走进数学思维（定稿）

1、走进数学思维郑毓信2008，4简介南京大学哲学系教授、博士生导师；西南（师范）大学兼职教授、兼职博士生导师。1992年起享受政府特殊津贴。主要研究领域：数学哲学；科学哲学；数学教育与科学教育。已出版著作23部，发表论文260多篇。引入:如何从事数学教学研究?一篇好文章：“关于数学教育若干重要问题的探讨”（王凌、余慧娟，人民教育，2008第七期），第39-45页）主要内容：对于若干“语录”的解读。“这些笔记的确很精辟，但是我觉得您的解读更精彩，从某种角度讲，能用恰到好处的实例来解读理论的人，比只会给出抽象理论的人更伟大，因为这不但表明消化理论的能力，也代表了思考的透彻与思想的成熟。您使我们看到了

2、浓缩的理论后面丰富的实践风景，同时也引发了新的思维风暴。”数学思维：一个持续的热点现实中的思想障碍与问题：第一，由于小学数学的内容较为简单，因此就不可能很好地体现数学思维；第二，在现实中我们并可经常看到“简单组合”、“随意拔高”等作法。当务之急如何针对小学数学的实际情况、包括具体的教学内容与学生的认知水平更为深入去开展工作，特别是，第一，清楚的界定； 第二，很好处理具体数学知识内容（包括知识与技能）的教学与数学思维的教学之间的关系。 一、从数学抽象谈起父：“如果你有一个橘子，我再给你两个，你数数看一共有几个橘子？”子：“不知道！在学校里，我们都是用苹果数数的，从而不用橘子。（译林文摘版） 数学

3、最基本的特性：抽象性 “甚至对数学只有肤浅的知识就能容易地察觉到数学的这些特征：第一是它的抽象性，。抽象性在简单的计算中就已经表现出来。我们运用抽象的数字，却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来。我们在学校中学的是抽象的乘法表总是数字的乘法表，而不是男孩的数目乘上苹果的数目，或是苹果的数目乘上苹果的价钱等等。”（亚历山大洛夫） 数学与现实第一，数学抽象源于现实生活，包括具体的事物与现象，以及人们的运作；第二，数学抽象又高于现实，并是一种建构的活动，即是包含了与现实世界在一定程度上的分离。分析与思考“数学，对学生来说，就是利用自己的生活经验对数学现象的一种解读。”（转引自衡锋，“错题演绎的精

4、彩”，小学数学教学，2007年第十期）对照：学习主要是一个“顺应”的过程，即是如何对主体已有的认知框架作出必要的调整或重建。例一 这个学生缺的究竟是什么？（楼文胜，“问题到底出在哪儿？”） 任课教师要求学生求解这样一个问题：“52型拖拉机，一天耕地150亩，问12天耕地多少亩？”一位学生是这样解题的：5215012=接下来的对话“告诉我，你为什么这么列式？”“老师，我错了。”“好的，告诉我，你认为正确的该怎么列式？”“除。”“怎么除？”“大的除以小的。”“为什么是除呢？”“老师，我又错了。”“你说，对的该是怎样呢？”“应该把它们加起来。”启而不发？“我们换一个题目，比如你每天吃两个大饼，5天吃

5、几个大饼？”“老师，我早上不吃大饼的。”“那你吃什么？”“我经常吃粽子。”“好，那你每天吃两个粽子，5天吃几个粽子？”“老师，我一天根本吃不了两个粽子。”“那你能吃几个粽子？”“吃半个就可以了。”“好，那你每天吃半个（小数乘法没学）粽子，5天吃几个粽子？”“两个半。”“怎么算出来的？”“两天一个，5天两个半。”结论之一学会数学思维的首要涵义：学会数学抽象（模式化）。 数学：模式的科学。这就是指，数学所反映的不只是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同性质。 例二 这能否算一堂真正的数学课？这是关于“问题解决”的一个教学实例，教师要求一群三年级的学生求解以下的问题： “

6、某女士外出旅行时带了两件不同颜色的上衣和三条不同颜色的裙子，问共有多少种不同的搭配方法？”教师鼓励学生们用“实验”的方法去解决问题：学生拿出了笔和纸，开始在纸上实际地画出各种可能的搭配结果表明，在大多数情况下学生都可凭借自身的努力（单独地或合作地）得出正确的解答。 事后的思考学生通过这一教学活动究竟学到了什么，特别是，这些学生能否被认为已经掌握了相应的数学知识？更多的问题某人有两套不同的西装和三条不同颜色的领带，问共有多少种不同的搭配方法？有两个军官和三个士兵，现由一个军官和一个士兵组成巡逻队，问共有多少种不同的组成方式？某女士外出旅行时带了三件不同颜色的上衣和四条不同颜色的裙子，问共有多少种

7、不同的搭配方法？有三个军官和四个士兵，现由一个军官和一个士兵组成巡逻队，问共有多少种不同的组成方式？结论之二帮助学生学会数学抽象的关键：应超越问题的现实情境过渡到抽象的数学模式。（ “去情境化”）相关的论述：数学教学必定包括“去情景化、去个人化和去时间化”。例三 “找规律” （黄爱华、胡爱民）“师：在中国少年先锋队鼓号队的鼓号曲里，我们把第一个音唱做咚，第二个音唱做哒，第三个音唱做啦，所以这个乐句就变成咚 哒啦咚 哒啦咚 哒啦“请想一想：第16个音符是什么？为了能让别人看得一清二白，请你在草稿本上用一种合适的方式表示出来，可以写一写、画一画、算一算。”方法一：用音乐简谱符号表示 X X X ，

8、X X X，X X X，X X X，X X X，1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 131415 X。16方法二：用图形表示 方法三：用数字表示 1 2 31 2 31 2 31 2 31 2 31结论之三模式化的一个重要手段：引入适当的图形或符号，从而实现与具体情境在一定程度上的分离。 理论指导下的自觉实践：变式理论关键：对照与变化（1）“标准变式”与“非标准变式” ：变化中的不变因素。特别是，我们在教学中不应唯一地局限于平时所经常用到的一些实例（“标准变式”），也应有意识地引入一些“非标准变式”，从而就可帮助学生切实地掌握相关概念的本质属性。（2）“概念变式”与 “非概念变式

9、”就概念的理解而言，“非概念变式”事实上起到了“反例”的作用，这样，通过与“正例”（ “概念变式”）的对照，也就可以帮助学生更好地去掌握概念的本质。二、数学中的分类课改以来的一个共识：数学课应当很好体现数学课所应当具有的“数学味”。相应的思考：究竟什么是所说的“数学味”？ 例四 几何模块的分类 常见的组织方式。问题：我们是否应当同样地去肯定学生所提出的各种分类方法，包括按形状、颜色和材料等进行分类？什么是数学中的分类？分析与思考有益的对照：自然数的认识。 进一步的思考：数学中又为什么要进行分类？例四 “100以内加减法练习”“师：刚才全体小朋友认认真真地做好了六道100以内的加减计算题，并且做

10、得很对。现在我们再来仔细观察这六道题，如果我们把它们分成两类，你有什么好办法？为什么可以这样分？34+42 =76，37+17 =54，69 -15 =54，59 +17=76， 91 -15 =76，83 - 29=54。方法一：按照得数相同来分；方法二：按加法和减法来分；方法三：按不进位加法和不退位减法、以及进位加法和退位减法来分；方法四：把 37+17、59 +17分成一组，把34+42、69-15、91-15 、83-29分成一组。方法五：把34 + 42 = 76分成一组，剩下的为一组。 教师的总结“教学中教师有意识地引导学生从不同的角度来分析问题进行合理的分类，让学生通过相互的交流

11、，从中感受到分类结果在不同标准下的多样性，感受到不同标准的分类有着不同的意义和作用，就能使学生的思维得到发散，使学生的不同思想方法得到充分有效的交流。”但是，我们究竟为什么要进行分类？结论之四分类应当具有明确的目的性。第一，归类：数学抽象的直接基础；第二，不同类别的区分：由简到繁、由特殊到一般地去开展研究。分类问题也需要优化。（用数学家的眼光去看待世界、分析问题、解决问题。） 例五 “三角形的分类”究竟什么应是这一堂课的教学重点：是角的度量？还是分类的必要性与合理性？一个相关的研究：数学家与初学者（学生）的比较问题的不同分类：按问题的“表层结构”（事实性内容与表述方式）与“深层结构”（内在的数

12、学结构、解题方法）。学会数学地思维的又一重要内涵：由“表层结构”逐步深入到“深层结构”。例六 水池问题（祝中录）“学生在解决水池问题时，往往会认为水池一边开进水管，一边开出水管，不论经过多长时间都不会注满水池。在教学时教师可以不急于讲解，而是引导学生寻找生活中类似的实例。（1）追及问题。客车每小时行40千米，小汽车每小时行50千米。现在客车在小汽车前25千米的地方，同时沿笔直的公路行驶，多长时间小汽车能追上客车？（2）储蓄问题。爸爸每月工资420元，妈妈每月工资300元，每月平均支出450元，余下的钱存在银行，几个月后能买一台价格1350元的电视机？通过这些实例学生就容易弄明白只要进水量大于出

13、水量，经过一段时间水池就一定能注满水。”结论之五学会数学思维的又一重要内涵：思维的必要优化。三、数学中的类比什么是类比（联想）？什么又是类比联想在数学中的主要作用？例七 数学中的类比由一元二次方程必有2个实根或复根（重根计算在内），容易联想到：一元三次方程很可能具有3个实根或复根。由（正）棱锥的体积等于同底等高的（正）棱柱的体积的三分之一，我们也可联想到：圆锥的体积很可能等于同底等高的圆柱的体积的三分之一。结论之六类比在数学中一个重要作用，就是通过两个对象的比较由已获得的知识去引出新的猜测。什么是类比联想的关键？一个常见的“定义”：“我们观察到两个或两类事物在许多属性上都相等，便推出它们在其它

14、属性上也相同。这就是类比法。”数学中类比联想的关键：求同存异！ 为了应用类比，我们并不需要相关的对象在所有各个方面都完全一样，而只要求在这两者在某一方面或在某一抽象层次上是相似的，这就是所谓“求同”，也即如何能在抽象分析的基础上找出两个对象的“类似之处”。所谓的“存异”则是指新的猜测的产生并不是简单的重复、模仿，而是一种创造性的工作，特别是，在由已知事实去引出新的猜测时，我们必须注意分析两者之间所存在的差异，也即必须依据对象的具体情况作出适当的“调正”。结论之七相对于归类与分类而言，类比联想是一种更为高级的思维形式。教学中的关键：如何能够针对学生的认知发展水平去有针对性地去进行教学？四、数学中

15、的特殊化与一般化什么是数学中的“特殊化”？“是从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合的一个较小子集，或仅仅一个对象。”（波利亚）什么是数学中的“一般化”？ “是从考虑一个对象过渡到包含该对象的一个集合，或者从考虑一个该小的集合过渡到包含该较小集合的更大集合。”（波利亚）小学数学中的特殊化与一般化问题：小学数学中是否也有特殊化与一般化？例八 “小数乘整数”与找规律（张勇成） “师：有些小数和整数相乘很简单，同学们口算就可以解决了，请看 0.14=0.4； （师：“这样的8份呢？”）0.014=0.04；（师：“这样的23份呢？”）0.0019=0.009。（“师：这样的129个呢？）“师：刚才

16、口算的这些乘法，都是哪些小数与整数相乘？ “生：都是0.1，0.01，0.001与整数相乘。 “师：当0.1，0.01，0.001与一个整数相乘时，你们为什么这么快就得出了结果？有什么规律吗？“生1：乘得的结果越来越小。“生2：都和几个零点几有关系。 “生3：乘得的结果都是小数。 “师：同学们观察得很仔细，当0.1，0.01，0.001乘一个整数时，它们的计算结果是几位小数和谁有关系呢？ “师：也就是说，因数中有几位小数，积“生：就有几位小数。” 然后，教师又将学生他们的注意力引向了“更为一般的小数与整数相乘”的情况。“师：谁知道0.83的积是多少？ “生：0.83=2.4。 “师：你是怎么想

17、的？ “生：我先不看小数点前面的0，用8乘3等于24，再等于2.4。 “师：先不看0.8前面的0，这里的8就表示 “生：8个0.1。 “师：8个0.1怎样列式？ “生：80.1。 “师：再乘3呢？ “生：80.13。 “师：在这道算式里，可以先算83，对吗？ “生：对。”板书：830.1=240.1=2.4。（下略） 问题数学中的特殊化与一般化究竟有什么用？数学中的特殊化与一般化之间又有什么样的关系？一些相关的论述（1）由随意的特殊化，去了解问题；由系统的特殊化，为一般化提供基础；由巧妙的特殊化，去对一般性结论进行检验。（梅森）例九 自行道问题假设商店中铺设了单一方向上前进的自行道，问顾客由自

18、行道往返一次（例如，由商店大门顺道前往某一柜台然后再逆道返回）所花费的时间与先前完全依靠人力行走相比究竟是花费了更多的时间、还是节省了时间？ 相关的论述（2）什么看上去像是真的？为什么它是真的？它在怎样的范围内看上去也是真的？例十 一般化的实例在掌握了“三角形的内角和为180”以后，我们显然就应进一步去思考如何才能求得四边形、五边形、乃至n边形后者的内角和？在解决了“如何由长方形的长和宽去求取它的对角线”以后，我们就可进而去考虑“如何由长方体的长、宽、高去求取它的对角线”；乃至“已知平行六面体从对角线一个端点出发的三条棱的长度以及三棱间的三个夹角，求对角线的长？”“已知正八面体的棱，求其对角线

19、的长？”。相关的论述（3）“特殊化与一般化构成了整个解题过程的基础。”（梅森）“在解决一个数学问题时，如果我们没有获得成功，原因常常在于我们没有认识到更一般的观点，即眼下要解决的问题不过是一连串有关问题中的一个环节。”（希尔伯特）五、数学思维的教学基本立场：第一，应当从事数学思维的教学（前提：清楚地界定，特别是，就小学数学的各个学习阶段而言究竟什么是相关的数学思维）；第二，很好解决如何进行教学的问题：应当强调渗透，即是用数学思想的分析指导、带动具体知识内容的教学。一个特殊的背景数学方法论（数学思维方法）的研究；中学数学教学的相关实践：数学方法论指导下的数学教学当前应当注意的问题：防止简单移植。

20、例十一 “除非它们都能站起来！”这是发生在20世纪60年代的一个真实故事：当时“新数运动”作为风靡全球的改革运动正处于高潮之中，其核心思想就是认为应当用现代数学思想对传统的数学教育作出改造，由于集合的概念在现代数学中占据了特别重要的位置，因此，下述情况的出现就无足为奇了。 在幼儿园上学的女儿告诉数学家的父亲：“我们今天学了集合！”父亲：“老师是怎么教的？”女儿：“女教师首先让班上所有的男孩子站起来，然后告诉大家这就是男孩子的集合；其次，她又让所有的女孩子站起来，并说这是女孩子的集合；接下来，又是白人孩子的集合，黑人孩子的集合，最后，教师问全班：大家是否都懂了？她得到了肯定的答复。”父：“那么，

21、我们是否可以将世界上所有的匙子或土豆组成一个集合？”迟疑了一会，女儿最终作出了这样的回答：“不行！除非它们都能站起来！” 分析与思考有益的启示：应当针对小学数学的实际更为深入地开展研究，切实防止简单的移植（集合与分类；函数与变化；极限与无限等等。）又一关键性的问题：应当如何去进行数学思维的教学？问题的深化：如何进行渗透、如何用思维方法的分析带动、促进具体知识内容的教学？例十二 “重建”高斯少年时代的高斯是如何很快求得1+2+3+99=4950的？ 类比与启示为了求解S=1+2+3+99=？我们也可首先去计算2S：2S= 1 + 2+ 3+ 99 +99 + 98+ 97+ 1 =10099=9

22、900S=4950结论之八用思维分析带动具体知识内容的教学的关键：方法论的重建，从而实现化神奇为平凡、化难为易。意义之一：使数学教学真正讲活、讲懂、讲深；意义之二：使数学思维真正成为可以理解的、可以学到手的、和可以加以推广应用的。“讲活”：教师应当通过自己的教学活动向学生展现“活生生的”数学研究工作，而不是死的数学知识；“讲懂”：教师应当帮助学生真正理解有关的教学内容，而不是囫囵吞枣，死记硬背；“讲深”：教师不仅应帮助学生掌握具体的数学知识，而且也应帮助学生深入领会并逐渐掌握内在的思维方法。 数学启发法的学习与掌握学会数学思维的又一重要内涵：数学启发法的学习与掌握。数学启发法核心：一些定型的问题和建议 。例十三 “幻方” 如何在九宫格中放上1、2、3、4、5、6、7、8、9这样九个数字，使得每一行、每一列、每条对角线上数字的和都相等？启发性的问题与建议问题（1）：什么样的信息可以使得这一问题变得较为容易求解？相应的方法论原则： 设立次目标：努力求得部分的结果，并利用它作为出发点去求得剩余的部分。 从后往前推：假设我们已经获得了解答，由此从后往前推以确定它所必然具有的性质。问题（2）：在所有九个方格中哪一个最重要？相应的方法论原则： 关键性原则：集中注意于关键点常常会给你带来力量。 特殊化原则：首先对特殊的情况进行研究。 问题（3）：再来考