第三讲——线性码与线性分组码again

1、第三讲线性码与线性分组码1编码与译码对 二进制(n, k)码，信息数量（或合法码字数）为2k，可用编码空间的点数为2n个。任一种2k信息集合到二进制序列集合(2n)的映射都是一种(n, k)码。因此总共可能的编码方案有 种。如，共有1029种(100,50)码。译码运算量：如果直接用最大似然序列译码，对一般性的编码而言，正比于n* 2k ，对(100,50)码，则为1017。几乎是不可能译码的。2为什么要引入线性码发现或构造好码是信道编码研究的主要问题编码方案太多，以至全局搜索是不可能的现实的做法是对编码方案加以一定的约束，在一个子集中寻找局部最优这种约束即要能包含尽可能好的码，又要便于分析，

2、便于译码目前对线性系统的研究远比非线性系统充分3线性码的定义码字集中的元之间的任意线性组合仍是合法码字，即对线性组合运算封闭的码字集，称为线性码因此，为了构成线性空间，必须首先定义运算4群定义了一种运算的集合群运算封闭有恒等元有逆元满足结合律交换群满足交换律的群5环定义了两种运算的集合按第一种运算（不妨称为加法）构成交换群第二种运算（不妨称为乘法）满足以下条件封闭性结合律与加法间满足分配律6域一种特殊的环乘法有恒等元（称为1元），且除了加法的恒等元（称为0元）以外有逆的环除0元外，对乘法构成交换群无限域和有限域有理数、实数和复数都是无限域信道编码中用到的是有限域，GF(q)两者在空间意义上有很

3、强的可类比性7子群与陪集就给定群G所定义的（加法）运算封闭的非空子集H，称H为G的子群G中任一元g与H相加得到的子集称为H的陪集举例陪集不相交陪集首商集整数群的子群m的所有倍数剩余类8线性空间、线性码与线性分组码利用线性空间中的子空间作为许用码字的编码称线性码当线性空间为有限维空间时即为线性分组码GF(q)上的n维线性空间Vn中的一个k维子空间Vn,k称为(n,k)线性分组码9线性分组码的特点全零序列是许用码字与任一码字的距离谱都相同只须考虑重量谱自由距就是最小码重量平均差错概率就是当发全零序列时的条件差错概率：Pe=x1P(x1)P(e|x1)= P(e|全零)10码的球半径和覆盖半径码空间

4、中以许用码字为中心半径相等的互不相交的球，其最大半径称为码的球半径 s(C)，对自由距为d的码，球半径为s(C) = (d-1)/2可以覆盖整个码空间的以许用码字为中心半径相等的球，其最小半径称为码的覆盖半径 t(C)，显然球半径不大于覆盖半径当相等时称为完备码，在k和d相不变的码中n最小当给定编码参数n和k时，覆盖半径越小码距就可以越大11线性码的矢量与矩阵表示(n,k)线性分组码是GF(q)上的n维线性空间中k个线性无关的向量c1,c2,ck张成的对码空间中任一个码字C0可表示为将所有矢量写成行向量的形式：c0=d*G生成矩阵12校验矩阵若C是n维线性空间的一个k维子空间，则必存在一个的n

5、-k维子空间H，它与C互为零空间。即CH，或CH=。中任一矢量r是许用码字的充要条件是校验矩阵13对偶码用校验矩阵H中行矢量张成的子空间是一个(n ,n-k)线性分组码，它与码C互为对偶码14自由距与校验矩阵校验矩阵的秩为df -1例：纠一个错的码设计自由距至少为3校验矩阵的秩至少为2，即任两个列矢量不同当冗余位数m固定时，最多的非零列矢量个数为2m -1最高效率为(2m-1，2m-1-m，3)码，称为汉明码，是完备码汉明码的对偶码为2(2m-1，m，2m-1)码，等价于m序列，又称极长码，如果用BPSK，并看成2m进制调制时，是一种自相关性最好的调制方式15我们能得到多大的自由距？在大部分情

6、况下，自由距是码设计的首选目标它代表了渐近性能大部分分组译码算法的译码能力也限于自由距普洛特金限（Plotkin）,自由距小于平均距： d nqk-1(q-1)/(qk-1) 或 k/n1-2d/n汉明限，球包限：k/n1-H2(d/2n)沃尔沙莫夫-吉尔伯特（V-G）限，H阵的秩与距离的关系：k/n1-H2(d/n)其中 H2(x) = -xlog2x (1-x)log2(1-x)16最大的自由距存在区间17线性分组码译码的基本方法码C作为一个子群，它的每一个陪集在码C的正交空间H中的投影是一个点，而不同的陪集投影不同。每一个陪集有一个最小码重，作为陪集首，代表最可能的错误图案。这就引出了伴随式译码：s=rHT，将s与最可能的e建一张表，即可通过查表法实现译码。18小结：引入线性码的好处简化了分析：距离谱变成