《管理运筹学》课后习题参考答案

1、管理运筹学 （第二版）课后习题参考答案第 1 章 线性规划（复习思考题）1什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？答：线性规划（ Linear Programming，LP）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是 应用最广泛的一个运筹学分支。线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化 工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量是决 策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条 件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的 线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则

2、要求极小值。2求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误？答：（1）唯一最优解：只有一个最优点；（2）多重最优解：无穷多个最优解；（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大；（4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。3什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项ib0，决策变量满足非负性。如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业 来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“ ”型约束 的左边取值大

3、于右边规划值，出现剩余量。4试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。答：可行解：满足约束条件AXb，X0的解，称为可行解。基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。它们的相互关系如右图所示：5用表格单纯形法求解如下线性规划。maxZ4 x 1x22x 3x22x 35x528x 13x 2x32s.t. 6x 1x2x 38x 1,x2,x30解：标准化m a x Z4x 18x 13x2x 3x4s.t. 6x 1x2x3x4,x8x

4、1,x2,x3,0列出单纯形表jc4 1 2 0 0 i2/8 8/6 (1/4)/(1/8) (13/2)/(1/4) CBXBbx 12xx 3x 45x0 x42 8 3 1 1 0 0 x 58 6 1 1 0 1 j4 1 2 0 0 4 x 11/4 1 3/8 1/8 1/8 0 0 x 513/2 6 5/4 1/4 3/4 1 Z(X*)4j0 1/2 3/2 -1/2 0 2 x 32 8 3 1 1 0 0 x 56 2 2 0 1 1 j12 5 0 2 0 故最优解为X*(,0 0 2, , ,0 6 )T，即x 10 ,x 20 ,x32，此时最优值为6表 115

5、中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中a 1,a2,c 1,c 2,d为何值及变量属于哪一类型时有：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一； （3）下一步迭代将以1x 代替基变量x ；（4）该线性规划问题具有无界解； （5）该线性规划问题无可行解。jc表 115 某极大化问题的单纯形表0 0 1cc 20 i且CBXBbx 1x 2x 3d4x；或者x 50 0 0 3xd 4 a 11 0 4x2 1 5 0 1 0 0 1 0 5x3 a 23 0 j1cc 20 0 0 解：（1）d0 ,c 1,0c20；（2）d0 ,c 10 ,c20（c 1,c2 中至少有一个为零

6、）；（3）c 1,0a20 ,d3；4a23x 为人工变量，（4）c2,0a 10；（5）1x 为人工变量，且1c 为包含 M 的大于零的数，4a2c 为包含 M 的大于零的数，a 1,0d07用大 M 法求解如下线性规划。maxZ5 x 13 x26x 3s.t. x 12x2x 3182x 1x23x316x 1x2x310 x1,x 2,x 30解：加入人工变量，进行人造基后的数学模型如下：maxZ5x 13x 26x 3,0 x40 x5Mx6s.t. x 12x2x3x4182x 1x23x 3x516x1x2x3x610 xi0(i,12,6)列出单纯形表CBjc5 3 x 16

7、0 x 30 M(XiXBbx 12xx 3x 45xx60 1 2 1 1 0 0 18/1 x 418 0 x 516 2 1 3 0 1 0 16/3 Mx 610 1 1 1 0 0 1 10/1 0 5+M3+M6+M0 0 0 j38/5 x 438/3 1/3 5/3 0 11/3 0 6 x 316/3 2/3 1/3 1 0 1/3 0 16 Mx 614/3 1/3 2/3 0 0 1/3 1 14/2 0 11M12M21M0 0 0 j333x 41 0 1 1/2 0 1/2 5/2 6 x 33 1/2 0 1 0 1/2 1/2 6 3 x 27 1/2 1 0

8、0 1/2 3/2 14 0 j1/2 0 0 0 3/2 3M*)422x 44 0 0 1 1 1 3 5 x 16 1 0 2 0 1 1 3 x 24 0 1 1 0 1 2 0 0 1 0 2 1 Mj故最优解为X*(,6 4 0, , ,4 ,0 0 )T，即6 ,x 2,40，此时最优值为Z8A，B，C 三个城市每年需分别供应电力320，250 和 350 单位，由 I，II 两个电站提供，它们的最大可供电量分别为 400 单位和 450 单位，单位费用如表 116 所示。由于需要量大于可供量，决定城市 A 的供应量可减少 030 单位，城市 B 的供应量不变，城市 C 的供应量

9、不能少于 低总费用分配方案。270 单位。试建立线性规划模型， 求将可供电量用完的最表 116 单位电力输电费（单位：元）电站 城市 A B C I 15 18 22 II 21 25 16 解：设 ijx 为“ 第 i 电站向第 j 城市分配的电量” （i=1,2; j=1,2,3），建立模型如下：max Z 15 x 11 18 x 12 22 x 13 21 x 21 25 x 22 16 x 23x 11 x 12 x 13 400 x 21 x 22 x 23 450 x 11 x 21 290 x 11 x 21 320s.t. x 12 x 22 250 x 13 x 23 27

10、0 x 13 x 23 350 x ij 0 , i ,1 ;2 j ,1 ,2 39某公司在 3 年的计划期内，有 4 个建设项目可以投资：项目 I 从第一年到第三年年初都可以投资。预计每年年初投资，年末可收回本利120%，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目 II 需要在第一年初投资，经过两年可收回本利 150%，又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资不得超过 20 万元；项目 III需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160%，但用于该项目的最大投资不得超过 15 万元；项目 IV 需要在第三年年初投资，年末可收回本利 140%，但用于该项目的最大投资不得超过

11、 10 万元。在这个计划期内， 该公司第一年可供投资的资金有 30 万元。问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？解：设( 1 )ix表示第一次投资项目i，设( ix2)表示第二次投资项目i，设( ix3)表示第三次投资项目 i，（i=1,2,3,4），则建立的线性规划模型为maxZ1 2.( x 13)1 6.( 1 )x 34.1x( 1 )( 1 )x 22)( x 12)( 1x 3)4( x 12)( x 11 )( 1 )x 230 x( 1)1 2.( 1 )x 130( x 11 )3( x 13)( 1 )x 4(.1 2 x 12)1 . 5( 1 )x 2

12、1 2.( x 11 )30( 1 )x 1x(1)2s.t. x(1 )2012 ,( x 1442( 1x 3)15x(1)104通过 LINGO 软件计算得：( x 11 )( x i1),( x i2),x(3 )0 ,i,1,2,3 4i10 ,( 1x 2)20 ,x( 1),0( x 12)310某家具制造厂生产五种不同规格的家具。每种家具都要经过机械成型、打磨、上漆几道重要工序。每种家具的每道工序所用的时间、每道工序的可用时间、每种家具 的利润由表 117 给出。问工厂应如何安排生产，使总利润最大？表 117 家具生产工艺耗时和利润表Z每道工序可用生产工序1 所需时间（小时）4

13、 5 2 3 时间（小时）成型3 4 6 2 3 3600 打磨4 3 5 6 4 3950 上漆2 3 3 4 3 2800 利润（百元）2.7 3 4.5 2.5 3 解：设ix 表示第 i 种规格的家具的生产量（ i=1,2, ,5），则maxZ2 7.x 13x 2.45 x 3.2 5 x43 x 53x 14x26x32x43x 53600s.t. 4x 13x25 x36x44x 539502x13x23 x34x43x 528003181xi0,i,12,5通过 LINGO 软件计算得：x 10 ,x238 ,x 3254 ,x 40 ,x5642 ,11某厂生产甲、乙、丙三种

14、产品，分别经过A，B，C 三种设备加工。已知生产单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润如表 210 所示。表 118 产品生产工艺消耗系数甲 乙 丙 设备能力A（小时）1 1 1 100 B（小时）10 4 5 600 C（小时）2 2 6 300 单位产品利润（元）10 6 4 （1）建立线性规划模型，求该厂获利最大的生产计划。（2）产品丙每件的利润增加到多大时才值得安排生产？如产品丙每件的利润增加到 6，求最优生产计划。（3）产品甲的利润在多大范围内变化时，原最优计划保持不变？（4）设备 A 的能力如为 100+10q，确定保持原最优基不变的 q 的变化范围。（5）如

15、合同规定该厂至少生产10 件产品丙，试确定最优计划的变化。解：（1）设x 1,x 2,x3分别表示甲、乙、丙产品的生产量，建立线性规划模型maxs.t. Z10 x 16 x24 x 3x1x2x310010 x 14x25x 36002x12x26x3300 x 1,x2,x30标准化得maxZ10 x 16x 24 x30 x 40 x 50 x 6s.t. x1x 23,x3x 410010 x 14x25 x3x56002x 12x26x3x 6300 x 1,x2,xx 4,x5,x60列出单纯形表jcb10 /6 04 0 0 0 CBXB5xx 6i1xx 23xx 40 4x1

16、 1 1 1 0 0 100 100 0 5x600 10 4 5 0 1 0 60 0 6x300 2 2 6 0 0 1 150 j40 10 6 4 0 0 0 0 4x0 3/5 1/2 1 1/10 0 200/3 10 1x60 1 2/5 1/2 0 1/10 0 150 0 6x180 0 6/5 5 0 1/5 1 150 j200/3 0 2 1 0 1 0 6 2x0 1 5/6 5/3 1/6 0 10 1x100/3 1 0 1/6 2/3 1/6 0 0 6x100 0 0 4 2 0 1 j100/,30 0 8/3 10/3 2/3 0 故最优解为x 1x 22

17、00,3x3，又由于x 1,x 2,x 3取整数，故四舍五入可得最优解为x 133 ,x 267 ,x 30,Zmax732（2）产品丙的利润c 变化的单纯形法迭代表如下：0 0 jc10 6 c 30 CBXBb1xx23xx 45xx 6i1/6 0 6 2x200/3 0 1 5/6 5/3 10 1x100/3 1 0 1/6 2/3 1/6 0 0 6x100 0 0 4 2 0 1 j0 0 3c 20/3 10/3 2/3 0 626. 67故当产品丙每要使原最优计划保持不变， 只要3c3200，即c333件的利润增加到大于6.67 时，才值得安排生产。如产品丙每件的利润增加到6

18、 时，此时 66.67，故原最优计划不变。（3）由最末单纯形表计算出解得311c 10,4102c 10 ,511c 10，636解得61c15，即当产品甲的利润c 在,6 15 范围内变化时，原最优计划保持不变。5/31/60（4）由最末单纯形表找出最优基的逆为B12/31/60，新的最优解为201X BB1b5/31/6010010q1320050q)02/31/6060010020q3201300( 10020q4q5，故要保持原最优基不变的q 的变化范围为45,（5）如合同规定该厂至少生产maxZ10 x 126x 24x 3x 1xx310010 件产品丙，则线性规划模型变成10 x

19、 14x 25x3x 1600 x258 ,x 310 ,Z708s.t. 2x12x26x 3300 x31032 ,x1,x2,x30通过 LINGO 软件计算得到：第 2 章 对偶规划（复习思考题）1对偶问题和对偶向量（即影子价值）的经济意义是什么？答：原问题和对偶问题从不同的角度来分析同一个问题，前者从产品产量的角度来 考察利润，后者则从形成产品本身所需要的各种资源的角度来考察利润，即利润是产品 生产带来的，同时又是资源消耗带来的。对偶变量的值 iy 表示第 i 种资源的边际价值，称为影子价值。可以把对偶问题的解Y 定义为每增加一个单位的资源引起的目标函数值的增量。2什么是资源的影子价

20、格？它与相应的市场价格有什么区别？答：若以产值为目标，则iy 是增加单位资源 i 对产值的贡献，称为资源的影子价格（Shadow Price）。即有“ 影子价格 =资源成本 +影子利润” 。因为它并不是资源的实际价 格，而是企业内部资源的配比价格，是由企业内部资源的配置状况来决定的，并不是由 市场来决定，所以叫影子价格。可以将资源的市场价格与影子价格进行比较，当市场价 格小于影子价格时，企业可以购进相应资源，储备或者投入生产；当市场价格大于影子 价格时，企业可以考虑暂不购进资源，减少不必要的损失。3如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检 验数之间的关系？则答：（1

21、）最优性定理：设X ,Y分别为原问题和对偶问题的可行解，且CXbTY，X ,Y分别为各自的最优解。（2）对偶性定理：若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，而且两者的目 标函数值相等。（3）互补松弛性：原问题和对偶问题的松弛变量为X 和Y ，它们的可行解X* ,Y*为最优解的充分必要条件是Y*XS,0Y SX*0（4）对偶问题的最优解对应于原问题最优单纯形表中，初始基变量的检验数的负值。若Y 对应于原问题决策变量x 的检验数，则Y 对应于原问题松弛变量x 的检验数。4已知线性规划问题maxZ4x 1x 22x 3s.t. 8x 13x2x 32（第一种资源）6x 1x2x38（第二种资源）x

22、 1,x2,x30（1）求出该问题产值最大的最优解和最优值。（2）求出该问题的对偶问题的最优解和最优值。（3）给出两种资源的影子价格，并说明其经济含义；第一种资源限量由 2 变为 4，最优解是否改变？（4）代加工产品丁，每单位产品需消耗第一种资源2 单位，消耗第二种资源3 单位，应该如何定价？解：（1）标准化，并列出初始单纯形表jc4 1 2 0 0 iCBXBbx 1x 2X*x 34xx 1x 50 ,x 32/8 ，1 1 0 0 4x2 8 3 0 5x8 6 1 1 0 1 8/6 j4 1 2 0 0 2 4 1x1/4 1 3/8 1/8 1/8 0 0 5x13/2 6 5/4

23、 1/4 3/4 1 26 j0 1/2 3/2 -1/2 0 22 3x2 8 3 1 1 0 0 5x6 2 2 0 1 1 j12 5 0 2 0 由最末单纯性表可知， 该问题的最优解为：( 0 0, , ,2 0 6, )T，即,0 x2最优值为Z4（2）由原问题的最末单纯形表可知，对偶问题的最优解和最优值为：y 12 ,y20 ,w4（3）两种资源的影子价格分别为 由 2 变为 4，最优解不会改变。2、0，表示对产值贡献的大小；第一种资源限量（4）代加工产品丁的价格不低于 2 2 0 3 45某厂生产 A，B，C，D4 种产品，有关资料如表 26 所示。表 26 资源消耗A 产品D

24、资源供应量原料成本资源B C （公斤）（元/公斤）甲2 3 1 2 800 2.0 乙5 4 3 4 1200 1.0 丙3 4 5 3 1000 1.5 单位产品售价（元）14.5 21 15.5 16.5 （1）请构造使该厂获利润最大的线性规划模型，并用单纯形法求解该问题（不计加工成本）。（2）该厂若出租资源给另一个工厂，构成原问题的对偶问题，列出对偶问题的数学模型，资源甲、乙、丙的影子价格是多少？若工厂可在市场上买到原料丙，工厂是否应该购进该原料以扩大生产？（3）原料丙可利用量在多大范围内变化，原最优生产方案中生产产品的品种不变（即最优基不变）？（4）若产品 B 的价格下降了 0.5 元

25、，生产计划是否需要调整？解：（1）设x 1,x2,x3,x 4分别表示甲、乙、丙产品的生产量，建立线性规划模型maxs.t. Zx 15 x23x 34 x42x13x2x32x48005x 14x23x34x412003x 14x25x33x41000 xi0 ,i,123, ,4初始单纯形表CBjcb1 5 3 4 0 0 0 iXBx 12xx 3x 45xx 67x0 x 52 3 1 2 1 0 0 800/3 800 x60 1200 5 4 3 4 0 1 0 1200/4 0 x71000 3 4 5 3 0 0 1 1000/4 j1 5 3 4 0 0 0 最末单纯形表jc

26、1 5 3 4 0 0 0 iCBXBb*x 1x23xx 4Z5xx 6x 70 1/4 0-13/4 0 1 1/4 -1 x 5100 4 x 4200 2 0 - 2 1 0 1 -1 5 x 2100 -3/4 1 11/4 0 0 -3/4 1 j-13/4 0 -11/4 0 0 -1/4 -1 解得最优解为：X(,0 100 0, , 200 , 100 )T，最优值1300（2）原问题的对偶问题的数学模型为min w 800 y 1 1200 y 2 1000 y 32 y 1 5 y 2 3 y 3 13 y 1 4 y 2 4 y 3 5s.t. y 1 3 y 2 5

27、y 3 12 y 1 4 y 2 3 y 3 4y 1 , y 2 , y 3 0解得影子价格分别为 2、1.25、2.5。对比市场价格和影子价格，当市场价低于影子价格时购进。（3）原料丙可利用量在 900,1100范围内变化，原最优生产方案中生产产品的品种不变（即最优基不变） 。（4）若产品 B 的价格下降了 0.5 元，生产计划不需要调整。6某企业生产甲、乙两种产品，产品生产的工艺路线如图 21 所示，试统计单位产品的设备工时消耗，填入表27。又已知材料、设备C 和设备 D 等资源的单位成本和拥有量如表 27 所示。表 27 资源消耗与资源成本表产品资源消耗资源成本资源拥有量资源甲乙元/单

28、位资源4200 材料（公斤）60 50 200 设备 C（小时）30 40 10 3000 设备 D（小时）60 50 20 4500 据市场分析，甲、乙产品销售价格分别为 产品生产计划。13700 元和 11640元，试确定获利最大的（1）设产品甲的计划生产量为 1x ，产品乙的计划生产量为 x ，试建立其线性规划的数学模型；若将材料约束加上松弛变量 x ，设备 C 约束加上松弛变量 x ，设备 D 约束加上松弛变量 5x ，试化成标准型。（2）利用 LINDO 软件求得：最优目标函数值为18400，变量的最优取值分别为x 120 ,x 260 ,x 3,0 x40 ,x 5300，则产品的

29、最优生产计划方案是什么？并解释x 30 ,x 4,0 x 5300的经济意义。（3）利用 LINDO 软件对价值系数进行敏感性分析，结果如下：Obj Coefficient Ranges Variable Current Coef Allowable Increase Allowable Decrease 1x200 88 20 2x240 26.67 73.33 试问如果生产计划执行过程中，甲产品售价上升到 60 元，所制定的生产计划是否需要进行调整？13800元，或者乙产品售价降低（4）利用 LINDO 软件对资源向量进行敏感性分析，结果如下：Right hand Side Ranges

30、Resource Current Rhs Allowable Increase Allowable Decrease 材料4200 300 450 设备 C 3000 360 900 4500 Infinity 300 设备 D 试问非紧缺资源最多可以减少到多少，而紧缺资源最多可以增加到多少？解：（1）建立的线性规划模型为maxZ200 x 12240 x260 x 150 x4200s.t. 30 x140 x2300060 x 150 x24500 x 1,x20将其标准化maxZ200 x 1240 x2420060 x 150 x2x3s.t. 30 x140 x2x4300060 x

31、 150 x2x54500 x i0,i,1,25,（2）甲生产 20 件，乙生产 60 件，材料和设备 C 充分利用， 设备 D 剩余 600 单位。（3）甲上升到 13800 需要调整，乙下降 60 不用调整。（4）非紧缺资源设备 D 最多可以减少到 300，而紧缺资源 材料最多可以增加到300，紧缺资源 设备 C 最多可以增加到 360。第 3 章 整数规划（复习思考题）1整数规划的类型有哪些？答：纯整数规划、 0-1 规划和混合整数规划。2试述整数规划分枝定界法的思路。答：（1）首先不考虑整数条件，求解整数规划相应的线性规划问题。若相应的线性 规划问题没有可行解，停止计算，这时原整数规

32、划也没有可行解。（2）定界过程。对于极大化的整数规划问题，当前所有未分枝子问题中最大的目 标函数值为整数规划问题上界；在满足整数约束的子问题的解中，最大的目标函数值为整数规划问题的下界。当上下界相同时，则已得最优解；否则，转入剪枝过程。（3）剪枝过程。在下述情况下剪除这些分枝：若某一子问题相应的线性规划问 题无可行解； 在分枝过程中， 求解某一线性规划所得到的目标函数值 Z 不优于现有下 界。（4）分枝过程。当有多个待求分枝时，应先选取目标函数值最优的分枝继续进行分枝。选取一个不符合整数条件的变量 ix 作为分枝变量，若 ix 的值是 ib ，构造两个新的 *约束条件：x i b * 或 x

33、i b i * 1，分别并入相应的数学模型中，构成两个子问题。对任一个子问题，转步骤（1）3试用分枝定界法求如下线性规划：maxZ40 x 190 x 29x 17x256s.t.7x 120 x270 x 1,x20 x1,x2取整数解：最优整数解为：x 1,4x 22 ,Z3404有 4 名职工，由于各人的能力不同，每个人做各项工作所用的时间不同，所花费时间如表 37 所示。表 37（单位：分钟）时 间甲任 务A B C D 人员15 18 21 24 乙19 23 22 18 丙26 17 16 19 丁19 21 23 17 问指派哪个人去完成哪项工作，可使总的消耗时间最少？解：设xi

34、j1，任务i由人员j完成，ijt 为个人 i 对于任务 j 的时间耗费矩阵，则0，任务i不由人员j完成建立整数规划模型为：minZi4j41x ijtij14解得：x 12,1x 21,1s.t.xij1Z70，即任务 A 由乙完成，任i1 4xij1x 33j1xij0 或,1i,j,12 ,3 ,4,1x441，其余均为零，务 B 由甲完成，任务 C 由丙完成，任务 D 由丁完成。5某部门一周中每天需要不同数目的雇员：周一到周四每天至少需要 50 人，周五至少需要 80 人，周六周日每天至少需要 90 人，先规定应聘者需连续工作 5 天，试确定聘用方案，即周一到周日每天聘用多少人，使在满足

35、需要的条件下聘用总人数最少。解：设 ix 表示在第 i 天应聘的雇员人数（ i=1,2,3,4,5,6,7）。数学模型为minZx 1x2x 3x4x 5x 6x 7Z94x 1x 4x5x 6x 750 x 1x 2x5x 6x 750 x 1x 2x3x 6x 750 x 1x 2x3x 4x 750s.t.x 1x 2x 3x 4x580 x 2x 3x4x 5x 690 x 3x 4x 5x 6x 790 x i,0i,1 ,2, 7xi取整数,i2,1 ,7,解得：x 10 ,x 24 ,x332 ,x 410 ,x 534 ,x 610 ,x 74 ,第 4 章目标规划（复习思考题

36、）1某计算机公司生产 A，B，C 三种型号的笔记本电脑。这三种笔记本电脑需要在复杂的装配线上生产，生产一台 A，B，C 型号的笔记本电脑分别需要 5 小时、 8 小时、12 小时。公司装配线正常的生产时间是每月 1700 小时，公司营业部门估计 A，B，C三种笔记本电脑每台的利润分别是1000 元、1440 元、2520 元，而且公司预测这个月生产的笔记本电脑能够全部售出。公司经理考虑以下目标：第一目标：充分利用正常的生产能力，避免开工不足；第二目标：优先满足老客服的需求，A，B，C 三种型号的电脑各为50 台、 50 台、80 台，同时根据三种电脑三种电脑的纯利润分配不同的加权系数；第三目标

37、：限制装配线加班时间，最好不超过200 小时；100 台、 120第四目标：满足各种型号电脑的销售目标，A，B，C 三种型号分别为台、 100 台，再根据三种电脑的纯利润分配不同的加权系数；第五目标：装配线加班时间尽可能少。请列出相应的目标规划模型，并用 解：建立目标约束。（1）装配线正常生产LINGO 软件求解。设生产 A，B，C 型号的电脑为x 1,x 2,x 3（台），d 为装配线正常生产时间未利用数，d 为装配线加班时间，希望装配线正常生产，避免开工不足，因此装配线目标约束为mind112 x3d1d 117005 x 18 x 2（2）销售目标优先满足老客户的需求，并根据三种电脑的纯

38、利润分配不同的权因子，A，B，C三种型号的电脑每小时的利润是 1000, 1440, 2520，因此，老客户的销售目标约束为5 8 12min 20 d 2 18 d 3 21 d 4 x 1 d 2 d 2 50 x 2 d 3 d 3 50 x 3 d 4 d 4 80再考虑一般销售。类似上面的讨论，得到min20 d518 d621 d7x 1d5d5100 x 2d6d6120 x 3d 7d7100（3）加班限制首先是限制装配线加班时间，不允许超过mind8200 小时，因此得到5 x 18 x 212 x3d8d81900其次装配线的加班时间尽可能少，即mind112 x3d1d

39、117005 x 18 x 2写出目标规划的数学模型min G P 1 d 1 P 2 ( 20 d 2 18 d 3 21 d 4 ) P 3 d 8 P 4 ( 20 d 5 18 d 6 21 d 7 ) P 5 d 15 x 1 8 x 2 12 x 3 d 1 d 1 1700 x 1 d 2 d 2 50 x 2 d 3 d 3 50 x 3 d 4 d 4 80 x 1 d 5 d 5 100s.t.x 2 d 6 d 6 120 x 3 d 7 d 7 1005 x 1 8 x 2 12 x 3 d 1 d 1 1900 x i ,0 i ,1 2d l , d l 0 , l

40、 ,1 2 , , 8经过 LINGO 软件计算，得到 x 1 100 , x 2 55 , x 3 80，装配线生产时间为 1900 小时，满足装配线加班不超过 200 小时的要求。能够满足老客户的需求，但未能达到销售目标。销售总利润为 1001000+55 1440+80 2520=380800（元）。2已知 3 个工厂生产的产品供应给 工厂到用户的单位产品的运输费用如表4 个客户，各工厂生产量、用户需求量及从各 43 所示。由于总生产量小于总需求量，上级部门经研究后，制定了调配方案的 8 个目标，并规定了重要性的次序。表 43 工厂产量用户需求量及运费单价（单位：元）工厂 用户 1 2

41、3 4 生产量1 5 2 6 7 2 3 5 4 6 4 5 2 3 3 200 100 450 250 需求量（单位）第一目标：用户 4 为重要部门，需求量必须全部满足；第二目标：供应用户 1 的产品中，工厂 3 的产品不少于 100 个单位；第三目标：每个用户的满足率不低于 80%；第四目标：应尽量满足各用户的需求；第五目标：新方案的总运费不超过原运输问题（线性规划模型） 的调度方案的 10%；第六目标：因道路限制，工厂 2 到用户 4 的路线应尽量避免运输任务；第七目标：用户 1 和用户 3 的满足率应尽量保持平衡；第八目标：力求减少总运费。请列出相应的目标规划模型，并用LINGO 软件求解。解：假设三个工厂对应的生产量分别为 300，200，400（1）求解原运输问题由于总生产量小于总需求量，虚设工厂4，生产量为 100 个单位，到各个用户间的运费单价为 0。用 LINGO 软件求解，得到总运费是 2950 元，运输方案如下表所示。工厂 用户 1 2 3 4 生产量1 100 200 300 2 200 200 3 250 150 400 4 100 100 需求量（单位）200 100 450 250 （2）下面按照目标的重要性的等级列出目标规划的约束和目标函数。设 ijx 表示“ 工厂 i（i=1,2,3）调配给用户 j