押第15题 双曲线（新高考）（解析）

1、押第15题 双曲线双曲线是高考全国卷每年必考知识点,且均以客观题的形式进行考查,若为基础题,主要考查双曲线的几何性质,考查热点是双曲线的渐近线与离心率,若为较难题,一般常涉及直线与双曲线的位置关系、范围与最值问题,2020年全国卷以填空题形式考查双曲线,难度中等偏易,2021年全国新高考卷以填空题形式考查双曲线,难度中等偏易,预测2022年全国新高考卷以选择题形式考查双曲线的可能性较大,难度依然会保持中等偏易.1.双曲线的定义与方程(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出双曲线方程；(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合|PF1|

2、PF2|2a,运用平方的方法,建立与|PF1|PF2|的联系(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值,如果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程,可设有公共渐近线的双曲线方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)(0),再由条件求出的值即可2.双曲线的几何性质(1)注意双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0,b0)的实轴长是2a,不是a.(2)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率,在双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0,b0)中,离心

3、率e与双曲线的渐近线的斜率keq f(b,a)满足关系式e21k2.在求双曲线的离心率范围时要注意离心率.3.直线与双曲线的位置关系(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程,消元,得关于x或y的一元二次方程当二次项系数等于0时,直线与双曲线相交于某支上一点,这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时,用判别式来判定(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题,但需要检验1（2021新高考全国卷数学高考真题）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程_.【答案】【详解】解：由题可知，离心率，即，又，即，则，故此双曲线的渐近线方程为.故答案为：.2（2021

4、全国高考乙卷真题（文）双曲线的右焦点到直线的距离为_【答案】【详解】由已知，所以双曲线的右焦点为，所以右焦点到直线的距离为.故答案为：3（2021全国高考乙卷真题（理）已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_【答案】4【详解】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），故焦距.故答案为：4.4（2021全国高考甲卷真题（文）点到双曲线的一条渐近线的距离为（）ABCD【答案】A【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.故选：A.5（2021全国高考甲卷真题（理）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（）ABCD

5、【答案】A【详解】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A1（2022山东济南一中模拟预测）建在水资源不十分充足的地区的火电厂为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统（冷却塔），以使水可循环使用下图是世界最高的电厂冷却塔中国国家能源集团胜利电厂冷却塔，该冷却塔高225米，创造了“最高冷却塔”的吉尼斯世界纪录该冷却塔的外形可看作双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图：已知直线，为该双曲线的两条渐近线，向上的方向所成的角的正切值为，则该双曲线的离心率为_【答案】【详解】解：设一条渐近线向上的方向与虚轴向上的方向所成的角为，则，解得或（舍），即，故，所以

6、故答案为：.2（2022河北邯郸一模）已知点在双曲线的右支上，动点满足，是双曲线的右焦点，则的最大值为_.【答案】#【详解】动点满足，则点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆,设双曲线的左焦点为，由题知，则，当且仅当，三点共线时，等号成立，所以的最大值为，故答案为：3（2022河北模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，直线在第一象限交双曲线C右支于点A.若双曲线的离心率满足，且，则k的取值范围是_.【答案】【详解】设，由题可知，.，.又由，可知，解得.，.，依题意，.故答案为：4（2022河北石家庄二中模拟预测）已知双曲线的左焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，点在双曲线上，且，则双曲线

7、的离心率为_【答案】【详解】由题意，设，直线的方程为，与渐近线联立，可得的坐标为，即，代入双曲线方程可得，化简可得，故答案为：5（2022广东汕头二模）如图从双曲线（其中）的左焦点F引圆的切线，切点为T，延长，交双曲线右支于P，若M为线段的中点，O为原点，则的值为（用表示）_【答案】【详解】由图可知点在第一象限设是双曲线的右焦点，连接、分别为、的中点，又由双曲线定义得，故故答案为：（限时：30分钟）1已知双曲线的左、右焦点分别为、，过原点的直线l与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A、B，四边形的周长p与面积S满足，则该双曲线的离心率为_【答案】【详解】由题知，四边形的是平行四边形，联立解

8、得，又，即.由余弦定理可得，化简得，.故答案为：2已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们一个公共点，且，椭圆、双曲线的离心率分别为，则的最小值_【答案】【详解】由题意，可设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，由椭圆和双曲线的定义可知，则，又，由余弦定理可得，整理得，即， 则，所以.3已知椭圆和双曲线有公共的焦点，曲线和在第一象限相交于点P.且，若椭圆的离心率的取值范围是，则双曲线的离心率的取值范围是_.【答案】【详解】设椭圆，双曲线：，椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆离心率，双曲线离心率，如图，由椭圆定义可得：，由双曲线定义可得：，联立可得，由余弦定理可得：即，解得，因为，所以，可得，故，故答案为：

9、4已知双曲线的右焦点为F，若轴，的中点为P，点A，B为双曲线顶点，当最大时，点M恰好在双曲线上，则该双曲线的离心率为_.【答案】【详解】解：设，A为左顶点，B为右顶点.当最大时，最大.又，当且仅当，即为时取等号.此时点P的坐标为，点M的坐标为.将点M的坐标代入双曲线方程，得，得.当最大时，该双曲线离心率为.故答案为：.5已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过右支上一点P作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H若的最小值为3a，则双曲线C的离心率为_【答案】【详解】由双曲线定义知，则，所以，过作双曲线一条渐近线的垂线垂足为，交右支于点，此时最小，且最小值为，易求焦点到渐近线的距离为，即，所以，即，可

10、求离心率.故答案为：.6双曲线的两条渐近线的夹角为_.【答案】【详解】由题意，双曲线，可得两条渐近线方程为，设直线的倾斜角为，则，解得，根据双曲线的对称性，可得两见解析的夹角为.故答案为.7已知双曲线C：=1（a0，b0）的右焦点F关于它的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为_.【答案】2【详解】双曲线的右焦点为，渐近线方程为，设关于的对称点为，由题意可得，且，可得，代入可得，故，则离心率，故答案为：28已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，若C与直线有交点，且双曲线上存在不是顶点的P，使得，则双曲线离心率取值范围范围为_.【答案】【详解】双曲线C与直线有交点，则，解得，双

11、曲线上存在不是顶点的P，使得，则点在右支上，设与轴交于点，由对称性，所以，所以，所以，由得，所以，又中，所以，即，综上，故答案为：9写出一个同时满足下列性质的双曲线方程_中心在原点，焦点在y轴上；一条渐近线方程为焦距大于10【答案】（答案不唯一，写出一个即可）【详解】由中心在原点，焦点在y轴上知，可设双曲线方程为：由一条渐近线方程为知，即由知，即，则可取（此处也可取大于的其他数）又，则同时满足下列性质的一个双曲线方程为：故答案为：（答案不唯一, 写出一个即可）.10已知双曲线C的方程为，则其离心率为_【答案】【详解】由双曲线C的方程可得：所以，所以11如图，F1，F2是平面上两点，|F1F2|

12、10，图中的一系列圆是圆心分别为F1，F2的两组同心圆，每组同心圆的半径依次是1，2，3，点A，B，C分别是其中两圆的公共点请写出一个圆锥曲线的离心率的值为_，使得此圆锥曲线可以同时满足：以F1，F2为焦点；恰经过A，B，C中的两点【答案】5（或）（答案不唯一）【详解】因为，若过A，C两点，则由题意得，此时离心率若过B，C两点，则由题意得，此时离心率故答案为：5（或）（答案不唯一）12若双曲线经过点，其渐近线方程为，则双曲线的方程是_.【答案】【详解】由题意可知，若双曲线的焦点在x轴上,则可设，则且，联立解得,则双曲线的标准方程为；若双曲线的焦点在y轴上，则可设，则，且，此时无解，综上，双曲线的方程为.故答案为：13已知双曲线）的左右焦点分别是是双曲线右支上的两点，.记的周长分别为，若，则双曲线的右顶点到直线的距离为_.【答案】【详解】解：根据双曲线的定义，.所以，故双曲线右顶点，因为，所以在上，在上，即直线方程为：，所以双曲线的右顶点到直线的距离为故答案为：14双曲线的左、右焦点分别为，焦距为，以右顶点为圆心，半径为的圆与过的直线相切于点，设与的交点为，若，则双曲线的离心率为_.【答案】2.【详解】因为以右顶点为圆心，半径为的圆过的直线相切与点，A=，故可知