数理方程与特殊函数：总复习part2

1、5.1 Fourier变换5.2 Fourier变换的应用5.3 Laplace变换5.4 Laplace变换的应用5.5 其他的积分变换 第五章 积分变换5.1 Fourier变换一、Fourier变换的定义定理1 若 ,且在一个周期内只有有限个第一类间断点与极值点，则其中 定义1 称为f(x)的Fourier变换，f(x)称为 的Fourier逆变换。Fourier变换有多种形式。这些形式的差异主要体现在积分号前的系数以及被积函数中指数函数的指数符号。本书采用工程应用中典型的定义形式，这样的Fourier变换许多性质也可以从物理上得到解释。 二、正（余）弦变换的定义定义2 Fourier余

2、弦变换是指定义3 Fourier逆余弦变换是指定义4 Fourier正弦变换是指定义5 Fourier逆正弦变换是指三、Fourier变换的基本性质性质1 Fourier变换是一个线性变换：对于任意常数 、与任意函数 、 有定义6 设 都满足Fourier变换的条件，则称为 的卷积。记为性质2 的卷积的Fourier变换等于 的Fourier变换的乘积： 性质3 乘积的Fourier变换等于它们各自的Fourier变换的卷积再乘以系数 ，即 性质4 性质5 性质6 设为任意常数，则 性质7 设 为任意常数，则 性质8 性质9 性质10 性质11 性质12 四、n维Fourier变换n维Four

3、ier变换具有的性质 五、Fourier变换在常微分方程中的应用例3 求解 5.2 Fourier变换的应用Fourier变换法求解步骤为：（1）对定解问题作Fourier变换；（2）求解像函数；（3）对像函数作Fourier逆变换。5.3 Laplace变换一、Laplace变换的定义定义1 积分变换 称为 的Laplace变换，记作 称为 Laplace逆变换，记作二、Laplace变换的存在定理定理1 若f(x)函数满足下述条件：（1）当x0上的解为推论2 Laplace方程Dirichlet问题在半空间z0上的解为二、圆和半平面上的Green函数定理3 平面Poisson方程Diric

4、hlet问题的解为推论3 平面Laplace方程Dirichlet问题的解为定理4 上半平面Poisson方程Dirichlet问题的解的表达式为推论4 上半平面Laplace方程Dirichlet问题的解的表达式为三、第一象限上的Green函数平面第一象限上的Green函数相当于求解定解问题6.6 Laplace方程与热传导方程的基本解一、Lu=0型方程的基本解定义1 方程 的解称为方程 的Green函数，又称为基本解。放置于坐标原点的电量为的点电荷的场的势函数满足Poisson方程：定义2 方程 的解称为Poisson方程 的基本解。定理1 若U是一个基本解，u是相应齐次方程 的任一解，则

5、 仍是基本解，而且方程的全体基本解都可以表示成这种形式。定理2 若 是连续函数， 满足方程 ，则卷积二、Poisson方程的基本解定理3 空间Poisson方程的特解为其中， 三、热传导方程Cauchy问题的基本解定理4 设 是连续函数，且存在，则定解问题的解为定理5（ 1）一维热传导方程Cauchy问题的基本解为（2）二维热传导方程Cauchy问题的基本解为（3）三维热传导方程Cauchy问题的基本解为四、热传导方程边值问题的基本解定义3 定解问题 的解 称为的基本解。定理7 热传导方程边值问题的解为6.7 波动方程的基本解一、波动方程Cauchy问题的基本解定义1 定解问题的解 称为Cau

6、chy问题定理1 设 都是连续函数，都存在，则Cauchy问题的解为二、波动方程边值问题的基本解定义2 定解问题的解 称为边值问题的基本解。定理3 设 都是连续函数，则边值问题的解为6.8 Poisson方程边值问题近似求法简介一、Ritz法定义1 称为极值问题的EulerLagrange方程。二、Ritz法Dirichlet定理定理1（Dirichlet） Laplace方程第三边值问题的解，使泛函取得最小值；反之，使泛函取得最小值的函数 ，一定是Laplace方程第三边值问题的解。7.1 Bessel方程及其幂级数解7.2 Bessel函数的母函数及递推公式7.3 Bessel函数的正交性

7、及其应用7.4 Bessel函数的其他类型 第七章 Bessel函数7.1 Bessel方程及其幂级数解一、Bessel方程的引出例1 设有一个半径为的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零度，且初始温度为已知。求圆盘内的瞬时温度分布规律。例2 在圆柱内传播的电磁波问题。设沿方向均匀的电磁波在底半径为1的圆柱域内传播，在侧面沿法向方向导数为零，从静止状态开始传播，初始速度为。求其传播规律（假设对极角对称）。二、Bessel方程的求解定义1 Neumann函数称为第二类Bessel函数。这个无穷级数所确定的函数，称为阶第一类Bessel函数，记作7.2 Bessel函数的母函数及递推公

8、式一、Bessel函数的母函数（生成函数）定义1 函数 称为Bessel函数的母函数。二、Bessel函数的积分表达式三、Bessel函数的递推公式第二类Bessel函数也具有与第一类Bessel函数相同的递推公式： 四、渐近公式、衰减振荡性和零点Bessel函数的渐近公式 零点的近似公式的无穷多个实零点是关于原点对称分布的，必有无穷多个正零点。 1 有无穷多个单重实零点，且这无穷多个零点在轴上关于原点是对称分布的。因而， 必有无穷多个正的零点；2 的零点与 的零点是彼此相间分布的，即 的任意两个相邻零点之间必存在一个且仅有一个 的零点；3以 表示 的正零点，则 当时无限地接近于 ，即 几乎是

9、以2 为周期的周期函数。7.3 Bessel函数的正交性及其应用一、Bessel函数的正交性定理1 Bessel函数系 具有正交性：定义1 定积分 的平方根，称为Bessel函数的模值。定理2 若 在区间0, R至多有有限个跳跃型间断点，则f(x)在区间（0, R）内在连续点处的Bessel展开级数收敛于该点的函数值，在间断点收敛于该点左右极限的平均值。二、Bessel函数应用举例例1 设 是方程的 所有正根，试将函数展开成Bessel函数 的级数。例2 半径为b，高为h的均匀圆柱体，下底和侧面保持为零度，上底温度分布为 。求圆柱内的稳定温度分布。7.4 Bessel函数的其他类型一、第三类B

10、essel函数第三类Bessel函数又名Hankel函数，它是由下列公式来定义的：，二、虚宗量的Bessel函数关于第二类虚宗量Bessel函数 定义如下：（1）当是非整数时（2）当为整数时 三、Kelvin函数（Thomson函数）四、球Bessel函数不论是对热传导方程或对波动方程分离变量，都会导出所谓的球Bessel方程8.1 Legendre方程及其幂级数解8.2 Legendre多项式的母函数及递推公式8.3 Legendre多项式的展开及其应用8.4 连带Legendre多项式 第八章 Legendre多项式8.1 Legendre方程及其幂级数解一、Legendre方程的引出在球

11、坐标系中Laplace方程为二、Legendre方程的求解三、Legendre多项式1Legendre多项式其中2Legendre多项式的微分表达式Rodrigues公式定理1 满足Rodrigues公式3Legendre多项式的积分表达式定理2 满足积分表达式8.2 Legendre多项式的母函数及递推公式一、Legendre多项式的母函数称为Legendre多项式的母函数。二、Legendre多项式的递推公式定理1 Legendre多项式满足以下的递推公式：8.3 Legendre多项式的展开及其应用一、Legendre多项式的正交性定理1 Legendre多项式序列 在区间-1,1上正交

12、，即二、Legendre多项式的归一性定理2 Legendre多项式满足三、展开定理的叙述定理3 若在区间1, 1至多有有限个跳跃型间断点，则f(x)在区间(1, 1)内连续点处的Legendre多项式展开级数收敛于该点的函数值，在间断点处收敛于该点左右极限的平均值。8.4 连带Legendre多项式一、连带Legendre多项式的定义连带Legendre方程二、连带Legendre多项式的正交性和归一性三、Laplace方程在球形区域上的Dirichlet问题9.1 保角变换及其性质9.2 保角变换降维法9.3 Laplace方程的保角变换解法 第九章 保角变换法9.1 保角变换及其性质区域

13、D内第一类保角变换有如下性质：（1）在z平面上区域D内任意一个以点为中心的无穷小圆周，当只考虑 的线性部分时，对应于w平面上一个以 为中心的圆周，且其环绕的方向与原圆周相同。（2）变换具有保角性，在 连续映射之下，若则通过已知点 的任两条有向连续曲线间的夹角的大小及方向保持不变。（3）变换具有保形性。对于D内的第一类保角变换，若变换是单叶的，即对于 ，有 ，则称是保形变换。 9.1 保角变换及其性质9.2 保角变换降维法1保角变换降维法有半无限大平板y0，在边界y=0上，处保持温度 。在 处温度保持为零度。求平板上温度分布。2保角变换降维法一般定理定理1 如果 是Laplace方程 的解，那么

14、当 由一保角变换成一个 的函数，仍满足Laplace方程。9.3 Laplace方程的保角变换解法经常要求一个二元的实函数在已知的区域中调和并满足已知区域的边界条件，也就是求解Laplace方程的问题。把复杂的边界化为简单边界，不妨利用保角变换法。前面已经证明，一个Laplace方程的解经过保角变换后仍然是相应的Laplace方程的解。下面举例说明如何通过保角变换法来解Laplace方程。对于Laplace方程，可用分离变量法或解的积分公式来解决。但如果边界的形状比较复杂，分离变量法和积分公式用起来都有困难，则常可用保角变换把某个（边界形状比较复杂）区域内的Laplace边值问题变换为某个新区

15、域（边界形状比较简单，比如圆、上半平面或带形域等）的Laplace边值问题。10.1 典型非线性方程10.2 行波解10.3 HopfCole变换10.4 逆散射方法10.5 Bcklund变换 第十章 非线性数学物理方程简介10.1 典型非线性方程定义1定义2 称为Burgers方程。称为KdV方程。定义3 称为KdVB方程。定义4 称为KleinGordon方程。定义5 称为非线性Schrdinger方程或NLS方程。定义6 称为KuramotoSivashinsky（KS）方程。定义7 偏微分方程的行波解是指具有形式的解。10.2 行 波 解一、Burgers方程的行波解Burgers方程的行波解： 三、SineGordon方程的行波解设SineGordon方程的行波解为 二、KdV方程的行波解KdV方程的行波解为 四、NLS方程的行波解NLS方程有一个非常简单的单频解10.3 HopfCole变换定理1 扩散方程 与Burgers方程的解之间满足定理2 若 是线性方程 与的解，则是KdV方程 的解。定理3 若 是线性方程与 的解，则 是KdVB方程 的解。10.4 逆散射方法求解KdV方程的Cauchy问题的逆散射法可以归纳