2022年河北省鹿泉高三最后一模数学试题含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知函数是奇函数，则的值为（ ）A10B9C7D12设全集，集合，.则集合等于（ ）ABCD3已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）A的虚部为B复数在复平面内对应

2、的点位于第三象限C的共轭复数D4执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为（ ）ABCD5圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） ABCD6已知函数，若，则的取值范围是（ ）ABCD7设全集，集合，则（ ）ABCD8在中，为上异于，的任一点，为的中点，若，则等于（ ）ABCD9若数列为等差数列，且满足，为数列的前项和，则（ ）ABCD10在中，则在方向上的投影是（ ）A4B3C-4D-311已知点，是函数的函数图像上的任意两点，且在点处的切线与直线AB平行，则( )A，b为任意非零实数B，a为任意非零实数Ca、b均为任意实数D不存在满

3、足条件的实数a，b12某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）AB4CD5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13根据如图所示的伪代码，若输出的的值为，则输入的的值为_.14若函数，则_；_.15在矩形中，为的中点，将和分别沿，翻折，使点与重合于点.若，则三棱锥的外接球的表面积为_.16已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，其中为左焦点.点为两曲线在第一象限的交点，、分别为曲线、的离心率，若是以为底边的等腰三角形，则的取值范围为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知矩阵，求矩阵的特征值及其相应的特征向量18（12分）在四棱锥中，底面

4、为直角梯形，面.（1）在线段上是否存在点，使面，说明理由；（2）求二面角的余弦值.19（12分）每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”()求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；()以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记表示抽到“很幸福”的人数,求的分布列及20（12分）已知函数（1）当时，求曲线在点的切线方程；（2）

5、讨论函数的单调性21（12分）已知函数（1）若不等式有解，求实数的取值范围；（2）函数的最小值为，若正实数，满足，证明：22（10分）已知是等腰直角三角形,分别为的中点,沿将折起,得到如图所示的四棱锥()求证：平面平面()当三棱锥的体积取最大值时,求平面与平面所成角的正弦值参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【解析】根据分段函数表达式，先求得的值，然后结合的奇偶性，求得的值.【详解】因为函数是奇函数，所以，.故选：B【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力，分析

6、问题、解决问题的能力.2A【解析】先算出集合，再与集合B求交集即可.【详解】因为或.所以，又因为.所以.故选：A.【点睛】本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题.3D【解析】利用的周期性先将复数化简为即可得到答案.【详解】因为，所以的周期为4，故，故的虚部为2，A错误；在复平面内对应的点为，在第二象限，B错误；的共轭复数为，C错误；，D正确.故选：D.【点睛】本题考查复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识，是一道基础题.4B【解析】根据程序框图知当时，循环终止，此时，即可得答案.【详解】，.运行第一次，不成立，运行第二次，

7、不成立，运行第三次，不成立，运行第四次，不成立，运行第五次，成立，输出i的值为11，结束.故选：B.【点睛】本题考查补充程序框图判断框的条件，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意模拟程序一步一步执行的求解策略.5B【解析】三视图对应的几何体为如图所示的几何体，利用割补法可求其体积.【详解】根据三视图可得原几何体如图所示，它是一个圆柱截去上面一块几何体，把该几何体补成如下图所示的圆柱，其体积为，故原几何体的体积为. 故选：B.【点睛】本题考查三视图以及不规则几何体的体积，复原几何体时注意三视图中的点线关系与几何体中的点、线、面的对应关系，另外，不规则几何

8、体的体积可用割补法来求其体积，本题属于基础题.6B【解析】对分类讨论，代入解析式求出，解不等式，即可求解.【详解】函数，由得或解得.故选:B.【点睛】本题考查利用分段函数性质解不等式，属于基础题.7D【解析】求解不等式，得到集合A，B，利用交集、补集运算即得解【详解】由于 故集合或 故集合 故选：D【点睛】本题考查了集合的交集和补集混合运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.8A【解析】根据题意，用表示出与，求出的值即可.【详解】解：根据题意，设，则，又，故选：A.【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，关键是要找到一组合适的基底表示向量，是基础题.9B【解析】利用等差数列

9、性质，若，则 求出，再利用等差数列前项和公式得【详解】解：因为 ，由等差数列性质，若，则得，为数列的前项和，则故选：【点睛】本题考查等差数列性质与等差数列前项和.(1)如果为等差数列，若，则 (2)要注意等差数列前项和公式的灵活应用，如.10D【解析】分析：根据平面向量的数量积可得，再结合图形求出与方向上的投影即可.详解：如图所示：，又，在方向上的投影是：，故选D.点睛：本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题.11A【解析】求得的导函数，结合两点斜率公式和两直线平行的条件：斜率相等，化简可得，为任意非零实数.【详解】依题意，在点处的切线与直线AB平行，即有

10、，所以，由于对任意上式都成立，可得，为非零实数.故选：A【点睛】本题考查导数的运用，求切线的斜率，考查两点的斜率公式，以及化简运算能力，属于中档题12B【解析】还原几何体的直观图，可将此三棱锥放入长方体中, 利用体积分割求解即可.【详解】如图，三棱锥的直观图为，体积.故选:B.【点睛】本题主要考查了锥体的体积的求解,利用的体积分割的方法,考查了空间想象力及计算能力,属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】算法的功能是求的值，根据输出的值，分别求出当时和当时的值即可得解【详解】解：由程序语句知：算法的功能是求的值，当时，可得：，或（舍去）；当时，可得：（舍去）综上

11、的值为：故答案为：【点睛】本题考查了选择结构的程序语句，根据语句判断算法的功能是解题的关键，属于基础题140 1 【解析】根据分段函数解析式，代入即可求解.【详解】函数，所以，.故答案为：0；1.【点睛】本题考查了分段函数求值的简单应用，属于基础题.15.【解析】计算外接圆的半径，并假设外接球的半径为R，可得球心在过外接圆圆心且垂直圆面的垂线上，然后根据面，即可得解.【详解】由题意可知，所以可得面，设外接圆的半径为，由正弦定理可得，即，设三棱锥外接球的半径，因为外接球的球心为过底面圆心垂直于底面的直线与中截面的交点，则，所以外接球的表面积为.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥的外接球的应用，属

12、于中档题.16【解析】设，由椭圆和双曲线的定义得到，根据是以为底边的等腰三角形，得到 ，从而有，根据，得到，再利用导数法求的范围.【详解】设，由椭圆的定义得 ，由双曲线的定义得，所以，因为是以为底边的等腰三角形，所以，即 ，因为，所以 ，因为，所以，所以，即，而，因为，所以在上递增，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查椭圆，双曲线的定义和几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17矩阵属于特征值的一个特征向量为，矩阵属于特征值的一个特征向量为【解析】先由矩阵特征值的定义列出特征多项式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程组，

13、即可求得相应的特征向量.【详解】由题意，矩阵的特征多项式为，令，解得， 将代入二元一次方程组，解得，所以矩阵属于特征值的一个特征向量为；同理，矩阵属于特征值的一个特征向量为v【点睛】本题主要考查了矩阵的特征值与特征向量的计算，其中解答中熟记矩阵的特征值和特征向量的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18（1）存在；详见解析（2）【解析】（1）利用面面平行的性质定理可得，为上靠近点的三等分点，中点，证明平面平面即得；（2）过作交于，可得两两垂直，以分别为轴建立空间直角坐标系，求出长，写出各点坐标，用向量法求二面角【详解】解：（1）当为上靠近点的三等分点时，满足面.证明如下

14、，取中点，连结.即易得所以面面，即面（2）过作交于面，两两垂直，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图，设面法向量，则，即取同理可得面的法向量综上可知锐二面角的余弦值为【点睛】本题考查立体几何中的存探索性命题，考查用空间向量法求二面角线面平行问题可通过面面平行解决，一定要掌握：立体几何中线线平行、线面平行、面面平行是相互转化、相互依存的求空间角一般是建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角19 (). ()见解析.【解析】()人中很幸福的有人，可以先计算其逆事件，即人都认为不很幸福的概率，再用减去人都认为不很幸福的概率即可；()根据题意,随机变量，列出分布列，根据公式求出期望即可【详解】()设事件

15、抽出的人至少有人是“很幸福”的，则表示人都认为不很幸福()根据题意，随机变量，的可能的取值为；所以随机变量的分布列为：所以的期望【点睛】本题考查了离散型随机变量的概率分布列，数学期望的求解，概率分布中的二项分布问题，属于常规题型20（1）；（2）当时,在上单调递增,在上单调递减；当时,在和上单调递增,在上单调递减；当时,在上单调递增；当时,在和上单调递增,在上单调递减.【解析】(1)根据导数的几何意义求解即可.(2)易得函数定义域是,且.故分,和与四种情况,分别分析得极值点的关系进而求得原函数的单调性即可.【详解】（1）当时,则切线的斜率为.又,则曲线在点的切线方程是,即.（2）的定义域是.当

16、时,所以当时,；当时,所以在上单调递增,在上单调递减；当时,所以当和时,；当时,所以在和上单调递增,在上单调递减；当时,所以在上恒成立.所以在上单调递增；当时,所以和时,；时,.所以在和上单调递增,在上单调递减.综上所述,当时,在上单调递增,在上单调递减；当时,在和上单调递增,在上单调递减；当时,在上单调递增；当时,在和上单调递增,在上单调递减.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及含参数的函数单调性讨论,需要根据题意求函数的极值点,再根据极值点的大小关系分类讨论即可.属于常考题.21（1）（2）见解析【解析】(1)分离得到，求的最小值即可求得的取值范围；（2）先求出，得到，利用乘变化即可证明不等式.【详解】解：（1）设，在上单调递减，在上单调递增故有解，即的取值范围为（2），当且仅当时等号成立，即当且仅当，时等号成立，即成立【点睛】此题考查不等式的证明，注意定值乘变化的灵活应用，属于较易题目.22 ()见解析. () .【解析】(I)证明平面