离散数学：6-6域的特征_第1页
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1、6.6 域的特征 素域6.6.1 域的特征定义：若有壹交换无零因子环的任意理想是主理想，则称主理想环。主理想是理想，但理想未必是主理想。证明：证I的任意理想N是主理想（1）若N=0，显然N是主理想（2）现N中不只有一个元素，则在N中必有一个绝对值最小的非零元素，设为a，显然，a生成的理想(a)=aIN。任取bN，若b=aq+r，0ra，因b，aqN，所以r=b-aqN，但a绝对值最小，只能r=0，这样b=aqaI，所以NaI,于是N=aI，是主理想，证毕结论1：整数环I是主理想环。2、设有整数环I，任意域F，则(n)=ne，是I到F内映射，其中e是F中乘法单位元，因为 (m+n)=(m+n)e

2、=me+ne=(m)+(n) (mn)=mne=(me)(ne)=(m)(n)所以是同态映射。 6.6.1 域的特征3、 考查映射IF内，有核N是I的一个理想，又已知整数环I是主理想环，所以核N是主理想，设这理想由整数P生成，于是N=(P)=PI。 6.6.1 域的特征证明：P是F中e的加法周期。4、 若P=0则ne=0n=0 证：（）P=0，核N=0, 因为ne=0则(n)=0 所以nN， 即n=0 （）显然 这表明此时e在加法群中周期是0（或） 6.6.1 域的特征 5、 若P0则ne=0 p|n证：（）若ne=0，即(n)=0， 于是nN=PI，因为PI中任意元是P的倍数，故p|n。 （

3、）若p|n，则nN， 所以， (n)= ne=0 这表明此时e在加群的周期是P。 对于域F而言，P是唯一确定的，只与域F有关，称为域的特征6.6.1 域的特征6、域F中任意非零元在加群中周期也是P例：剩余环 之特征为5 。因为6.6.1 域的特征 7、(定理6.6.1) 任意域F的特征P是零或一质数。 证：若P0， 往证P是质数。 若不然P=hk， 1hp ，1kp 则 (he)(ke)=(hk)e=pe=0 因域中无零因子，则(he)、(ke)必有一为零，但P为周期，而kp，h0，na=a+a，0a=0，(-n)a=-na。 (2)现在认为Rp是F子域，p=0时，n可认为是有理数。于是可认为是F的元素，p是质数时，n可模p看，也是F中的元素，于是na可解释为F中两元素相乘，两种解释结果相同。但在无壹环中只能用第一种解释。特征为0的域必为无限域；特征为p的域可有限，也可无限。 6.6.2 素域特征为质数p的域F的简单性质： （1） 若a，bF，则(a+b)p=ap+bp； 例如，在R2上，a2+b2=(a+b)2。 （2） (a-b)p=ap-bp； （3） （4） (a1+a2+an)p=a1p+anp （5

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