向量是一致的。因为切比雪夫多项式是正交的，所以DCT也是正交的。另外，离散余弦变换的正交性也可以通过实例看出。如前所示，当N时，-=-=271.0500.0653.0500.0653.0500.0271.0500.0653.0500.0271.0500.02710.0500.0635.0500.0 271.0653.0653.0271.0500.0500.0500.0500.0653.0271.0271.0653.0500

4、.0500.0500.0500.0AA显然 这是满足正交条件的。从上述讨论可见，离散余弦变换是一类正交变换。23 离散余弦变换的计算与傅里叶变换一样，离散余弦变换自然可以由定义式出发进行计算。但这样的计算量太大，在实际应用中很不方便。所以也要寻求一种快速算法。首先，从定义出发，作如下推导 (389) 式中 是取其实部的意思。如果把时域数据向量作下列延拓，即：(390) 则 的离散余弦变换可写成下式(391) 由式(391)可见是2N点的离散傅里叶变换。所以，在作离散余弦变换时，可以把序列长度延拓为2N，然后作离散傅里叶变换，产生的结果取其实部便可得到余弦变换。 同样道理，在作反变换时，首先在变换空间，把 作如

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