材料力学教材(PDF)_cl05b

1、” b +yBTTq/y=-2E(x 価 + 612)7q o l360将上述结果代入式（e）、式分别求得转角方程和挠曲线方程如下e=y=需(15x 4 - 30 厂x 2+7l 4)爲a2 -心2 -厂)积分法的优点是可以求得转角和挠度的普遍方程。但工程上一般只需确定某 些特定截面的转角和挠度，积分法就显得过于累赘。为此，将梁在某些简单载荷 作用下的变形列入表5-6中，以便直接查用；而且利用这些表格，使用叠加法， 还可以较方便地解决一些弯曲变形问题。y=MX(l 2 - x2)M el6EIM el3EIM el29壬Ellx = 2 yl/2M el216EIy = MX(l2 - 3b2

2、 - x2) 6EIl(OW xWa)=M e(l Xy 6EIl (3a2 2lx + x2)(axl)&AMe6EIl(l2 3b2)eBMe6EIl(l2 3a2)表5-6梁在简单载荷作用下的变形序 号简图及载荷挠曲线方程端截面转角最大挠度17/7rlBM e x2 y = 2EFOb = ML B EIM el2 yR =e2EIAObyB：2/L.lJ Fy = Fei-町6EIOb =巴B 2EIfL =茹AOb JbyB-.e =必B 6EIql4 yB =苗第十节叠加法求梁的变形从上面的例题可以看出，梁的挠度、转角与载荷成线性关系。在小变形条件 下，可以认为梁上某一载荷引起的变

3、形，不会改变其它载荷的作用性质。于是, 当梁上有几种载荷共同作用时，可以分别求 出每一种载荷单独作用下引起的变形，然后 将求得的变形进行叠加，就得到这些载荷共 同作用下的变形，这就是计算弯曲变形的叠加法。应该指出，叠加法是一个普遍使用的 方法，在线弹性、小变形情况下，只要物理 杲与构件上的载荷成线性关系，都可以用叠 加原理来计算，例如计算梁的内力、支座反 力和应力等。下面通过例题说明叠加法在计算弯曲变形时的应用。例5-15如图5-23所示悬臂梁AB,设其抗弯刚度EI为常数，求6B和yB。 解：可将载荷F、q共同作用下引起的变形看成是F和q单独作用下所产生 的变形的代数和，即 TOC o 1-5

4、 h z 8B = FL+2EI 48EIBF + 8 Bq(a)yB = yBF + yBq(b)查表5-6,并利用变形条件，如图5-23b所示有8bfFl 2= Fl32EI yBF = 3EI如图5-23c所示有8 =8 = q0/2)3 = Bq Cq6EI48EI“ 1 ql4 ql317q14y n = y + Bq =1x =U Bq q Cq 2 128EI 48EI 2384EI将上述结果分别代入式(a)、式(b)得到FL +込3EI 384EI例5-16如图5-24所示外伸梁，设其抗弯刚度EI为常数，求8c和yc。 解：设想沿截面B将外伸梁分成两q部分。AB段成为简支梁，在

5、截面B上有 剪力 Fo=qa,弯矩M=0.5qc2,如图 5-24b 所示。剪力FQ直接作用于支座B,不引 起变形。在弯矩M作用下，查表5-6得 到B截面的转角为Ml 0.5qa218 B =B 3 El3 El单独由这一转角引起C截面的转角和挠度 为d=eB =皿ZC1Bc r3EIK *UL NJJJ-*qql2/ 50ql2/50b)a)图5-30调整梁支座位置降低最大弯矩又如，图5-31a所示的简支梁力5在跨度中点承受集中力F作用，如果在梁的中部设置长为2的辅助梁CD （见图5-31b），此时，梁力方内的最大弯矩将减小f替 l/2一l/21*1A.Bb)图5-31将集中力分散降低最大弯

6、矩上述实例说明，合理安排约束和加载方式，将显著减小梁内的最大弯矩。 此外，给静定梁增加约束，即制成超静定梁，对于提高梁的强度也将起到显 著作用。关于超静定梁的分析，将在本章第十三节里讨论。第十二节梁的刚度条件与梁的合理设计、梁的刚度条件对于机械和工程结构中的许多梁，除应满足强度要求外，还必须具备足够的 刚度。例如，机床主轴的变形过大，将影响机床对工件的加工精度，并造成主轴 轴承和齿轮的不均匀磨损。梁的刚度条件为0maxW0(5-31)Mmax WU32)式中0为许用转角，U 为许用挠度，它们的数值应根据构件的工程用途，从有 关设计规范中查取。如在机械工程中，对轴的许用转角和许用挠度有如下规定起

7、重机大梁 普通机床主轴y =(0.0010.002)1y =(0.000 10.000 5)10 = 0.0010.005 rad发动机凸轮轴 滑动轴承处 向心轴承处y = 0.050.06 mm0 =0.001rad0 =0.005 rad在土木工程中，一般只校核梁的挠度，且规定y/l在（1/2501/1 000）范围之内。二、梁的合理设计梁的弯曲变形与抗弯刚度刃、约束条件和梁的受力有关。所以，上一节所述 提髙梁弯曲强度的大多数措施，对于提髙梁的刚度也很有效。但是，由于强度和刚度两者的性质不同，解决的办法也不尽相同。提高梁的抗弯刚度这里涉及到两个方面：采 用合理的截面形状和选择合理的材料。采

8、用合理的截面 形状，是指使用较小的截面面积获得较大的惯性矩 I。因此，工程上的受弯构件大多采用空心圆形、工字形 和箱形截面，这与提髙梁弯曲强度方面的做法是相同 的。但是，影响梁强度的是抗弯截面系数与刚度方 面的惯性矩I是不同的截面几何性质。例如，图5-32所 示的圆木锯方问题，抗弯截面系数最大时的髙宽比：b=3：2；惯性矩最大时的髙宽比h：bY ： 1。而且，强度侧重于弯矩较大局部 区域的刚度则需要考虑整体区域的刃。选择合理的材料，是指提髙材料的弹 性模量卫。但对于钢材来说，各种钢的F值非常接近，故选用优质髙强度钢对提 髙梁的抗弯刚度意义不大。减小梁的跨度 为了提髙梁的刚度，一个值得特别注意的

9、问题是关于梁跨 度的选择。如均布载荷作用下的简支梁，最大挠度与跨度的四次方成正比，最大 转角与跨度的三次方成正比，将跨度减小20%,最大挠度和转角将分别减小59.0% 和48.8%。因此，在结构允许的情况下，应尽量减小梁的跨度。合理安排梁的约束与加载方式提髙梁刚度的另一重要措施是合理安排梁 的约束与加载方式。例如，图5-33a所示的简支梁，在跨度中点承受集中力尸作 用，如将该载荷改为均布载荷，如图5-33b所示，则梁的最大挠度仅为前者的 62.5%。再将两端较支座各向内移动/4,变成外伸梁，如图5-33c所示，则外伸 梁的最大挠度仅为简支梁的8.75%。如再给梁增加支座，使之成为图5-33d所

10、示 的超静定梁，则最大挠度还可以大大降低。这些实例说明，合理安排梁的约束与 加载方式，将显著减小梁的变形。1/2F(=qll/2ql 448EI第十三节简单超静定梁的解法如前所述，单用静力平衡方程不能解出超静定梁的所有支座反力，还必须引 用其它条件，这个条件就是梁的变形协调条件。下面举例说明此类问题的解法。例5-18求图5-34a所示超静定梁的支座反力。解：设想将超静定梁B支座的多余约束解除，代之以相应的约束反力Fsy, 如图5-34b所示。则超静定梁就成为均布载荷q和多余约束反力共同作用下的 静定悬臂梁，这个静定梁称为原超静定梁的静定基。由于静定基的变形必须与原 超静定梁相同，则静定基B点的

11、挠度为零，即yB = yi += 0式中yi为均布载荷q在B点产生的挠度，y2为B点的约束反力购在B点产生的 挠度。式（a）称为静定基的变形协调条件。将均布载荷q和约束反力Fsy在B点产生的挠度代入式（a）,有3 由式（b）可解出FBy = -ql8求出FBy后，利用平衡条件可以求得固定端的支座反力为FAy = 8ql，MA = - 8ql必须指出，所谓多余约束是对平衡而言，对同一超静定问题，多余约束的选 取不是唯一的。本例中也可以将固定端A处的转动约束作为多余约束。解除此约 束后，代替相应的约束反力的是支反力矩胚，此时的静定基为一简支梁，如图 5-35b所示。相应的变形协调条件为：胚和q共同

12、作用下静定基A截面的转角血 为零。利用变形协调条件求解超静定梁的方法也称为变形比较法。例5-19如图5-36a所示受均布载荷作用的两端固定梁，求该梁的支座反力 和该梁的挠曲线方程，并作剪力图和弯矩图。解：考虑梁和载荷的对称性，易知支座反力为(a)FAy = FBy =彳1 / 2 Ma = Mb未知反力只有固定端的力矩胚。根据式 (5-29),梁的挠曲线微分方程为 TOC o 1-5 h z Ely- = q(b)对其进行四次积分有Ely = qx + C(c)Ely” = qx2 + C1 x + C2(d)Ely= qx3 + C1 x2 + C 2 x + C3(e)6 2Ely = x

13、4 + C1 x3 + C2 x2 + C3 x + C 4 (f)246234积分常数可以用固定端的边界条件求出y |x=o = 0 ,得 C4 = 0y |x=o = 0 ,得C3 = 0y lx=/ = 0和 y lx=/ = 0,得 C1 =-号C 2 =巻Fq (x) = qx +ql2(g)将Cl、C2值代入式(c)和式(d)可得M(x) = q(6x2 一 6lx+12)(h)根据式(g)、式(h)可以画出剪力图和弯矩图，如图5-36b、c所示。MA = M (0) = 12将Ci、C2代入式，可得梁的挠曲线方程为qx 224EI(x -1)2此题也可以用变形比较法求出固定端的支

14、反力矩，再由积分法或叠加法求挠 曲线，请读者自己完成。复习思考题5-1何谓平面弯曲、纯弯曲、横力弯曲？5-2怎样用简单方法确定任一横截面t的剪力和弯矩？5-3在集中力和集中力偶作用处，剪力图和弯矩图有何特点？5-4 q、Fq、M之间的微分关系是怎样建立的，它们的物理和几何意义是什么？在建立t述关系时，对坐标系兀和载何集度旳选取有何规定？5-5如何计算非均匀载荷的合力？如何绘制非均布载荷下的Fq图、M图？5-6在建立弯曲正应力公式时，作了哪些假设？根据是什么？5-7何谓中性层？何谓中性轴？5-8弯曲正应力在横截面匕是如何分布的？中性轴位于何处？如何计算最大弯曲正应力?5-9梁的弯曲切应力公式是如何建立的？梁横截面匕的最大切应力发生在何处？为什么?5-10弯曲正应力强度条件和切应力强度条件是怎样建立的？各如何应用？5-11指出下列概念的区别：纯弯曲与对称弯曲；中性轴与形心轴；轴惯性矩与极惯性矩; 抗弯刚度与抗弯截面系数。5-12何谓挠曲线、挠度、转角？它们之间有何关系？5-13挠曲线近似微分方程是如何确立