0关于图像斜率和面积的再思考

1、第 PAGE 3 页 共 NUMPAGES 3 页关于图像斜率和面积的再思考吴志山江苏省南通第一中学 226001Email: 电话要：图像的斜率和面积在我们利用图像解决问题的过程中有着十分重要的地位。实际教学过程中我们要让学生区分原点连线斜率与曲线切线斜率以及过某点割线斜率的区别，要能明确坐标轴物理量相乘所构建的物理量的意义，从而更好利用图像斜率和面积解决问题。关键字：图像 斜率 面积图像的斜率和面积在我们利用图像解决问题的过程中有着十分重要的地位，应用广泛，常能触发学生灵感，让学生产生“柳暗花明又一村”的感觉。但实际教学过程中学生却常常因为不去判断图像的斜率和面积

2、是否有意义，不区分不同情况下的斜率和面积，生搬硬套而引起错误。我们有必要更细致地从图线的意义入手，对不同类型图像的斜率及面积进行再思考。1 关于斜率的意义Btxt1OAP图 1x1一般情况下，图像斜率都是由纵坐标轴物理量与横坐标物理量相比来看斜率所表示的物理意义的，例如，位移时间x-t图的斜率表示质点运动的速度，速度时间v-t图的斜率表示质点运动的加速度等等。对于图像曲线上的一个点，我们用的比较多的是过该点切线的斜率，实际上，对图像上的一个点有三种线的斜率值得关注，分别是该点与原点连线斜率、该点切线斜率以及过该点割线的斜率。1.1三种线的斜率【案例1】如图1所示x-t图中，OP为原点与P点的连

3、线，BP为过P点割线，AP为过P点的切线，这三条线的斜率分别表示什么物理意义？BIUI1OAP图 2U1【分析】P点对应纵坐标表示t1时间内质点的位移，所以原点的连线OP的斜率v=x1/ t1则表示在0到t1时间内质点的平均速度；同理，BP为图像上过P点割线，它的斜率应该表示BP对应的时间内质点的平均速度；当B点与P点无限接近时，割线将变成过P点的切线AP，其斜率即为质点在P点的瞬时速度，从切线的斜率随时间不断变大我们还能看出质点速度在不断增加。这三条线的斜率都对应着相应的物理量，有明确的物理意义，这里OP斜率是表示从0开始计时的平均速度，是BP斜率的特殊值，切线斜率也是BP斜率取极限的情况。

4、若将纵坐标换成速度v，则这三条线斜率将对应于平均加速度和瞬时加速度，仍然具有明确的物理意义。若图线是过原点的直线，则这三线合一，平均值与瞬时值相等。1.2原点连线斜率与切线斜率的应用区别【案例2】若将图1坐标轴换成电压和电流，该图就成了伏安曲线如图2，斜率应该表示电阻，这三条线的斜率是否都可以表示电阻呢？Btxt1OAP图 3x1【分析】由电阻的定义R=U/I我们知道，P点对应的电阻等于其对应电压除以对应电流，在图像中应该用P点与原点连线的斜率即OP的斜率表示。随着电压U、电流I的增加，OP的斜率在变大，也即对应的阻值在增加，符合实验事实。曾经有一段时间，我们的学生（包括一些老师或资料上）在研

5、究电阻U-I图像时，直接从x-t（如图1）或v-t图像进行迁移，用过P点的切线AP的斜率来表示P点对应的电阻（就像如图1中用AP斜率表示P点瞬时速度），并且因为切线AP的斜率也随U和I的增大而变大，好像也能反映电阻随电压、电流增大而变大的事实，而根据电阻的定义，对于纯电阻元件伏安曲线图像，P点对应的电阻瞬时值只能用该点的瞬时电压值除以该点瞬时电流值，也即OP线的斜率。在恒定电流电路中，对于纯电阻元件，切线AP的斜率（对应于动态电阻）、一般割线BP的斜率并没有太大意义。另外，在一个曲线图像中，原点连线斜率与曲线切线斜率以及过某点割线斜率会随着条件的变化，原本有意义的斜率还可能变得没有什么意义。若

6、我们将图1和图2上OB这一段曲线擦除，对图2来说OP斜率仍然表示P点的电阻不变；但对图1，擦去后如图3，物体t=0时的初始位移不一定是0，原点连线 OP的斜率就失去了物理意义。1.3原点连线斜率与切线斜率的应用选择除了熟悉的x-t、v-t、U-I等图外，学生还要经常面对一些不太熟悉的新图像，对图像中某点分析时是应该选择切线斜率还是原点连线斜率呢？PTO图 4BC通过以上的分析我们发现，x-t、v-t等图线的纵坐标物理量相对横坐标物理量有时空积累关系（如位移、速度的变化需要经过一段时间），纵坐标物理量可以相对横坐标物理量求平均值，图线也可以用割线斜率表示平均值，当求割线斜率的横坐标物理量差值趋近

7、于零时（如图1中B、P无限接近时），割线斜率就变成了切线斜率，也就是说表示该时刻或该位置的瞬时值应该用该点切线斜率。除以上x-t、v-t图外，常见的还有动能位移EK-x图（斜率表示合外力）、机械能位移E机-x图（斜率表示除重力、弹簧弹力外的外力合力）、电势距离-x图（斜率表示场强）、磁通量时间-t图（斜率表示电动势）等。还有一类图像就象U-I图，纵坐标物理量相对横坐标物理量没有积累关系，只有瞬间对应关系，纵坐标物理量相对横坐标物理量取平均值没有什么意义，切线斜率也就不代表瞬时值，图像上点瞬时值用该点与原点连线的斜率来表示。常见的这种图像还有电量电压Q-U图（斜率表示电容）、理想气体的压强温度P

8、-T图（斜率与体积倒数成正比，如图4为等压变化，体积VCVB，但图像切线斜率为0，无意义）、体积温度V-T图（斜率与压强倒数成正比）等。在实际解答问题时，我们要让学生从图像的物理意义入手，解读坐标轴物理量间的关系，选择正确的斜率进行应用。2 关于图像面积的意义物理图像的图线与横轴所围的面积的值常代表另一个物理量的大小，有意识地利用求面积的方法，解决有关问题，可使有些物理问题的解答变得简便。判断一个图线所围面积是否有意义，我们一般是看两坐标轴物理量的乘积是否是有意义的物理量，如v-t图中，图像与轴所夹的面积代表位移（s=vt），F-s图像与s轴所夹的面积代表功（W=Fscos）等。与前面图像斜率

9、问题相似，并不是只要纵横坐标物理量乘积能构建新的物理量，面积就有意义。IUI1OA图 5U12.1关注坐标轴物理量乘积的物理意义【案例3】有学生发现，电阻的伏安特性曲线U-I图如图5，图像中A点对应的功率P=U1I1，图线与横轴包围的面积却是U1I1/2，为什么实际功率与图像面积不相等呢？【分析】通过分析我们比较熟悉的v-t图像，我们发现，最初我们是从匀速直线运动的v-t图像发现图线包围面积等于质点运动的位移，在一般的v-t图中我们是通过取微元的方式，将一般运动分割成微小的匀速直线运动求面积，再进行叠加而得出图像面积等于质点运动位移的结论，也就是说纵轴物理量在横轴物理量上叠加累计的结果是面积，

10、如加速度a-t图面积表示速度v、电流I-t图面积表示电量q、力F-t图面积表示冲量I、功率P-t图面积表示功W、气体压强P-V图面积也表示功W、电场强度E-x图面积表示电势差等等。图6l1l2lO 图5中功率P=U1I1是A点对应的瞬时功率，并不需要U在I上的积累叠加，我们需要关心的仅是该点对应的电压U1和电流瞬时值I1及其乘积，并不关心O点到A点间曲线的形状（图像面积与其图线形状有关，案例中U1I1/2也只是特殊值），所以这里的图像面积并不能表示一个仅对应于图像上点的瞬时值，这类图像虽然坐标轴物理量能构建新的物理量，但其面积没有实际意义。2.2坐标轴选取要考虑面积累积意义【案例4】蚂蚁离开巢

11、沿直线爬行，它的爬行速度与到蚁巢中心的距离成反比，当蚂蚁爬到距蚁巢中心l1=1m的A点处时，速度为v1=2cm/s，试求蚂蚁继续由A点爬到距蚁巢中心l2=2m的B点处时需要多长的时间？该题中蚂蚁爬行的速度随时间不是线性变化，因此在每段路程内的平均速度不同，所以用常规的解析法很难解决该问题，学生们想到了用图像来解答，但却因为所选坐标轴不同而得到了不同结果。【生1解答】蚂蚁运动的速度v与蚂蚁离巢的距离l成反比，即，作出图像如图6所示，为一条通过原点的直线。因为图像坐标轴可以构建的物理量为时间（），所以图像上梯形的面积就是蚂蚁从A到B的时间：，由比例关系可以求出v2=1cm/s代入可得t=75s。图

12、7v2v1vO 【生2解答】蚂蚁运动的速度v与蚂蚁离巢的距离l成反比，作出图像如图7所示，为一条通过原点的直线。因为图像坐标轴可以构建的物理量为时间的倒数（），所以图像上梯形的面积就是蚂蚁从A到B的时间的倒数：，由比例关系可以求出v2=1cm/s代入可得。【分析】两种解答均是利用图像面积来构建与要求物理量t相关的量后求解，好像没有不妥，但如前所述，利用图像面积求解实际上是利用微元累积而成，图6所示面积微元量为t，累积后为t1+t2+t3+，等于t总；图7所示面积微元量为，累积后为，很明显该值并不等于，也即不等于，所以生2解答有误。从图像面积应用的案例我们可以看到，图像面积的应用实际是建立在微元后累积求和的基础上的，应用时首先要理解坐标轴物理量的意义，看图像坐标轴物理量之间乘积是否能构建新的物理量；其次，还要注意构建的物理量相对与横坐标是否有累积求和关系，如前例U-I图中新构建的功率P相对电流I就没有积累关系，不能用图像面积求解；还有，就是要注意有些构建量虽然有积累关系，但积累结果可能并不是我们所需要的量（如案例4所述），在必要时要