高考数学第一轮复习三角函数公式

1、第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切【2014年高考会这样考】1考查利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式进行三角函数式的化简与求值2利用三角公式考查角的变换、角的范围【复习指导】本讲复习应牢记和、差角公式及二倍角公式，准确把握公式的特征，活用公式(正用、逆用、变形用、创造条件用)；同时要掌握好三角恒等变换的技巧，如变换角的技巧、变换函数名称的技巧等基础梳理1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C()：cos()cos_cos_sin_sin_；(2)C()：cos()cos_cos_sin_sin_；(3)S()：sin()sin_cos_cos_sin_；(4)S()：sin()s

2、in_cos_cos_sin_；(5)T()：tan()eq f(tan tan ,1tan tan )；(6)T()：tan()eq f(tan tan ,1tan tan ).2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S2：sin 22sin_cos_；(2)C2：cos 2cos2sin22cos2112sin2；(3)T2：tan 2eq f(2tan ,1tan2).3有关公式的逆用、变形等(1)tan tan tan()(1tan_tan_)；(2)cos2eq f(1cos 2,2)，sin2eq f(1cos 2,2)；(3)1sin 2(sin cos )2,1sin 2(sin

3、cos )2，sin cos eq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4).4函数f()acos bsin (a，b为常数)，可以化为f()eq r(a2b2)sin()或f()eq r(a2b2)cos()，其中可由a，b的值唯一确定两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2()()；()；eq f(,2)eq f(,2)；eq f(,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2).(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”(2)变名：通过

4、变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等双基自测1(人教A版教材习题改编)下列各式的值为eq f(1,4)的是()A2cos2 eq f(,12)1 B12sin275C.eq f(2tan 22.5,1tan222.5) Dsin 15cos 15解析2cos2eq f(,12)1coseq f(,6)eq f(r(3),2)；12sin275cos 150eq f(r(3),2)；eq f

5、(2tan 22.5,1tan222.5)tan 451；sin 15cos 15eq f(1,2)sin 30eq f(1,4).答案D2(2011福建)若tan 3，则eq f(sin 2,cos2)的值等于()A2 B3 C4 D6解析eq f(sin 2,cos2 )eq f(2sin cos ,cos2 )2tan a236，故选D.答案D3已知sin eq f(2,3)，则cos(2)等于()Aeq f(r(5),3) Beq f(1,9) C.eq f(1,9) D.eq f(r(5),3)解析cos(2)cos2(12sin2)2sin212eq f(4,9)1eq f(1,9

6、).答案B4(2011辽宁)设sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(1,3)，则sin 2()Aeq f(7,9) Beq f(1,9) C.eq f(1,9) D.eq f(7,9)解析sin 2coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)2)2sin2eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)12eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)21eq f(7,9).答案A5tan 20tan 40eq r(3)tan 20 tan 40_.解析tan 60tan(2040)eq f(tan 20tan 40,1tan 20tan

7、 40)，tan 20tan 40tan 60(1tan 20tan 40)eq r(3)eq r(3)tan 20tan 40，原式eq r(3)eq r(3)tan 20tan 40eq r(3)tan 20tan 40eq r(3).答案eq r(3)考向一三角函数式的化简【例1】化简eq f(2cos4x2cos2xf(1,2),2tanblc(rc)(avs4alco1(f(,4)x)sin2blc(rc)(avs4alco1(f(,4)x).审题视点 切化弦，合理使用倍角公式解原式eq f(2sin2xcos2xf(1,2),f(2sinblc(rc)(avs4alco1(f(,4

8、)x)cos2blc(rc)(avs4alco1(f(,4)x),cosblc(rc)(avs4alco1(f(,4)x)eq f(f(1,2)1sin22x,2sinblc(rc)(avs4alco1(f(,4)x)cosblc(rc)(avs4alco1(f(,4)x)eq f(f(1,2)cos22x,sinblc(rc)(avs4alco1(f(,2)2x)eq f(1,2)cos 2x. 三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结

9、构特征”，分析结构特征，找到变形的方向【训练1】 化简：eq f(sin cos 1sin cos 1,sin 2).解原式eq f(blc(rc)(avs4alco1(2sinf(,2)cosf(,2)2sin2f(,2)blc(rc)(avs4alco1(2sinf(,2)cosf(,2)2sin2f(,2),4sin f(,2)cos f(,2)cos )eq f(blc(rc)(avs4alco1(cosf(,2)sin f(,2)blc(rc)(avs4alco1(cosf(,2)sinf(,2)sinf(,2),cosf(,2)cos )eq f(blc(rc)(avs4alco1

10、(cos2f(,2)sin2f(,2)sinf(,2),cosf(,2)cos )eq f(cos sin f(,2),cos f(,2)cos )taneq f(,2).考向二三角函数式的求值【例2】已知0eq f(,2)，且coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)eq f(1,9)，sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)eq f(2,3)，求cos()的值审题视点 拆分角：eq f(,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦解0eq f(,2)，eq

11、 f(,4)eq f(,2)eq f(,2)，eq f(,4)eq f(,2)，coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2) eq r(1sin2blc(rc)(avs4alco1(f(,2)eq f(r(5),3)，sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2) eq r(1cos2blc(rc)(avs4alco1(f(,2)eq f(4r(5),9)，coseq f(,2)coseq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(,2)blc(rc)(avs4alco1(f(,2)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2

12、)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,9)eq f(r(5),3)eq f(4r(5),9)eq f(2,3)eq f(7r(5),27)，cos()2cos2eq f(,2)12eq f(495,729)1eq f(239,729). 三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系【

13、训练2】 已知，eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，sin eq f(4,5)，tan()eq f(1,3)，求cos 的值解，eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，eq f(,2)eq f(,2)，又tan()eq f(1,3)0，eq f(,2)0.eq f(1,cos2)1tan2()eq f(10,9).cos()eq f(3r(10),10)，sin()eq f(r(10),10).又sin eq f(4,5)，cos eq f(3,5).cos cos()cos cos()sin sin()eq f(3,5)eq f(3r(10),10)e

14、q f(4,5)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(10),10)eq f(r(10),10).考向三三角函数的求角问题【例3】已知cos eq f(1,7)，cos()eq f(13,14)，且0eq f(,2)，求.审题视点 由cos cos()解决解0eq f(,2)，0eq f(,2).又cos()eq f(13,14)，cos eq f(1,7)，eq f(,2)，sin eq r(1cos2)eq f(4r(3),7)sin()eq r(1cos2)eq f(3r(3),14)，cos cos()cos cos()sin sin()eq f(1,7)eq f(13,1

15、4)eq f(4r(3),7)eq f(3r(3),14)eq f(1,2).0eq f(,2).eq f(,3). 通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)，选正弦较好【训练3】 已知，eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)，且tan ，tan 是方程x23eq r(3)x40的两个根，求

16、的值解由根与系数的关系得：tan tan 3eq r(3)，tan tan 4，tan 0，tan 0，0.又tan()eq f(tan tan ,1tan tan )eq f(3r(3),14)eq r(3).eq f(2,3).考向四三角函数的综合应用【例4】(2010北京)已知函数f(x)2cos 2xsin2x.(1)求feq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)的值；(2)求f(x)的最大值和最小值审题视点 先化简函数yf(x)，再利用三角函数的性质求解解(1)feq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)2coseq f(2,3)sin2eq f(,3)1eq f

17、(3,4)eq f(1,4).(2)f(x)2(2cos2x1)(1cos2x)3cos2x1，xR.cos x1,1，当cos x1时，f(x)取最大值2；当cos x0时，f(x)取最小值1. 高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中需要利用这些公式，先把函数解析式化为yAsin(x)的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质【训练4】 已知函数f(x)2sin(x)cos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间eq blcrc(avs4alco1(f(,6)，f(,2)上的最大值和最小值解

18、：f(x)2sin xcos xsin 2x(1)f(x)的最小正周期Teq f(2,2).(2)eq f(,6)xeq f(,2)，eq f(,3)2x.eq f(r(3),2)sin 2x1.f(x)的最大值为1，最小值为eq f(r(3),2).难点突破10三角函数求值、求角问题策略面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如()，2()()等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论【示例】 (2011江苏)已知tan eq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)2，则eq f(tan x,tan 2x)的值为_二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角【示例