第2有限元分析的力学基础

1、主要内容主要内容o 2.1 弹性力学同有限元分析的关系弹性力学同有限元分析的关系o 2.2 弹性体的基本假设弹性体的基本假设o 2.3 弹性力学的基本变量弹性力学的基本变量o 2.4 平面问题的基本力学方程平面问题的基本力学方程o 2.5 空间问题的基本力学方程空间问题的基本力学方程o 2.6 弹性问题中的能量表达弹性问题中的能量表达o 2.7 几种特殊问题的讨论几种特殊问题的讨论o 2.8 变形体的构形、刚体位移及体积应变变形体的构形、刚体位移及体积应变要点要点o 变形体的三大类基本变量变形体的三大类基本变量o 变形体的三大类基本方程及两类边界条件变形体的三大类基本方程及两类边界条件o 弹性

2、问题中的能量表示弹性问题中的能量表示o 平面应力、平面应变、刚体位移的特征及表达平面应力、平面应变、刚体位移的特征及表达o 应力及应变的分解应力及应变的分解2.1弹性力学同有限元分析的关系弹性力学同有限元分析的关系o 弹性力学弹性力学（Elasticity）：弹性力学也称弹性理论，是固）：弹性力学也称弹性理论，是固体力学的重要分支。主要研究体力学的重要分支。主要研究弹性体弹性体在外力作用或温度在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的变化等外界因素下所产生的应力应力、应变应变和和位移位移，从而解，从而解决各类工程中所提出的强度、刚度和稳定问题。决各类工程中所提出的强度、刚度和稳定问题。o 弹性弹

3、性，几乎是所有固体的一种固有的物理属性，而，几乎是所有固体的一种固有的物理属性，而完全完全弹性弹性，则是指在引起其变形的外界因素消失以后能完全，则是指在引起其变形的外界因素消失以后能完全恢复原状的物体，简称为恢复原状的物体，简称为弹性体弹性体。o 弹性力学基本规律：弹性力学基本规律：变形连续规律变形连续规律、应力应力- -应变关系应变关系和和运动运动( (或平衡或平衡) )规律规律，它们有时被称为弹性力学三大基本，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。三大基本规律推导出来。应力应力 /

4、Sigma/应变应变 /Epsilon/位移位移 U 2.1弹性力学同有限元分析的关系弹性力学同有限元分析的关系o弹性力学同材料力学的比较弹性力学同材料力学的比较1、弹性力学的任务是要解决构件的强度、刚度和稳定问题，弹性力学的任务是要解决构件的强度、刚度和稳定问题，而材料力学还涉及到疲劳、蠕变、塑性变形以及构建破坏而材料力学还涉及到疲劳、蠕变、塑性变形以及构建破坏规律等问题规律等问题2、研究的对象：材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等、研究的对象：材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件；弹性力学虽杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件；弹性力学虽然也研究杆状

5、构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。尺寸相当的构件。2.1弹性力学同有限元分析的关系弹性力学同有限元分析的关系o弹性力学同材料力学的比较弹性力学同材料力学的比较3、研究的方法研究的方法： 弹性力学根据六条基本假设，从问题的静力学、几何学弹性力学根据六条基本假设，从问题的静力学、几何学和物理学三方面出发，经过严密的数学推导，得到弹性力和物理学三方面出发，经过严密的数学推导，得到弹性力学的基本方程和各类边界条件，从而把问题归结为线性

6、偏学的基本方程和各类边界条件，从而把问题归结为线性偏微分方程组的边界问题。微分方程组的边界问题。 材料力学在研究杆状构建的拉伸、压缩、扭转和弯曲问材料力学在研究杆状构建的拉伸、压缩、扭转和弯曲问题时，也要用到弹性力学的六条基本假设。同时也要从问题时，也要用到弹性力学的六条基本假设。同时也要从问题的静力学、几何学和物理学三方面出发，但为了简化计题的静力学、几何学和物理学三方面出发，但为了简化计算，大都还对构建的应力分布和变形状态作出某些附加的算，大都还对构建的应力分布和变形状态作出某些附加的假设假设2.1弹性力学同有限元分析的关系弹性力学同有限元分析的关系 从几何形状复杂程度来考虑可以分为：从几

7、何形状复杂程度来考虑可以分为： 1 1）简单形状变形体）简单形状变形体材料力学材料力学 2 2）任意形状变形体）任意形状变形体弹性力学弹性力学 任意变形体是任意变形体是有限元方法有限元方法处理的对象，因而，弹性力学处理的对象，因而，弹性力学中有关变量和方程的描述是有限元方法的重要基础。中有关变量和方程的描述是有限元方法的重要基础。 弹性力学的弱点：弹性力学的弱点：由于研究对象的变形状态较复杂，处由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了学运算。但为了简化计

8、算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定。材料力学中关于材料性质的假定。2.2 弹性力学中关于材料性质的假定弹性力学中关于材料性质的假定o 连续性假设连续性假设：将可变形的固体看作是连续密实的物体，：将可变形的固体看作是连续密实的物体，即组成物体的质点之间不存在任何空隙。通过该假设，即组成物体的质点之间不存在任何空隙。通过该假设，可以认为应力、应变和位移是连续的，它们可以表示成可以认为应力、应变和位移是连续的，它们可以表示成坐标的连续函数，因而在作数学推导时可以用到连续和坐标的连续函数，因而在作数学推导时可以用到连续和极限的概念。极限的概念。o 完全弹性假设完全弹性假设：又称

9、：又称物理线性假设物理线性假设。亦即当使物体产生。亦即当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原形，而不变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原形，而不留任何残余变形。这样，当温度不变时，物体在任一瞬留任何残余变形。这样，当温度不变时，物体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬时所受的外力时的形状完全决定于它在这一瞬时所受的外力 ，与它，与它过去的受力情况无关。应力和应变呈线性关系，各个弹过去的受力情况无关。应力和应变呈线性关系，各个弹性常数不随应力或应变的大小而改变。性常数不随应力或应变的大小而改变。o 各向同性假设各向同性假设：假设物体在不同的方向上具有相同的物：假设物体在不同的方

10、向上具有相同的物理性质，因而物体的弹性常数不随坐标方向的改变而改理性质，因而物体的弹性常数不随坐标方向的改变而改变。变。o 均匀性假设均匀性假设：假设所研究的物体使用同一类型的均匀材：假设所研究的物体使用同一类型的均匀材料组成的，因此各部分的物理性质（如弹性）都是相同料组成的，因此各部分的物理性质（如弹性）都是相同的，并不会随着坐标位置的改变而发生变化。根据这个的，并不会随着坐标位置的改变而发生变化。根据这个假设，我们在处理问题时可以去除物体内部任一部分进假设，我们在处理问题时可以去除物体内部任一部分进行分析，然后将分析的结果用于整个物体。行分析，然后将分析的结果用于整个物体。2.2 弹性力学

11、中关于材料性质的假定弹性力学中关于材料性质的假定o 小变形假设小变形假设：又称几何线性的假设。假设物体在力和温：又称几何线性的假设。假设物体在力和温度变化等外界因素作用下所产生的位移远小于物体原来度变化等外界因素作用下所产生的位移远小于物体原来的尺寸，因而应变分量和转角都远小于的尺寸，因而应变分量和转角都远小于1 1。这样，在研。这样，在研究物体平衡时，可不考虑由于变形引起的物体尺寸和位究物体平衡时，可不考虑由于变形引起的物体尺寸和位置的变化；在建立几何方程和物理方程时，可略去应变、置的变化；在建立几何方程和物理方程时，可略去应变、转角的二次幂或是二次乘积以上的项。转角的二次幂或是二次乘积以上

12、的项。o 无初始应力假设无初始应力假设：假设物体处于自然状态，即在力和温：假设物体处于自然状态，即在力和温度变化等外界因素作用之前，物体内部是设有应力的。度变化等外界因素作用之前，物体内部是设有应力的。根据该假设，由弹性力学求得的应力仅仅是由外力或温根据该假设，由弹性力学求得的应力仅仅是由外力或温度变化所引起的。度变化所引起的。2.2 弹性力学中关于材料性质的假定弹性力学中关于材料性质的假定2.3 弹性力学基本变量弹性力学基本变量o 基本变量2.3 弹性力学基本变量弹性力学基本变量o 外力外力：指其他物体对研究对象（弹性体）的作用力。可指其他物体对研究对象（弹性体）的作用力。可以分为以分为体积

13、力体积力（体力）（体力）和和表面力表面力（面力）（面力） 1 1、面力面力：是分布于物体表面的力，如静水压力、风力、一：是分布于物体表面的力，如静水压力、风力、一物体与另一物体之间的接触压力等。（单位：物体与另一物体之间的接触压力等。（单位：N/mN/m2 2）2 2、体力体力：是分布于物体体积内所有质点上的力，如重力、：是分布于物体体积内所有质点上的力，如重力、磁力、惯性力等。（单位：磁力、惯性力等。（单位：N/mN/m3 3）均为矢量。均为矢量。弹性体受外力以后，其内部将产生弹性体受外力以后，其内部将产生应力（内力）应力（内力）设设作用于作用于 上的内力为上的内力为 , , 则内力则内力的

14、平均集度的平均集度, ,即即平均应力平均应力, ,为为 2.3 弹性力学基本变量弹性力学基本变量o 内力内力：一个在外界因素（外力、温度变化）作用下的一个在外界因素（外力、温度变化）作用下的物体，其内部各部分之间要产生相互的作用。这种物物体，其内部各部分之间要产生相互的作用。这种物体内的一部分与其相邻的另一部分之间相互作用的力。体内的一部分与其相邻的另一部分之间相互作用的力。 F/FSS0limvSFfS 这个这个极限矢量极限矢量f fv v，就是物体在就是物体在截截面面mnmn上、上、MM点的点的应力应力。应力就是弹性体内某一点作用于某截面单位面积上的内力应力就是弹性体内某一点作用于某截面单

15、位面积上的内力2.3 弹性力学基本变量弹性力学基本变量zyx yzzxyxzyxzxy 每一个面上的应力分解为一个正应力每一个面上的应力分解为一个正应力和两个切应力和两个切应力正应力下标表示作用在垂直于轴的面正应力下标表示作用在垂直于轴的面上同时也沿着轴方向作用的上同时也沿着轴方向作用的剪应力加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一剪应力加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。2.3 弹性力学基本变量弹性力学基本变量o一点的应力状态一点的应力状态 凡提到应力应该指出它是对物体内那一点并过该

16、点哪凡提到应力应该指出它是对物体内那一点并过该点哪一个微分平面来说的。我们把物体内部同一点各微分面上一个微分平面来说的。我们把物体内部同一点各微分面上的应力情况，称为一点的应力状态。的应力情况，称为一点的应力状态。为了表示一点的应力状态，过物体内部某一点为了表示一点的应力状态，过物体内部某一点MM分别作分别作3 3个彼此垂直的微分面个彼此垂直的微分面2.3 弹性力学基本变量弹性力学基本变量o一点的应力状态一点的应力状态 通过对通过对MM点的点的3 3个微分面上的应力矢量分解以后，总共得个微分面上的应力矢量分解以后，总共得到到9 9个分量，它们作为一个整体称为个分量，它们作为一个整体称为应力张量

17、应力张量，而其中每一，而其中每一个量称为个量称为应力分量应力分量. .假设它们是坐标假设它们是坐标x x，y y，z z的连续函数，的连续函数，而且具有连续到二阶的偏导数，则有：而且具有连续到二阶的偏导数，则有：()xxyxzijyxyyzzxzyz结论结论：只要知道了一点的：只要知道了一点的9 9个应力分量，就可以求出通过该个应力分量，就可以求出通过该点的各个微分面上的应力，也就是说点的各个微分面上的应力，也就是说9 9个应力分量将完全确个应力分量将完全确定一点的应力状态定一点的应力状态2.3 弹性力学基本变量弹性力学基本变量o 正面（外法线是沿着坐标轴的正方向）正面（外法线是沿着坐标轴的正

18、方向）o 负面（外法线是沿着坐标轴的负方向）负面（外法线是沿着坐标轴的负方向）o 正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负为负o 负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负为负正应力以拉应力为正，压应力为负正应力以拉应力为正，压应力为负2.3 弹性力学基本变量弹性力学基本变量o 剪应力互等定律剪应力互等定律：作用在两个互相垂直的面上并且垂直作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的。于该两面交线的剪应力是互等的。( (大小相等，正负号也大小相等，正负号也相同相

19、同) )。因此剪应力记号的两个角码可以对调。因此剪应力记号的两个角码可以对调。yxxyxzzxzyyz,zzyzxyzyyxxzxyx 不同的坐标表示不同的坐标表示zzyzxzyyxyzxyxx zzyzxyzyyxxzxyxij 应力张量应力张量一点的应力状态一点的应力状态应变和位移应变和位移 为了分析物体在其某一点 P 的形变状态, 在这一点沿着坐标轴x , y , z 的正方向取三个微小的线段 PA, PB, PC。 2.3 弹性力学基本变量弹性力学基本变量正应变正应变各线段的每单位长度的伸缩,即单位伸缩或相对伸缩。以伸长为正、缩短为负 剪剪应变应变各线段之间的直角的改变,用弧度表示。以

20、直角减小为正、增大为负。zyx zxyzxy 2.3 弹性力学基本变量弹性力学基本变量现在考虑任意一个微现在考虑任意一个微分平行六面体，设其分平行六面体，设其中变形前的三条棱边中变形前的三条棱边分别为分别为MA，MB，MC，变形后变为，变形后变为MA， MB ， MC，那么可以得到正应，那么可以得到正应变和剪应变分别为：变和剪应变分别为：这这6个分量中的每一个分量中的每一个都称为应变分量。个都称为应变分量。2.3 弹性力学基本变量弹性力学基本变量物体内任意一点的位移物体内任意一点的位移, ,用它在用它在x, y, z三轴上的三轴上的投影投影 ， ， 来表示来表示以正标向为正以正标向为正。uvw

21、 一般而论一般而论, , 弹性体内任意一点的体力分量、面力弹性体内任意一点的体力分量、面力分量、应力分量、应变分量和位移分量分量、应力分量、应变分量和位移分量, ,都是随着该都是随着该点的位置而变的点的位置而变的, , 因而都是因而都是。 ( , , )( , , )( , , )uu x y zvv x y zww x y z2.3 弹性力学基本变量弹性力学基本变量o建立应变分量和位移分量之间的关系建立应变分量和位移分量之间的关系由于我们考虑的是小变形，在不包括纯属物体位置变化（由于我们考虑的是小变形，在不包括纯属物体位置变化（即刚体运动）的那个部分，也就是说，物体内各点的位移即刚体运动）的

22、那个部分，也就是说，物体内各点的位移全部由自己的大小和形状的变化引起的，则物体内各自的全部由自己的大小和形状的变化引起的，则物体内各自的转角是极其微小的。因此在讨论一个问题时，可以利用物转角是极其微小的。因此在讨论一个问题时，可以利用物体在各个平面上的投影来代替它们的实际长度，这样就可体在各个平面上的投影来代替它们的实际长度，这样就可以使问题简化。以使问题简化。2.3 弹性力学基本变量弹性力学基本变量利用利用mama，mbmb表示表示MAMA，MBMB在在OxyOxy平面上的投影平面上的投影。用。用u u（x x，y y，z z），），v v（x x，y y，z z）表示表示MM点的位移矢量分

23、点的位移矢量分别在别在OxOx和和OyOy轴上的分轴上的分量，则量，则A A点和点和B B点的相点的相应位移分别为：应位移分别为：2.3 弹性力学基本变量弹性力学基本变量),(),(),(),(zdyyxvzdyyxuzydxxvzydxxu2.3 弹性力学基本变量弹性力学基本变量按照多元函数泰勒级数按照多元函数泰勒级数展开，略去二阶以上的展开，略去二阶以上的无穷小量，则无穷小量，则A A点和点和B B点点的位移矢量在的位移矢量在OxOx和和OyOy轴轴上的分量可以表示为：上的分量可以表示为：dyyvvdyyuudxxvvdxxuu,ma在在Ox轴上的投影轴上的投影ma 为为：dxxudxud

24、xxuudxam 2.3 弹性力学基本变量弹性力学基本变量这样我们就能得到沿这样我们就能得到沿Ox轴的应变分量为：轴的应变分量为：xudxdxdxxudxdxdxamx 同理：同理：zwyvzy,这样我们就得到了物体内任一点这样我们就得到了物体内任一点M分别与分别与3个坐标轴平行的个坐标轴平行的微分线段的伸长率微分线段的伸长率正应变正应变当正应变分量大于零时，表示线段伸长，反之表示缩短。当正应变分量大于零时，表示线段伸长，反之表示缩短。剪应变分量：剪应变分量：2.3 弹性力学基本变量弹性力学基本变量yxxyxyamb22.3 弹性力学基本变量弹性力学基本变量xuxvdxxudxvdxxvvam

25、aayxyx1tan 因为小变形下因为小变形下 与与1相比是一小量，可以忽略，于是有：相比是一小量，可以忽略，于是有：xu /,yxxyvuxy这样就得到剪应变分量：这样就得到剪应变分量： ，同理可以得到余，同理可以得到余下的两个剪应变分量：下的两个剪应变分量：yuxvxyzvywxwzuyzxz,这样就得到这样就得到6 6个关系式：个关系式：2.3 弹性力学基本变量弹性力学基本变量strain-displacement relations.strain-displacement relations.（几何方程又称柯西方程）（几何方程又称柯西方程）将上式的右侧一列的将上式的右侧一列的3 3个式

26、子两边同除以个式子两边同除以2 2，并令，并令xyxyxzxzyzyz21,21,21)(21,ijjijiuuo 位移与应变的关系应变应变位移位移刚体刚体位移位移位移位移刚体刚体转动转动oiiijjijjuudxw dx2.3 弹性力学基本变量弹性力学基本变量zxyzxyzyxzxyzxyzyx应力分量的矩阵表示称为应力列阵或应力向量。 弹性体在载荷作用下，将产生位移和变形，即弹性体位置的移动和形状的改变。弹性体内任一点的位移可由沿直角坐标轴方向的3个位移分量 来表示。它的矩阵形式是：称作位移列阵或位移向量。U,o应力和应变的关系应力和应变的关系 广义胡可定律广义胡可定律应力和应变关系的一般

27、表达式：应力和应变关系的一般表达式：2.3 弹性力学基本变量弹性力学基本变量这里的函数这里的函数f取决于材料本身的物理特性，这里我们不去取决于材料本身的物理特性，这里我们不去研究如何确立最一般情况下的应力与应变关系，仅仅考虑研究如何确立最一般情况下的应力与应变关系，仅仅考虑弹性体小变形的情况弹性体小变形的情况其中其中E E为弹性模量，为弹性模量，G G为剪切模量，为剪切模量， 为为PoissionPoission比。比。xyxyyxzzxzxzzxyyyzyzzyxxEEEEEE)1 (2),(1)1 (2),(1)1 (2),(1广义胡克定律可以写成以下形式：广义胡克定律可以写成以下形式：2

28、.3 弹性力学基本变量弹性力学基本变量2.3 弹性力学基本变量弹性力学基本变量E E称为称为弹性模量弹性模量，反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。，反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。 是是泊松系数泊松系数，描写材料横向收缩或膨胀的特性。，描写材料横向收缩或膨胀的特性。)1 (2EGo 基本方程基本方程 受外部作用的任意形状变形体，在其微小体元受外部作用的任意形状变形体，在其微小体元d dx xd dy yd dz z中中，基于位移、应变和应力这三大类变量，可以建立以下三基于位移、应变和应力这三大类变量，可以建立以下三大类方程大类方程 平衡方程：外力和内力之间的平衡关系平衡方程：外力和内力

29、之间的平衡关系 几何方程：描述的是位移和应变之间关系几何方程：描述的是位移和应变之间关系 物理方程：应力和应变之间的关系物理方程：应力和应变之间的关系2.3 弹性力学基本变量弹性力学基本变量2.3 弹性力学基本变量弹性力学基本变量o 平衡方程平衡方程：外力和内力之间的平衡关系：外力和内力之间的平衡关系o 几何方程几何方程：描述的是位移和应变之间关系：描述的是位移和应变之间关系o 物理方程物理方程：应力和应变之间的关系：应力和应变之间的关系o 边界条件边界条件：o 三大类方程三大类方程 力平衡方程力平衡方程 几何形变方程几何形变方程 材料的物理方程材料的物理方程o 边界条件边界条件 位移方面位移

30、方面 外力方面外力方面2.4 平面平面( (2D) )问题的基本方程问题的基本方程 （1 1）三大类方程之一）三大类方程之一 力平衡方程力平衡方程2.4 平面平面( (2D) )问题的基本方程问题的基本方程 o各个侧面的应力表达应该注意以下几点：各个侧面的应力表达应该注意以下几点：有有4 4个侧面；个侧面；应力分解为所在平面的法线方向和切线方向向量，前应力分解为所在平面的法线方向和切线方向向量，前者称为正应力，后者称为剪应力；者称为正应力，后者称为剪应力；应力在经过应力在经过dxdx或或dydy变化后的位置上有增量表达；变化后的位置上有增量表达；约定：正应力沿发现方向为正，剪应力方向如图；约定

31、：正应力沿发现方向为正，剪应力方向如图；应力在应力在dxdx，dydy平面上均匀分布。平面上均匀分布。2.4 平面平面( (2D) )问题的基本方程问题的基本方程 o 增量的计算（由增量的计算（由TaylorTaylor级数展开）级数展开）2.4 平面平面( (2D) )问题的基本方程问题的基本方程 约去二阶以上微量约去二阶以上微量注：注：bc_tbc_t表示表示bcbc边与厚度边与厚度t t组成的面组成的面o微单元体的几个平衡关系微单元体的几个平衡关系我们要考虑以下几个平衡关系：我们要考虑以下几个平衡关系：沿沿x方向所有合力平衡方向所有合力平衡沿沿y方向所有合力平衡方向所有合力平衡所有合力关

32、于任一点的力矩平衡所有合力关于任一点的力矩平衡分别记为：分别记为：2.4 平面平面( (2D) )问题的基本方程问题的基本方程 oyxMFF,o x x方向合力的平衡方程方向合力的平衡方程2.4 平面平面( (2D) )问题的基本方程问题的基本方程 简化后简化后o 沿沿y y方向合力的平衡方程方向合力的平衡方程同理可得，沿同理可得，沿y y方向合力方向合力可得：可得：o 沿沿中心点中心点o o的力矩的力矩平衡方程平衡方程可得：可得：2.4 平面平面( (2D) )问题的基本方程问题的基本方程 0yF0oM在略去高阶次项后，我们得到：在略去高阶次项后，我们得到：这就是前面讲到的剪应力互等定律，以

33、后可以不加区分，这就是前面讲到的剪应力互等定律，以后可以不加区分，但要注意剪应力的方向。但要注意剪应力的方向。这样，我们就得到了力平衡方程的表达形式：这样，我们就得到了力平衡方程的表达形式：2.4 平面平面( (2D) )问题的基本方程问题的基本方程 yxxy（2 2）三大类方程之一）三大类方程之一 几何变形方程几何变形方程2.4 平面平面( (2D) )问题的基本方程问题的基本方程 o从以下几个方面来描述位移的变化量从以下几个方面来描述位移的变化量定义定义x x方向的伸长量方向的伸长量定义定义y y方向的伸长量方向的伸长量定义夹角的变化定义夹角的变化2.4 平面平面( (2D) )问题的基本

34、方程问题的基本方程 （3 3）三大类方程之一）三大类方程之一 材料的物理方程材料的物理方程由广义由广义HookeHooke定理，二维平面应力情况下的物理方程：定理，二维平面应力情况下的物理方程：2.4 平面平面( (2D) )问题的基本方程问题的基本方程 逆形式逆形式其中其中 和和 为指定的沿为指定的沿x x方向和方向和y y方向的位移，方向的位移， 为给为给定的位移边界。定的位移边界。o边界条件（位移边界条件、力的边界条件）边界条件（位移边界条件、力的边界条件）位移边界条件位移边界条件平面问题中有关平面问题中有关x x方向和方向和y y方向方向位移的边界条件：位移的边界条件： 2.4 平面平

35、面( (2D) )问题的基本方程问题的基本方程 uvuS力的边界条件力的边界条件在力的边界取微元体在力的边界取微元体dxdydxdy2.4 平面平面( (2D) )问题的基本方程问题的基本方程 由微体由微体x x方向的平衡，有：方向的平衡，有：将上式简化得到：将上式简化得到：其中：其中：将微体的三个平衡方程汇总：将微体的三个平衡方程汇总：其中其中S Sp p为给定的力边界为给定的力边界2.4 平面平面( (2D) )问题的基本方程问题的基本方程 o 将将2D2D问题的基本方程扩展至问题的基本方程扩展至3D3D问题问题2.5 空间空间( (3D) )问题的基本方程问题的基本方程 o X方向负面o

36、 X方向正面o Y方向负面o Y方向正面o Z方向负面o Z方向正面+d+d+dyxxxzxxxyxzxxxxxxxdddxyyyzyxyyyzyyyyyyyzz+d+d+dzyzxzzxyzzzzzzzz2.5 空间空间( (3D) )问题的基本方程问题的基本方程 平衡方程平衡方程o X方向力平衡o 化简得xzxzz+d -d dd -d d +d -d d+d d d0 xyxxxxxyxyxxxxy zyx zzx yxyzfx y zz+0zxyxxxxfxy2.5 空间空间( (3D) )问题的基本方程问题的基本方程 o Y方向力平衡o 化简得d -d d+d -d d +d -d

37、dz+d d d0yxyyyzyxyxyyyyzyzyxy zyx zzx yxyfx y zy+0zyxyyzyfxy2.5 空间空间( (3D) )问题的基本方程问题的基本方程 o Z方向力平衡o 化简得zzzzz+d -d d +d -d d+d -d dz+d d d0zyxzxxzyzyzxzxy zyx zzx yxyfx y zz0zyzxzzfxyz2.5 空间空间( (3D) )问题的基本方程问题的基本方程 o 如果这六个量在某点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就称为在该点的应力分量。o 一般说来，弹性体内

38、各点的应力状态都不相同，因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而是坐标x、y、z的函数。o 六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵来表示： zzzxy=xxyyyzx2.5 空间空间( (3D) )问题的基本方程问题的基本方程 xyzyxzzxyuvwxzyvuwyzxwuvzyx几何方程几何方程vudxdyA AB BC CD Ddxxuudxxvvdyyuudyyvv ABCDDBx xy y0 0图 1-5工程应变2.5 空间空间( (3D) )问题的基本方程问题的基本方程 o 写成矩阵形式为000000 xyzyzxzxyxyuzvwzyzxyx B2.5 空间空间(

39、(3D) )问题的基本方程问题的基本方程 o 几何方程可见，当弹性体的几何方程可见，当弹性体的位移分量完全确定时，应变位移分量完全确定时，应变分量是完全确定的。反过来，分量是完全确定的。反过来，当应变分量完全确定时，位当应变分量完全确定时，位移分量却不完全确定；这是移分量却不完全确定；这是因为，具有确定形状的物体，因为，具有确定形状的物体，可能发生不同的刚体位移。可能发生不同的刚体位移。为了说明这一点，试命：为了说明这一点，试命： 0Bxyzyxzzxyuvwxzyvuwyzxwuvzyxxywwzxvvyzuuyxxzzy000式中的u0, v0, w0, x, y, z是积分常数。2.5

40、空间空间( (3D) )问题的基本方程问题的基本方程 r rx xy yo oz zx xy yP Pxzyz图 1-6u0弹性体沿x方向的刚体移动v0 弹性体沿y方向的刚体移动 w0 弹性体沿z方向的刚体移动x 弹性体绕x轴的刚体转动y 弹性体绕y轴的刚体转动z 弹性体绕z轴的刚体转动为了完全确定弹性体的位移，必须有六个适当的约束条件来确定这六个刚体位移。2.5 空间空间( (3D) )问题的基本方程问题的基本方程 o 变形协调条件222222222222222222222xyyyzxyxxxzyzyyyzxyxzzyzxyxzxxzzzx yy zxxyzyxy zx zyxyzzyx z

41、x yzxyzzx 当6个应变分量满足以上应变协调方程时，就能保证得到单值连续的位移函数。2.5 空间空间( (3D) )问题的基本方程问题的基本方程 当沿当沿x x轴方向的两个对面受有均匀分布的正轴方向的两个对面受有均匀分布的正应力时，在满足先前假定的材料性质条件应力时，在满足先前假定的材料性质条件下，正应力不会引起角度的任何改变，而下，正应力不会引起角度的任何改变，而其在其在x x方向的单位伸长则可表以方程方向的单位伸长则可表以方程 弹性体在弹性体在x x方向的伸长还伴随有侧向收缩，方向的伸长还伴随有侧向收缩，即在即在y y和和z z方向的单位缩短可表示为：方向的单位缩短可表示为：方程既可

42、用于简单拉伸，也可用于简单压方程既可用于简单拉伸，也可用于简单压缩，且在弹性极限之内，两种情况下的弹缩，且在弹性极限之内，两种情况下的弹性模量和波桑系数相同。性模量和波桑系数相同。 z zy yx x0 0 xxyyzz应力分量与应变分量之间的关系-Hooke定律 ExxEExzxy，物理方程物理方程2.5 空间空间( (3D) )问题的基本方程问题的基本方程 设图中的弹性体在各面上都受有均匀分布的正应力，则合设图中的弹性体在各面上都受有均匀分布的正应力，则合成应变的分量可用前面两式求得。实验证明，只须将三个成应变的分量可用前面两式求得。实验证明，只须将三个应力中的每一应力所引起的应变分量叠加

43、，就得到合成应应力中的每一应力所引起的应变分量叠加，就得到合成应变的分量。变的分量。单位伸长与应力之间的关系完全由两个物理常数单位伸长与应力之间的关系完全由两个物理常数E E及及 所确所确定。两个常数也可用来确定剪应力与剪应变之间的关系。定。两个常数也可用来确定剪应力与剪应变之间的关系。)(1)(1)(1yxzzzxyyzyxxEEE 在线弹性范围内,小 变形条件下, 各向同性材料。2.5 空间空间( (3D) )问题的基本方程问题的基本方程 如果弹性体的各面有剪应力作用任何两坐标轴的夹角的改变仅与平行如果弹性体的各面有剪应力作用任何两坐标轴的夹角的改变仅与平行于这两轴的剪应力分量有关，即得到

44、：于这两轴的剪应力分量有关，即得到： zxzxyzyzxyxyyxzzzxyyzyxxGGGEEE111)(1)(1)(1zxzxyzyzxyxyGGG111， )1 (2EG正应变与剪应变是各自独立的。因此，正应变与剪应变是各自独立的。因此，由三个正应力分量与三个剪应力分量引由三个正应力分量与三个剪应力分量引起的一般情形的应变，可用叠加法求得；起的一般情形的应变，可用叠加法求得；即将六个关系式写在一起，得弹性方程即将六个关系式写在一起，得弹性方程或物理方程，这种空间状态的应力应变或物理方程，这种空间状态的应力应变关系称为广义关系称为广义Hooke定律。定律。2.5 空间空间( (3D) )问

45、题的基本方程问题的基本方程 )1 (221000000)1 (221000000)1 (221000000111000111000111)21)(1 ()1 (zxyzxyzyxzxyzxyzyxE写成矩阵形式为D2.5 空间空间( (3D) )问题的基本方程问题的基本方程 边界条件边界条件xyxzxNxyyzyNxzyzzNlmnXlmnYlmnZX XN N, ,Y YN N, ,Z ZN N分别为作用在某一任意分别为作用在某一任意平面上的沿三个坐标轴方向的分平面上的沿三个坐标轴方向的分量。对于已知应力边界条件的情量。对于已知应力边界条件的情况，相应的应力边界条件为况，相应的应力边界条件为

46、 xyxzxxxyyzyyxzyzzzlmnqlmnqlmnqnznmynlxn,cos,cos,cos2.5 空间空间( (3D) )问题的基本方程问题的基本方程 o2D2D问题：问题： 2 2个位移分量，个位移分量，3 3个应力分量，个应力分量，3 3个应变分量个应变分量 2 2个平衡方程，个平衡方程，3 3个几何方程，个几何方程，3 3个物理方程个物理方程o3D3D问题：问题： 3 3个位移分量，个位移分量，6 6个应力分量，个应力分量，6 6个应变分量个应变分量 3 3个平衡方程，个平衡方程，6 6个几何方程，个几何方程，6 6个物理方程个物理方程 我们得到的变量和方程都是从任意变形体

47、中所取出来的微单元体我们得到的变量和方程都是从任意变形体中所取出来的微单元体来建立的，因此无论对象的几何形状和边界条件如何不同，其基来建立的，因此无论对象的几何形状和边界条件如何不同，其基本变量和基本方程是完全相同，不同之处在于边界条件，所以求本变量和基本方程是完全相同，不同之处在于边界条件，所以求解的难度是如何处理边界条件（几何形状）。解的难度是如何处理边界条件（几何形状）。2.5 空间空间( (3D) )问题的基本方程问题的基本方程 2.6 弹性问题中的能量表示弹性问题中的能量表示o能量分类能量分类弹性问题中的自然能量分为两类：弹性问题中的自然能量分为两类：1 1）外力功外力功：施加外力在

48、可能：施加外力在可能位移位移上所作的功上所作的功( (即外力在即外力在弹性变形过程中所做的功弹性变形过程中所做的功) )。2 2）应变能应变能：变形体由于：变形体由于变形变形而存储的能量而存储的能量( (即由于变形即由于变形而储存于弹性体内的能量而储存于弹性体内的能量) )。 应变能，以位移为基本变量表达。应变能，以位移为基本变量表达。 应变余能，以应力为基本变量表达。应变余能，以应力为基本变量表达。除此之外，还有出于研究的需要，定义一下由自然能除此之外，还有出于研究的需要，定义一下由自然能量所组合的物理量，如是势能、余能等。量所组合的物理量，如是势能、余能等。o 外力功（外力功（work b

49、y forcework by force） 施加外力在可能位移上所作的功，外力有两种，包括施加外力在可能位移上所作的功，外力有两种，包括作用在物体上的面力和体力，这些力被假设为与变形作用在物体上的面力和体力，这些力被假设为与变形无关的不变力系（保守力），则外力功包括这两部分无关的不变力系（保守力），则外力功包括这两部分力在可能位移上所作的功。力在可能位移上所作的功。2.6 弹性问题中的能量表示弹性问题中的能量表示o外力功分为两个部分外力功分为两个部分Part1Part1：在力的边界条件上，由外力（面力）：在力的边界条件上，由外力（面力） 在对应的位在对应的位移移u ui i上所做的功（在上所做

50、的功（在SpSp上）上）Part2Part2：在问题内部，由体积力：在问题内部，由体积力 在对应位移在对应位移u ui i上所做的功上所做的功（在（在 内部）内部）2.6 弹性问题中的能量表示弹性问题中的能量表示ipibo 应变能应变能 以位移（或应变）为基本变量所表达的变形能叫做应变以位移（或应变）为基本变量所表达的变形能叫做应变能（能（strain energystrain energy）。）。3D3D情形下变形体的应力与应变的情形下变形体的应力与应变的对应关系为：对应关系为： 它也包括两部分：它也包括两部分： 1 1）对应于正应力与正应变的应变能）对应于正应力与正应变的应变能 2 2）对

51、应于剪应力和剪应变的应变能）对应于剪应力和剪应变的应变能2.6 弹性问题中的能量表示弹性问题中的能量表示o 对应于正应力与正应变的应变能对应于正应力与正应变的应变能如图，在如图，在xoyxoy平面内考察由于主应变和主应力的作用所产平面内考察由于主应变和主应力的作用所产生应变能。生应变能。2.6 弹性问题中的能量表示弹性问题中的能量表示假设微小体元假设微小体元d d =dxdydz=dxdydz上只有上只有 xxxx与与 xxxx，这时微体的厚，这时微体的厚度为度为dzdz，则由图中力与位移的关系，即，则由图中力与位移的关系，即F F u u曲线（可由试曲线（可由试验所的），可以求得微体上的应变

52、能为：验所的），可以求得微体上的应变能为：则在整个体积上，应变能为：则在整个体积上，应变能为：在另外两个方向上的主应力和主应变（在另外两个方向上的主应力和主应变（ yyyy与与 yyyy， zzzz与与 zzzz）所产生的应变能与上面的计算公式类似。）所产生的应变能与上面的计算公式类似。2.6 弹性问题中的能量表示弹性问题中的能量表示o对应于剪应力和剪应变的应变能对应于剪应力和剪应变的应变能先考察一对剪应力与剪应变，如图所示，假设在微小体先考察一对剪应力与剪应变，如图所示，假设在微小体元元dxdydzdxdydz上只做用有上只做用有 xyxy与与 xyxy，这时微体的厚度为，这时微体的厚度为d

53、zdz，由于，由于 xyxy是剪应力对，即为是剪应力对，即为 xyxy与与 yx yx ，将其分解为两组情况分别计，将其分解为两组情况分别计算变形能。算变形能。2.6 弹性问题中的能量表示弹性问题中的能量表示由于由于 xyxy与与 xyxy的作用，在微体上产生的应变能为：的作用，在微体上产生的应变能为：在整个物体在整个物体 上，上， xyxy与与 xyxy产生的应变能为：产生的应变能为： yzyz与与 yzyz，与，与 zxzx与与 zxzx所产生的应变能与上面的计算公式类似所产生的应变能与上面的计算公式类似2.6 弹性问题中的能量表示弹性问题中的能量表示o整体应变能整体应变能由叠加原理，将各

54、个方向的正应力与正应变、剪应力与由叠加原理，将各个方向的正应力与正应变、剪应力与剪应变所产生的应变能相加，可得到整体应变能：剪应变所产生的应变能相加，可得到整体应变能：若用指标形式来写成变形体的应变能，则有：若用指标形式来写成变形体的应变能，则有：2.6 弹性问题中的能量表示弹性问题中的能量表示o 系统的势能系统的势能对于受外力作用的变形体，基于它的外力功和应变能的对于受外力作用的变形体，基于它的外力功和应变能的表达，定义系统的势能表达，定义系统的势能(potential energy)(potential energy)为：为：2.6 弹性问题中的能量表示弹性问题中的能量表示o 举例说明举例

55、说明一个左端固定的拉杆在其右端承受一个外力一个左端固定的拉杆在其右端承受一个外力P P，该拉杆，该拉杆的长度为的长度为l l，截面积为，截面积为A A，弹性模量为，弹性模量为E E，如图所示：，如图所示：2.6 弹性问题中的能量表示弹性问题中的能量表示2.6 弹性问题中的能量表示弹性问题中的能量表示应变能：应变能：外力功：外力功：势能：势能：在实际的问题中，经常有一些比较典型的情在实际的问题中，经常有一些比较典型的情况，需要有针对性地进行处理，如厚度较薄的况，需要有针对性地进行处理，如厚度较薄的平面问题、厚度较厚的等截面平面应变问题、平面问题、厚度较厚的等截面平面应变问题、物体的刚体移动、物体

56、形变后的体积变化等物体的刚体移动、物体形变后的体积变化等2.7 几种特殊问题的讨论几种特殊问题的讨论o 平面应力平面应力假设有很薄的等厚度板，所受外力全部作用在假设有很薄的等厚度板，所受外力全部作用在oxyoxy平面，平面，且不随且不随z z变化，这种状况叫做平面应力（变化，这种状况叫做平面应力（plane stressplane stress）。在）。在薄板的内外表面上，所有沿薄板的内外表面上，所有沿z z方向应力为零，即方向应力为零，即2.7 几种特殊问题的讨论几种特殊问题的讨论 由于板很薄，可近似认为在整个由于板很薄，可近似认为在整个板内部处处有：板内部处处有：由上述可知，该问题下所有力

57、学变量都是由上述可知，该问题下所有力学变量都是x x、y y的函数，的函数，不随不随z z变化，由物理方程可知：变化，由物理方程可知：则对原则对原3D3D问题进行简化，有基本变量为：问题进行简化，有基本变量为：位移：位移：u u，v v应力：应力： x x， x x ， xyxy应变：应变： x x， y y ， xyxy2.7 几种特殊问题的讨论几种特殊问题的讨论由于由于 zzzz=0=0，则相应的，则相应的3D3D问题物理方程中的一个方程：问题物理方程中的一个方程：2.7 几种特殊问题的讨论几种特殊问题的讨论平衡方程平衡方程2.7 几种特殊问题的讨论几种特殊问题的讨论几何方程几何方程物理方

58、程物理方程2.7 几种特殊问题的讨论几种特殊问题的讨论边界条件边界条件o 平面应变平面应变假设有一无限长等截面柱形体，所承受外载不随假设有一无限长等截面柱形体，所承受外载不随z z变化变化，如图所示，这种状况叫做平面应变（，如图所示，这种状况叫做平面应变（plane strainplane strain）。由于）。由于任意一横截面都为对称面，则有沿任意一横截面都为对称面，则有沿z z方向的位移和应变为零方向的位移和应变为零。则有：则有：由物理方程可知，所对应的由物理方程可知，所对应的2.7 几种特殊问题的讨论几种特殊问题的讨论在此情况下，所有的变量均是在此情况下，所有的变量均是x x，y y的

59、函数，不随的函数，不随z z变化，变化，其基本变量为：其基本变量为：位移：位移：u u，v v应力：应力： x x， y y ， xyxy应变：应变： x x， y y， xyxy由于由于w w=0=0，则，则 z z=0=0，相应的，相应的3D3D物理方程中的一个方程变物理方程中的一个方程变为：为：2.7 几种特殊问题的讨论几种特殊问题的讨论平衡方程平衡方程2.7 几种特殊问题的讨论几种特殊问题的讨论几何方程几何方程物理方程物理方程2.7 几种特殊问题的讨论几种特殊问题的讨论边界条件边界条件由两种平面问题的比较可以知道，除了物理方程以外，其他方程相同。由两种平面问题的比较可以知道，除了物理方程以外，其他方程相同。o 变形体的构形变形体的构形所谓构形（所谓构形（configurationconfiguration），是指由坐标系所描述的），是指由坐标系所描述的病形体的几何形貌。变形前的几何形貌叫做初始构形病形体的几何形貌。变形前的几何形貌叫做初始构形（initial configurationinitial configuration），而变形后的几何形貌叫做当前），而变形后的几何形貌叫做当前构形（构形（present con