行测数量盈亏和牛吃草问题非常好的思路和解析附练习题

1、. 【盈亏问题公式】1一次有余盈，一次不够亏，可用公式：盈+亏两次每人分配数的差=人数。2两次都有余盈，可用公式：大盈-小盈两次每人分配数的差=人数。3两次都不够亏，可用公式：大亏-小亏两次每人分配数的差=人数。4一次不够亏，另一次刚好分完，可用公式：亏两次每人分配数的差=人数。5一次有余盈，另一次刚好分完，可用公式：盈两次每人分配数的差=人数。例1：一个植树小组去栽树，如果每人栽3棵，还剩下15棵树苗；如果每人栽5棵，就缺少9棵树苗。求这个小组有多少人？一共有多少棵树苗？分析：如果每人栽3棵，还剩下15棵树苗，也就是说还有15棵树苗没有栽上，树苗余下了；又知如果每人栽5棵，就缺少9棵树苗，这

2、就是说，树苗不够了。按照第一种方案去栽，树苗余下了，假设按照第二种方案去栽，树苗缺乏了。一个是余下一个是缺乏，这两个方案之间相差多少棵呢？相差159=24棵，也就是说，如果按照第二种方案去栽的话，可以比第一种方案多栽24棵树。为什么能多栽24棵树呢？因为每个人多栽5-3=2棵。由于每一个人多栽2棵树，一共多栽24棵树，即2棵树对应于1个人。这样，小组的人数可以求得。随之，树苗的棵数也可以求得。计算：1小组的人数：1595-3=242=12人2树苗的棵数：312+15=51棵答：这个小组有12人，一共有51棵树苗。在解题时，常常要找两个差。一个是总棵数之差，即第一种方案同第二种方案所栽树苗的总差

3、数；另一个是单量之差，即每个人所栽树苗的差。有了这两个差即可求出结果。因此，这种解题的思路也可以称作根据两个差求未知数。例2：悦悦每天早晨7点30分从家出发上学去，如果每分钟走45米，则迟到4分钟到校；如果每分钟走75米，则可以提前4分钟到校。求从家出发需要走多少分钟才能准时到校？悦悦的家离学校有多少米？分析：如果悦悦每分钟走45米，则迟到4分钟，这就是说，按照规定到校的时刻来说，还距离学校有454=180米的路；又知如果每分钟走75米，则可以提前4分钟到校，这就是说，到校之后还可以多走出754=300米的路。这样，一个慢一个快，在同样时间之，速度快要比速度慢多走出180+300=480米的路

4、。又知每分钟多走75-45=30米。总之，由于每分钟多走30米，一共多走出480米；因此，从家到学校所需要的时间就可以求出来了，随之，悦悦的家距离学校的米数也可以求出来了。计算：1准时到校需要多少分钟？454+75475-45=48030=16分钟2悦悦家与学校距离多少米？4516+454=720+180=900米答：准时到校需要16分钟，悦悦家离学校900米。例3：晶晶读一本故事书，原方案假设干天读完。如果每天读11页，可以比原方案提前2天读完；如果每天读13页，可以比原方案提前4天读完。求原方案多少天读完？这本书共有多少页？分析：如果每天读11页，可以比原方案提前2天读完，这就是说，如果继

5、续读2天的话，还可以多读112=22页；又知如果每天读13页，可以比原方案提前4天读完，这就是说，如果继续读4天的话，还可以多读134=52页。两种情况，虽然都可以多读，但是它们之间有差异。就是说，在一定的日期之，第二种方法比第一种方法多读52-22=30页。为什么能多读30页呢？就是因为每天多读13-11=2页。由于每天多读2页，结果一共可以多读30页。这是多少天读的呢，问题不就解决了吗！计算：1原方案多少天读完这本书？134-11213-11=52-222=302=15天2这本书共有多少页？1115-2=1113=143页练习题1、幼儿园把一箱苹果分给一批小朋友，如果每人2个，则多18个，

6、如果每人3个，则少12个。问幼儿园有多少个小朋友？一共有多少个苹果？2、一堆桃子分给一群猴子，如果每只猴子分10个桃子，则有两只猴子没有分到；如果每只猴子分8个桃子，则刚好分完。求有多少只猴子？多少个桃子？3、实验小学学生乘车春游，如果每车坐60人，则有15人上不了车；如果每车坐65人，恰好多出一辆车。问一共有几辆车？有多少个学生？4、学生分练习本，如果每人分4本，则多8本；如果有1人分10本，其余每人分6本，则缺18本。学生有多少人？练习本有多少本？5、小强从家到学校，如果每分走50米，上课就要迟到3分；如果每分走60米，就可以比上课时间提前2分到校。小强家到学校的路程是多少千米？6、华离家

7、到县城去上学，他以每分50米的速度走了2分后，发现按这个速度走下去就要迟到8分。于是他加快了速度，每分多走10米，结果到校时，离上课还有5分。华家到学校的路程是多少？7、一组学生植树，每人栽6棵还剩4棵；如果其中3人各栽5棵，其余每人各栽7棵，正好栽完。这一组学生有多少人？一共栽多少棵？8、小红的爷爷买回一筐梨，分给全家人。如果小红和小妹两人每人分4个，其余每人分两个，还多出4个；如果小红一人分6个，其余每人分4个，又差12个。小红家有多少人？这筐梨有多少个？9、学校有一批树苗，交给假设干少先队员去栽，一次一次往下分，每次分一棵，最后剩下12棵不够分了；如果再拿来8棵树苗，则每个少先队员正好栽

8、10棵。参加栽树的少先队员有多少人？原有树苗多少棵？10、有一批正方形的砖，排成一个大正方形，余下32块；如果将它们改排成每边比原来多一块砖的正方形，就要差49块。这批砖原有多少块？11、*年级同学春游时租船游湖，假设每只船乘10人，还多2个座位；假设每只船多坐2人，可少租一条船，这时每人可节省5角钱。租一只船需要多少钱？12、小到市场去买肉，如果买牛肉18千克，则差4元；如果买猪肉20千克，则多2元。牛肉比猪肉每千克贵8角。牛肉、猪肉各多少钱一千克？13、学校买来一批篮球与排球分给各班，排球是篮球的2倍，假设篮球每班分2个，多4个；假设排球每班分5个，少2个。学校有几个班？篮球与排球各买了几

9、个？牛吃草牛吃草问题是经典的奥数题型之一，这里我只介绍一些比拟浅显的牛吃草问题，给大家开拓一下思维，首先，先介绍一下这类问题的背景，大家看知识要点知识要点一、定义伟大的科学家牛顿著的普通算术一书中有这样一道题：12头牛4周吃牧草10/3格尔，同样的牧草，21头牛9周吃10格尔。问24格尔牧草多少牛吃18周吃完。格尔牧场面积单位，以后人们称这类问题为牛顿问题的牛吃草问题。这类问题难在哪呢？大家看看它的特点二、特点在牛吃草问题中，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化，也就是说这类问题的工作总量是不固定的，一直在均匀变化。难吗？难什么啊，一点都不难，只要掌握了方法，以后这样的题就都会了，来，看看这

10、例题典例评析例1 牧场上长满牧草，每天都匀速生长。这片牧场可供27头牛吃6天或23头牛吃9天。问可供21头牛吃几天？【分析】这片牧场上的牧草的数量每天在变化。解题的关键应找到不变量即原来的牧草数量。因为总草量可以分成两局部：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变，但应注意到它是匀速生长的，因而这片牧场每天新长出飞草的数量也是不变的。从这道题我们看到，草每天在长，牛每天在吃，都是在变化的，但是也有不变的，都是什么不变啊？草是以匀速生长的，也就是说每天长的草是不变的;，同样，每天牛吃草的量也是不变的，对吧？这就是我们解题的关键。这里因为未知数很多，我教大家一种巧妙的设未知数的方法，叫做设1法。我

11、们设牛每天吃草的数量为1份，具体1份是多少我们不知道，也不用管它，设草每天增长的数量是a份，设原来的草的数量为b份，则我们可以列方程了：27*6=b+6a；23*9=b+9a【思考1】一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天，则可供18头牛吃几天？15天设1头牛1天吃的草为1份。则每天新生的草量是2010-246(10-6)=14份，原来的草量是24-146=60份。可供18头牛吃6018-14=15天例2 因天气寒冷，牧场上的草不仅不生长，反而每天以均匀的速度在减少。牧场上的草可供33头牛吃5天，可供24头牛吃6天，照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天【分析

12、】与例1不同的是，不但没有新长出的草，而且原有的草还在匀速减少，但是，我们同样可以用类似的方法求出每天减少的草量和原来的草的总量【思考2】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以固定的速度在减少，经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。则，可供11头牛吃几天？8天，设一头牛一天吃的草量为一份。牧场每天减少的草量：205-1666-5=4份，原来的草量：20+4 5=120份，可供11头牛吃120(11+4)=8天。总结：想方法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，但是因为是匀速生长，所以每天新长出的草量也是不变的。正确计算草地上原有的草及每天新长出的

13、草，问题就会迎刃而解。知识衍变牛吃草根本问题就先介绍到这，希望大家掌握这种方法，以后出现样吃草问题，驴吃草问题也知道怎么做，甚至，以下这些问题都可以应用牛吃草问题解决方法例3 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小丽从扶梯上楼，小明每分钟走25级台阶，小丽每分钟走20级台阶，结果小明用了5分钟，小丽用了6分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？【分析】在这道题中，总的草量变成了扶梯的台阶总级数，草变成了台阶，牛变成了速度,所以也可以看成是牛吃草问题来解答。【思考3】两只蜗牛同时从一口井的井顶爬向井底。白天往下爬，两只蜗牛的爬行速度是不同的，一只每天爬行20分米，另一只每天爬行15分米。黑夜往

14、下滑，两只蜗牛滑行的速度却是一样的，结果一只蜗牛恰好用了5个昼夜到达井底，另一只恰好用了6个昼夜到达井底。则，井深多少米？大家说这里什么是牛？什么是草？都什么是不变的？15米。蜗牛每夜下降：205-1566-5=10分米所以井深：20+105=150分米=15米例4 一条船有一个漏洞，水以均匀的速度漏进船，待发现时船舱已进了一些水。如果用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。现在要想在2小时舀完，需要多少人？【分析】典型的牛吃草问题，找出牛和草是解题的关键【思考4】一个水池，池底有泉水不断涌出，用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部一样的抽水机10小时可把水抽干

15、。则用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？5小时。设一台抽水机一小时抽水一份。则每小时涌出的水量是：2010-1510(20-10)=5份，池原有的水是：10-520=100份.所以,用25部抽水机需要:100(25-5)=5小时思维拓展例5 有一牧场长满牧草，牧草每天匀速生长，这个牧场可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24天，现在有假设干头牛在吃草，6天后，4头牛死亡，余下的牛吃了2天将草吃完，问原来有牛多少头？【分析】牛吃草问题的特点是随时间的增长，所研究的量也等量地增加。解答时，要抓住这个关键问题，也就是要求出原来的量和每天增加的量各是多少。【思考5】一个牧场上的青草每天都匀速生长

16、。这片青草可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天，现有一群牛吃了4天后卖掉2头，余下的牛又吃了4天将草吃完。这群牛原来有多少头？25头。设每头牛每天的吃草量为1份。每天新生的草量为：239-27620-10=15份，原有的草量为27-156=72份。如两头牛不卖掉，这群牛在4+4=8天吃草量72+158+24=200份。所以这群牛原来有2008=25头例6 有三块草地，面积分别为5公顷，6公顷和8公顷。每块地每公顷的草量一样而且长的一样快，第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。第三块草地可供19头牛吃多少天？【分析】由题目可知，这是三块面积不同的草地，为了解决这个问题

17、，首先要将这三块草地的面积统一起来。稳固练习1.一块牧场长满了草，每天均匀生长。这块牧场的草可供10头牛吃40天，供15头牛吃20天。可供25头牛吃天。 A.10 B. 5 C. 20A假设1头牛1天吃草的量为1份。每天新生的草量为：(1040-1520)40-20=5份。则愿草量为：1040-405=200份，安排5头牛专门吃每天新长出来的草，这块牧场可供25头牛吃：20025-5=10天。2.一块草地上的草以均匀的速度生长，如果20只羊5天可以将草地上的草和新长出的草全部吃光，而14只羊则要10天吃光。则想用4天的时间，把这块草地的草吃光，需要只羊。 A.22 B. 23 C. 24B假设

18、1只羊1天吃草的量为1份。每天新生草量是：1410-20510-5=8份原草量是：205-8560份安排8只羊专门吃每天新长出来的草，4天时间吃光这块草地共需羊：604+823只3画展9时开门，但早有人来排队等候入场。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队了，则第一个观众到达的时间是8点分。 A.10 B. 12 C. 15C假设每个人口每分钟进入的观众量是1份。每分钟来的观众人数为39-559-5=0.5份到9时止，已来的观众人数为：39-0.5922.5份第一个观众来到时比9时提前了：22.50.545分所以第一个观众到达的时间是9时-45

19、分=8时15分。4.经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。假设地球新生成的资源增长速度是一样的。则，为了满足人类不断开展的要求，地球最多只能养活 亿人。70设1亿人1年所消耗的资源为1份则地球上每年新生成的资源量为：80300-100100300-100=70份只有当地球每年新生资源不少于消耗点的资源时，地球上的资源才不至于逐渐减少，才能满足人类不断开展的需要。所以地球最多只能养活：701=70亿人5.快、中、慢三车同时从A地出发，追赶一辆正在行驶的自行车。三车的速度分别是每小时24千米、20千米、19千米。快车追上自行车用了6小时，中车追上自行车用了10

20、小时，慢车追上自行车用 小时。12自行车的速度是：2010-24610-6=14千米/小时三车出发时自行车距A地：24-146=60千米慢车追上自行车所用的时间为：6019-14=12小时6.一水池中原有一些水，装有一根进水管，假设干根抽水管。进水管不断进水，假设用24根抽水管抽水，6小时可以把池中的水抽干，则用16根抽水管，小时可将可将水池中的水抽干。18设1根抽水管每小时抽水量为1份。1进水管每小时卸货量是：218-2468-6=12份2水池中原有的水量为：218-12872份316根抽水管，要将水池中的水全部抽干需：7216-12=18小时7.*码头剖不断有货轮卸下货物，又不断用汽车把货

21、物运走，如用9辆汽车，12小时可以把它们运完，如果用8辆汽车，16小时可以把它们运完。如果开场只用3辆汽车，10小时后增加假设干辆，再过4小时也能运完，则后来增加的汽车是 辆。19设每两汽车每小时运的货物为1份。1进水管每小时的进水量为：816-91216-12=5份2码头原有货物量是：912-12548份33辆汽车运10小时后还有货物量是：48+5-310=68份4后来增加的汽车辆数是：68+454-3=19辆8有一片草地，每天都在匀速生长，这片草可供16头牛吃20天，可供80只羊吃12天。如果一头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，则10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？8天1按牛的吃草量来计算

22、，80只羊相当于804=20头牛。2设1头牛1天的吃草量为1份。3先求出这片草地每天新生长的草量：1620-201220-12=10份4再求出草地上原有的草量：1620-1020120份5最后求出10头牛与60只羊一起吃的天数：12010+604-10=8天9.*水库建有10个泄洪闸，现在水库的水位已经超过平安戒备线，上游的河水还在按一不变的速度增加。为了防洪，需开闸泄洪。假设每个闸门泄洪的速度一样，经测算，假设翻开一个泄洪闸，30小时水位降到平安线，假设翻开两个泄洪闸，10小时水位降到平安线。现在抗洪指挥部要求在5.5小时使水位降到平安线，问：至少要同时翻开几个闸门？4个设1个泄洪闸1小时的

23、泄水量为1份。1水库中每小时增加的上游河水量：130-21030-10=0.5份2水库中原有的超过平安线的水量为：130-0.53015份3在5.5小时共要泄出的水量是：15+0.55.517.75份4至少要开的闸门个数为：17.755.54个采用进1法取值10.现有速度不变的甲、乙两车，如果甲车以现在速度的2倍去追乙车，5小时后能追上，如果甲车以现在的速度去追乙车，3小时后能追上。则甲车以现在的速度去追，几小时后能追上乙车？15小时设甲车现在的速度为每小时行单位1，则乙车的速度为：25-335-3=0.5乙车原来与甲车的距离为：25-0.557.5所以甲车以现在的速度去追，追及的时间为：7.51-0.5=15小时练习题1.牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，则，供2