物理-经典力学和量子力学中的谐振子

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业目 录摘要（关键词）1Abstract（Key words） 1前言11.经典力学中的谐振子11.1简谐振子 11.2受驱谐振子 21.3阻尼谐振子 31.4受驱阻尼谐振子 31.5数学描述 31.6经典谐振子的计算 42.量子力学中的谐振子 52.1一维谐振子 52.1.1哈密顿算符和能量本征态 52.1.2 阶梯算符方法 62.1.3自然长度和自然能量82.2三维谐振子 82.3谐振子的相干态 92.3.1降算符的本征态92.3.2相干态的性质 103.经典谐振子和

2、量子谐振子的比较 103.1能级103.1.1能级取值点 103.1.2零点能 103.2波函数11参考文献 13致谢 13经典力学和量子力学中的谐振子摘要：谐振子在经典力学和量子力学中都是比较重要的问题，原因在于简谐振动广泛存在于自然界中，而许多体系都可以看成谐振子。本文着重介绍了经典力学中谐振子的的几种类别及其相关物理量的求解和量子力学中一维谐振子、三维谐振子以及相干态的相关知识，最后对经典和量子两个范畴内的谐振子进行了比较。关键字：谐振子；经典力学；量子力学；相干态Abstract：Harmonic oscillator is important in both classical an

3、d quantum mechanics. The reason is that simple harmonic oscillation widely exists in nature, and many systems can be viewed as harmonic oscillator system. In this paper, we mainly introduce the solution of the several categories and their relating physics terms of oscillator in classical mechanics a

4、nd the relevant property of one-dimensional harmonic oscillator, the three dimensional harmonic oscillator, and its coherent state in quantum mechanics, finally compare harmonic oscillator in classical mechanics with that in quantum mechanics.Key words：Harmonic oscillator；Classical mechanics；Quantum

5、 mechanics；Coherent states前言何为谐振？在运动学就是简谐振动，该振动是物体在一个位置附近往复偏离该振动中心位置（即平衡位置）进行运动，在这个振动形式下，物体受力的大小总是和他偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。何为谐振子？把振动物体看作不考虑体积的微粒或者质点的时候，这个振动物体就叫谐振子。1.经典力学中的谐振子经典力学中，一个谐振子就是一个系统，当其从平衡位置发生位移，就会受到一个正比于位移x的恢复力F，并遵守胡克定律：其中k是一个大于零的常数，由系统决定。如果F是系统所受到的唯一的力，则系统被称作简谐振子。而其进行的往复运动称作简谐运动正中央为

6、平衡点的正弦或余弦的振动，且振幅与频率都是常数。若同时存在一个正比于速度的摩擦力，则会存在阻尼现象，那么这种谐振子称为阻尼振子。在这种情况下，其振动频率小于无阻尼情况的振子，且振幅随着时间减小。或者，若同时存在一个与时间相依的外力，该谐振子称为受驱振子。1.1简谐振子简谐振子没有驱动力，也没有摩擦，所以合力单纯为： (1.1.1)利用牛顿第二定律，有： (1.1.2)而且加速度a等于x的二次微分导数，得： (1.1.3)若定义，则方程可以写为： (1.1.4)又因为： (1.1.5)然后代回（1.1.4）式，得到： 对方程积分，得： (1.1.6)其中K是积分常数，设，得到： (1.1.7)再

7、对方程积分，结果（包括积分常数）为： (1.1.8)并有一般解为： (1.1.9)其中振幅以及相位可过初始条件来决定。另外也可以将一般解写成： (1.1.10)其中的值与（1.1.9）式相比，偏移了；一般解又可以写作为： (1.1.11)其中与为透过初始条件决定的常数，以替代前面形式的与。其振动频率则为： (1.1.12)动能为： . (1.1.13)以及势能为： (1.1.14)所以系统总能为定值： (1.1.15)1.2受驱谐振子一受驱谐振子满足如下非齐次二阶线性微分方程 ， (1.2.1)其中A0是驱动振幅，是驱动频率，针对的是一弦波式的驱动机制。这样的系统出现在交流LC（电感L-电容C

8、）电路以及理想化的弹簧系统（没有内部力学阻力或外部的空气阻力）。1.3阻尼谐振子阻尼谐振子满足如下二阶微分方程 ， (1.3.1)其中是阻尼常数，满足关系式。满足此方程的一个例子为置于水中的加权弹簧，假设水所施的阻尼力与速度v呈线性比例关系。阻尼谐振子的频率为： (1.3.2)其中 （1.3.3） 1.4受驱阻尼振子受驱阻尼振子满足方程 。 （1.4.1）其一般解为两个解的和，一个为暂态解（ 无驱动阻尼谐振子的齐次常微分方程的解），与初始条件相关；另一个为稳态解（非齐次常微分方程的特殊解），与初始条件无关，只与驱动频率、驱动力、阻尼力有关。稳态解为： （1.4.2）其中 （1.4.3）为阻抗或

9、线性响应函数的绝对值 （1.4.4）而 （1.4.5）为相对于驱动力（相位定为0）的振动相位。由上述关系式可以看出，当在某特定驱动频率时，振子振动的振幅达到最大。这个特定的驱动频率为： （1.4.6）此时，产生的现象称之为（位移上的）共振。总结来说，在稳态时，振动频率等同于驱动力的频率，但振动与驱动力在相位上有偏移，且振幅大小与驱动频率相关；当驱动频率与振动系统偏好（共振）频率相同时，振幅达到最大。1.5完整数学描述多数谐振子，基本上满足以下的微分方程： （1.5.1）其中t是时间，b是阻尼常数，是本征角频率，而代表驱动系统的某种事物，其振幅为，角频率为，x是进行振荡的被测量量，可以是位置、电

10、流或其他任何可能的物理量。角频率与频率f有关，关系式为 （1.5.2）经典振子描述中的重要术语有：振幅：偏离平衡点的最大的位移量。周期：系统完成一个振荡循环所需的时间，为频率的倒数。频率：单位时间内系统执行的循环总数量（通常以1赫兹 = 1/秒为量度）。角频率： = 2f相位：系统完成了循环的多少（开始时，系统的相位为零；完成了循环的一半时，系统的相位为）。初始条件：t = 0时系统的状态。1.6经典谐振子的计算一质量为m的质点沿ox轴运动，它所受到的回复力可从势函数的微商得到。势函数为： （1.6.1）力的表达式为： （1.6.2）i是沿ox轴的单位矢量。运动方程可以写成： （1.6.3）

11、令 （1.6.4）（1.6.3）式可变为： （1.6.5）方程（1.6.5）的解具有下列形式： （1.6.6） 它表示一个正弦运动，其振幅为，相位为，角频率为，相应的频率是： （1.6.7） 只与质点的质量和恢复力常数有关，而振幅和相位都与运动初始条件有关。 振子的总能量E是： （1.6.8）动能和势能的表达式为： （1.6.9） （1.6.10）显然总能量在运动中是不变的，即 （1.6.11）且由（1.6.9）（1.6.10）式知：当时，势能有最小值0，而此时动能具有最大值；而当时，势能具有最大值，而此时动能值最小为0。进一步，对于经典振子： （1.6.12）经典振子的速度v为; （1.6.

12、13）利用，且已知： （1.6.14） （1.6.15）其中为振幅，平衡点为原点。当时，由（1.6.15）式知此时经典振子的速度v有最大值，即经典振子在处逗留时间最短，出现的几率最小。2.量子力学中的谐振子2.1一维谐振子2.1.1哈密顿算符与能量本征态和经典力学中的一样，一维谐振子的总能量也为： (2.1)二一维谐振子的哈密顿量为： (2.2)其中x为位置算符，动量算符。(2.2)式中第一项代表粒子动能，而第二项代表粒子处在其中的位能。为了要找到能阶以相对应的能量本征态，我们必须了解所谓的“定态薛定谔方程”： . (2.3)我们可以用幂级数方法在座标基底下解这个微分方程。可以得到有一族的解：

13、 (2.4)其中。函数为厄米多项式： 所以，我们得到的谐振子的能级为：， (2.5)由(2.5)式。我们可以得知以下几点：首先，能量是量子化的，只有离散的值即乘以1/2, 3/2, 5/2。这是许多量子力学系统的特征。再者，其基态能量（当n= 0 时的能量）不为零，即 这是粒子波动性的必然结果，这一结果表明静止的波是不存在的。在基态中，根据量子力学，我们知道一振子执行所谓的“零振动” 且其平均动能为正值。最后，谐振子的能阶值是等距的，与波尔模型和盒中粒子问题不同。引入厄米多项式，我们最后得到谐振子对应于能量本征值的能量本征函数为： (2.6)我们会注意到基态的概率密度集中在原点。这表示粒子多数

14、时间处在势阱的底部，合乎对于一几乎不带能量状态的预期。当能量增加时，概率密度变成集中在“经典转向点”，其中状态能量等同于势能。这样的结果与经典谐振子相一致；经典的描述下，粒子多数时间处在（或更有机会被发现在）转向点，因为在此处粒子速度最慢。因此满足对应原理。2.1.2阶梯算符方法上述的幂级数解法虽然直观，但是却显得相当复杂。阶梯算符方法允许我们不用解微分方程，就能直接求得能量本征值。首先，我们定义算符与其伴随算符： (2.7)算符并非厄米算符，它与伴随算符并不相同。算符与有如下性质：在推导形式的过程中，我们已用到算符x与p（代表可观测量）为厄米算符这样的事实。这些可观测量算符可以被表示为阶梯算

15、符的线性组合： (2.8)x与p算符遵守下面的等式，称之为正则对易关系： . (2.9)利用上面关系，我们可以证明如下等式： (2.10)于是引入一个厄米算符 (2.11)即： (2.12)既然与有简单的线性关系，它们必可同时对角化。记的一个本征值为n的本征态为： (2.13)则 ， (2.14)表示态的能量本征值为： (2.15)这与前段所给的能谱相符合。这方法也能够用来很快地找到量子谐振子的基态波函数。只要将消灭算符作用于基态，变为： (2.16)所以， (2.17)经过归一化，这个方程的解为： (2.18)2.1.3自然长度与自然能量量子谐振子拥有自然长度与自然能量两个自然尺度，可以用来

16、简化问题。这可以透过无量纲化来实现。如果我们以为单位来测量能量，以及为单位来测量距离，则薛定谔方程变成： (2.19)且能量本征态与本征值变成： (2.20) (2.21)2.2三维谐振子三位谐振子的能量本征值方程为： （2.22）其中 （2.23）为谐振子的势。引进无量纲参数、，并定义 （2.24）则能量本征值方程简化为： (2.25)设，分离变量得到的整个体系的能量本征函数为： （2.26）其中，。谐振子的能量本征值为： （2.27）由此可见，三位谐振子的基态能量。2.3谐振子的相干态相干态是量子力学中量子谐振子能够达到的一种特殊的量子状态。量子谐振子的动力学性能和经典力学中的谐振子很相似

17、。1926年埃尔温薛定谔在解满足对应原理的薛定谔方程时找到的第一个量子力学解就是相干态。2.3.1降算符的本征态做一维运动的粒子，坐标与动量的差方平均值满足下列不确定关系：， （2.28）上式表明粒子的坐标和动量不能同时取确定值，且两者的差方平均值之积不小于。也就是说，它表明只有在某个态上这种误差取最小值，即最小不确定态，它是不确定程度的最小的状态，就是相干态。相干态也可以理解为最接近经典状态的量子状态。对于线谐振子而言，在粒子数表象中，基态下的不确定关系为： （2.29）而是降算符的本征态，相应的本征值为0，即 （2.30）于是，可以推测的本征态为最小不确定态。设降算符满足本征方程： （2.

18、31）降算符不是厄米算符，一般情况下，它的本征值z是复数。在粒子数表象中，将其本征矢向的本征矢展开： （2.32）为了求出展开系数，将上式代入（2.31）左端，得到： （2.33） 将其与（2.31）式右端比较，得到： （2.34）继而得到展开系数的递推关系： （2.35）将上式代入（2.32）式，得到： （2.36）再利用归一化条件定出，最后得到降算符的本征态为： （2.37）2.3.2相干态的性质a.相干态满足b.相干态不是粒子数算符的本征态，但有确定的粒子数。c.在相干态中，出现的频率为 d.不同的相干态一般并不正交，且满足 其中与为降算符的两个不同的本征值。e.全部（无限多）相干态构成

19、完备系，即 3.经典谐振子与量子谐振子的比较经典谐振子与量子谐振子有着本质的区别，下面将逐一进行比较：3.1能级3.1.1能量取值点由（1.6.9）（1.6.10）式可知经典谐振子的能量取值是连续的，而由（2.5）式可知量子谐振子的取值不是连续的，是分立的，即是量子化的，其中n为量子数。而且量子谐振子的能级是等间距的，间距是。能量取分立值是由于微观粒子具有波粒二象性这一量子特征。3.1.2零点能由（1.6.9）式可知当时，经典谐振子的最低动能为零，而由（2.5）式可知，量子谐振子在基态的能量不为零。即当n=0时，,被称为零点能。它与无限势阱总粒子的基态能量（ n=1,2,3.）不为零是很相似的

20、，这是一种量子效应,也是由于微观粒子具有波粒二象性。同样，也可用不确定度关系进行定性说明。利用坐标和动量的不确定关系，可得：谐振子的能量不确定度关系：使极小的的值可由极值条件，得到：可求得，因此谐振子的零点能为：可见谐振子的基态是谐振子问题的最小不确定态，这是由其量子本性所决定的。 3.2波函数经典力学中，谐振子表现为质点沿一条直线的振动，它没有轨道的概念，没有波函数。而量子力学的谐振子就用波函数来描述。在量子力学中波函数本身无意义，但波函数的绝对值平方与粒子在空间某点出现的几率成正比。首先我们以基态进行讨论。对于量子谐振子的基态： ， 其相应的几率密度为：容易得知其在x=0处有最大值：，即在原点找到粒子的概率最大，由于能量，可知此时的经典回转点为。根据经典力学，能量为E的谐振子所能达到离平衡位置最远的距离是称为谐振子的经典回转点。a、由于经典谐振子在x=0处势能最小，并由（1.6.9）（1.6.10）式可知，此时的动能必定最大（机械能守恒），即谐振子的速度最大，见（1.6.11）式，振子在x=0处逗留时间最短，因此经典谐振子在x=0处的几率最小。而按量子力学计算，由上述关系知，在x=0处的几率却是最大的（见图1）.经典力学中与量子力学中刚好相反。b、当经典谐振子的能量为时，经典回转点，经典振子只