2021版数学（新教材）必修 第一册人教A版：第四章 4-3-2

1、43.2对数的运算学习目标1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值知识点一对数运算性质如果a0，且a1，M0，N0，那么：(1)loga(MN)logaMlogaN；(2)logaeq f(M,N)logaMlogaN；(3)logaMnnlogaM(nR)知识点二换底公式1logabeq f(logcb,logca)(a0，且a1；c0，且c1；b0)2对数换底公式的重要推论：(1)logaNeq f(1,logNa)(N0，且N1；a0，且a1)；(2)eq f(m,n)logab(a0，且a1，b0)；

2、(3)logablogbclogcdlogad(a0，b0，c0，d0，且a1，b1，c1)预习小测自我检验1计算log84log82_.答案12计算log510log52_.答案13(1)lg eq r(10)_；(2)已知ln a0.2，则ln eq f(e,a)_.答案(1)eq f(1,2)(2)0.84.eq f(log29,log23)_.答案2一、对数运算性质的应用例1计算下列各式：(1)log5eq r(3,625)；(2)log2(3242)；(3)log5352log5eq f(7,3)log57log5eq f(9,5).解(1)原式eq f(1,3)log5625eq

3、f(1,3)log554eq f(4,3).(2)原式log232log242549.(3)原式log5(57)2(log57log53)log57log5eq f(9,5)log55log572log572log53log572log53log552log552.反思感悟对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行(2)两种常用的方法“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)跟踪训练1计算下列各式的值：(1)(

4、lg 5)22lg 2(lg 2)2；(2)eq f(lg 3f(2,5)lg 9f(3,5)lgr(27),lg 81lg 27).解(1)原式(lg 5lg 2)(lg 5lg 2)2lg 2lg 10(lg 5lg 2)2lg 2lg 5lg 22lg 2lg 5lg 21.(2)原式eq f(lg 3f(4,5)lg 3f(9,10)lg 3,4lg 33lg 3)eq f(blc(rc)(avs4alco1(1f(4,5)f(9,10)lg 3,43lg 3)eq f(9,10).二、对数换底公式的应用例2(1)计算：(log43log83)log32_.答案eq f(5,6)解析原

5、式eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,log34)f(1,log38)log32eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2log32)f(1,3log32)log32eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(5,6).(2)已知log189a,18b5，求log3645.(用a，b表示)解因为18b5，所以blog185.所以log3645eq f(log1845,log1836)eq f(log1859,log18218)eq f(log185log189,log182log1818)eq f(ab,1log182)eq f(ab,1log18f(18,9)eq

6、f(ab,2log189)eq f(ab,2a).延伸探究若本例(2)条件不变，求log915.(用a，b表示)解因为18b5，所以log185b.所以log915eq f(log1815,log189)eq f(log1835,log189)eq f(log183log185,a)eq f(log18r(9)b,a)eq f(f(1,2)log189b,a)eq f(f(1,2)ab,a)eq f(a2b,2a).反思感悟利用换底公式化简与求值的思路跟踪训练2(1)eq f(log89,log23)的值是()A.eq f(2,3) B.eq f(3,2) C1 D2答案A解析方法一将分子、分

7、母利用换底公式转化为常用对数，即eq f(log89,log23)eq f(f(lg 9,lg 8),f(lg 3,lg 2)eq f(2lg 3,3lg 2)eq f(lg 2,lg 3)eq f(2,3).方法二将分子利用换底公式转化为以2为底的对数，即eq f(log89,log23)eq f(f(log29,log28),log23)eq f(2log23,3log23)eq f(2,3).(2)计算：eq f(log5r(2)log79,log5f(1,3)log7r(3,4).解原式eq f(log5r(2),log5f(1,3)eq f(log79,log7r(3,4)eq f(

8、1,2)log323log23eq f(3,2).三、对数的综合应用例32018年我国国民生产总值为a亿元，如果平均每年增长8%，估计约经过多少年后国民生产总值是2018年的2倍？(lg 20.301 0，lg 1.080.033 4，精确到1年)解设经过x年后国民生产总值为2018年的2倍经过1年，国民生产总值为a(18%)，经过2年，国民生产总值为a(18%)2，经过x年，国民生产总值为a(18%)x2a，所以1.08x2，所以xlog1.082eq f(lg 2,lg 1.08)eq f(0.301 0,0.033 4)9，故约经过9年后国民生产总值是2018年的2倍反思感悟解决对数应用

9、题的一般步骤跟踪训练3在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足eveq blc(rc)(avs4alco1(1f(M,m)2 000(e为自然对数的底数，ln 31.099)当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)解因为vlneq blc(rc)(avs4alco1(1f(M,m)2 0002 000lneq blc(rc)(avs4alco1(1f(M,m)，所以v2 000ln 32 0001.0992 198(m/s)故当燃料质量M为火箭质量m的两倍时，火箭的最

10、大速度为2 198 m/s.1计算：log123log124等于()A1 B2 C3 D4答案A2若lg 2m，则lg 5等于()Am B.eq f(1,m) C1m D.eq f(10,m)答案C解析lg 5lg eq f(10,2)lg 10lg 21m.3化简eq f(1,2)log6122log6eq r(2)的结果为()A6eq r(2) B12eq r(2) Clog6eq r(3) D.eq f(1,2)答案C解析原式log6eq r(12)log62log6eq f(r(12),2)log6eq r(3).4下列各等式正确的为()Alog23log25log2(35)Blg 3

11、lg 4lg(34)Clog2eq f(x,y)log2xlog2yDlgeq r(n,m)eq f(1,n)lg m(m0，n1，nN*)答案D解析A，B显然错误，C中，当x，y均为负数时，等式右边无意义5计算：log5eq f(1,3)log36log6eq f(1,25)_.答案2解析原式eq f(lg f(1,3),lg 5)eq f(lg 6,lg 3)eq f(lg f(1,25),lg 6)eq f(lg 3,lg 5)eq f(lg 6,lg 3)eq f(2lg 5,lg 6)2.1知识清单：(1)对数的运算性质(2)换底公式(3)对数的实际应用2方法归纳：(1)利用对数的运

12、算性质，可以把乘、除、乘方运算转化为加、减、乘的运算，加快计算速度(2)利用结论logablogba1，eq f(m,n)logab化简求值更方便3常见误区：要注意对数的运算性质(1)(2)的结构形式，易混淆1lg 83lg 5的值为()A3 B1 C1 D3答案D解析lg 83lg 53lg 23lg 53(lg 2lg 5)3.2如果lg xlg a3lg b5lg c，那么()Axeq f(ab3,c5) Bxeq f(3ab,5c)Cxa3b5c Dxab3c3考点对数的运算题点对数的运算性质答案A解析lg a3lg b5lg clg alg b3lg c5lgeq f(ab3,c5)

13、，由lg xlgeq f(ab3,c5)，可得xeq f(ab3,c5).3设alog32，则log382log36用a表示的形式是()Aa2 B3a(1a)2C5a2 Da23a1答案A解析alog32，log382log363log322(log321)3a2(a1)a2.4计算log225log32eq r(2)log59的结果为()A3 B4 C5 D6答案D解析原式eq f(lg 25,lg 2)eq f(lg 2r(2),lg 3)eq f(lg 9,lg 5)eq f(2lg 5,lg 2)eq f(f(3,2)lg 2,lg 3)eq f(2lg 3,lg 5)6.5若lg x

14、lg yt，则lgeq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)3lgeq blc(rc)(avs4alco1(f(y,2)3等于()A3t B.eq f(3,2)t Ct D.eq f(t,2)答案A解析lgeq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)3lgeq blc(rc)(avs4alco1(f(y,2)33lg eq f(x,2)3lg eq f(y,2)3lg eq f(x,y)3(lg xlg y)3t.6lg eq r(5)lg eq r(20)的值是_答案1解析lgeq r(5)lgeq r(20)lgeq r(100)lg 101.7(lg 5)2lg 2

15、lg 50_.考点对数的运算题点利用lg 2lg 51化简求解对数值答案1解析(lg 5)2lg 2lg 50(lg 5)2lg 2(lg 5lg 10)(lg 5)2lg 2lg 5lg 2lg 5(lg 5lg 2)lg 2lg 5lg 21.8若lg xlg y2lg(x2y)，则eq f(x,y)_.答案4解析因为lg xlg y2lg(x2y)，所以eq blcrc (avs4alco1(x0，y0，,x2y0，,xyx2y2.)由xy(x2y)2，知x25xy4y20，所以xy或x4y.又x0，y0且x2y0，所以舍去xy，故x4y，则eq f(x,y)4.9用lg x，lg y，

16、lg z表示下列各式：(1)lg(xyz)；(2)lg eq f(xy2,z)；(3)lg eq f(xy3,r(z)；(4)lg eq f(r(x),y2z).解(1)lg(xyz)lg xlg ylg z.(2)lg eq f(xy2,z)lg(xy2)lg zlg x2lg ylg z.(3)lg eq f(xy3,r(z)lg(xy3)lg eq r(z)lg x3lg yeq f(1,2)lg z.(4)lg eq f(r(x),y2z)lg eq r(x)lg(y2z)eq f(1,2)lg x2lg ylg z.10计算下列各式的值：(1)log5352log5eq f(1,50

17、)log514；(2)(1log63)2log62log618log64；(3)(log43log83)(log32log92)解(1)原式log535log550log5142log5eq f(3550,14)log55312.(2)原式(log66log63)2log62log6(232)log64eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(log6f(6,3)2log62log62log632)log622(log62)2(log62)22log62log632log62log62log63log6(23)1.(3)(log43log83)(log32log

18、92)eq blc(rc)(avs4alco1(f(lg 3,lg 4)f(lg 3,lg 8)eq blc(rc)(avs4alco1(f(lg 2,lg 3)f(lg 2,lg 9)eq blc(rc)(avs4alco1(f(lg 3,2lg 2)f(lg 3,3lg 2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(lg 2,lg 3)f(lg 2,2lg 3)eq f(5lg 3,6lg 2)eq f(3lg 2,2lg 3)eq f(5,4).11方程log3(x210)1log3x的解是()A2 B2或5 C5 D3答案C解析原方程可化为log3(x210)log3(3x)，所以x2103x，解得x2，或x5.经检验知x5.12若lg xlg ya，则lg eq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)3lg eq blc(rc)(avs4alco1(f(y,2)3等于()A3a B.eq f(3,2)a Ca D.eq f(a,2)答案A解析由对数的运算性质知，原式3(lg xlg 2)3(lg ylg 2)3(lg xlg y)3a.13若3x4y36，则eq f(2,x)eq f(1,y)_.考点对数的运算题点用代数式表示对数答案1解析3x4y36，两边取以6为