高考数学概率与统计部分知识点梳理

高考数学概率与统计部分知识点梳理高考复习专题之:概率与统计一、概率:随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.0()1,,PA,(随机事件A的概率，其中当时称为必然事件;当时称为不可能事件P(A)=0;PA()1,PA()0,注:求随机概率的三种方法:(一)枚举法例1如图1所示，有一电路是由图示的开关控制，闭合a，b，c，ABd，e五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路(则使电路形成通路的概率是(分析:要计算使电路形成通路的概率，列举出闭合五个开关中的任意两个可能出现的结果总数，从中找出能使电路形成通路的结果数，根据概率的意义计算即可。解:闭合五个开关中的两个，可能出现的结果数有10种，分别是ab、ac、ad、ae、bc、bd、be、cd、ce、de，63其中能形成通路的有6种，所以p(通路)==510评注:枚举法是求概率的一种重要方法,这种方法一般应用于可能出现的结果比较少的事件的概率计算.(二)树形图法例2小刚和小明两位同学玩一种游戏(游戏规则为:两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局(例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜;又如，两人同时出象牌，则两人平局(如果用A、B、C分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用A、B、C分别表示小明111的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少,分析:为了清楚地看出小亮胜小刚的概率，可用树状图列出所有可能出现的结果，并从中找出小刚胜小明可能出现的结果数。解:画树状图如图树状图。由树状图(树形图)或列表可知，可能出现的结果有9种，而且每种结果出现的可能性相同，其中小刚胜小明的结果有3种(所1以P(一次出牌小刚胜小明)=3点评:当一事件要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通过画树形图的方法来计算概率(三)列表法例3将图中的三张扑克牌背面朝上放在桌面上，从中随机摸出两张，并用这两张扑克牌上的数字组成一个两位数(请你用画树形(状)图或列表的方法求:(1)组成的两位数是偶数的概率;(2)组成的两位数是6的倍数的概率(分析:本题可通过列表的方法，列出所有可能组成的两位数的可能情况，然后再找出组成的两位数是偶数的可能情况和组成两位数-1-是6的倍数的可能情况。解:列的表格如下:根据表格可得两位数有:23，24，32，34，42，43(所21以(1)两位数是偶数的概率为((2)两位数是6的倍数的概率为(33点评:当一事件要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通过画树形图的方法来计算概率m2.等可能事件的概率(古典概率):P(A)=。n3、互斥事件:(A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生)。计算公式:P(A+B),P(A)+P(B)。4、对立事件:(A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生)。计算公式是:P(A)+P(B),,;P()=1,P(A);A5、独立事件:(事件A、B的发生相互独立，互不影响)P(A•B),P(A)•P(B)。BAAB提醒:(1)如果事件A、B独立，那么事件A与、与B及事件与也都是独立事件;(2)如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个不发,生的概率是1,P(AB),1,P(A)P(B);(3)如果事件A、B相互独立，那么ABAB,事件A、B至少有一个发生的概率是1,P(),1,P()P()。kknk,PkCpp()(1),,k6、独立事件重复试验:事件A在n次独立重复试验中恰好发生了次的概率(是二项nn((((((n展开式的第k+1项)，其中p为在一次独立重复试验中事件A发生的概率。[(1)],，pp提醒:(1)探求一个事件发生的概率，关键是分清事件的性质。在求解过程中常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理，把所求的事件:转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识);转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率;利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率;看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率，但要注意公式的使用条件。(2)事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件;(3)概率问题的解题规范:?先设事件A=“„”，B=“„”;?列式计算;?作答。二、随机变量.1.随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件:?试验可以在相同的情形下重复进行;?试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个;?每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。它就被称为一个随机试验.2.离散型随机变量:如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随f(x),,a,，b机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，是f(,)连续函数或单调函数，则也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.x,x,？,x,？设离散型随机变量ξ可能取的值为:12ix(i,1,2,？)P(,,x),pξ取每一个值的概率，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.1ii-2-,xxx„„12ipppP„„12ip,0,i,1,2,？p，p，？，p，？,1有性质:?;?.112i,注意:若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如:,,[0,5]即可以取0,5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.3.?二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次kkn,kk,0,1,？,n,q,1,p的概率是:[其中]于是得到随机变量ξ的概率分布如下:我们称这样的P(ξ,k),Cpqnkkn,k,随机变量ξ服从二项分布，记作,B(n?p)，其中n，p为参数，并记.Cpq,b(k;n,p)n?二项分布的判断与应用.?二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.?当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.A,,k4.几何分布:“”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为，kA,P(A),q事A不发生记为，那么.根据相互独立事件的概率乘法分式:P(ξ,k),P(AA？AA)kk2k,1k1k,1于是得到随机变量ξ的概率分布列.,qp(k,1,2,3,？)P(ξ,k),P(A)P(A)？P(A)P(A)12k,1k,123„k„2k,1qpPqqp„„qpk,1q,1,p.k,1,2,3？我们称ξ服从几何分布，并记，其中g(k,p),qpn(1,n,N)5.?超几何分布:一批产品共有N件，其中有M(M,N)件次品，今抽取件，则其中的次品数ξ是knk,C,CMNM,一离散型随机变量，分布列为.〔分子是从M件次品中取k件，从P(ξ,k),,(0,k,M,0,n,k,N,M)nCNrN-M件正品中取n-k件的取法数，如果规定,时，则k的范围可以写为k=0，1，„，n.〕mrC,0m?超几何分布的另一种形式:一批产品由a件次品、b件正品组成，今抽取n件(1?n?a+b)，则次品数ξ的,knkC,Cab分布列为.P(ξ,k),k,0,1,？,n.nC，ab?超几何分布与二项分布的关系.设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则n(η,k)a，b其中次品数,的分布列可如下求得:把个产品编号，则抽取n次共有个可能结果，等可能:含(a，b)kkn,kaCabaakkn,kkkn,knB(n,)个结果，故，即,,.[我们先为k个次CabP(η,k),,C()(1,),k,0,1,2,？,nnnna，ba，ba，b(a，b)k品选定位置，共种选法;然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法]可以证明:当产品总数CnP(ξ,k),P(η,k)很大而抽取个数不多时，，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放-3-回抽样.三、数学期望与方差.1.期望的含义:一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为,xxx„„12ipppP„„12iE,,xp，xp，？，xp，？则称为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型1122nn随机变量取值的平均水平.,,a,，bE,,E(a,，b),aE,，b2.?随机变量的数学期望:E(b),b?当时，，即常数的数学期望就是这个常数本身.a,0E(,，b),E,，b?当时，，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.a,1E(a,),aE,?当b,0时，，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.?单点分布:其分布列为:.E,,c，1,cP(,,1),cξ01?两点分布:，其分布列为:(p+q=1)E,,0，q，1，p,pPqp!nkn,k,二项分布:其分布列为,?E,,k,p,q,np,!()!kn,kB(n,p),.(P为发生的概率)1q(k,p),,?几何分布:E,,其分布列为,.(P为发生的概率)p3.方差、标准差的定义:当已知随机变量ξ的分布列为时，则称P(,,x),p(k,1,2,？)kk222D,,0为ξ的方差.显然，故为ξ的根方差或标准差.随机,,,D,.,,,D,(x,,E)p，(x,E,)p，？，(x,E,)p，？1122nnD,变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波((((((((((动越小.((((4.方差的性质.2,,a,，b?随机变量的方差.(a、b均为常数)D(,),D(a,，b),aD,P(,,1),pD,,0?单点分布:其分布列为ξ01D,,pq?两点分布:其分布列为:(p+q=1)PqpD,,npq?二项分布:q?几何分布:D,,2p5.期望与方差的关系.E(,,,),E,,E,E,E,?如果和都存在，则E,,(),E,,E,,D(,，,),D,，D,,?设ξ和是互相独立的两个随机变量，则22,E,,E,,0E,?期望与方差的转化:?(因为为一常数).E(,,E,),E(,),E(E,)D,,E,,(E,)-4-四、正态分布.(基本不列入考试范围)[a,b)1.密度曲线与密度函数:对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间内的概率等于它与x轴.?y直线与直线所围成的曲边梯形的面积x,bx,ay=f(x)(如图阴影部分)的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为f(x)x,(,,,，,)图像的函数叫做ξ的密度函数，由于“”xab是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.2,()x,,122,2.?正态分布与正态曲线:如果随机变量ξ的概率密度为:.(x,R,,,,为常数，且)，(),,0fx,e2,,22f(x),称ξ服从参数为的正态分布，用,表示.的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正,,,N(,,,)N(,,,)态曲线.22,?正态分布的期望与方差:若,，则ξ的期望与方差分别为:.N(,,,)E,,,,D,,,?正态曲线的性质.?曲线在x轴上方，与x轴不相交.?曲线关于直线对称.x,,?当时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲x,,线.?当,时，曲线上升;当,时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，,,xx向x轴无限的靠近.?当,一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散;越小，曲线越“瘦,,,高”，表示总体的分布越集中.2x,12,(x),e(,,,x,，,)3.?标准正态分布:如果随机变量ξ的概率函数为，则称ξ服从标准正态分布.即,2ξN(0,1),(x),P(,,x),(x),1,,(,x)P(a,,,b),,(b),,(a),,有，求出，而P(a,?b)的计算则是.,(x),(x),(x),0.5,(x),0.5注意:当标准正态分布的的X取0时，有当的X取大于0的数时，有.比如?y,,0.5,0.5,S,(),0.0793,0.5则必然小于0，如图.,,2,?正态分布与标准正态分布间的关系:若,则ξ的分布函数通N(,,,)xx,μF(x)P(ξ,x),F(x),,()a常用表示，且有.σ标准正态分布曲线S=0.5Sa=0.5+S阴-5-4.?“3”原则.,假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步:?提出统计假设，统计假设里的变量服从正态2a,(,,3,,,，3,)分布.?确定一次试验中的取值是否落入范围.?做出判断:如果，接(,,3,,,，3,)aN(,,,)a,(,,3,,,，3,)受统计假设.如果，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.2(,,3,,,，3,)?“3”原则的应用:若随机变量ξ服从正态分布则ξ落在内的概率为99.7,亦即落,N(,,,)(,,3,,,，3,)在之外的概率为0.3,，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格(即ξ不服从正态分布).时间:90分钟满分:100分姓名:学号:高二()班一、选择题:(每小题2分，共36分)1、从12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，任意抽出3个的必然事件是(D)。A、3件都是正品B、至少有1件是次品C、3件都是次品D、至少有1件是正品2、从标有1、2、3、„、9的9张纸片中任取2张，那么这2张纸片数字之积为偶数的概率是(C)713111A、B、C、D、18181823、有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20零件中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是(D)。1222123C,CC,C，CC,C16416416416A、B、C、D、以上都不对333CCC2020204、假设在200件产品中有3件次品，从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的概率是(A)23325145523C,C，C,CC,CCC,CC,C1973197A、B、C、D、5555CCCC200200200200-6-5、某厂大量生产某种小零件，经抽样检验知道其次品率是1%，现把这种小零件每6件装成1盒，那么每盒中恰好含有1件次品的概率是(C)。111199615224A、B、0.01C、D、()C(1,)C()(1,)006、在100个产品中有4件次品，从中抽取2个，则2个都是次品的概率是(C)。1111A、B、C、D、502582549507、打靶时，A每打10次可中靶8次，B每打10次可中靶7次，若2人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是(A)。141233A、B、C、D、252545、若A以10发8中，B以10发7中，C以10发6中的命中率打靶，3人各射击1次，则3人8中只有1人命中的概率是(B)。2147342A、B、C、D、250750202501119、A、B、C3人射击命中目标的概率分别是,,，现在3人同时射击一个目标，目标被击中2412的概率是(C)。471215A、B、C、D、969632610、一人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的对立事个是(C)。A、至多有一次中靶B、2次都中靶C、两次都不中靶D、只有1次中靶11、把红、黑、蓝、白4张纸分发给A、B、C、D4个人，每人分得1张，则事件“A分得红纸”与事件“B分得红纸”是(C)。A、对立事件B、不可能事件C、互斥但不对立事件D、以上不对12、袋中有6个白球，4个红球，从中任取2球，抽到白球、红球各1个的概率为(C)。2244A、B、C、D、以上不对45154513、把12个人平均分成2组，再从每组里任意指定正、副组长各1人，其中A被选定为正组长的概率是(B)。-7-1111A、B、C、D、1264314、A、B、C、D、E站成1排，A在B的右边(A与B可以不相邻)的概率是(C)。221A、B、C、D、以上不对53215、有一均匀颗的骰子，将它先后掷2次，则掷得的点数之和等于5点的概率是(C)。1111A、B、C、D、9126316、把10本不同的书任意放在书架上，其中指定的3本书彼此相邻的概率是(D)1111A、B、C、D、101512617、有一批蚕豆种子，如果每一粒发育的概率是0.9，播下15粒种子，那么恰有14粒种子发芽的概率是(D)。1414141414141,0.9B、0.9C、D、A、C0.9(1,0.9)C0.9(1,0.9)151518、盒中有100个铁钉，其中有90个是合格的，10个是坏的.从中任意抽取10个，其中没有一个坏铁钉的概率是(D)10C190A、0.9B、C、0.1D、109C100二、填空题:(每空2分，共44分)1、从1,2，3，„,9这9个数字中任取2个数字，(1)2个数字都是奇数的概率是5/18;(2)2个数字之和为偶数的概率是4/9。2、袋中有3个5分的硬币，3个2分的硬币和4个1分的硬币，从中任取3个，总数超过8分的概率是31/120。3、从编号为1,100的100张卡中，所得编号是4的倍数的概率是1/4。4、从编号分别为0,99的100张卡片中，(1)不放回地取2张，则其中恰好有1个编号是01991的概率为1/50;(2)有放回地取出2张，其中恰好有1个编号是0的概率为。C,21001005、从数字1、2、3、4、5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则:(1)这个三位数是5-8-的倍数的概率是1/5;(2)这个三位数大于400的概率是2/5。3C956、在100件产品有5件次品，现从中任取3件:(1)都是正品的概率是;3C100123CCC59595(2)至少有1件是次品的概率是;(3)恰好有1件是次品的概率是1,33CC1001007、1种新型药品，给1个病人服用后治愈的概率是95%，则服用这种新型药品的4位病人中，至少有3人被治愈的概率是0.99。8、某仪表内装有m个同样的电子元件，其中任意一个电子元件损坏时，这个仪表就不能工作的，如果在某段时间