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1、第四节一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点 函数的单调性与 曲线的凹凸性 第三章 1一、 函数单调性的判定法若定理 1. 设函数则 在 I 内单调递增(递减) .证: 无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明 在 I 内单调递增.在开区间 I 内可导,证毕2例1. 确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为3说明: 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如,2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .例如,4例2. 证明时, 成立不等式证: 令从而因此且证5* 证明令则从而即6定义 . 设函数在区间 I 上连续 ,(1) 若恒有则称图形是凹

2、的;(2) 若恒有则称图形是凸的 .二、曲线的凹凸与拐点连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点 .拐点7定理2.(凹凸判定法)(1) 在 I 内则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ;(2) 在 I 内则 f (x) 在 I 内图形是凸的 .证:利用一阶泰勒公式可得两式相加说明 (1) 成立;(2)设函数在区间I 上有二阶导数证毕8例3. 判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是向上凹的.说明:1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在 两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变 .在其两侧二阶导数不变号,9例4. 求曲线的拐点

3、. 解:不存在因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线的拐点 .凹凸10对应例5. 求曲线的凹凸区间及拐点.解: 1) 求2) 求拐点可疑点坐标令得3) 列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸 ,点 ( 0 , 1 ) 及均为拐点.凹凹凸11内容小结1. 可导函数单调性判别在 I 上单调递增在 I 上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点12思考与练习上则或的大小顺序是 ( )提示: 利用单调增加 ,及B1. 设在13 .2. 曲线的凹区间是凸区间是拐点为提示:及 ; ;14作业 P152 3 (2),(6) ; 5 (4) ; 9 (3); 10 (3) ; 14 15有位于一直线的三个拐点.1. 求证曲线 证明：16令得从而三

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