2021-2022学年四川省泸州市泸县高二下学期第一学月（3月）考试数学（理）试题-附答案

1、2021-2022学年四川省泸州市泸县高二下学期第一学月（3月）考试数学（理）试题一、单选题1某公司将个产品，按编号为，从小到大的顺序均匀的分成若干组，采用系统抽样方法抽取一个样本进行检测，若第一组抽取的编号是，第二组抽取的编号是，则样本中最大的编号应该是（）ABCDA【分析】先求样本间隔，然后根据抽查样本容量，结合系统抽样的定义进行求解即可【详解】样本间隔为18315，即抽取样本数为1512，则最大的样本编号为3+1511168，故选：A2命题“若”，则的否命题是（）A“若，则”B“若，则”C“若，则”D“若，则”A根据否命题的转化规则，进行转化并选择即可.【详解】根据否命题的要求，需要将条

2、件和结论都要否定，故命题：若，则的否命题是：若，则.故选：A.本题考查命题的否命题的求解，注意条件和结论都要进行否定.3甲乙两组数的数据如茎叶图所示，则甲乙的平均数方差极差及中位数中相同的是（）A极差B方差C平均数D中位数C根据茎叶图中数据的波动情况，可直接判断方差不同；根据茎叶图中的数据，分别计算极差、中位数、平均数，即可得出结果.【详解】由茎叶图可得：甲的数据更集中，乙的数据较分散，所以甲与乙的方差不同；甲的极差为；乙的极差为，所以甲与乙的极差不同；甲的中位数为，乙的中位数为，所以中位数不同；甲的平均数为，乙的平均数为，所以甲乙的平均数相同；故选：C.4已知样本，的平均数为2，方差为5，则

3、，的平均数和方差分别为（）A4和10B5和11C5和21D5和20D利用平均数和方程的性质可算出答案.【详解】因为样本，的平均数为2，方差为5，所以，的平均数为，方差为故选：D本题考查的是平均数和方程的性质，较简单.5函数的导数是（）ABCDD【分析】直接根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得；【详解】解：因为所以故选：D本题考查导数的计算，基本初等函数的导数公式的应用，属于基础题.6函数的极小值是（）A4B2C4D2D【分析】首先求出函数的导函数，说明其单调性，即可得到函数的极值点，从而求出函数的极小值；【详解】解：因为，所以令，解得或，可得或时，当时，所以在和上单调递增，上单调

4、递减；故函数在处取得极小值，故选：D本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，属于基础题.7“”是“函数在区间单调递增”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A【详解】分析：求出导函数，若函数在单调递增，可得 在区间上恒成立解出，故选A 即可详解： ，若函数函数在单调递增， 在区间上恒成立 ，而在区间上单调递减，即“”是“函数在单调递增”的充分不必要条件.故选A.点睛：本题考查充分不必要条件的判定，考查利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属中档题8直三棱柱中，侧棱长为2，D是的中点，F是上的动点，交于点E要使，则线段的长为（）AB1CD2B【分析】先证

5、明，再求出，中, 勾股定理求出，再利用面积相等求出的长.【详解】设 ，平面， ，由已知可得 ，设 斜边上的高为,则，对三角形使用等面积法得 ，,所以由中位线定理知，在中, ，对使用等面积法得 ，解得 ，故选：B.9设三棱柱的侧棱垂直于底面，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）ABCDD【详解】试题分析：依题三棱柱的外接球即为底面为正方形（边长为）、高为的长方体外接球，其直径为长方体的体对角线，且为，故所求球体表面积为长方体外接球10若不等式对所有正数x，y均成立，则实数m的最小值是（）ABC3D4B【分析】由题意可知对所有正数x，y均成立，即，然后结合均值不等式求出的最大值

6、即可.【详解】解：对所有正数x，y均成立，对所有正数x，y均成立，又，当且仅当时等号成立，故m的最小值为故B11抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（ ）ABCDB【详解】试题分析：设在直线上的投影分别是，则，又是中点，所以，则，在中，所以，即，所以，故选B抛物线的性质【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化象本题弦的中点到准线的距离首先等于两点到准线距离之和的一半，然后转化为两点到焦点的距离，从而与弦长之间

7、可通过余弦定理建立关系12若关于x的不等式成立，则的最小值是ABCDA【分析】构造函数，利用函数图象的性质，借助数形结合，确定最小值，即可得到答案【详解】令，函数单调递增，函数单调递减，且 时，绘制函数的图象如图所示，满足题意时，直线恒不在函数图象的下方，很明显时不合题意，当时，令可得：，故取到最小值时，直线在x轴的截距最大，令可得：，据此可得：的最小值是故选A本题主要考查了导函数研究函数图象的性质及其应用，其中解答合理利用导数得出函数的单调性，刻画处函数的性质上解答的关键，着重考查了数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，属于中等题二、填空题13双曲线的实轴长与虚轴长之比为_.【分析】

8、根据双曲线方程，求得，即可求得实轴长和虚轴长，进而求比值即可.【详解】因为双曲线方程为，故，故，则实轴长，虚轴长，故其比值为.故答案为.14在平面直角坐标系中，曲线在处的切线方程是_【分析】根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式得结果.【详解】因为，所以，因此在x0处的切线斜率为，因为x0时，所以切线方程是本题考查导数几何意义，考查基本求解能力.属基础题.15若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为_.【详解】试题分析：因为 为圆的弦的中点，所以圆心坐标为，所在直线方程为，化简为，故答案为.1、两直线垂直斜率的关系；2、点斜式求直线方程.16函数，若，则实数的取值范围是_【分析】先研究函数在上

9、的奇偶性与单调性，然后运用函数的性质求解不等式.【详解】解：因为的定义域为，且，所以函数为奇函数，因为当时，恒成立，所以函数在为增函数，故等价于，即，根据函数的定义域及单调性可得，解得，故x的取值范围是.本题考查了函数性质的运用，判断函数的奇偶性一定要注意定义域的分析，函数单调性的判断往往可以借助导数、图像等方法进行研究.三、解答题17下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：x3456y2.5344.5（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于的线性回归方程；（2）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准

10、煤，试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?（参考数值：，用最小二乘法求线性回归方程系数公式）.（1）；（2）19.65吨.【分析】（1）先利用所给数据求出中心点值，再代入所给公式进行求解；（2）根据（1）求出的线性回归方程进行预测.【详解】（1）由系数公式可知：，所以线性回归方程为.（2）当时，.所以比改造前降低了19.65吨标准煤.18已知函数(1)求的单调减区间(2)若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值.(1) （，1），（3，）(2)-7【详解】试题分析：（）先求出函数f（x）的导函数f（x），然后令f（x）0，解得的区间即为函

11、数f（x）的单调递减区间；（）先求出端点的函数值f（2）与f（2），比较f（2）与f（2）的大小，然后根据函数f（x）在1，2上单调递增，在2，1上单调递减，得到f（2）和f（1）分别是f（x）在区间2，2上的最大值和最小值，建立等式关系求出a，从而求出函数f（x）在区间2，2上的最小值解：（）f（x）=3x2+6x+9令f（x）0，解得x1或x3，所以函数f（x）的单调递减区间为（，1），（3，+）（）因为f（2）=8+1218+a=2+a，f（2）=8+12+18+a=22+a，所以f（2）f（2）因为在（1，3）上f（x）0，所以f（x）在1，2上单调递增，又由于f（x）在2，1上单调递

12、减，因此f（2）和f（1）分别是f（x）在区间2，2上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=2故f（x）=x3+3x2+9x2，因此f（1）=1+392=7，即函数f（x）在区间2，2上的最小值为7点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减以及在闭区间上的最值问题等基础知识，同时考查了分析与解决问题的综合能力19在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，.（1）求证：EF平面DCP；（2）求平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值.(1)见解析(2

13、) 【详解】（1）取中点，连接，易得四边形为平行四边形，从而所以平面；（2）平面，且四边形是正方形，两两垂直，以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，代入公式得到所成锐二面角的余弦值.解：取中点，连接，分别是中点, ，为中点，为正方形，,四边形为平行四边形，平面，平面，平面. 平面,且四边形是正方形，两两垂直，以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则 设平面法向量为，则, 即，取,则设平面法向量为，则, 即, 取，.平面与平面所成锐二面角的余弦值为.点睛：本题主要考查线面垂直的判定定理以及用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（

14、1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20已知函数求曲线在点处的切线方程若函数，恰有2个零点，求实数a的取值范围(1) x+y-1=0.(2) .【分析】(1)求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线方程；(2) 函数恰有2个零点转化为两个图象的交点个数问题，数形结合解题即可.【详解】（1）因为，所以.所以又所以曲线在点处的切线方程为即.（5分）（2）由题意得，所以.由，解得，故当

15、时，在上单调递减；当时，在上单调递增.所以.又，若函数恰有两个零点，则解得. 所以实数的取值范围为.本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.21已知一动圆经过点，且在轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过点任意作相互垂直的两条直线，分别交曲线于不同的两点和不同的两点.设线段的中点分别为.求证：直线过定点R，并求出定点R的坐标；求的最小值.(1)(2)证明见解析，；4【分析】（1）设圆心坐标，然后根据半径、圆心到直线距离和弦长一半之间的关系列方程化简可得；（2）设直线方程与抛物线方程联立消元，利用韦达定理表示出P、Q坐标，然后考察其方程可得；用两点间距离公式表示出，通过换元转化为二次函数求解可得.【详解】(1)设圆心.则半径、圆心到y轴距离和弦长一半满足勾股定理.化简得： 曲线的方程为.(2)易知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，.则直线的方程为.由消去，得.同理可得.当或时，直线的方程为；当且时，直线的斜率为.直线的方程为，即.直线过定点R，其坐标为.由，知，. (当且仅当或时取等号)，记.当时，的最小值为16.当即或时，的最小值为4.22已知函数，函数的图象在点处的切线平行于轴.(