高校工程数学第2节复数的几何表示教学课件

1、1.2 复数的几何表示复数的几何表示1、复平面、复平面2、复球面、复球面3、小结与思考、小结与思考一、复平面一、复平面1 1、复平面的定义、复平面的定义复数复数z=x+iy与一对有序实数与一对有序实数(x，y)成一一对应。所以一个成一一对应。所以一个建立了直角坐标系的平面可以用来表示复数，通常把横轴建立了直角坐标系的平面可以用来表示复数，通常把横轴叫实轴或叫实轴或x轴，纵轴叫虚轴或轴，纵轴叫虚轴或y轴，这种用来表示复数的平轴，这种用来表示复数的平面叫复平面。面叫复平面。复平面也称为复平面也称为z平面。平面。),(yx xyxyoiyxz 2、复数的直角坐标表示、复数的直角坐标表示复数复数z=x

2、+iy可以用复平面上的点可以用复平面上的点(x，y)表示。表示。复数与复平面上的点成一一对应，并且常把复数与复平面上的点成一一对应，并且常把“点点z”作为作为“复数复数z”的同义词。的同义词。),(yx xyxyoiyxz 3、复数的向量表示法、复数的向量表示法复数复数z还能用从原点指向点还能用从原点指向点(x, y)的向量来表示的向量来表示(如图如图)。该向量的长度称为该向量的长度称为z的模或绝对值，记作：的模或绝对值，记作： 0显然，下列各式成立：显然，下列各式成立： |x|z|，|y|z| |z|x|+|y|xyxyoiyxz Pr复数的辐角复数的辐角在在z0的情况，表示的情况，表示z的

3、向量与的向量与x轴的交角轴的交角称为称为z的的辐角，记作：辐角，记作：Arg z=这时，有这时，有tg(Arg z)=y/x说明：说明：任何一个复数任何一个复数z0有无穷多个辐角。有无穷多个辐角。如果如果1是其中的一个辐角，那么是其中的一个辐角，那么z的全部辐角为：的全部辐角为：Arg z=1+2k （k为任意整数）为任意整数） (1.2.3)就给出了就给出了z的全部辐角。的全部辐角。复数的辐角复数的辐角在在z（0）的辐角中，我们把满足：）的辐角中，我们把满足：0的的0称为称为Arg z的主值，的主值，记作：记作：0=arg z。当当z z落于一落于一, ,四象限时，不变。四象限时，不变。 当

4、当z z落于第二象限时，加落于第二象限时，加 。 当当z z落于第三象限时，减落于第三象限时，减 。 复数的辐角复数的辐角特殊地：特殊地：当当z=0时，时，|z|=0，而辐角不确定。，而辐角不确定。, 0 x)2arctan2( xy其中其中辐辐角角的的主主值值0 z zarg, 0, 0 yx, 0, 0 yx. 0, 0 yx,arctanxy,2 ,arctan xy, 计算计算argz(z0) 的公式的公式4、复数的矢量加减运算、复数的矢量加减运算根据复数的运算法则可知，两个复数根据复数的运算法则可知，两个复数z1和和z2的加、减法运算和相应向量的加减的加、减法运算和相应向量的加减法运

5、算一致法运算一致(如图如图)。xyo1z2z21zz xyo1z2z21zz 2z 复数和差的模的性质复数和差的模的性质上述运算规则称为平行四边形法则。上述运算规则称为平行四边形法则。因为因为|z2z1|就是就是z1与与z2之间的距离，因此之间的距离，因此 |z1+z2|z1|+|z2| |z1z2|z1|z2|1z2z21zz xyo1z2z5、共轭复数、共轭复数一对共轭复数一对共轭复数z和和 在平面内的位置是关在平面内的位置是关于实轴对称的于实轴对称的(如图如图)，因而，因而 ，如果如果z不在负实轴和原点上，还有：不在负实轴和原点上，还有：xyoiyxz iyxz 6、复数的三角表示法和指

6、数表示法、复数的三角表示法和指数表示法利用直角坐标与极坐标的关系：利用直角坐标与极坐标的关系：x=rcos，y=rsin还可以把复数还可以把复数z表示为下面的形式：表示为下面的形式：z=r(cos+isin)称为复数的三角表示法。称为复数的三角表示法。复数的指数表示法复数的指数表示法利用利用Euler公式（公式（eiz=cosz+isinz，z为任意复为任意复数）：数）：ei=cos+isin，我们又可以得到：，我们又可以得到：z=rei称为复数的指数表示法。称为复数的指数表示法。结论：结论：复数的各种表示法可以相互转换，以复数的各种表示法可以相互转换，以适应讨论不同问题时的需要。适应讨论不同

7、问题时的需要。欧拉和欧拉公式欧拉和欧拉公式复平面上图形复平面上图形/曲线的表示曲线的表示很多平面图形能用复数形式的方程很多平面图形能用复数形式的方程(或不等或不等式式)来表示来表示; 也可以由给定的复数形式的方程也可以由给定的复数形式的方程(或不等式或不等式)来确定来确定 它所表示的平面图形。它所表示的平面图形。【例例1】例例1 将通过两点将通过两点z1=x1+iy1与与z2=x2+iy2的直线用复数形式的方程的直线用复数形式的方程来表示来表示.解解 通过点通过点(x1,y1)与与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为的直线可用参数方程表示为121121(),()().xxt xxtyyt y

8、y 因此因此, 它的复数形式的参数方程为它的复数形式的参数方程为z=z1+t(z2 z1). ( t+ )【例例1】 由此得知由由此得知由z1到到z2的直线段的参数方程可以写成的直线段的参数方程可以写成 z=z1+t(z2 z1). (0 0 t 1 1)取取12t 得知得知直直线段线段的中点为的中点为122zzz计算举例计算举例例例1-2-1 将下列复数化为三将下列复数化为三角表示式与指数表示式：角表示式与指数表示式：;5cos5sin)2(;212)1( iziz解解由于由于z在第三象限，所以：在第三象限，所以：0= 5/6z的三角表示式是：的三角表示式是：z=4cos(5/6)+isin

9、(5/6)=4cos(5/6)isin(5/6)z的指数表示式是：的指数表示式是：z=4e -5i/6例例1-2-15cos5sin)2( iz 52cos5sin,103cos 52sin5cos,103sin 故三角表示式为故三角表示式为,103sin103cos iz指数表示式为指数表示式为.103iez 练习练习练习：练习：写出写出 的辐角和它的指数形式。的辐角和它的指数形式。132iz解：解：3 22argarctanarctan3,1 233z 2arg22,3ArgzzkkkZ1,rz23.ize计算举例计算举例例例1-2-2 设设z1，z2为两个任意复数，证明：为两个任意复数，

10、证明： （1） ； （2）|z1+z2|z1|+|z2|（三角不等式）。（三角不等式）。证证21(1)zz)( )(2121zzzz )(2121zzzz )(2211zzzz .21zz 例例1-2-2证证221(2)zz )( )(2121zzzz )(2121zzzz 21212211zzzzzzzz 21212221zzzzzz 例例1-2-2 221zz 2221zz )Re(221zz2122212zzzz 2122212zzzz ,)(221zz , )Re(2 212121zzzzzz 因为因为两边同时开方得两边同时开方得.2121zzzz 计算举例计算举例例例1-2-3 将直

11、线方程将直线方程x+3y=2化为复数表示式。化为复数表示式。解解 由共轭复数的性质（由共轭复数的性质（4），有），有代入所给的方程，可得：代入所给的方程，可得：这就是所给直线方程的复数表示式。这就是所给直线方程的复数表示式。 计算举例计算举例例例1-2-4 求下列方程所表示的曲线。求下列方程所表示的曲线。 （1）|z+i|=2 （2）|z2i|=|z+2| （3）解解.2 2 )1(的的点点的的轨轨迹迹为为距距离离表表示示所所有有与与点点方方程程iiz .2 ,的圆的圆半径为半径为即表示中心为即表示中心为i , iyxz 设设, 2)1( iyx, 2)1(22 yx. 4)1( 22 yx圆

12、方程圆方程例例1-2-422)2( ziz.22距离相等的点的轨迹距离相等的点的轨迹和和表示所有与点表示所有与点 i. 22段的垂直平分线段的垂直平分线的线的线和和连接点连接点故方程表示的曲线就是故方程表示的曲线就是 i , iyxz 设设,22 yixiyix化简后得化简后得.xy 例例1-2-44)Im()3( zi , iyxz 设设,)1(iyxzi , 41)Im( yzi.3 y所所求求曲曲线线方方程程为为是一条平行于是一条平行于x轴的直线，如轴的直线，如图所示。图所示。二、复球面二、复球面除了用平面内的点或向量来表示复数外，还可以除了用平面内的点或向量来表示复数外，还可以用球面上

13、的点来表示复数。用球面上的点来表示复数。1、南极、北极的定义、南极、北极的定义取一个与复平面切于坐标原点的球，球取一个与复平面切于坐标原点的球，球上的一点上的一点S与原点与原点O重合重合(如图如图)。通过点通过点S作垂直于复平面的直线与球面作垂直于复平面的直线与球面相交于相交于N点。点。称称N为北极，为北极，S为南极。为南极。xyPNOS南极、北极南极、北极复平面内任一点复平面内任一点z，如果用一条直线把点，如果用一条直线把点z与北极与北极N连接起来，那么这条直线一定与球面相交于异于连接起来，那么这条直线一定与球面相交于异于N的一点的一点P。反过来，对于球面上任一异于反过来，对于球面上任一异于

14、N的点的点P，用一条直，用一条直线把线把P与与N连结起来，这条直线就与复平面相交于连结起来，这条直线就与复平面相交于一点一点z。这就说明：球面上的点，除去北极这就说明：球面上的点，除去北极N外，与复平面内的点之间存在着外，与复平面内的点之间存在着一一对应的关系。一一对应的关系。南极、北极南极、北极球面上的点（除北极球面上的点（除北极N外），与复平面内的点之间存在外），与复平面内的点之间存在着一一对应的关系。着一一对应的关系。复数可以看作是复平面内的一点，因此球面上的点，除复数可以看作是复平面内的一点，因此球面上的点，除去北极去北极N外，与复数一一对应。所以就可以用球面上的外，与复数一一对应。所

15、以就可以用球面上的点来表示复数。点来表示复数。此时须注意，球面上的北极此时须注意，球面上的北极N，还没有，还没有复平面内的一个点与它对应。复平面内的一个点与它对应。但当但当z点无限地远离坐标原点时，或者点无限地远离坐标原点时，或者说，当复数说，当复数z的模的模|z|无限地变大时，点无限地变大时，点P就无限地接近于就无限地接近于N。2、复球面的定义、复球面的定义相应地相应地规定：规定：复数有一个唯一的复数有一个唯一的“无穷大无穷大”与复平面上的与复平面上的无穷远点相对应，并把它记作无穷远点相对应，并把它记作，因而球面上的北极，因而球面上的北极N就是就是无穷大无穷大的几何表示。的几何表示。定义：定

16、义：球面上的每一个点，都有唯一的一个复数与它对应，球面上的每一个点，都有唯一的一个复数与它对应，这样的球面称为复球面。这样的球面称为复球面。为使复平面与球面上的点都能一为使复平面与球面上的点都能一一对应起来，一对应起来，规定：规定：复平面上有复平面上有一个唯一的一个唯一的“无穷远点无穷远点”，它与，它与球面上的北极球面上的北极N相对应相对应。3、扩充复球面的定义、扩充复球面的定义把包括无穷远点在内的复平面称为把包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面扩充复平面。不包括无穷远点在内的复平面称为不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面有限复平面，或，或简称为复平面。简称为复平面。对于复数对于复数来说

17、，实部、虚部和幅角的概念均无意来说，实部、虚部和幅角的概念均无意义，但它的模则规定为正无穷大，即义，但它的模则规定为正无穷大，即|=+。对于。对于其他每一个复数其他每一个复数z则有则有|z|+。复球面的优点：复球面的优点：能把扩充复平面的无穷远点明显地能把扩充复平面的无穷远点明显地表示出来。表示出来。关于关于的四则运算的四则运算 （1）加法：）加法：+=+= （） （2）减法：）减法：= （） （3）乘法：）乘法：= （） （4）除法：）除法：/=0，/= （）/0= （0）关于关于的四则运算的四则运算其他运算：其他运算：，0，/，不规定其意义；，不规定其意义；0/0和实函数一样不确定。和实函数一样不确定。注意：注意：以后如无特殊声明，所谓以后如无特殊声明，所谓“平面平面”一般仍指一般仍指有限平面，所谓有限平面，所谓“点点”仍指有限平面上的点。仍指有限平面上的点。小结小结本节主要内容：复数的模、辐角；复数