高二数学轨迹问题的求法

1、轨迹方程的求法 求平面上的动点的轨迹方程不仅是教学大纲要求掌握的主要内容之一，也是高考考查的重点内容之一。由于动点运动规律千差万别，因此求动点轨迹方程的方法也多种多样，这里介绍几种常用的方法。 1、直接法 例1、动点P到直线xy=6的距离的平方等于由两坐标轴及点P到两坐标轴之垂线所围成的矩形面积，求P的轨迹方程解：设动点P（x，y）则 S=|xy|点P到直线x十y=6的距离 故P点的轨迹方程为： 即：（x+y-6）2=2|xy| 当xy0时，方程为(x-6)2+(y-6)2=36当xy0时，方程为x2+4xy+y2-12x-21y+36=0 ACB2、定义法例2如图，在ABC中边BC=a，若三

2、内角满足 sinC sinb= sinA，求点 A的轨迹方程。 解:以BC所在的直线为x轴，BC中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则B（一a，0），C（a，0），设A（x，y）则 由sinC sinB= sinAc-b= a即|AB|-|AC|= a（定值）由双曲线定义知轨迹方程为 3、相关点法（代入法） 例3、从定点A（0，4），连接双曲线x2一4y2=16上任一点Q，求内分线段AQ成1：2的分点P的轨迹。 解：设Q（xl，y1），P（x，y），由题设， 则 Q（x1，y2）在双曲线上：, 即: 4、参数法 例题4、已知线段AB的长为a，P分AB为 APPB= 2l两部分，当A点在y

3、轴上运动时，B点在x轴上运动，求动点P的轨迹方程。 解：设动点P（x，y），AB和x轴的夹角为，| ，作PMx于M, PNy轴于N|AB|= a, |AP|= a, |PB|= a动点P的参数方程为 即：5、交轨法 例6、椭圆与双曲线有共同的焦点F1(一4,0),F2(4,0)，且椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，求椭圆与双曲线交点的轨迹。解：设双曲线的实半轴长为a（2a0,在矩形ABCD中，AB=4,BC=4a,O为AB中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且， P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存

4、在，请说明理由。 OxyABCDEFP解：根据题意，首先求出点P坐标满足的方程，根据此判断是否存在两定点，使得点P到两定点的距离和为定值。 依题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a)设 =k(0k1),由此有E(2,4ak), F(2-4k,4a), G(-2,4a-4ak)直线OF的方程为 2ax+(2k-1)y=0直线GE的方程为 -a(2k-1)x+y-2a=0从消去参数k，得点P(x,y)坐标满足方程2a2x2+y2-2ay=0, 整理得 当a2= 时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点； 当a2 时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离

5、之和为定值； 其中当a2 时，点P到椭圆两个焦点（a， ）的 距离之和为定值2a. 2003年高考题20（本小题满分12分） 在某海滨城市附近海面有一台风据监测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南（ arccos ）方向 300 km的海面P处，并以20 kmh的速度问西偏北450方向移动。台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 kmh的速度不断增大问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 解：以O为原点，正东方向为x轴正向，建立直角坐标系在时刻t(h)，台风中心P（m,n）的坐标为即此时台风侵袭的区域是其中r(t)=10t+60若在时刻t城市O受到侵袭，则有 即： 解得12

6、t24 答：12小时后该城市受到台风侵袭。 ; / 福利群 林灵笑着应承“本来就是这样啊！”虽说劝说她找个家庭条件好点的女性长辈不在少数，但是，她始终知道自己是身处何方的，就像是有那么多无谓的人泼了她许多不知名的冷水，她还是不能够轻易遂了他们的心意去自我盲目的结婚！她始终坚持一定要做好自己，不管是去旅游也好、看书也好、运动也好，直到遇上那样一个愿意陪她去做那些他们都共同喜欢的事情，才可放心的将脚步放慢下来，去跟那样一个愿意带她同行的人一起前进！虽然，她运气不太好，不知道何时能够遇上那样的一个人，但是，她毕竟都一个人坚持了那么多年，所以，就算再多坚持一些时间，也是愿意的！那个孩子果然惊喜的停下脚

7、步，感激万分的看向白荌苒，开心的跑到她身边坐下“我今年啊，二十一岁了呢，还有一年就要大学毕业了。在我百天的那一天知北哥哥跟他妈妈一起来参加了我的百日宴，我们两家是世交，长辈的关系都很好，我妈说我当时第一眼看到知北的时候便冲他乐呵呵的傻笑，那时候知北九岁。后来、等到我一岁生日的时候，他也跟了过来，我妈说他当时好奇的抱了我一下，然后我居然在他脸上亲了一口，当然、留了很多口水，知北当时直接就松手了，只顾去擦脸上的口水，幸亏知北的妈妈手快把我接住了，不然我就要跟大地亲密接触了。”游悠说这些往事的时候一脸的喜悦，好似那些事情她都记得一般“我小学毕业的时候知北就毕业参加工作了，那年我十二、他二十一，我已经

8、不能够像小时候一样缠着他让他给我辅导功课了，但是我还是会在放学之后去他们家，每天都去，当然就是为了遇见他，那个时候我每次碰见他、都看到他带不同的大姐姐回家，我很难过，我也很不喜欢他跟那些我不认识的大姐姐在一起，后来，有一次我目睹了他在亲一个大姐姐，我生气的在他身后一直喊他臭知北，他让那个大姐姐走后便走到了我的跟前，弯下腰来，双手搭在我的肩上，一点一点的贴近我的脸，我当时紧张得牙齿都在打颤，他忽然笑了，问我小鬼、你那么紧张干什么，我有那么可怕吗？然后他轻弹了下我的额头，便笑着走开了，我在他的身后鼓足了所有的勇气大声的吼了出来知北哥哥，我不喜欢你跟其他的大姐姐在一起，我要跟你在一起他忽然就转过身来，我当时一下子紧张得要命，不停地握紧了拳头，努力的睁大了眼睛看着他，他笑得不可思议小鬼，等你十八岁以后再说吧，我努力地说我不是小鬼，他便不再理我就走了，后来，我还是会经常去他们家，他还是会一直带回不同的大姐姐，我很难过、却也无奈，我终于等到了自己十八岁的生日，可是他却没有来，我当时真的是很失望，难过地哭了一晚上，那些所有的礼物都不及他的到来，我去他家里守了他好几次才守到他，我告诉他我已经十八岁了，他揉了揉我的头发笑了笑抱歉、小鬼，忘记给你送成人礼了我还是紧张，但是、我还是说出了口我不要礼物，我只要跟你在一起他