工程力学课件：第十一章弯曲变形1

1、第十一章 弯曲变形 11-1 挠度和转角11-2 用积分法计算梁的变形11-3 用叠加法计算梁的变形 刚度校核11-4 简单超静定梁-弯曲刚度的计算 梁弯曲变形的计算目的：要控制梁的最大变形在一定的限度内。 工程中对梁的设计，除了必须满足强度条件外，还必须限制梁的变形，使其变形在容许的范围之内。 梁的挠度，横截面的转角。一、度量梁变形的参数-二、挠度：横截面形心沿垂直于 轴线方向的位移。 一、挠曲线：梁变形后的轴线。 性质：连续、光滑、弹性、 极其平坦的平面曲线。三、转角：横截面绕中性轴转过的角度。用“” 表示。q用“y” 表示。q11-1 梁变形的基本概念挠度和转角xy = y（x） 挠曲线

2、方程。 挠度向下为正；向上为负。=(x) 转角方程。 由变形前的横截面转到变形后， 顺时针为正；逆时针为负。 四、挠度和转角的关系挠度：横截面形心沿垂直于 轴线方向的位移。 转角：横截面绕中性轴转过的角度。用“” 表示。用“y” 表示。qq (挠曲线为一条平坦的曲线)x（一）、曲率与弯矩的关系：EIM=r1（二）、曲率与挠曲线的关系（数学表达式)（2）（三）、挠曲线与弯矩的关系： 联立（1）、（2）两式得（1）二、梁的挠曲线近似微分方程qqM 00)(xy挠曲线近似微分方程的近似性忽略了“Fs”以及 对变形的影响 使用条件：弹性范围内工作的细长梁。M xy结论：挠曲线近似微分方程xyxy11-

3、2 用积分法计算梁的变形步骤：（EI为常量）1、根据载荷分段列出弯矩方程 M（x）。2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。右左CCqq=连续条件：右左CCyy=边界条件：F（1）、固定端处：挠度等于零、转角等于零。（2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。（3）、在弯矩方程分段处： 一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。4、确定挠曲线方程和转角方程5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。1、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分3、根据弯曲梁变形的边界

4、条件和连续条件确定积分常数。积分法计算梁变形的步骤边界条件：连续性条件：解：a) 建立坐标系并写出弯矩方程例：求图示悬臂梁自由端的挠度及转角( EI=常数）。b) 写出微分方程并积分c) 应用位移边界条件求积分常数Fxd) 确定挠曲线、转角方程e) 自由端的挠度及转角 x=0处 : y(0) = 0 ; q (0)=0yLqlABxC解：a) 建立坐标系并写出弯矩方程b)写出挠曲线近似微分方程并积分c)应用位移边界条件求积分常数d)确定挠曲线和转角方程e)最大挠度及最大转角ql/2ql/2 x = 0 ： y = 0 ; x = l ： y = 0 . 例：求图示简支梁的最大挠度 和最大转角

5、( EI = 常数 ）FC解：a)建立坐标系并写出弯矩方程b)写出微分方程并积分例：求图示梁的跨中的挠度和转角 （EI=常数）左侧段（0 x1 a）：右侧段（a x2 L）：AC段CB段FC左侧段（0 x1a）： 右侧段（ax2L）：c) 应用位移边界条件和连续条件求积分常数连续条件：y1(a) = y2(a), y1(a) = y2(a); 边界条件：y1(0) = 0 , y2(L) =0b)写出微分方程并积分FC左侧段（0 x1a）： 右侧段（ax2L）：d) 确定挠曲线和转角方程e) 跨中点挠度及两端端截面的转角d) 确定挠曲线和转角方程两端支座处的转角FC跨中点挠度讨论：1、此梁的最

6、大转角。 FC当 a b 时讨论：2、此梁的最大挠度FC当 a b 时最大挠度发生在AC段221max3)2(30baabLxy1y+=-=3221max)(391bLLEIFbyyxx-=FC当载荷接近于右支座，即b很小时，由上式可得：而此时梁跨中截面处的挠度为：两者相差也不超过中点挠度的3%。 因此，在简支梁中，只要挠曲线无拐点，即可用中点挠度来代替最大挠度。221max3)2(30baabLxy1y+=-=3221max)(391bLLEIFbyyxx-= 3、a = b 时此梁的最大挠度和最大转角。FC写出下列各梁变形的边界条件和连续条件1C截面左侧2C截面右侧ABFCL/2L/2EA

7、BC一、判断的依据：M M(x)。注意弯曲凹凸形状与M（x）的正负关系。二、注意约束对弯曲变形的影响。梁挠曲线大致形状的判定M 00)(xyM xyxyxy注意弯曲凹凸形状与M（x）的正负关系。注意约束对弯曲变形的影响。CB 段为直线。A端有约束：1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查；2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。一、前提条件：弹性、小变形。二、叠加原理：各载荷同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等于各载荷分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。三、叠加法的特征：11-3 用叠加法计算梁的变形aaF=+例：叠加法求A截面的转角和C截面 的挠度.解: a)

8、载荷分解如图b)由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。aaqFACAaaqaaF=+例：叠加法求A截面的转角和C截面 的挠度.aaqFACAaaqc)叠加=+L/2qFL/2ABC例：确定图示梁C截面的挠度和转角。解：1、载荷分解如图2、查梁的简单载荷变形表L/2qL/2L/2FL/2由F引起的C点位移：3、叠加L/2L/2qACA=+例：求图示梁C截面的挠度。解：1、载荷分解如图2、查梁的简单载荷变形表3、叠加L/2ACAq/2L/2(a)L/2L/2ACAq/2q/2(b)例 利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁自由端B截面的挠度和转角。 解：原载荷可看成为图a和b两种载荷的叠

9、加，对应的变形和相关量如图所示。FlllEIFABCDqB1FqC1wC1yC1qC12l直线yB1(a)qD1qB2yD1FqD1BD直线yD1yB2(b) 对图a，可得C截面的挠度和转角为： 由位移关系可得此时B截面的挠度和转角为：（向下）（顺时针）FlllEIFABCDqB1FqC1wC1yC1qC12l直线yB1(a)qD2qB2yD2FqD2BD直线yD2yB2(b) 对图b，可得D截面的挠度和转角为： 同理可得此时B截面的挠度和转角为：（向下）（顺时针）FlllEIFABCDqB1FqC1wC1yC1qC12l直线yB1(a)qD2qB2yD2FqD2BD直线yD2yB2(b) 将

10、相应的位移进行叠加，即得：（向下）（顺时针）FlllEIFABCDqB1FqC1wC1yC1qC12l直线yB1(a)qD2qB2yD2FqD2BD直线yD2yB2(b)已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C 截面的挠度yC ；B截面的转角B1）将梁上的载荷分解yC1yC2yC32）查表得3种情形下C截面的挠度和B截面的转角。解yC1yC2yC33） 应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和 例 已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C1）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形 为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原

11、来载荷作用的效果，在AB 段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。 解3）将结果叠加 2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自C截面的挠度和转角。 例:结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明+y1=FFFFFy2=+ABLaCqqaABL CM=qa2/2（b）例：求图示梁B截面的挠度（EI 已知）。解：1) 结构分解如图2) 查梁的简单载荷变形表3) 叠加B Cq（a）例：求图示梁C截面的挠度。解：1、结构分解如图2、查梁的简单载荷变形表L/2FL/2ABC2EIEIL/2FL/2ABC（a）=+L/2FL/2ABC（b）M=FL/23、叠加例：拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能上下移动，已知：E =210 Gpa，G = 0.4 E，求 B 截面的垂直位移。分析：B点的垂直位移由： AB段弯曲和CA杆扭转而引起。 FByB1FBACCMA=FLAB yB2F例、用叠加法求图示等截面直梁A、D、E（BC之中点）点的挠度。 解：结构和载荷分解如图。 E（1）（2）Fq=F/aF（4）FDCa（3）FFaFq=F/a 例 利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的中间铰梁铰接点B处的挠度和B点右截面的转角以及D截面的挠度，其中：F=2qa。 qAEIEIFBCa/2DaayDFDFBABCqFByB直线 解：结构和载荷分解