全国高中物理竞赛专题一运动学

1、竞赛专题一运动学【基本知识】一、 质点的位置、位置矢量和位移1、质点如果物体的大小和形状可以忽略不计，就可以把物体当做一个有质量的点。称该点为质点。2、参考系物理学中把选作为标准的参考物体系统为参考系。p3、位置矢量z由参考点指向质点所在位置的有向线段称为位置矢量，简称位矢或矢径。rxiyjzkrz其大小为rx 2y 2z20 x方位是cosx/ rcos y / rcos z / r4、位移 由初位置指向末位置的矢量称为位移，它等于质点在 t xy时间内位置矢量的增量，即rr 2r1yrxiyjzkzP2(x2,y2 ,z2)P 1(x1 ,y1 ,z1)其中 x x2x1y y2y1z z

2、2 z1r 1 r位移的大小为rx2y2z2r2位移的方位是0yxyzcosc o sc o sxrrr二、直线运动的速度和加速度1、速度平均速度质点在 t tt 内产生的位移r 与t 之比，称为此时间间隔内的平均速度，表达式是为 vrt瞬时速度当t 0时，平均速度的极限值，即位移矢量对时间的一阶导数，称为质点在t时刻的瞬时速度，简称速度，表达式为vlimrdrt0tdt2、 加速度平均加速度v在 t tt 内质点速度的增量与时间之比，称为时间间隔内的平均加速度，表达式为 at瞬时加速度平均加速度的极限值，即速度对时间的一阶导数，或位置矢量对时间的二阶导数，称为质点在 t 时刻的瞬时加速度，简

3、称加速度，表达式为a lim vdv d 2rt 0tdtdt（ 1）加速度具有瞬时性，即 a a(t ) 。只有质点做匀变速直线运动时，a恒矢量，这时有如下运动公式vv0atxx0v0t1 at 22v2v022a(x x0 )（ 2）加速度具有相对性， 对于不同的参考系来说， 质点的加速度一般不同。 在两个相对做匀速直线运动的参考系中（两个惯性系） ，质点具有相同的加速度。（3）加速度与速度本身无关，只与速度的变化（包括方向或大小的变化）有关。某时刻速度为零而加速度不为零的是可能的。例如，竖直上抛运动到顶点时，三、运动学的基本问题v0 ，但 ag0微分问题 已知运动方程，求速度、加速度。因

4、求解方法用微分方法，故称此类问题为微分问题。积分问题已知加速度和初始条件，求速度、运动方程。因求解方法用积分方法，故称此类问题为积分问题。tr（ 1 ） 当 aa(t ) 时 ， dv a(t)dtv v0 0 a(t )dt 。 同 理 由 vd， 可 得dtrr00t vy (t )dt 。2）当3）当aa(v) 时，由 a(v)dvdtdvtdtvdvdt，可得0v0。a(v)a(v)aa(x) 时，a( x)dvdv dxvdva x dxvdvdtdx dtdx()四、曲线运动的速度和加速度1、曲线运动的速度和加速度物体（质点）运动轨迹是曲线的的运动称为曲线运动。参照直线运动中瞬时速

5、度的概念描写质点在某一时刻运动的快慢情况。平均速度质点在 t和 tt 时刻位矢分别为 r (t ) 和 r (tt ) ，则vA(t)B(t+ t)在 t 时间内的平均速度为r 与 t 之比，表达式是为vrrt瞬时速度当t0 时，平均速度的极限值为质点在t时刻的瞬时速V A度，表达式为vlimrdrBtdtV Bt0t 时间后质 V瞬时加速度在 t 时刻质点位于 A 点，速度为 vA ,经过AvvvVBlim点位于 B 点速度为 vB ，瞬时加速度为 a lim BAtt 0tt02、圆周运动圆周运动是曲线运动的特例，设质点作半径为R 的圆周运动，在t 时刻质点的速 度 为 v ， 则 圆 周

6、 运 动 的 加 速 度 为 a anatv2 n at ， 其 中 切 向 加 速 度Rtatlimvt ，反映的是速度大小的变化；法向加速度anv2n，反映的是速度方向的t0tR变化 。 n 和 t 分别为法线方向单位矢量和切向方向单位矢量。若 质 点 做 匀 速 圆 周 运 动 ， 其 速 率 不 随 时 间 变 化 ， 即 at0，即质点的运动加速度aanv2n 就是法向加速度，其大小保持不变，方向始终指向圆心。R3、抛体运动物体以一定的速度vo 抛出后，若忽略空气阻力，且物体的运动地球表面附近，它的运动高度远小于地球半径，则在运动过程中，其加速度恒为竖直向下的重力加速度g。抛体运动是

7、一种加速度恒定的曲线运动。（0o 时为平抛运动，90o 时为上抛运动）取抛体轨迹所在平面Oxy 平面，抛出点为坐标原点，水平方向为x 轴，竖直方向为y 轴，则抛体运动的规律为：yax0, ayg ；vovxvo cos, vyvo singt ；Hxv 0 cost , yv o sint1gt 20Rx2其轨迹方程为 y xtan2gx2，飞行时间 T = 2V0 sin ，射程 R =V02 sin 22gg2vo cos22射高 H = V0sin抛体运动具有对称性，上升时间和下降时间相等；上升和下降时经过同一高度时速度大小相等，速度方向与水平方向的夹角大小相等。五、运动的合成1、运动的

8、合成与分解： 包括位移、 速度、加速度的合成与分解， 合运动与分运动具有独立性、等时性、等效性。2、 相对运动：物体相对静止参考系的速度等于物体相对运动参考系的速度和运动参考系相对于静止参考系两者的矢量和。v绝对v相对v牵连六、刚体的平动和定轴转动1、刚体在无论多大的外力作用下，总保持形状和大小不变的物体叫刚体。刚体是一种理想化模型，实际物体在外力作用下发生的形变效应不显著可被忽略时，即可看做刚体。刚体运动时，其上各点的运动状态总是相同，这种运动叫平动。如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线做圆周运动，这种运动叫转动。刚体的任何一个复杂运动总可视作平动与转动的叠加，刚体的运动同样遵从运动独立性

9、原理。刚体绕轴转动时，其上的任一质点都绕轴做圆周运动，既可以用线量来描述，又可以用角量来描述，角量与线量的关系为QvrPar0 x2anr2、角位置与角位移角位置刚体上任一点在t 时刻到达 P 点，刚体的方位可由OPr 与 Ox 之夹角来确定，称为 t 时刻的角位置，亦称角坐标。如图所示。角位移若 t 时刻刚体的角位置为， tt 时刻角位置为，则称为刚体在 t时间内的角位移。3、角速度与角加速度平均角速度刚体在 t tt 内产生的角位移与 t 之比，称为t 时间内的平均角速度。表达式为t瞬时角速度t0 平均角速度的极限值。表达式为lim0tdtdt平均角加速度在 t tt 内刚体角速度的增量与

10、时间之比，称为时间间隔内的平均角加速度。表达式为t瞬时角加速度t0 时平均角速度的极限值。表达式为limdd 2tdtdt 2t0七、刚体定轴转动的基本问题微分问题 已知角运动方程，求角速度、角加速度。因求解方法用到微分方法用到积分方法，故此类问题称为微分问题。积分问题 已知叫加速度和初始条件，求角速度、角运动方程。因求解方法用到积分方法，故此类问题称为积分问题。描述刚体定轴转动时，如下对应关系：dddtdt当(t ) 时，可利用定义dd(t )dt ，求得dtt(t)dt，ot(t)dtooo() 时，据定义对变量进行调整(dd当)dt，然后取积分并dt()代人初始条件就可以求出角速度方程，

11、进一步可以求出角运动方程当() 时，需作如下变换dddd，然后分离变量取积分，求dtddtd出角速度方程和角运动方程考虑如下两种特殊情况：当刚体做匀变速转动时（c) ，如下公式成立：t00t1 t 22222 (0)0当刚体做匀速转动（0) ）时，公式成0t 成立【例题解析】例 1质量为 M 、均匀分布的圆环，其半径为r，几何轴与水平面垂直，若它能经受的最大张力为 T ，求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度.解析 ：因为向心力 F=mr 2，当 一定时， r 越大，向心力越大，所以要想求最大张力T 所对应的角速度 ， r 应取最大值 .如图 1-1 所示，在圆环上取一小段L ，对应的圆心角为

12、，其质量可表示为mM ，受圆环对它的张2力为 T ，则同上例分析可得2T sinmr22因为 很小，所以 sin2，即22TMr2解得最大角速度2 TMr图 1-122注释微元法 是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。例 2一 只老鼠从老鼠洞沿直线爬出， 已知爬出速度v 的大小与距老鼠洞中心的距离s 成反比，当老鼠到达距老鼠洞中心距离s1 = 1m 的 A 点时，速度大小为

13、v1 = 20cm/s ，问当老鼠到达距老鼠洞中心 s2=2m 的 B 点时，其速度大小v2 =？老鼠从 A 点到达 B 点所用的时间 t =？解析 ：我们知道当汽车以恒定功率行驶时，其速度v 与牵引力 F 成反比，即 v = P ，由此可F把老鼠的运动等效为在外力以恒定的功率牵引下的弹簧的运动。由此分析，可写出：v = P =PFkx当 x = s1 时， v = v 1将其代入上式求解，得：k = P=Pv1s1v2 s2所以老鼠到达B 点时的速度 v2 = s1v1 = 1 20 = 10cm/ss22再根据外力做的功等于此等效弹簧弹性势能的增加，Pt = 1k s22 1k s1222

14、代入有关量可得： Pt = 1P( s22 s12 )2v1 s1由此可解得： t = s22s12=2212= 7.5s2s1 v12 10.2注释 等效法是 用较简单的因素代替较复杂的因素，以使问题得到简化而便于求解。在效果相同的情况下，将较为复杂的实际问题变换为简单的熟悉问题，以便突出主要因素，抓住它的本质，找出其中规律。例 3如图 1-2 所示，一水枪需将水射到离喷口的水平距离为3.0m 的墙外， 从喷口算起， 墙高为 4.0m。 若不计空气阻力，取 g10 m / s2 ，求所需的最小初速及对应的发射仰角。解析水流做斜上抛运动，以喷口O 为原点建立如图所示的直角坐标，本题的任务就是水

15、流能通过点A （ d、h）的最小初速度和发射仰角。xv0 cost根据平抛运动的规律，水流的运动方程为yv0 sint1 gt 22把 A 点坐标（ d、h）代入以上两式，消去t，得：v02gd 2 / 2 cos2(hd tan)图 1-2gd 2/d sin 2h(cos21)gd 2/ d 2h 2 dh 2sin 2hh2cos2 hd 2d 2令 h / dtan, 则d /d 2h 2cos , h /d 2h2sin, 上式可变为v02gd 2 /d 2h2sin(2) h,显然 ,当 sin(2)1,即290亦即发射角45451h45 arctan4时, v0最小 ,2arct

16、an71.62d3且最小初速 v0 =g (d 2h2h)310m / s9.5m / s.注释 极限法 是把某个物理量推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依此做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。极限法在进行某些物理过程的分析时，具有独特作用，恰当应用极限法能提高解题效率，使问题化难为易。例 4 有一个很大的湖，岸边（可视湖岸为直线）停放着一艘小船，缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成 15角，速度为 2.5km/h 。 同时岸上一人从停放点起追赶小船，已知他在岸上跑的速度为 4.0km/h ，在水中游的速度为 2.0km/h ，问此人能否追及小船？解析 ：费马原理指出：光

17、总是沿着光程为极小值的路径传播。据此可以证明，光在平面分界面上的折射是以时间为极小值的路程传播。本题求最短时间问题，可类比类在平面分界面上的折射情况，这样就把一个运动问题通过类比可转化为光的折射问题求解。如图 1-3 所示，船沿OP 方向被刮跑，设人从O 点出发先沿湖岸跑，在A 点入水游到OP 的点，如果符合光的折射定律，则所用时间最短。根据折射定律：osin90 = 4.0 ，解得： = 30sin2.0= 180 15 (90 +) = 45图 1-3在这最短时间内，若船还未到达B 点，则人能追上小船，若船已经通过了B 点，则人不能追上小船，所以船刚好能到达B 点所对应的船速就是小船能被追

18、及的最大船速vm 。根据正弦定理：vm t o =v1t1 o =v2 t 2 osin120sin 45sin15又： t = t 1 + t 2由以上两式可解得：vm =v1 v2 sin120o= 2 2 km/hv1 sin15ov2 sin45o此即小船能被人追上的最大速度，而小船实际速度只有2.5km/h ，小于 22 km/h ，所以人能追上小船。注释 类比法 是在于发现和探索发现某些不同问题在一定范围内具有形式上的相似性，其中包括数学表达式上的相似性和物理图像上的相似性，利用已知系统的物理规律去寻找未知系统的物理规律。例 5 一火车沿直线轨道从静止发出由A 地驶向 B 地，并停

19、止在B 地。A、B 两地相距 s ，火车做加速运动时，其加速度最大为a1，做减速运动时，其加速度的绝对值最大为a2 ，由此可可以判断出该火车由A 到 B 所需的最短时间为。解析 ：整个过程中火车先做匀加速运动，后做匀减速运动，加速度最大时，所用时间最短，分段运动可用图象法来解。根据题意作v t 图，如图（ 4）所示。由图可得： a1 =vt 1va2 =t 211s = v (t 1 + t 2) = vt22由、解得： t =2s(a1a2 )a1a2注释 图象法 是把抽象复杂的物理过程有针对性地表示成物理图象，将物理量图 1-4间的代数关系转变为几何关系，运用图象直观、形象、简明的特点，来

20、分析解决物理问题。例 6 A 、 B 、 C 三只猎犬站立的位置构成一个边长为a 的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为 v ， A 犬想追捕 B 犬， B 犬想追捕 C 犬， C 犬想追捕 A 犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？解析 ：以地面为参考系， 三只猎犬运动轨迹都是一条复杂的曲线，但根据对称性， 三只猎犬最后相交于三角形的中心点，在追捕过程中， 三只猎犬的位置构成三角形的形状不变，以绕点旋转的参考系来描述，可认为三角形不转动， 而是三个顶点向中心靠近，所以只要求出顶点到中心运动的时间即可。由题意作图1-5-1 ，设顶点

21、到中心的距离为s ，则由已知条件得： s =3 a图 1-5-13由运动合成与分解的知识可知，在旋转的参考系中顶点向中心运动的速度为：v = vcos30 =3v2由此可知三角形收缩到中心的时间为：t = s =2av3v注释对称法 由于物质世界存在某些对称性，使得物理学理论也具有相应的对称性，从而使对称现象普遍存在于各种物理现象和物理规律中。利用对称法分析解决物理问题，可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，出奇制胜，快速简便地求解问题。解法（ 2）三只猎犬都做等速率曲线运动，而且任一时刻三只猎犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上，但这正三角形的边长不断减小，如图1-5-2 要

22、想求出捕捉的时间，则需用微元法将等速率曲线运动变成等速率直线运动，再用递推法求解.设经时间 t 可捕捉猎物， 再把 t 分为 n 个微小时间间隔 t，在每一个 t 内每只猎犬的运动可视为直线运动，每隔t，正三角形的边长分别为a1、 a2、 a3、 an，显然当 an 0 时三只猎犬a1aAA13BB1 cos60 av t ,2a2a13 v t a 2 3 v t ,22相遇 . a3a23 v t a 3 3 v t ,22ana n 3 v t图 1-5-22因为 an 3 v t 0, 即 n t t所以 t2a23v. 即当问题中涉及相互联系的物体较注释递推法 是解决物体与物体发生多

23、次作用后的情况多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式。具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论 . 再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解。用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式.例 7已知地球半径约为6.4 106m，又知月球绕地球的运动可近似看做匀速圆周运动，则可估算出月球到地心的距离约为m.（结果只何留一位有效数字）解析 因为月球绕地球的运动可近似看做匀速圆周运动，所以可根据月球所受的万有引力提供月球做匀速圆周运动所需要的向心力及月球公转周期求解此问题，也可根据地球上的光经月球反射 2 秒后返回地球的知识

24、估算 .根据运动定律及万有引力定律得：GMmm(2) 2 rr 2TGM mm gR 2r =4.1 108m（其中 T 是月球绕地球旋转周期，两式代入数据可得T=30 天）注释 估算法 是在我们解决问时题缺乏必要的已知条件，无法用常规的方法来求出物理问题的准确答案，采用“估算”的方法就能忽略次要因素，抓住问题的主要本质，充分应用物理知识进行快速数量。例 8 如图 1-6-1 使质点在最短时间内从所示，质点自倾角为 的斜面上方定点 O 点到达斜面，斜槽与竖直方向的夹角O 沿光滑的斜槽从静止开始下滑，应等于多少？为图 1-6-1图 1-6-2解析 ：如图 1-6-2 所示，以经过O 点的竖直线上

25、的一点O为圆心， OO为半径作圆，并使该圆与斜面恰好相切于A 点，与 OO延长线交于B 点。已知从 O 点由静止出发沿倾角不同的光滑斜面下滑的质点，到达圆周上不同点所需时间相等，显然，质点沿OA 方向从静止开始滑到斜面上所需时间比沿其他方向滑到斜面上所需时间短。连接 OA ，由几何关系得：AO B = 所以所用时间最短时，斜槽与竖直方向的夹角：=2注释 作图法 是根据题意把抽象复杂的物理过程有针对性的表示成物理图像，将物理问题转化成一个几何问题，通过几何知识求解，作图法的优点是直观形象，便于定性分析，也可定性计算，灵活应用作图法会给解题带来很大方便例 9（第 21届预赛题） 如图 1-7所示，

26、 B是质量为 mB、半径为 R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上。 A 是质为 mA 的细长直杆，被固定的光滑套管C约束在竖直方向，A 可自由上下运动。碗和杆的质量关系为：mB 2mA。初始时， A 杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触（如图）。然后从静止开始释放A ， A 、 B 便开始运动。设A 杆的位置用表示，为碗面的球心O至 A 杆下端与球面接触点的连线方向和竖直方向之间的夹角。求A 与 B速度的大小（表示成的函数）。解析 由题设条件知，若从地面参考系观测，则任何时刻， A 沿竖直方向运动，设其速度为 vA ，B沿水平方向运动，设其速度为 vB，若以 B为参考系， 从 B观

27、测，则 A 杆保持在竖直方向，它与碗的接触点在碗面内作半径为 R的圆周运动，速度的方向与圆周相切，设其速度为VA 。杆相对地面的速度是杆相对碗的速度与碗相对地面的速度的合速度，图 1-7速度合成的矢量图如图中的平行四边形所示。由图1-7得：VA sinvAVA c o svB因而vB vA cot ，由能量守恒m gRcos1m v21 m v2A2AABB2mB 2mA 得 ： vA sin2gRcosvB2 gR c o s且知1 cos2；c o sc o2s1例 10（第 24 届复赛题） 图中所示为用三角形刚性细杆AB 、BC 、CD 连成的平面连杆结构图。AB和 CD 杆可分别绕过

28、 A 、D 的垂直于纸面的固定轴转动，A 、D 两点位于同一水平线上。BC杆的两端分别与 AB 杆和 CD 杆相连， 可绕连接处转动 （类似铰链） 。当 AB 杆绕 A 轴以恒定的角速度转到图中所示的位置时，AB 杆处于竖直位置。BC 杆与 CD 杆都与水平方向成 45角，已知 AB 杆的长度为 l ，BC 杆和 CD 杆的长度由图给定。求此时 C 点加速度 ac 的大小和方向 （用与 CD 杆之间的夹角表示）vCCaCnaC tBaCv BAD图 1-8-1图 1-8-2解法一因为 B 点绕 A 轴作圆周运动，其速度的大小为v Bl（ 1）B 点的向心加速度的大小为aB2 l（ 2）因为是匀

29、角速转动，B 点的切向加速度为0，故 aB 也是 B 点的加速度，其方向沿BA 方向因为 C 点绕 D 轴作圆周运动，其速度的大小用vC 表示，方向垂直于杆CD ，在考察的时刻，由图可知，其方向沿杆BC 方向因 BC 是刚性杆，所以 B 点和 C 点沿 BC 方向的速度必相等，故有v C v B cos 2l（ 3）42v C2此时杆 CD 绕 D 轴按顺时针方向转动，C 点的法向加速度 aCn（ 4）CD由图可知CD 22l，由（ 3）、（ 4）式得aCn22l，方向沿CD方向（ ）85下面来分析C 点沿垂直于杆CD 方向的加速度，即切向加速度aCt 因为 BC 是刚性杆，所以 C 点相对

30、B 点的运动只能是绕B 的转动， C 点相对 B 点的速度方向必垂直于杆BC令 vCB 表示其速度的大小，根据速度合成公式有v CBvCv B由几何关系得 v CBv B2v C22 v B2l（ 6）22由于 C 点绕 B 作圆周运动，相对B 的向心加速度aCBvCB2（7）CB因为 CB2l ，故有 aCB22 l ，方向垂直杆CD（ 8）4由（ 2）式及图可知， B 点的加速度沿BC 杆的分量为 aB BCaB cos （ 9）4所以 C 点相对 A 点（或 D 点）的加速度沿垂直于杆CD 方向的分量aCtaCBaBBC3 22 l（ 10）4C 点的总加速度为C 点绕 D 点作圆周运动

31、的法向加速度aCn 与切向加速度 aCt 的合加速度，即aCaCn2aCt274l2 （11）8aC 的方向与杆 CD 间的夹角arctan aCtarctan680.54（ 12）aCn解法二通过微商求 C 点加速度。以固定点A 为原点作一直角坐标系Axy， Ax 轴与 AD 重合， Ay 与 AD 垂直任意时刻 t，连杆的位形如图所示，此时各杆的位置分别用，和表示，且已知 ABl ， BC2l ， CD22l ， AD3l， d， C 点坐标表示为xCl cos2l cosdt（1）yCl sin2l sin（ 2）将（ 1）、（ 2）式对时间 t 求一阶微商，得dxClsind2 sin

32、d（3）dtdtdtdyCdddtl cos2 cosdtdt把（ 3）、（ 4）式对时间 t 求一阶微商，得d2 xC2d2d2d2ldsin2 cosdt2cosdt 2dt2 sin2dtdtd 2 yC2d2d2d2ldcos2 sindt 2sindt 2dt2 cos2dtdt根据几何关系，有CD sinABsinBC sinCD cosAB cosBC cos3l即22 sinsin2 sin2 2 cos3 cos2cos将（ 7）、（ 8）式平方后相加且化简，得2 sinsin2 coscos 3cos32 cos对（ 9）式对时间 t 求一阶微商，代入dd1，得224dtd

33、t对（ 9）式对时间 t 求二阶微商，并代入上述数据，得d232dt 28将（ 10）、（11）式以及， d 的数值代入（ 5）、（ 6）式，得dtd2 xC5 l 2 ， d2 yC7 l 2dt 28dt282d2 yC2所以 aCd2 xC742dt2dt2l8由图知， aC 与 x 轴的夹角为tand 2 yCd 2 xC1.4dt2dt2所以求得arctan1.454.46 ，这个夹角在第三象限，为234.46，故 aC 与 CD 的夹角4）5）6）7）8）0 （9）10）11）12）（ 13）=80.54例 11（第 25 届预赛题） 为训练宇航员能在失重状态下工作和生活，需要创造

34、一种失重的环境。在地球表面附近，当飞机模拟某些在重力作用下的运动时，就可以在飞机座舱内实现短时间的完全失重状态。 现要求一架飞机在速率为v1 =500m/s 时进入失重状态试验，在速率为v2=1000m/s时退出失重状态试验。重力加速度g=10m/s2。试问：（i ）在上述给定的速率要求下，该飞机需要模拟何种运动，方可在一定范围内任意选择失重时间的长短？试定量讨论影响失重时间长短的因素。（ii ）飞机模拟这种运动时，可选择的失重状态的时间范围是多少？解析当飞机作加速度的大小为重力加速度g，加速度的方向竖直向下的运动时，座舱内的试验者便处于完全失重状态。这种运动可以是飞机模拟无阻力下的自由落体运

35、动或竖直上抛运动，也可以是斜抛运动。当进入试验的速率和退出试验的速率确定后，飞机模拟前两种运动时，失重时间的长短都是一定的、不可选择的。当飞机模拟无阻力作用下的斜抛运动时，失重时间的长短与抛射角有关，可在一定范围内进行选择。考察飞机模拟无阻力作用下的斜抛运动。设开始试验时飞机的初速度的大小为v1，方向与水平方向成 角，起始位置为 A 点，经做抛物线运动在B 点退出试验，如图所示。以t 表示试验经历的时间，在退出试验时的速率为v2，则有 v2x=v 1cos(1)v2y=v 1sin -gt(2)而 v22v22x v22y(3)由(1)、 (2)、 (3) 式得 g 2 t 22v1gt si

36、n v12v220(4)解(4)v1 sin v12 sin2 (v22v12 )(5)式得 tg由(5)式可知，当进入试验时飞机的速度v1 和退出试验时飞机的速度v2 确定以后，失重时间的长短可通过角 来调节。(ii) 当 =90 时失重时间最长，由(5) 式可求得最长失重时间 tmax=150s(6)当 =- 90时，失重时间最短，由(5)式可求得最短失重时间 tmin=50s(7)失重时间的调节范围在150s 到 50s 之间。【训练题】练习 1 在进行“飞镖”训练时，打飞镖的靶上共有10 环，且第 10 环的半径为1cm，第 9 环的半径为 2cm，依此类推，如图1-9 所示，当人离靶

37、的距离为5m，将飞镖对准10 环中心以水平速度 v 投出，则（ g=10m/s2） ()A、当 v50m/s 时，会射中第 8 环线以内B、当 v=50m/s 时，会射中在第6 环线上C、若要击中第10 环以内，速度v 至少应为 505m / sD、若要击中靶子，速度v 至少应为 25 2m / s图 1-9练习 2 如图 1-10所示，长度为L 的直杆上端连着一Av个半径不计的小球A, 下端固定在转轴O上，物体 B 与转轴 OBO在同一水平面上，球A 顺时针转动时， A、 B 紧密接触，当杆与水平方向的夹角等于 时，物体 B 水平移动的速度等于 v，那么，此时，球A 转动的角速度是图 1-1

38、0练习 3 如 1-11 图所示，细绳长 l ，吊一个质量为 m 的铁球，绳受 2mg 拉力就会断裂，绳的上端系一质量不计的环，环套在光滑水平杆上。起初环带着球一起以速度 vgl 向右匀速运动，在A 处环被挡住而停下的瞬间，绳子所受拉力图 1-11为多少？在以后的运动过程中，球是先碰墙还是先碰地？（已知A 处离墙水平距离为l ，球离地高度 h=2l）练习 4如图 1-12 所示，质量为m 的带电小球静止在绝缘水平面上，某时刻给小球加上某方向上的范围足够大的匀强电场，小球腾空沿着与水平面成300 角的直线飞去。电场力的大小恒为 F3mg ，小球经过一段时间 t 的飞行后，将所加电场方向逆时针旋转

39、1200，再经过 t撤去电场。小球在重力的作用下落回水平面，试求：3002落回点与出发点相距多远；小球的飞行时间？练习 5 2007 年春节期间，城乡许多家庭为了增添节日的热闹气氛，燃放了不少组合“春雷”花炮，组合“春雷”花炮一般由炮筒、炮体和引线等部分组成。组合“春雷”花炮有16 响、 25 响、 36 响不同的组合方式，如图1-13所示为 16 响“春雷”的示意图。燃放“春雷”的过程一般是先点火，炮体在炮筒中经过一段匀加速运动的过程后，从炮筒口以较大的速度冲向天空，在最高点炸裂，然后落地。已知炮筒的高度h50cm ，炮体在炮筒中的加速度为400 m / s2 ，炮体与炮体间的水平距离为l8

40、cm ，导入炮体的引线长度与炮筒高度相同，如图所示，引线的燃烧速度为v2cm / s ，不计空气阻力，试求：1）从点火到最后一个炮体离开炮筒的时间；2）炮体能达到的最大高度 ?图 1-12图 1-13练习 6 为了测量一高楼的高度，某人设计了如下实验，在一根长为l 的绳两端各拴一重球，一人站在楼顶上，手执绳的上端无初速度释放使其自由落下，另一个人在楼下测量两球落地的时间差 t ，即可根据 l , t, g 得出楼的高度（不计空气阻力） 。请问：（ 1）从原理上讲，这个方案是否正确？（ 2）从实际测量来看，你估计最大困难是什么？（ 3）若测得 l10m,t0.4s ， g 取 10m/s2，估算

41、楼高多少？练习 7一把雨伞边缘的半径为r，且高出水平地面h.当雨伞以角速度 旋转时， 雨滴自边缘甩出落在地面上成一个大圆周.这个大圆的半径为_.练习 8羚羊从静止开始奔跑，经过 50 m 距离能加速到最大速度25 m/s，并能维持一段较长的时间；猎豹从静止开始奔跑，经过60 m 的距离能加速到最大速度30 m/s，以后只能维持这个速度 4.0 s.设猎豹距离羚羊x m 时开始攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后1.0 s 才开始奔跑，假定羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑.求：（ 1）猎豹要在其最大速度减速前追到羚羊，x 值应在什么范围?（ 2）猎豹要在其加速阶段追上羚羊，x 值

42、应在什么范围?练习9我们在电影或电视中经常可以看到这样的惊险场面：一辆汽车从山顶落入山谷，为了拍摄重为15 000 N 的汽车从山崖上坠落的情景，电影导演通常用一辆模型汽车代替实际汽车.设模型汽车与实际汽车的大小比例为1 ，那么山崖也必须用1 的比例来代替真实的山崖 .设电影2525每 1 min 放映的胶片张数是一定的，为了能把模型汽车坠落的情景放映得恰似拍摄实景一样，以达到以假乱真的视觉效果 .问：在实际拍摄的过程中，电影摄影机每 1 s 拍摄的胶片数应是实景拍摄的几倍？练习 10 飞机以恒定的速度 v0 沿水平方向飞行，飞行高度为2 000 m ，在飞行过程中释放一炸弹，在 30 s后飞

43、行员听见炸弹落地的爆炸声 .假设此爆炸声向空间各个方向的传播速度都为320 m/s，炸弹受到的空气阻力可以忽略，取g=10 m/s2.则炸弹经 _s 时间落地，该飞机的飞行速度v0=_m/s. （答案保留两位有效数字）练习 11 如图 1-14 所示，有一质量为m 的小球 P 与穿过光滑水平板上小孔O 的轻绳相连，用手拉着绳子另一端，使小球在水平板上绕O 点做 半径为 a、角速度为的匀速圆周运动 .求：（ 1）此时绳上的拉力有多大？（ 2）若将绳子从此状态迅速放松，后又拉直，使小球绕O 做半径为 b 的匀速圆周运动 .从放松到拉直这段过程经历了多长时间？（ 3）小球做半径为 b 的匀速圆周运动时，绳子上的拉力又是多图 1-14图 1-15练习 12 如图 1-15 所示， a 为一固定放置的半径为R 的均匀带电球体， O 为其球心 己知取无限远处的电势为零时， 球表面处的电势为 U=1000 V 在离球心 O 很远的 O点附近有一质子b，它以 Ek 2000 eV 的动能沿与 O O 平行的方向射向 a以 l 表示 b 与 O O 线之间的垂直距离，要使质子 b 能够与带电球体 a 的表面相碰，试求 l 的最大值把质子换成电子，再求l 的最大值练习 13如图 1-16 所示，滑轮两边悬