高考数学一轮总复习课件教案 第八章 第3节 圆与方程

1、圆与方程考试要求 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.凜洞顾教材I?夯卖基础蒸知识梳理1圆的定义和圆的方程.定义平面内到 定点的距离等于 定长 的点的轨迹叫做圆方程标准(xa) +(y_b) r (r0)圆心C(o, b)半径为r一般x2-y2-DxEy-F=0(D2+E2-4F0)-充要条件：D2+E2_4F0(DE圆心坐标：厂亍 V半径 r=jD2+E2-4F-考点聚集突破2点与圆的位置关系平面上的一点M(x0, y0)与圆C： (xa)2+(yb)2=r2之间存在着下列关系：|MC|rM在_圆外_,即(x0a)2+(y0 b)2r2oM在圆外；|MC| = roM在圆上即(

2、x0a)2+(y0 b)2=r2oM在圆上；|MC| VroM在 圆内,即(x0a)2+(y0 b)2Vr2oM在圆内.微点提醒圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2+y2=r2.以A(x1, y1), B(x2, y2)为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2) + (y y 1)(y y2) = 0.基础自测疑误辨析教材衍化2.(必修2P124A1改编)圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标和半径分别是().A.(2, 3), 3B.(-2, 3), JC.(2, 3), 13D.(2, 3), a/13解析 圆的方程可化为(X2)2+(y+3)2= 13,所以圆心坐标是(2, 3),半径

3、r=y/13.答案D(必修2P130例3改编)过点A(1, -1), B(1, 1),且圆心在直线兀+尹一2 = 0上的圆的 方程是()A.(x_3)2+(y+1尸=4B.(x+3)2+(y-1)2 = 4C.(x-1)2+(y-1)2 = 4D.(x+1)2+(y+1)2 = 4解析 设圆心C的坐标为(a, b),半径为r.因为圆心C在直线x+y2 = 0上,所以b = 2 a.又|CA|2 = |CB|2,所以(a1)2 + (2a+l)2 = (a+l)2 + (2aI)2,所以a=1, b = 1. 所以r=2.所以方程为(x l)2 + (y 1)2 = 4.答案C考题体验(2019

4、日照调研)若点(1, 1)在圆(xa)2 + (y+ a)2 = 4的内部，则实数a的取值范围是( )A.( 1, 1)B.(0, 1)C.(00, 1)U(1,+8)D.a=1解析因为点(1,1)在圆的内部，所以(1 a)2 + (1 + a)24，所以一1a0),F=0,则 1 + 1+D+E+F=O,解得 D=2, E=0, F=0, 4+2D+F=0,故圆的方程为x2 +y22x=0.法二 设 0(0, 0), A(l, 1), B(2, 0),则 koA = , kAB= l,所以 k0AkAB= .即Q4丄4B,所以043是以角力为直角的直角三角形，则线段是所求圆的直径，则圆心为C

5、(l, 0),半径r=OB = l,圆的方程为(X l)2+j/2= 1,即x2 + j22x=0.法一：所求圆的圆心在直线兀+y=0上,.:设所求圆的圆心为(a, a).又所求圆在直线xy3 O上截得的弦长为圆心(q, q)到直线xy3 O 的距离宀迦孑，.护+)=/,即一+|=2cz2,解得 a1,圆(的方程为(工一l)2 + (y+ 1)2 = 2.法二 设所求圆的方程为(xa)2 + (yb)2=r2(r0),则圆心(q, b)到直线xy3 =即2/ = (q方一3尸+ 3.由于所求圆与直线兀一尹=0相切，.(ab)2 = 2r2. 又丁圆心在直线x+y=O上，.a+b = 0.厂a=

6、.联立，解得1,Z=J2,故圆C的方程为(x 1)2 + (y+1)2 = 2./ D f 法三 设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心为込、込,半径厂=D2+E24F,F) F:圆心在直线兀+尹=0上，.*込=0,即q+e=o,-.又圆(与直av-v = 0相切，D , E边=冷+衣_仿,即(D-E)2 = 2(D2 + E2-4F), D2 + E + 2DE-8F= 0.：.(D-E+6)2+12 = 2(D2+E2-4F),D 一2,联立，解得=2,:F=0,故所求圆的方程为兀2 +尹22兀+2尹=0, 即(xl)2 + (y+l)2 = 2.答案 (1)x2+y2-2

7、x=0 (2)(x1)2+(y+1)2 = 2规律方法 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方 程有两种方法：几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆 的三个性质：圆心在过切点且垂直切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上； 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.( 1 )2【训练1】若圆C： / +卜+亦的圆心为椭圆M： F +砂2=的一个焦点，且圆C经过M的另一个焦点，则圆C的标准方程为.(2)(2018-枣庄模拟)已知圆M与直线xy=0及xy+4=0都相切，且圆心在直线尹=x+2上，则圆M的标

8、准方程为.(1 ) H 11解析(1)V圆C的圆心为0,刃讣舟1=石2,加=空又圆C经过M的另一个焦点，则圆C经过点(0, 1),从而n=4.故圆C的标准方程为x2+(y+1)2=4.(2)圆M的圆心在y=x+2上,设圆心为(q, 2a),圆M与直线xy=0及xy+4 = 0都相切，圆心到直x y=0的距离等于圆心到直线xy+4 = 0的距离,即如2| |2q+2|2，解得q=0,考点二与圆有关的最值问题 A多维探究角度1斜率型、截距型、距离型最值问题【例21】 已知实数兀，尹满足方程x2+y24x+1 =0.求三的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值； 求x2+y2的最大值和最小值.

9、解原方程可化为(x-2)2+y2 = 3,表示以(2, 0)为圆心，羽为半径的圆.(1於的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设=乩 即y=kx.当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值，此时泾+二书解得A?=a/3(如图1)yx可看作是直线在尹轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值，此时匕穿=书，解得b=2环(如图2).所以尹一兀 的最大值为一2+召，最小值为一26.-兀2+护表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连 线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3).又圆心到原点的距离为寸(2-0)2+(0-0)2 = 2,所以x

10、2+y2的最大值是(2+书尸=7+4书，x2+j2的最小值是(2书Y = 74书.规律方法 把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形 结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见：(1)形如m= 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；xa形如m=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如m = (xa)2 + (yb)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.角度2利用对称性求最值【例2 2】已知圆C1： (x2)2+(y 3)2= 1,圆C2： (x3)2+(y 4)2 = 9, M, N分别 是圆Ci，C2上的动点，P为x轴上的动点，则P

11、M + PN的最小值为() A.5a/24B.a/171-C.6-22D.y/17解析 户是兀轴上任意一点，则pm的最小值为fG|1,同理尸別的最小值为pc2 . .-3,则PM + PN的最小值为尸G| +尸C2|4.作Ci关于x轴的对称点C1(2, -3).所以|PC11 + |PC2| = |FCf| + PC22|CfC2| = 52,即尸M + 尸別= PC11 + IPC2I4252 -4.答案A规律方法 求解形如|PM + |PN(其中M, N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值 问题的基本思路：“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；“曲化直”,即将折线段之和转化为同

12、一直线上的两线段之和，一般要通过对 称性解决.【训练2】(1)设点尸是函数y=-)4(x-lf图象上的任意一点，点0坐标为(2s a 3)(q匸R),则PQ的最小值为(2)已知力(0, 2),点 F 在直线 x+y+2 = 0,点 0 在圆 C： x2+y24x2y=0 , 则|4| + PQ的最小值是解析（1）函数y的图象表不圆（兀一l）2+y2x 2q ,=4在兀轴及下方的部分，令点0的坐标为（兀,尹）,贝卅_ a LP=Q3,得j=2_3,即x2y6 = Q,作出图象如图所示，=2,所以直线x由于圆心（1, 0）到直线兀一2y6 = 0的距离d2y6 = 0与圆（兀一l）2+y2=4相离

13、，因此尸的最小值是书一2.(2)因为圆C： x2+y2-4x2y=09故圆C是以C(2, 1)为圆心，半径r=5的圆 设点A(0, 2)关于直线x+y+2 = 0的对称点为A(m, n),m-Q , n2 ,+二-+2 = 0, %=_4故L-2解得n=-2 故才(f -2)-m01，连接川C 交圆 C 于 0,由对称性可PA + PQ = ArP + PQAfQ = AfC-r=25考点三与圆有关的轨迹问题【例3】已知圆x2+y2 = 4上一定点&2, 0), B(1, 1)为圆内一点，P, 0为圆上的动点.求线段/P中点的轨迹方程；若ZPB0=9O,求线段P0中点的轨迹方程.解(1)设/P

14、的中点为M(x, y),由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x-2, 2y). 因为卩点在圆x2 +y2 = 4上 所以(2x 2)2 + (2y)2二丄故线段/P中点的轨迹方程为(x1)2+y2=1(x#2).设P0的中点为N(x,尹).在RtPBQ中，|PN = IBN.设O为坐标原点，连接ON,则ON丄PQ, 所以OP2 = ON2+pn2 = on2+bn2, 所以x2 +2+(x 1)2+(y1)2 = 4. 故线段PQ中点的轨迹方程为 x2+y2一x一y一 1=0.规律方法 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；定义法，根据

15、圆、直线等定义列方程；几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.【训练3】已知过原点的动直线/与圆Ci： x2+y2-6x+5 = 0相交于不同的两点B. 求圆C的圆心坐标；(2)求线段/B的中点M的轨迹C的方程.解(1)由 x2+y2 6x+5 = 0 得(x3)2+y2 = 4, 所以圆G的圆心坐标为(3, 0).(2)设M/(x, y),因为点M为线段/B的中点，所以(J/丄AB,所以 kCxMkAB= 1,当详3 时可得土1，整理得x_I +2=4,-又当直线/与兀轴重合时，M点坐标为(3, 0),代入上式成立. 设直线/的方程%

16、y=kx，与x2+y2-6x+5 = 0联立， 消去y得：(l+k2)x2 6x+5 = 0.CCC 4令其判别式/ = ( 6)2 4(l+/)X5 = 0,得此时方程为|x26x+5 = 0?解上式得兀=丁，因此*xW3. 所以线段48的中点M的轨迹方程为卜j + J2=4ljX3 反思与感悟思维升华确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方 法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.易错防范求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个 独立方程.熟练掌握配方法，能把圆的一般方程化为标准方程.本节内容结束1判断下