书生中学2020-2020学年八年级上第三次月考数学试卷含解析

1、2020-2020 学年浙江省台州市书生中学八年级（上）第三次月考数学试卷一、选择题（本题有10 小题，每小题3 分，共 30 分请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）1下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（）ABCD2一个三角形的两边长分别为3cm 和 7cm，则此三角形的第三边的长可能是（）A 3cmB 4cmC 7cmD 11cm3等腰三角形的一个角是40，则它的顶角是（）A40 B 70 C100D40或 1004如图，工人师傅为了固定长方形的木架，通常加两根木条，使其不变形，这种做法的根据

2、是（）A三角形的内角和为180B两点之间线段最短C三角形的稳定性D直角三角形两锐角互余5如图，在方格纸中，以AB为一边作 ABP，使之与 ABC全等，从P1 ，P2 ， P3 ， P4 四个点中找出符合条件的点 P，则点 P 有（）A1 个B2 个C3个D4 个6如图，在 ABC中，AC=4cm，线段 AB的垂直平分线交AC于点 N， BCN的周长是7cm，则 BC的长为（）第 1页（共 29页）A 1cmB 2cmC 3cmD 4cm7如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中 AB=AD， BC=DC将仪器上的点A 与 PRQ的顶点 R 重合，调整 AB 和 AD，使它们分别落在角的两边上，

3、过点A， C 画一条射线 AE，AE就是 PRQ的平分线此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得ABC ADC，这样就有 QAE= PAE则说明这两个三角形全等的依据是（）A SASB ASAC AAS D SSS8两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，小明在探究筝形的性质时，得到如下结论： AC BD；AO=CO= AC； ABD CBD，其中正确的结论有 （）A B C D9如图，在 ABC中，AB=AC，D、E 是 ABC内的两点， AD平分 BAC， EBC=E=60 若 BE=6cm，DE=2cm，则 BC的长为（）A 4

4、cmB 6cmC 8cmD 12cm第 2页（共 29页）10如图，直线l 1 与 l 2 相交，且夹角为60，点 P 在角的内部，小明用下面的方法作P 的对称点：先以l 1 为对称轴作点P 关于 l 1 的对称点P1，再以 l 2 为对称轴作P1 关于 l 2 的对称点P2，然后再以l 1 为对称轴作P2 关于 l 1 的对称点P3，以 l 2 为对称轴作P3 关于 l 2 的对称点P4，如此继续， 得到一系列的点P1，P2，Pn ，若 Pn 与 P重合，则n 的可以是（）A 2020 B 2020 C 2020 D 2012二、填空题（本题有6 小题，每小题4 分，共 24 分）11如图为

5、2012 年伦敦奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为度（不取近似值）12如图，点E， F 在 BC边上， AB=DC， B= C要使得 A= D则可以添加的条件是（写一个即可）13如图， ABC是等边三角形，AD是 BC边上的高，且AD=6， E 为边 AC上的一个动点，则DE的最小值为14数学活动课上，同学们围绕作图问题：“如图，已知直线l 和 l 外一点 P，用直尺和圆规作直线PQ，使 PQ l 于点 Q”其中一位同学作出了如图所示的图形你认为他的作法的理由有第 3页（共 29页）15如图，点D 在 AC上，点 E 在 AB上，且 AB=AC， BC=BD， AD=D

6、E=BE，则 A=16如图所示，在ABC中， BC=6， E、F 分别是 AB、 AC的中点，动点P 在射线 EF 上， BP 交 CE于 D，CBP的平分线交CE于 Q，当 CQ= CE时， EP+BP=三、解答题（本题有7 小题，第 17 19 题每题 8 分，第 20、21、22 每题 10 分，第 23 题 12 分，共 66 分）17如图，在ABC中， C=60， A=401）用尺规作图作 AB 的垂直平分线， 交 AC于点 D，交 AB于点 E（保留作图痕迹， 不要求写作法和证明） ；2）求证： BD平分 CBA18如图，在ABC中，点 D，E 分别在边AC， AB上， BD与 C

7、E交于点 O，给出下列三个条件：EBO=DCO； BE=CD； OB=OC（ 1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）（ 2）请选择（ 1）中的一种情形，写出证明过程第 4页（共 29页）19在平面直角坐标系中，直线l 过点 M（ 3， 0），且平行于y 轴1）如果 ABC三个顶点的坐标分别是 A（ 2， 0）， B（ 1， 0）， C（ 1， 2）， ABC关于 y 轴的对称图形是 A1B1C1， A1B1C1 关于直线 l 的对称图形是 A2B2C2，写出 A2B2C2 的三个顶点的坐标；2）如果点 P 的坐标是（ a， 0），其中 a 0，

8、点 P 关于 y 轴的对称点是 P1，点 P1 关于直线 l 的对称点是 P2，求 PP2 的长20如图 1，在 ABC中， A=36， AB=AC， ABC的平分线BE交 AC于 E1）求证： AE=BC；2）如图 2，过点 E 作 EF BC交 AB于 F，将 AEF绕点 A 逆时针旋转角 （0 144）得到 AEF，连结 CE、 BF，求证： CE=BF21如图，点P、 Q分别是边长为4cm的等边 ABC边 AB、 BC上的动点，点P 从顶点 A，点 Q从顶点 B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s 第 5页（共 29页）1）连接 AQ、 CP交于点 M，则在 P、 Q运动的过程中，

9、CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；2）请求出何时 PBQ是直角三角形？22如图 1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和 DCF，连接 AF， BE（ 1）请判断： AF 与 BE的数量关系是，位置关系是；（ 2）如图 2，若将条件“两个等边三角形ADE和 DCF”变为“两个等腰三角形ADE和 DCF，且 EA=ED=FD=FC”，第（ 1）问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予说明；3）若三角形 ADE和 DCF为一般三角形，且 AE=DF，ED=FC，第（ 1）问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断23已知 Rt ABC中， AC=BC， C=90，

10、 D为 AB边的中点， EDF=90，如图EDF的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F当 EDF的边 DE AC于 E 时， SDEF， S CEF， S ABC满足 S DEF+S CEF=S ABC；1）如图，当 EDF的边 DE和 AC不垂直时，请证明上述结论仍然成立；2）如图，当 EDF的边 DE与 AC的延长线交于点 E 的情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， S DEF， SCEF， S ABC，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明第 6页（共 29页）2020-2020 学年浙江省台州市书生中学八年级（上）第三次月考数学试卷参考答案与试题解析

11、一、选择题（本题有10 小题，每小题3 分，共 30 分请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）1下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（）ABCD【考点】轴对称图形【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误故选： B【点评】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合2一个三角形的两边长

12、分别为3cm 和 7cm，则此三角形的第三边的长可能是（）A 3cmB 4cmC 7cmD 11cm【考点】三角形三边关系【分析】首先设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得7 3x 7+3，再解不等式即可【解答】解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得：7 3 x 7+3，解得： 4 x 10，故答案为： C第 7页（共 29页）【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和3等腰三角形的一个角是40，则它的顶角是（）A40 B 70 C100D40或 100【考点】等腰三角形的性质【专题】分类讨论【分析】分这个角为顶角和底角

13、，结合三角形内角和定理可求得答案【解答】解：当40角为顶角时，则顶角为40，当 40角为底角时，则两个底角和为 80，求得顶角为 180 80=100，故选 D【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键4如图，工人师傅为了固定长方形的木架，通常加两根木条，使其不变形，这种做法的根据是（）A三角形的内角和为180B两点之间线段最短C三角形的稳定性D直角三角形两锐角互余【考点】三角形的稳定性【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可【解答】解：工人师傅为了固定长方形的木架，使其不变形这种做法的根据是三角形的稳定性，故选： C【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，当三角

14、形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性5如图，在方格纸中，以AB为一边作 ABP，使之与 ABC全等，从P1 ，P2 ， P3 ， P4 四个点中找出符合条件的点 P，则点 P 有（）第 8页（共 29页）A1 个B2 个C3个D4 个【考点】全等三角形的判定【分析】根据全等三角形的判定得出点P 的位置即可【解答】解：要使ABP与 ABC全等，点P 到 AB的距离应该等于点C 到 AB的距离，即3 个单位长度，故点 P 的位置可以是P1，P3，P4 三个，故选 C【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是利用全等三角形的判定进行判定点P 的位置6如图，在 AB

15、C中，AC=4cm，线段 AB的垂直平分线交AC于点 N， BCN的周长是7cm，则 BC的长为（）A 1cmB 2cmC 3cmD 4cm【考点】线段垂直平分线的性质【分析】首先根据 MN是线段 AB的垂直平分线， 可得 AN=BN，然后根据 BCN的周长是 7cm，以及 AN+NC=AC，求出 BC的长为多少即可【解答】解：MN是线段 AB的垂直平分线，AN=BN， BCN的周长是7cm，BN+NC+BC=7（ cm），AN+NC+BC=7（ cm）， AN+NC=AC，AC+BC=7（ cm），又 AC=4cm，第 9页（共 29页）BC=7 4=3（ cm）故选： C【点评】此题主要考

16、查了线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：垂直平分线垂直且平分其所在线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等7如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中 AB=AD， BC=DC将仪器上的点A 与 PRQ的顶点 R 重合，调整 AB 和 AD，使它们分别落在角的两边上，过点A， C 画一条射线 AE，AE就是 PRQ的平分线此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得ABC ADC，这样就有 QAE= PAE则说明这两个三角形全等的依据是（）A SASB ASAC AAS D SSS【考

17、点】全等三角形的应用【分析】在 ADC和 ABC中，由于 AC为公共边， AB=AD，BC=DC，利用 SSS定理可判定 ADC ABC，进而得到 DAC= BAC，即 QAE= PAE【解答】解：在ADC和 ABC中， ADC ABC（ SSS）， DAC=BAC，即 QAE=PAE故选： D【点评】本题考查了全等三角形的应用；这种设计，用SSS判断全等，再运用性质，是全等三角形判定及性质的综合运用，做题时要认真读题，充分理解题意第10页（共 29页）8两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，小明在探究筝形的性质时，得到如下结论： A

18、C BD；AO=CO= AC； ABD CBD，其中正确的结论有 （）A B C D【考点】全等三角形的判定与性质【分析】先证明ABD与 CBD全等，再证明AOD与 COD全等即可判断【解答】解：在ABD与 CBD中， ABD CBD（ SSS），故正确； ADB=CDB，在 AOD与 COD中， AOD COD（ SAS）， AOD=COD=90， AO=OC，AC DB，故正确故选： D【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质，关键是根据SSS证明 ABD与 CBD全等和利用SAS证明AOD与 COD全等9如图，在 ABC中，AB=AC，D、E 是 ABC内的两点， AD平分 BAC， E

19、BC=E=60 若 BE=6cm，DE=2cm，则 BC的长为（）第11页（共 29页）A 4cmB 6cmC 8cmD 12cm【考点】等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质【分析】作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出 BE=6， DE=2，进而得出 BEM为等边三角形， EFD为等边三角形，从而得出 BN的长，进而求出答案【解答】解：延长ED交 BC于 M，延长 AD交 BC于 N，AB=AC， AD平分 BAC，AN BC，BN=CN， EBC=E=60， BEM为等边三角形， EFD为等边三角形， BE=6cm，DE=2cm，DM=4cm， BEM为等边三角形， EMB=60，AN

20、BC， DNM=90， NDM=30， NM=2cm， BN=4cm，BC=2BN=8cm故选 B第12页（共 29页）【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出MN的长是解决问题的关键10如图，直线l 1 与 l 2 相交，且夹角为60，点 P 在角的内部，小明用下面的方法作P 的对称点：先以l 1 为对称轴作点P 关于 l 1 的对称点P1，再以 l 2 为对称轴作P1 关于 l 2 的对称点P2，然后再以l 1 为对称轴作P2 关于 l 1 的对称点P3，以 l 2 为对称轴作P3 关于 l 2 的对称点P4，如此继续， 得到一系列的点P1，P2，Pn ，若 Pn

21、与 P重合，则n 的可以是（）A 2020 B 2020 C 2020 D 2012【考点】轴对称的性质【专题】规律型【分析】根据题意画出图形进而得出每对称6 次回到 P 点，进而得出符合题意的答案【解答】解：如图所示：P1， P2， Pn，每对称 6 次回到 P 点，2020 6=336，Pn 与 P 重合，则 n 的可以是： 2020故选： A【点评】此题主要考查了轴对称，根据题意得出点的变化规律是解题关键二、填空题（本题有6 小题，每小题4 分，共 24 分）11如图为 2012 年伦敦奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为度（不取近似值）第13页（共 29页）【考点

22、】多边形内角与外角【分析】根据正多边形的定义可得：正多边形的每一个内角都相等，则每一个外角也都相等，首先由多边形外角和为360可以计算出正七边形的每一个外角度数，再用 180一个外角的度数=一个内角的度数【解答】解：正七边形的每一个外角度数为：3607=（）则内角度数是： 180（） =（），故答案为：【点评】此题主要考查了正多边形的内角与外角，关键是掌握正多边形的每一个内角都相等12如图，点E，F 在 BC边上， AB=DC， B=C要使得 A= D则可以添加的条件是 AFE= DEF或BF=CE或 BE=CF（答案不唯一）（写一个即可）【考点】全等三角形的判定与性质【专题】开放型【分析】根

23、据全等三角形的判定定理： SAS或 AAS证明三角形全等，再根据全等三角形的对应角相等即可解答【解答】解：在ABF和 DCE中， ABF DCE（ AAS）， A= D还可以补充：BF=CE或 BE=CF故答案为：AFE=DEF或 BF=CE或 BE=CF，答案不唯一【点评】本题考查了全等三角形的性质定理和判定定理，解决本题的关键是熟记全等三角形的判定定理第14页（共 29页）13如图， ABC是等边三角形，AD是 BC边上的高，且AD=6， E 为边 AC上的一个动点，则DE的最小值为 3 【考点】等边三角形的性质；垂线段最短【分析】过D 作 DE AC，则垂线段DE的长度即为DE的最小值，

24、根据等边三角形的性质得到BAC=60， DAE=BAC=30，根据直角三角形的性质即可得到结论【解答】解：过D作 DE AC，则垂线段DE的长度即为DE的最小值， ABC是等边三角形， BAC=60， AD是 BC边上的高， DAE=BAC=30， AED=90，DE= AD=3故答案为： 3【点评】本题考查了等边三角形的性质，含 30角的直角三角形的性质，知道垂线段的性质是解题的关键14数学活动课上，同学们围绕作图问题：“如图，已知直线l 和 l 外一点 P，用直尺和圆规作直线PQ，使 PQ l 于点 Q”其中一位同学作出了如图所示的图形你认为他的作法的理由有到线段两端点距离相等的点在这条线

25、段的垂直平分线上；两点确定一条直线第15页（共 29页）【考点】作图基本作图【专题】作图题【分析】把过一点作已知直线的垂线转化为作已知线段的垂直平分线【解答】解：他的作法的理由有到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线故答案为到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线【点评】本题考查了基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线15如图，点D 在 AC上，点 E 在 AB上，且 AB=AC， BC=BD， AD=DE=BE，则 A=45【考点】等腰三角形的性质；三角形内

26、角和定理【分析】设EAD=x，则可利用等腰三角形的两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和来 A， C， ABC最后利用三角形的内角和求出x，就可得到 A【解答】解：设EBD=xDE=BE AED=2x又 AD=DE A=2x BDC=x+2x=3x而 BC=BD，则 C=3xAB=AC ABC=3x3x+3x+2x=180第16页（共 29页） A=2x=45故填 45【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理；学会运用代数法解决几何计算问题，这是一种非常重要的方法，要熟练掌握16如图所示，在ABC中， BC=6， E、F 分别是 AB、 AC的中点，动点P 在射线

27、 EF 上， BP 交 CE于 D，CBP的平分线交CE于 Q，当 CQ= CE时， EP+BP= 12【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理【专题】压轴题【分析】延长 BQ交射线 EF于 M，根据三角形的中位线平行于第三边可得 EF BC，根据两直线平行，内错角相等可得 M= CBM，再根据角平分线的定义可得 PBM= CBM，从而得到 M= PBM，根据等角对等边可得 BP=PM，求出 EP+BP=EM，再根据CQ= CE求出 EQ=2CQ，然后根据 MEQ和 BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可【解答】解：如图，延长BQ交射线 EF于 M，

28、E、 F 分别是 AB、 AC的中点， EF BC， M= CBM， BQ是 CBP的平分线， PBM=CBM， M= PBM，BP=PM，EP+BP=EP+PM=EM，CQ= CE， EQ=2CQ，第17页（共 29页）由 EF BC得， MEQ BCQ，=2，EM=2BC=2 6=12，即 EP+BP=12故答案为： 12【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点三、解答题（本题有 7 小题，第 17 19 题每题 8 分，第 20、21、22 每题 10 分，第 23

29、题 12 分，共 66 分）17如图，在 ABC中， C=60， A=401）用尺规作图作 AB 的垂直平分线， 交 AC于点 D，交 AB于点 E（保留作图痕迹， 不要求写作法和证明） ；2）求证： BD平分 CBA【考点】作图基本作图；线段垂直平分线的性质【专题】作图题【分析】（ 1）分别以A、 B两点为圆心，以大于AB长度为半径画弧，在AB两边分别相交于两点，然后过这两点作直线即为AB 的垂直平分线；2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的内角和证明即可【解答】解：（ 1）如图 1 所示：第18页（共 29页）（ 2）连接 BD，如图 2 所示： C=60， A=40， CBA=80，DE

30、是 AB的垂直平分线， A=DBA=40， DBA= CBA，BD平分 CBA【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质及三角形的内角和及基本作图，解题的关键是了解垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等18如图，在ABC中，点 D，E 分别在边AC， AB上， BD与 CE交于点 O，给出下列三个条件：EBO=DCO； BE=CD； OB=OC（ 1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定 ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）（ 2）请选择（ 1）中的一种情形，写出证明过程【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定【专题】开放型【分析】（ 1）由；两个条件可以判定ABC是等腰三角

31、形，第19页（共 29页）2）先求出 ABC= ACB，即可证明 ABC是等腰三角形【解答】解：（ 1）；2）选证明如下，OB=OC， OBC=OCB， EBO=DCO，又 ABC= EBO+OBC， ACB= DCO+ OCB， ABC=ACB， ABC是等腰三角形【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关键是找出相等的角求ABC= ACB19在平面直角坐标系中，直线l 过点 M（ 3， 0），且平行于y 轴1）如果 ABC三个顶点的坐标分别是 A（ 2， 0）， B（ 1， 0）， C（ 1， 2）， ABC关于 y 轴的对称图形是 A1B1C1， A1B1C1 关于直线 l 的对称

32、图形是 A2B2C2，写出 A2B2C2 的三个顶点的坐标；2）如果点 P 的坐标是（ a， 0），其中 a 0，点 P 关于 y 轴的对称点是 P1，点 P1 关于直线 l 的对称点是 P2，求 PP2 的长【考点】坐标与图形变化- 对称【专题】几何图形问题【分析】（ 1）根据关于y 轴对称点的坐标特点是横坐标互为相反数，纵坐标相同可以得到A B C 各点坐111标，又关于直线l 的对称图形点的坐标特点是纵坐标相同，横坐标之和等于3 的二倍，由此求出A2B2 C1的三个顶点的坐标；（ 2） P 与 P1 关于 y 轴对称，利用关于y 轴对称点的特点：纵坐标不变，横坐标变为相反数，求出P1 的

33、坐标，再由直线l 的方程为直线x=3，利用对称的性质求出P 的坐标，即可PP 的长22第20页（共 29页）【解答】解：（1） A2B2C2 的三个顶点的坐标分别是A2（ 4， 0）， B2（5， 0）， C2 （ 5， 2）；2）如图 1，当 0a 3 时， P 与 P1 关于 y 轴对称， P（ a，0）， P1 （ a， 0），又 P1 与 P2 关于 l ：直线 x=3 对称，设 P2（x， 0），可得：=3 ，即 x=6 a， P2 （ 6 a， 0），则 PP2 =6 a（ a） =6 a+a=6如图 2，当 a 3 时，P 与 P1 关于 y 轴对称， P（ a， 0）， P1

34、（ a， 0），又 P1 与 P2 关于 l ：直线 x=3 对称，设 P2（x， 0），可得：=3 ，即 x=6 a， P2 （ 6 a， 0），则 PP2 =6 a（ a） =6 a+a=6第21页（共 29页）【点评】本题考查学生“轴对称”与坐标的相关知识的试题，尤其是第（2）小题设置的问题既具有一定的开放性又重点考查了分类的数学思想，使试题的考查有较高的效度20如图 1，在 ABC中， A=36， AB=AC， ABC的平分线BE交 AC于 E1）求证： AE=BC；2）如图 2，过点 E 作 EF BC交 AB于 F，将 AEF绕点 A 逆时针旋转角 （0 144）得到 AEF，连结

35、 CE、 BF，求证： CE=BF【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质【分析】（ 1）根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质得出对应角之间的关系进而得出答案；2）由旋转的性质可知： EAC=FAB，AE=AF，根据全等三角形证明方法得出即可【解答】（ 1）证明： AB=AC， A=36， ABC=C=72，又 BE平分 ABC， ABE=CBE=36， BEC=180 C CBE=72，第22页（共 29页） ABE=A， BEC= C，AE=BE， BE=BC，AE=BC2）证明： AC=AB且 EFBC， AE=AF；由旋转的性质可知： EAC=FAB，AE=AF，在 CAE和 BA

36、F中， CAE BAF（ SAS），CE=BF【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识，根据数形结合熟练掌握相关定理是解题关键21如图，点P、 Q分别是边长为4cm的等边 ABC边 AB、 BC上的动点，点P 从顶点 A，点 Q从顶点 B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s 1）连接 AQ、 CP交于点 M，则在 P、 Q运动的过程中， CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；2）请求出何时 PBQ是直角三角形？第23页（共 29页）【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质【专题】探究型【分析】（ 1）先根据全等三角形的判定定理得出

37、ABQ CAP，由全等三角形的性质可知BAQ= ACP，故CMQ= ACP+ CAM= BAQ+ CAM=BAC=60，故可得出结论；（ 2）设时间为t 秒，则 AP=BQ=tcm， PB=（ 4 t ） cm，当 PQB=90时，因为 B=60，所以PB=2BQ，即4 t=2t故可得出t 的值，当 BPQ=90时，同理可得BQ=2BP，即 t=2 （ 4t ），由此两种情况即可得出结论【解答】解：（1）不变， CMQ=60 ABC是等边三角形，等边三角形中，AB=AC， B=CAP=60又点 P 从顶点 A，点 Q从顶点 B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s AP=BQ， ABQ CAP

38、（ SAS）， BAQ=ACP， CMQ=ACP+ CAM= BAQ+ CAM=BAC=60；2）设时间为 t 秒，则 AP=BQ=tcm，PB=（ 4t ） cm，当 PQB=90时， B=60， PB=2BQ，即 4 t=2t ， t=，当 BPQ=90时， B=60， BQ=2BP，得 t=2 （4 t ）， t=，第24页（共 29页）当第秒或第秒时， PBQ为直角三角形【点评】本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、直角三角形的性质，熟知等边三角形的三个内角都是 60是解答此题的关键22如图 1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和 DCF，连接 AF， BE

39、（ 1）请判断： AF 与 BE的数量关系是相等，位置关系是互相垂直；（ 2）如图 2，若将条件“两个等边三角形ADE和 DCF”变为“两个等腰三角形ADE和 DCF，且 EA=ED=FD=FC”，第（ 1）问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予说明；3）若三角形 ADE和 DCF为一般三角形，且 AE=DF，ED=FC，第（ 1）问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断【考点】四边形综合题【专题】压轴题【分析】（ 1）易证 ADE DCF，即可证明 AF 与 BE 的数量关系是： AF=BE，位置关系是： AFBE（ 2）证明 ADE DCF，然后证明 ABE ADF即可证得 BE=AF，然后根据三角形内角和定理证明 AMB=90，从而求证；（ 3）与（ 2）的解