2022届广西南宁市高三下学期第一次联考数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

2、要求的。1函数与在上最多有n个交点，交点分别为（，n），则（ ）A7B8C9D102已知函数,则方程的实数根的个数是（ ）ABCD3执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）AB4CD4已知命题：是“直线和直线互相垂直”的充要条件；命题：对任意都有零点；则下列命题为真命题的是（ ）ABCD5若，则， ， ， 的大小关系为（ ）ABCD6为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）A该市总有 15000 户低收入家庭B在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户C在该市无业人员中，低收入家庭

3、有4350户D在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有 800 户7已知随机变量满足，.若，则（ ）A，B，C，D，8是虚数单位，复数在复平面上对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限9若，则“”的一个充分不必要条件是ABC且D或10已知函数,关于的方程R)有四个相异的实数根,则的取值范围是()ABCD11是定义在上的增函数，且满足：的导函数存在，且，则下列不等式成立的是（ ）ABCD12已知l，m是两条不同的直线，m平面，则“”是“lm”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知点M是

4、曲线y2lnxx23x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为_14已知函数的最小值为2，则_15在中， ，则_.16已知x，y满足约束条件x-y-10 x+y-302y+10，则z=2x-y的最小值为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在平面直角坐标系中，曲线：（为参数，），曲线：（为参数）.若曲线和相切.（1）在以为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，求曲线的普通方程；（2）若点，为曲线上两动点，且满足，求面积的最大值.18（12分）某单位准备购买三台设备，型号分别为已知这三台设备均使用同一种易耗品，提供设备的商家规定：可以在购

5、买设备的同时购买该易耗品，每件易耗品的价格为100元，也可以在设备使用过程中，随时单独购买易耗品，每件易耗品的价格为200元.为了决策在购买设备时应购买的易耗品的件数.该单位调查了这三种型号的设备各60台，调査每台设备在一个月中使用的易耗品的件数，并得到统计表如下所示.每台设备一个月中使用的易耗品的件数678型号A30300频数型号B203010型号C04515将调查的每种型号的设备的频率视为概率，各台设备在易耗品的使用上相互独立.（1）求该单位一个月中三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率；（2）以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据，该单位在购买设备时应同时购买20件还是2

6、1件易耗品？19（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，直线与椭圆相交于两点，线段的中点为.当与连线的斜率为时，直线的倾斜角为（1）求椭圆的标准方程；（2）若是以为直径的圆上的任意一点，求证：20（12分）已知函数（）若，求曲线在点处的切线方程；（）若在上恒成立，求实数的取值范围；（）若数列的前项和，求证：数列的前项和.21（12分）椭圆：的左、右焦点分别是，离心率为，左、右顶点分别为，.过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）经过点的直线与椭圆相交于不同的两点、（不与点、重合），直线与直线相交于点，求证：、三点共线.22（10分）如图，在直三棱柱中，

7、点分别为和的中点.（）棱上是否存在点使得平面平面？若存在，写出的长并证明你的结论；若不存在，请说明理由.（）求二面角的余弦值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【解析】根据直线过定点，采用数形结合，可得最多交点个数， 然后利用对称性，可得结果.【详解】由题可知：直线过定点且在是关于对称如图通过图像可知：直线与最多有9个交点同时点左、右边各四个交点关于对称所以故选：C【点睛】本题考查函数对称性的应用，数形结合，难点在于正确画出图像，同时掌握基础函数的性质，属难题.2D【解析】画出函数 ,将方程看作交点个数，运用图象判

8、断根的个数【详解】画出函数令有两解 ，则分别有3个，2个解，故方程的实数根的个数是3+2=5个故选：D【点睛】本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题3A【解析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的的值，当，退出循环，输出结果.【详解】程序运行过程如下：，；，；，；，；，；，；，退出循环，输出结果为，故选：A.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有判断程序框图输出结果，属于基础题目.4A【解析】先分别判断每一个命题的真假，再利用复合命题的真假判断确定答案即可.【详解】当时，直线和直线，即直线为和直线互相垂直，所以“”

9、是直线和直线互相垂直“的充分条件，当直线和直线互相垂直时，解得.所以“”是直线和直线互相垂直“的不必要条件.：“”是直线和直线互相垂直“的充分不必要条件，故是假命题当时，没有零点，所以命题是假命题所以是真命题，是假命题，是假命题，是假命题故选：【点睛】本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系，考查二次函数的图象， 考查学生对这些知识的理解掌握水平.5D【解析】因为，所以，因为，所以,.综上；故选D.6D【解析】根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案.【详解】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%，则该市总有低收入家庭9006%15000（户），A正确

10、，该市从业人员中，低收入家庭共有1500012%1800（户），B正确，该市无业人员中，低收入家庭有1500029%4350（户），C正确，该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有150004%600（户），D错误故选：D.【点睛】本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基础题.7B【解析】根据二项分布的性质可得：，再根据和二次函数的性质求解.【详解】因为随机变量满足，.所以服从二项分布，由二项分布的性质可得：，因为，所以，由二次函数的性质可得：，在上单调递减，所以.故选：B【点睛】本题主要考查二项分布的性质及二次函数的性质的应用，

11、还考查了理解辨析的能力，属于中档题.8D【解析】求出复数在复平面内对应的点的坐标，即可得出结论.【详解】复数在复平面上对应的点的坐标为，该点位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数对应的点的位置的判断，属于基础题.9C【解析】，当且仅当 时取等号.故“且 ”是“”的充分不必要条件.选C10A【解析】=,当时时,单调递减，时,单调递增,且当,当,当时，恒成立，时,单调递增且,方程R)有四个相异的实数根.令=则,即.11D【解析】根据是定义在上的增函数及有意义可得，构建新函数，利用导数可得为上的增函数，从而可得正确的选项.【详解】因为是定义在上的增函数，故.又有意义，故，故，所以.令，则，故在

12、上为增函数，所以即，整理得到.故选：D.【点睛】本题考查导数在函数单调性中的应用，一般地，数的大小比较，可根据数的特点和题设中给出的原函数与导数的关系构建新函数，本题属于中档题.12A【解析】根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可.【详解】当m平面时，若l”则“lm”成立，即充分性成立，若lm，则l或l，即必要性不成立，则“l”是“lm”充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】先求导数可得切线斜率，利用基本不等式可得切点

13、横坐标，从而可得切线方程.【详解】，1时有最小值1，此时M(1，2)，故切线方程为：，即故答案为：.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，切点处的导数值等于切线的斜率是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.14【解析】首先利用绝对值的意义去掉绝对值符号，之后再结合后边的函数解析式，对照函数值等于2的时候对应的自变量的值，从而得到分段函数的分界点，从而得到相应的等量关系式，求得参数的值.【详解】根据题意可知，可以发现当或时是分界点，结合函数的解析式，可以判断0不可能，所以只能是是分界点，故，解得，故答案是.【点睛】本题主要考查分段函数的性质，二次函数的性质，函数最值的求解等知识，意在考查学生的转

14、化能力和计算求解能力.15【解析】先由题意得：，再利用向量数量积的几何意义得，可得结果.【详解】由知：，则在方向的投影为，由向量数量积的几何意义得：，故答案为【点睛】本题考查了投影的应用，考查了数量积的几何意义及向量的模的运算，属于基础题.1632【解析】先根据约束条件画出可行域，再由y=2x-z表示直线在y轴上的截距最大即可得解.【详解】x，y满足约束条件x-y-10 x+y-302y+10，画出可行域如图所示.目标函数z=2x-y，即y=2x-z.平移直线y=2x-z，截距最大时即为所求.2y+1=0 x-y-1=0点A（12，-12），z在点A处有最小值：z212+12=32，故答案为：

15、32.【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）；（2）【解析】（1）消去参数，将圆的参数方程，转化为普通方程，再由圆心到直线的距离等于半径，可求得圆的普通方程，最后利用求得圆的极坐标方程.（2）利用圆的参数方程以及辅助角公式，由此求得的面积的表达式，再由三角函数最值的求法，求得三角形面积的最大值.【详解】（1）由题意得：，：因为曲线和相切，所以，即：；（2）设，所以所以当时，面积最大值为【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查直角坐标方程转化为极坐标方程

16、，考查利用参数的方法求三角形面积的最值，属于中档题.18（1）（2）应该购买21件易耗品【解析】（1）由统计表中数据可得型号分别为在一个月使用易耗品的件数为6,7,8时的概率,设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X,则,利用独立事件概率公式进而求解即可；（2）由题可得X所有可能的取值为,即可求得对应的概率,再分别讨论该单位在购买设备时应同时购买20件易耗品和21件易耗品时总费用的可能取值及期望,即可分析求解.【详解】（1）由题中的表格可知A型号的设备一个月使用易耗品的件数为6和7的频率均为；B型号的设备一个月使用易耗品的件数为6,7,8的频率分别为；C型号的设备一个月使用易耗品的件数

17、为7和8的频率分别为；设该单位一个月中三台设备使用易耗品的件数分别为,则,设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X,则而,故,即该单位一个月中三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率为.（2）以题意知,X所有可能的取值为；由（1）知,若该单位在购买设备的同时购买了20件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为元,则的所有可能取值为,；若该单位在肋买设备的同时购买了21件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为元,则的所有可能取值为,；,所以该单位在购买设备时应该购买21件易耗品【点睛】本题考查独立事件的概率,考查离散型随机变量的分布列和期望,考查数据处理能力.19（1）

18、；（2）详见解析.【解析】（1）由短轴长可知，设，由设而不求法作差即可求得，将相应值代入即求得，椭圆方程可求；（2）考虑特殊位置，即直线与轴垂直时候，成立，当直线斜率存在时，设出直线方程，与椭圆联立，结合中点坐标公式，弦长公式，得到与的关系，将表示出来，结合基本不等式求最值，证明最后的结果【详解】解：（1）由已知，得由，两式相减，得根据已知条件有，当时，即椭圆的标准方程为（2）当直线斜率不存在时，不等式成立.当直线斜率存在时，设由得，由化简，得令，则当且仅当时取等号当且仅当时取等号综上，【点睛】本题为直线与椭圆的综合应用，考查了椭圆方程的求法，点差法处理多未知量问题，能够利用一元二次方程的知识

19、转化处理复杂的计算形式，要求学生计算能力过关，为较难题20 ()；()；()证明见解析.【解析】试题分析：将，求出切线方程求导后讨论当时和时的单调性证明，求出实数的取值范围先求出、的通项公式，利用当时，得，下面证明：解析：（）因为，所以，切点为.由，所以，所以曲线在处的切线方程为，即（）由，令，则（当且仅当取等号）.故在上为增函数.当时，,故在上为增函数，所以恒成立，故符合题意；当时，由于，根据零点存在定理，必存在，使得，由于在上为增函数，故当时，,故在上为减函数， 所以当时，,故在上不恒成立，所以不符合题意.综上所述，实数的取值范围为（III）证明：由由（）知当时，故当时， 故，故.下面证明：因为而，所以，即：点睛：本题考查了利用导数的几何意义求出参数及证明不等式成立，借助第二问的证明过程，利用导数的单调性证明数列的不等式，在求解的过程中还要求出数列的和，计算较为复杂，本题属于难题21（1）；（2）见解析【解析】（1）根据已知可得，结合离心率和关系，即可求出椭圆的标准方程；（2）斜率不为零，设的方程为，与椭圆方程联立，消去，得到纵坐标关系，求出方程，令求出坐标，要证、三点共线，只需证，将分子用纵坐标表示，即可证明结论.【详解】（1）由于，将代入椭圆方程，得，由题意知，即.又，所以，.所以椭圆的方程为.（2）解法一：依题意直线斜率不为0，设的方