压轴大题突破练(直线与圆锥曲线)

1、压轴大题突破练直线与圆锥曲线(二)221.如图，已知点A(1,.2)是离心率为右的椭圆C:詁+拿=1(ab0)上的一点，斜率为2的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点互不重合.求椭圆C的方程；ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.求证：直线AB、AD的斜率之和为定值.C212222(1)解由题意，可得e=a=2，b2+a2=1，a=b+c,解得a=2,b=2,c=2,22所以椭圆C的方程号+T=1.解设直线BD的方程为y=.2x+m,D(x1,y)B(x2,y2),y=2x+m,22由得4x2+22mx+m24=0,222x+y=4,所以=8m2+

2、640?2.2m时，ABD的面积最大，最大值为2.证明设直线AB、AD的斜率分别为kAB、kAD,yiJ2y2羽J2xi+m羽/2x2+m羽xi+X22则kAD+kAB=+=+=2;2+mxi1X21xi1X21X1X2(xi+X2)+1(*)将中、式代入(*)式，-X1+X22整理得2寸2+m=0,X1X2(X1+X2+1即kAB+kAD=0(定值)2.在平面直角坐标系xOy中，动点M到两定点F1(0,一3),F2(0,一3)的距离之和为4,设动点M的轨迹为曲线C.已知直线I与曲线C父于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，向量m=(2x1,y1),n=(2x2,y2)，且m丄n.若直线I

3、过曲线C的焦点F(0,c)(c为半焦距)，求直线I的斜率k的值；AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.解(1)由题意知，|MF11+|MF2|=4|F1F2|=23,根据椭圆的定义，知动点M的轨迹是以F1(0,3),F2(0,.3)为焦点，长轴长为4的椭圆，22设该椭圆的标准方程为拿+存=1(ab0),则a=2,c=_3,a2=4,c2=3,b2=a2c2=1,2曲线c的方程为y+x2=1.4y=kx+/3设I的方程为y=kx+3,由y2,消去y得，4+x2=1(k2+4)x2+23kx1=0,=(23k)2+4(k2+4)0,TOCo1-5hz2血1且X1+X2=

4、2,X1X2=2.k+4k+4/mn,：mn=0,1-4X1X2+y1y2=4X1X2+(kx1+3)(kx2+,3)=(4+k2)x1X2+.3k(x1+X2)+3=(k2+4)+.3k+423kk二+3=0,解得k=2.k+4即直线l的斜率k的值为.2.当直线AB的斜率不存在时，有xi=X2,yi=y2.由mn=0,得4xiy2=0，即y2=4x1.又A(xi,yi)在椭圆上,呼+x?=1,Xiu#，|yii=2.1二Smab=2|xi|yiy2|=|xi|yi|=1(定值).当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+t.|y=kx+1,由+宀i,消去y得,(k2+4)x2+2ktx

5、+t24=0,=4k2t24(k2+4)(t24)0,2kt且Xi+X2=2,k2+4t24XiX2=2k2+4/mn=0,-4xix2+yiy2=0,4xix2+(kXi+1)(kX2+1)=0,(k2+4)xiX2+kt(xi+X2)+=0,(k(k2+4)t24整理得2t2k2=4.整理得2t2k2=4.-Soab=12i|AB|=2MXi+X224XiX2=|t4k24t2+i6k2+4掛=i(定值).综上，AOB的面积为定值.3.如图，已知抛物线M相切M相切抛物线C的准线的距离为亍.过抛物线C上一点H（X0,yo）（yo1）作两条直线分别与o于A、B两点，与抛物线C交于E、F两点.（

6、1）求抛物线C的方程；当/AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；若直线AB在y轴上的截距为t,求t的最小值.解（1）由题意知OM的圆心M的坐标为（4,0）,半径为1,抛物线C的准线方程为x=-2,/圆心M到抛物线C的准线的距离为174二4+2=乎，解得p=2,从而抛物线C的方程为y2=X./AHB的角平分线垂直x轴,点H(4,2),/AHB=60可得kHA=.3,kHB=.3,直线HA的方程为y=,3x43+2,y=V3xW3+2,联立方程2得V3y2y4寸3+2=o,ly=x,设E(xe,yE),F(xf,yF)，则yE+2=呼，诵6二yE=,Xe=V3613+4也1同理可得yF=3

7、,XF=3,二kEF=4.方法一由题意可设点A、B的坐标分别为（X1,y”、（X2,y2）,y2X24y2X24y1则k|MA=,k|MBX14/HA、HB是OM的切线，HA丄MA、HB丄MB,4X14X2因此kHA=百,kHB=百所以直线HA、HB的方程分别为(4xi)xyiy+4xi15=0,(4X2)xy2y+4x215=0,又点H在抛物线上，有y2=xo,点H的坐标为(y2，yo)(yo1)，分别代入直线HA、HB的方程得(4Xi)y0yiyo+4xi15=2(4X2)yoy2yo+4x215=0,可整理为(4y2)x1yoy1+4y015=0,(4yo)x2yoy2+4y015=0,

8、从而可求得直线AB的方程为(4y0)xyoy+4y215=0,24y01515令x=0,得直线AB在y轴上的截距为t=4y0玄(yo1),15考虑到函数f(x)=4x(x1)为单调递增函数，xtmin=4X1=11.方法二由(1)知，设点H(y2，y)(y01),242242则HM=y07y+16,HA=y7y+15.以H为圆心，HA为半径的圆的方程为(xy2)2+(yy。)2=y07y0+15,22又OM的方程为(x4)+y=1一得：直线AB的方程为(2xy04)(4y0)(2yy)y0=y07y0+14.当x=0时，直线AB在y轴上的截距t=4y0(y。1),y0/t关于y的函数在1,+s

9、)上单调递增，tmin=11.以原点为圆心,224如图，已知椭圆4如图，已知椭圆C:xy2+2=1(ab0)的离心率为ab椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+2=0相切.A、B是椭圆的左、右顶点，直线I过B点且与x轴垂直.(1)求椭圆C的标准方程；设G是椭圆C上异于A、B的任意一点，作GH丄x轴于点H，延长HG到点Q使得HG=GQ,连接AQ并延长交直线I于点M,N为线段MB的中点，判定直线QN与以AB为直径的圆0的位置关系，并证明你的结论.解(1)由题意可得e=c=严.a2/以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+2=0相切,|0+0+,2|-=b,解得b=1.J2+12由a2=b2+c2,可得a=2.2椭圆C的标准方程为x+y2=1.由(1)可知A(2,0),B(2,0)，直线I的方程为x=2.设G(x0,yo)(yoM0)，于是H(x,o),Q(xo,2yo),2且有x0+y0=1,即卩4y2=4x0.连接BQ，设直线AQ与直线BQ的斜率分别为kAQ,kBQ,kAQkBQ=kAQkBQ=2yo2yo4y24-X2即AQ丄BQ,点Q在以AB为直径的圆上.直线AQ的方程为y=2y0(x+2).xo+2TOCo1