第5章系统运动的稳定性分析

1、第第5 5章章 系统运动的稳定性分析系统运动的稳定性分析 稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件，它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，要条件，它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而与输入作用无关。而与输入作用无关。 1. 1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统初始条件及外作用无关；与系统初始条件及外作用无关； 2. 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与系统初始条件及外作用有关；数，也与系统初始条件及外作用有关；稳定性判别

2、方法稳定性判别方法经典控制理论中：经典控制理论中：线性定常系统的稳定性：线性定常系统的稳定性：代数判据（劳斯判据、赫尔维茨判据）；代数判据（劳斯判据、赫尔维茨判据）； 奈奎斯特判据奈奎斯特判据 ；对数稳定判据等。；对数稳定判据等。 非线性定常系统的稳定性：非线性定常系统的稳定性：描述函数法描述函数法： 要求系统的线性部分具有良好的滤要求系统的线性部分具有良好的滤 除谐波的性能；除谐波的性能；相平面法相平面法：仅适合于一阶、二阶非线性系统。：仅适合于一阶、二阶非线性系统。现代控制理论中：现代控制理论中：一般系统一般系统（包括单变量、线性、定常系统，以及多变量、（包括单变量、线性、定常系统，以及多

3、变量、非线性、时变系统）的稳定性：非线性、时变系统）的稳定性：李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性理论。理论。李雅普诺夫稳定性理论。李雅普诺夫稳定性理论。 李雅普诺夫稳定性理论在建立了一系列关于稳定李雅普诺夫稳定性理论在建立了一系列关于稳定性概念的基础上，提出了判断系统稳定性的两种方法：性概念的基础上，提出了判断系统稳定性的两种方法：1.1.间接法：间接法：利用线性系统微分方程的解来判系统的稳利用线性系统微分方程的解来判系统的稳 定性，又称定性，又称李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法；2.2.直接法直接法：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函 数，然后利用李雅普

4、诺夫函数来判断系统的稳定性，数，然后利用李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性，又称又称李雅普诺夫第二法。李雅普诺夫第二法。 李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的一般李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的一般理论，它采用状态空间描述，在分析一些特定的非线理论，它采用状态空间描述，在分析一些特定的非线性系统的稳定性时，有效地解决了其它方法所不能解性系统的稳定性时，有效地解决了其它方法所不能解决的问题。该理论比经典控制理论中的稳定性判据适决的问题。该理论比经典控制理论中的稳定性判据适应范围更广。应范围更广。5.1 5.1 李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义 5.2 5.2 李雅普诺夫第一法李雅普

5、诺夫第一法5.3 5.3 李雅普诺夫第二法及其主要定理李雅普诺夫第二法及其主要定理5.4 5.4 线性系统稳定性分析线性系统稳定性分析* *5.55.5 非线性系统稳定性分析非线性系统稳定性分析5.1 5.1 李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义 一一. BIBO. BIBO稳定性的概念稳定性的概念 对于一个对于一个初始条件为零初始条件为零的系统，如果在有界的的系统，如果在有界的输入输入u(t)u(t)的作用下，所产生的输出的作用下，所产生的输出y(t)y(t)也是有界的也是有界的，则称此系统是外部稳定的，也即是有界输入，则称此系统是外部稳定的，也即是有界输入- -有界有界输出稳定的。并简

6、称为输出稳定的。并简称为BIBOBIBO稳定。稳定。李雅普诺夫稳定性的物理意义是李雅普诺夫稳定性的物理意义是系统响应是否有界系统响应是否有界。二平衡状态二平衡状态李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。1. 1. 平衡状态的定义平衡状态的定义 设系统状态方程为：设系统状态方程为： 若对所有若对所有t t，状态，状态x x满足满足 ，则称该状态，则称该状态x x为平衡为平衡状态，记为状态，记为x xe e。故有下式成立：。故有下式成立： 由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。) 15(,txf

7、x 0 x )25(0,txfe2. 2. 平衡状态的求法平衡状态的求法 由定义可见，平衡状态将包含在由定义可见，平衡状态将包含在 这这样一个代数方程组中。样一个代数方程组中。 对于对于线性定常系统线性定常系统 ，其平衡状态为，其平衡状态为x xe e应满足代数方程应满足代数方程 。0,txfAxx 0Ax只有坐标原点处是系统的平衡状态点只有坐标原点处是系统的平衡状态点 对于非线性系统，方程对于非线性系统，方程 的解可能有多的解可能有多个，视系统方程而定。个，视系统方程而定。 0,txf如：如： 3221211xxxxxx0032211xxxx0)1 (02221xxx0)1)(1 (0222

8、1xxxx该系统存在三个平衡状态：该系统存在三个平衡状态：10,10,00321eeexxx三范数的概念三范数的概念范数的定义范数的定义 n n维状态空间中，向量维状态空间中，向量x x的长度称为向量的长度称为向量x x的范数的范数，用，用 表示，则：表示，则：x2122221xxxxxxTn向量的距离向量的距离 长度长度 称为向量称为向量x x与与x xe e的距离，写为的距离，写为：exx2211ennexxxxexx 定义定义：对于系统对于系统 ，设系统初始状态位于以，设系统初始状态位于以平衡状态平衡状态x xe e为球心、为球心、为半径的闭球域为半径的闭球域S()S()内，即内，即 若

9、能使系统从任意初态若能使系统从任意初态x x0 0出发的解出发的解 在在tttt0 0的过程中，都位于以的过程中，都位于以x xe e为球心、任意规定的半径为球心、任意规定的半径的闭的闭球域球域S()S()内，即：内，即： 则称系统的平衡状态则称系统的平衡状态x xe e在在李雅普诺夫意义下是李雅普诺夫意义下是稳定稳定的。的。txfx,00,ttxxe00,;txtx)(,;000ttxtxtex四李雅普诺夫稳定性定义四李雅普诺夫稳定性定义1 1李雅普诺夫意义下的稳定性李雅普诺夫意义下的稳定性 P243P243几何意义几何意义 按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不按李雅普诺夫意义下的稳定

10、性定义，当系统作不衰减的振荡运动，将在平面描绘出一条封闭曲线，但只衰减的振荡运动，将在平面描绘出一条封闭曲线，但只要不超出要不超出S(),S(),则认为是稳定的，这与经典控制理论则认为是稳定的，这与经典控制理论中线性定常系统的稳定性定义有差异。中线性定常系统的稳定性定义有差异。 2 2渐进稳定性（经典理论稳定性）渐进稳定性（经典理论稳定性）etxtxt00,;limx定义：定义： 如果系统的平衡状态如果系统的平衡状态x xe e不仅有李雅普诺夫意义下的不仅有李雅普诺夫意义下的稳定性，且对于任意小量稳定性，且对于任意小量00，总有，总有则称平衡状态则称平衡状态x xe e是李雅普诺夫意义下渐进稳

11、定的。是李雅普诺夫意义下渐进稳定的。 这时，从S()出发的轨迹不仅不会超出S()，且当t时收敛于xe，可见经典控制理论中的稳定性经典控制理论中的稳定性定义与渐进稳定性渐进稳定性对应。几何意义：几何意义： 定义：定义：当初始状态扩展到整个状态空间，当初始状态扩展到整个状态空间，且平衡且平衡状态状态x xe e均具有渐进稳定性均具有渐进稳定性，称这种平衡状态，称这种平衡状态x xe e是大范是大范围渐进稳定的。此时，围渐进稳定的。此时，S()S()。当。当tt时，由状态空间中任意一点出发的轨迹都收敛于时，由状态空间中任意一点出发的轨迹都收敛于x xe e。3.3.大范围渐进稳定性大范围渐进稳定性

12、对于严格的线性系统，如果它是渐进稳定的，对于严格的线性系统，如果它是渐进稳定的，必定是大范围渐进稳定的。必定是大范围渐进稳定的。这是因为线性系统的稳这是因为线性系统的稳定性与初始条件的大小无关。而对于非线性系统来定性与初始条件的大小无关。而对于非线性系统来说，其稳定性往往与初始条件大小密切相关，系统说，其稳定性往往与初始条件大小密切相关，系统渐进稳定不一定是大范围渐进稳定。渐进稳定不一定是大范围渐进稳定。 大范围稳定的系统大范围稳定的系统局部稳定的系统局部稳定的系统几何意义：几何意义： 定义定义：如果对于某个实数：如果对于某个实数00和任一实数和任一实数00，不管这两个实数多么小，在不管这两个

13、实数多么小，在S()S()内总存在一个状内总存在一个状态态x x0 0，使得由这一状态出发的轨迹超出，使得由这一状态出发的轨迹超出S()S()，则，则称平衡状态称平衡状态x xe e是不稳定的。是不稳定的。4 4不稳定性不稳定性几何意义：几何意义： 对于不稳定平衡状态的轨迹，虽然超出了对于不稳定平衡状态的轨迹，虽然超出了S()S()，但并不意味着轨迹趋于无穷远处。例如以下物理系统但并不意味着轨迹趋于无穷远处。例如以下物理系统比喻不稳定，轨迹趋于比喻不稳定，轨迹趋于S()S()以外的平衡点。以外的平衡点。 当然，对于线性系统，从不稳定平衡状态出发的当然，对于线性系统，从不稳定平衡状态出发的轨迹，

14、理论上趋于无穷远。轨迹，理论上趋于无穷远。 从上述四种稳定性定义可见，球域从上述四种稳定性定义可见，球域S() S() 限制着初限制着初始状态始状态x x0 0的取值，球域的取值，球域S()S()规定了系统自由运动响应规定了系统自由运动响应 的边界。的边界。 简单地说，简单地说，1.1.如果如果 有界，则称有界，则称x xe e稳定；稳定； 2.2.如果如果 不仅有界，而且当不仅有界，而且当tt时收敛于时收敛于原点，则称原点，则称x xe e渐进稳定；渐进稳定； 3.3.如果如果 无界，则称无界，则称x xe e不稳定；不稳定；00,;txtx00,;txtx00,;txtx00,;txtx返

15、回5.2 5.2 李雅普诺夫第一法（间接法）李雅普诺夫第一法（间接法） 一线性定常系统稳定性判定一线性定常系统稳定性判定 定理定理5-15-1线性定常系统线性定常系统 （1 1）平衡状态）平衡状态x xe e是是渐进稳定渐进稳定的充分必要条件是矩的充分必要条件是矩阵阵A A的所有特征值均具有负实部；的所有特征值均具有负实部； （2 2）平衡状态）平衡状态x xe e是是不稳定不稳定的充分必要条件是矩阵的充分必要条件是矩阵A A的有些特征值均具有正实部；的有些特征值均具有正实部； （3 3）当系统用传递函数描述时，系统）当系统用传递函数描述时，系统BIBOBIBO稳定稳定的的充分必要条件充分必要

16、条件为为G(sG(s）的极点具有负实部。）的极点具有负实部。CxyBuAxx 例例5.2.15.2.1 设系统的状态空间表达式为：设系统的状态空间表达式为：xyuxx01111001 试分析系统平衡状态试分析系统平衡状态x xe e=0=0的稳定性与系统的的稳定性与系统的BIBOBIBO稳定性。稳定性。解：解：系统的特征方程为系统的特征方程为011detssAsIA A阵的特征值为阵的特征值为+1+1，-1-1。故系统。故系统平衡状态平衡状态xe是不稳定的是不稳定的。系统传递函数系统传递函数1s11)1)(s(s1sbA)c(sIG(s)1传递函数极点位于传递函数极点位于S S左半平面，故系统

17、左半平面，故系统是是BIBOBIBO稳定的稳定的。BIBO稳定渐近稳定 结论：结论： 1. 1. 线性定常系统是内部稳定的，则其必是线性定常系统是内部稳定的，则其必是BIBOBIBO稳稳定定 的；的； 2. 2. 线性定常系统是线性定常系统是BIBOBIBO稳定的，则不能保证系统稳定的，则不能保证系统 一定是渐进稳定的；一定是渐进稳定的； 3. 3. 如果线性定常系统为能控和能观测，则其内部如果线性定常系统为能控和能观测，则其内部 稳定性与外部稳定性是等价。稳定性与外部稳定性是等价。二非线性系统的稳定性判定二非线性系统的稳定性判定 对于可以线性化的非线性系统，可以在一定条件对于可以线性化的非线

18、性系统，可以在一定条件下用它的线性化模型，用定理下用它的线性化模型，用定理5-15-1的方法来研究。的方法来研究。对于非线性系统对于非线性系统 ，设，设x xe e为其平衡点。为其平衡点。 ),(txfx exTexfAxxx,令：xAx则系统线性化模型：nnnnnnTxfxfxfxfxfxfxfxfxfxf212221212111其中：李雅普诺夫给出以下结论：李雅普诺夫给出以下结论：（1 1） A A的所有特征值均具有负实部，则平衡状态的所有特征值均具有负实部，则平衡状态xexe是是渐进稳定渐进稳定的；的；（2 2）A A的特征值至少有一个为正实部，则平衡状态的特征值至少有一个为正实部，则平

19、衡状态xexe是是不稳定不稳定的。的。（3 3）A A的特征值至少有一个实部为的特征值至少有一个实部为0 0，则不能根据，则不能根据A A来判来判平衡状态平衡状态xexe的稳定性。的稳定性。 例例5.2.25.2.2 已知非线性系统的状已知非线性系统的状态空间表达式，试分析系统平衡态空间表达式，试分析系统平衡状态的稳定性。状态的稳定性。21222111xxxxxxxx解：解：系统系统有有2 2个个平衡状态：平衡状态：x xe1e1=0,0=0,0和和x xe2e2=1,1=1,1111212xxxxxfT在在x xe1e1=0,0=0,0处线性化，处线性化，10011TxfAA A1 1阵的特

20、征值为阵的特征值为+1+1，-1-1。故系统在。故系统在x xe1e1处处是是不稳定的不稳定的。在在x xe2e2=1,1=1,1处线性化，处线性化，01102TxfA A A2 2阵的特征值为阵的特征值为+j+j，-j-j, ,其实部为其实部为0,0,不能不能根据根据A A来判断稳定性。来判断稳定性。返回5.3 5.3 李雅普诺夫第二法及其主要定理李雅普诺夫第二法及其主要定理(p247)(p247) 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法是通过构造李雅普诺夫函是通过构造李雅普诺夫函数数V(x)V(x)来直接判断运动稳定性的一种定性的方法。来直接判断运动稳定性的一种定性的方法。 根据经典力学中的振动

21、现象，若系统能量随时间根据经典力学中的振动现象，若系统能量随时间推移而衰减，系统迟早会达到平衡状态，但要找到实推移而衰减，系统迟早会达到平衡状态，但要找到实际系统的能量函数表达式并非易事。际系统的能量函数表达式并非易事。 李雅普诺夫提出，虚构一个能量函数，一般它与李雅普诺夫提出，虚构一个能量函数，一般它与 及及t t有关，记为有关，记为V(x,t)V(x,t)或或V(x)V(x)。 V(x)V(x)是一是一标量函数，考虑到能量总大于标量函数，考虑到能量总大于0 0，故为正定函数。能，故为正定函数。能量衰减特性用量衰减特性用 或或 表示。李雅普诺夫第二法表示。李雅普诺夫第二法利用利用V V和和

22、的符号特征，直接对平衡状态稳定性作出的符号特征，直接对平衡状态稳定性作出判断，无需求解系统状态方程的解，故称判断，无需求解系统状态方程的解，故称直接法直接法。 nxxx,21txV, xVV 直接法解决了一些其它稳定性判据难以解决的直接法解决了一些其它稳定性判据难以解决的非线性系统的稳定性问题，但遗憾的是对一般非线非线性系统的稳定性问题，但遗憾的是对一般非线性系统仍未找到构造李雅普诺夫函数性系统仍未找到构造李雅普诺夫函数V(x)V(x)的通用方的通用方法。尽管如此目前它仍然是研究系统法。尽管如此目前它仍然是研究系统( (包括时变、包括时变、非线性非线性) )稳定性的有力工具。稳定性的有力工具。

23、 对于线性系统，通常用二次型函数对于线性系统，通常用二次型函数 作为李雅普诺夫函数。作为李雅普诺夫函数。 PxxxVT一预备知识一预备知识1 1二次函数的定义及其表达式二次函数的定义及其表达式(P247)(P247) 定义：定义：设设 为为n n个变量，定义二次型标量个变量，定义二次型标量函数为：函数为：nxxx,21jiijpp 其中，其中， ，则称，则称P P为实对称阵。为实对称阵。 )155(2121222211121121nnnnnnnnTxxxpppppppppxxxPxxxV例如：例如：3213211121412110)(xxxxxxxv 显然，二次型显然，二次型v(x)v(x)完

24、全由矩阵完全由矩阵P P确定。因此二次型确定。因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的。和它的矩阵是相互唯一决定的。 2222211)(nnxaxaxaxV 二次型的标准型二次型的标准型 只含有平方项的二次型称为二次型的标准型，只含有平方项的二次型称为二次型的标准型，如：如： 2.2.标量函数标量函数V(x)V(x)的符号和性质的符号和性质 设设: ,: ,且在且在x=0 x=0处，处，V(x)0V(x)0。对于。对于x0 x0的的任何向量。任何向量。V(x)0V(x)0，称，称V(x)V(x)为为正定的正定的。例如：。例如：V(x)0V(x)0，称，称V(x)V(x)为为负定的负定的。例如：。例

25、如：V(x)0V(x)0，称，称V(x)V(x)为为半正定的半正定的。例如：。例如：V(x)0V(x)0，称，称V(x)V(x)为为半负定的半负定的。例如：。例如： PxxxVT22212)(xxxV)2()(2221xxxV221)()(xxxV221)()(xxxVjiijnnnnnnpppppppppppP212222111211设实对称矩阵设实对称矩阵 二次型函数二次型函数V(x)V(x)为正定的充要条件是为正定的充要条件是,P,P阵的阵的所有各阶主子行列式均大于零所有各阶主子行列式均大于零, ,即即: :)175(0,0, 0212222111211222112112111nnnnn

26、nnpppppppppppppp即即: :0i3.3.赛尔维斯特赛尔维斯特( (Sylvester) )准则准则( (二次型标量函数定号性判别准则二次型标量函数定号性判别准则) ) nnnnnnnnTxxxpppppppppxxxPxxxV2121222211121121二李雅普诺夫第二法的判稳主要定理二李雅普诺夫第二法的判稳主要定理(P250)(P250) 系统系统渐进稳定渐进稳定的判别定理一的判别定理一 定理定理5-4 5-4 设系统状态方程为设系统状态方程为: ,: ,其状态平衡其状态平衡点点x xe e=0,=0,满足满足 。如果存在一个具有连续偏导数的标。如果存在一个具有连续偏导数的

27、标量函数量函数V(x,t),V(x,t),且满足以下条件且满足以下条件),(tf xx 0), 0(tf1.V(x,t)1.V(x,t)是正定的；是正定的；2. 2. 是负定的；是负定的； ),(txV 系统在原点处的平衡系统在原点处的平衡状态是渐进稳定的。状态是渐进稳定的。 ),(. 3txVx，有当1，2，3 系统在原点处的平衡状态是系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的。大范围渐进稳定的。22212122221121)(xxxxxxxxxx 例例5.3.15.3.1 已知非线性系统的状态方程为已知非线性系统的状态方程为: : 试分析其平衡状态的稳定性试分析其平衡状态的稳定性. P251

28、. P251例例5-35-3解解：显然，坐标原点：显然，坐标原点x xe e=0=0（即（即x x1 1=0,x=0,x2 2=0)=0)是系统惟一是系统惟一 的平衡状态。选取正定标量函数为的平衡状态。选取正定标量函数为 则沿任意轨迹，则沿任意轨迹，V(x)V(x)对时间的导数对时间的导数 是负定的。说明是负定的。说明V(x)V(x)沿任意轨迹是连续减小的，沿任意轨迹是连续减小的，因此因此V(x)V(x)是一个李雅普诺夫函数。是一个李雅普诺夫函数。2221xxV(x) 222212211222xxxxxxxV 而且，而且， 所以系统所以系统在原点处的平衡状态是在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定

29、的大范围渐进稳定的),(txVx，有 系统系统渐进稳定渐进稳定的判别定理二的判别定理二 定理定理5-5 5-5 设系统状态方程为设系统状态方程为: ,: ,其状态其状态平衡点平衡点x xe e=0,=0,满足满足 。如果存在一个具有连续偏。如果存在一个具有连续偏导数的标量函数导数的标量函数V(x,t),V(x,t),且满足以下条件且满足以下条件),(tf xx 0), 0(tf1.V(x,t)1.V(x,t)是正定的；是正定的；2. 2. 是是半负定半负定的；的； ),(txV则为大范围渐进稳定。如果还有态是渐进稳定的。在系统原点处的平衡状不恒等于零，则，当,),(0. 3txVxtxVx定理

30、的运动分析定理的运动分析：以二维空间为例：以二维空间为例0)(xV 例例5.3.25.3.2已知非线性系统的状态方程为已知非线性系统的状态方程为: : 试分析其平衡状态的稳定性。试分析其平衡状态的稳定性。P251P251例例5-4 5-4 21221xxxxx解解：显然，坐标原点：显然，坐标原点x xe e=0=0（即（即x x1 1=0,x=0,x2 2=0)=0)是系统惟一是系统惟一 的平衡状态。的平衡状态。 02)(2.2.2.222212212211xxxxxxxxxxxV则：2221xxV(x)选取正定标量函数为 负半定时，时，),(0),(0, 00),(0, 02121txVtx

31、VxxtxVxx当 进一步分析 的定号性：如果假设 ，必然要求 ，进一步要求 。但从状态方程 可知，必满足 表明 只可能在原点（x1=0,x2=0）处恒等于零。 0222xxV02x02x 212xxx01xtxV,),(txV渐进稳定 而且，当而且，当 ，所以系统在，所以系统在原点处的平衡状态是原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的大范围渐进稳定的),(txVx，有21221xxxxx若在该例中2)(212221221xxxxV(x)选取正定标量函数为选取正定标量函数为 )()(2().3().2().3(22212121221221121xxxxxxxxxxxxxxxxV则：负定负定 而且，当

32、而且，当 ，所以系统在，所以系统在原点处的平衡状态是原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的大范围渐进稳定的),(txVx，有 由以上分析看出，选取不同的由以上分析看出，选取不同的V(x)V(x)，可能使问题，可能使问题分析采用不同的判别定理。分析采用不同的判别定理。系统系统李氏稳定李氏稳定的判别定理的判别定理 定理定理5-6 5-6 设系统状态方程为设系统状态方程为: ,: ,其状态平其状态平衡点衡点x xe e=0,=0,满足满足 。如果存在一个具有连续偏导。如果存在一个具有连续偏导数的标量函数数的标量函数V(x,t),V(x,t),且满足以下条件且满足以下条件),(tf xx 0), 0(tf

33、 则系统在原点处的平衡状态是李雅普诺夫李雅普诺夫意义意义下下稳定稳定的，但不是渐进的，但不是渐进稳定的。这时系统可保稳定的。这时系统可保持在一个稳定的等幅振持在一个稳定的等幅振荡状态上。荡状态上。1.V(x,t)是正定的；2. 是半负定的，且 。 ),(txV0),(0txVx时， 例例5.3.35.3.3已知非线性系统的状态方程为已知非线性系统的状态方程为: : 试分析其平衡状态的稳定性。试分析其平衡状态的稳定性。 1221xxaxx解：显然，坐标原点xe=0（即x1=0,x2=0)是系统惟一 的平衡状态。0aa2221xxV(x)选取正定标量函数为 0222221212211xaxxaxx

34、axxxxV则： 由上式可见，由上式可见， ，则，则系统在原点处的平衡状态是李雅普诺夫李雅普诺夫意义下意义下稳定稳定的，但不是渐进稳定的。的，但不是渐进稳定的。 0),(txV系统系统不稳定不稳定的判别定理的判别定理 定理定理5-7 5-7 设系统状态方程为设系统状态方程为: ,: ,其状态平其状态平衡点衡点x xe e=0,=0,满足满足 。如果存在一个具有连续偏导。如果存在一个具有连续偏导数的标量函数数的标量函数V(x,t),V(x,t),且满足以下条件且满足以下条件),(tf xx 0), 0(tf1.V(x,t)1.V(x,t)是正定的；是正定的；2. 2. 是正定的；是正定的； ),

35、(txV 则系统在原点处的则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。平衡状态是不稳定的。 例例5.3.45.3.4已知非线性系统的状态方程为已知非线性系统的状态方程为: : 试分析其平衡状态的稳定性。试分析其平衡状态的稳定性。 21221xxxxx解解：显然，坐标原点：显然，坐标原点x xe e=0=0（即（即x x1 1=0,x=0,x2 2=0)=0)是系统惟一是系统惟一 的平衡状态。的平衡状态。2221xxV(x)选取正定标量函数为选取正定标量函数为 002)(2.2.2.2222212212211xxxxxxxxxxxxV则： 系统不稳定系统不稳定四四不稳定不稳定定理的形式简单而有规律，在定

36、理的应用中，要注意以下定理的形式简单而有规律，在定理的应用中，要注意以下几点：几点： (1)(1)构造一个合理的李雅普诺夫函数，是李氏第二法构造一个合理的李雅普诺夫函数，是李氏第二法的关键，李氏函数具有几个突出性质：的关键，李氏函数具有几个突出性质： 1)1)李雅普诺夫函数是一个标量函数。李雅普诺夫函数是一个标量函数。 2)2)李雅普诺夫函数是一个正定函数，至少在原点的邻李雅普诺夫函数是一个正定函数，至少在原点的邻域是如此。域是如此。 3)3)对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数不是唯一的对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数不是唯一的。 (2)(2)如果在包含状态空间原点在内的邻域如果在包含状态空

37、间原点在内的邻域内，可以内，可以找到一个李雅普诺夫函数，那么，就可以用它来判断原点找到一个李雅普诺夫函数，那么，就可以用它来判断原点的稳定性或渐近稳定性。然而这并不一定意味着，从的稳定性或渐近稳定性。然而这并不一定意味着，从邻邻域外的一个状态出发的轨迹都趋于无穷大，这是因为域外的一个状态出发的轨迹都趋于无穷大，这是因为李雅李雅普诺夫第二法确定的仅仅是稳定性的普诺夫第二法确定的仅仅是稳定性的充分充分条件条件。返回5.4 5.4 线性系统稳定性分析（线性系统稳定性分析（P254P254） 一线性定常系统渐进稳定的判别及一线性定常系统渐进稳定的判别及V(x)V(x)的求法。的求法。1 1 渐进稳定的

38、判别方法渐进稳定的判别方法 定理定理5-95-9 设线性定常连续系统为：设线性定常连续系统为： ，则平衡状态，则平衡状态x xe e=0=0为为大范围渐进稳定大范围渐进稳定的充要条件是：对任意给定的一个的充要条件是：对任意给定的一个正正定实对称矩阵定实对称矩阵Q Q，必存在一个必存在一个惟一惟一正定的实对称矩阵正定的实对称矩阵P P，且满足李雅普诺夫方程且满足李雅普诺夫方程Axx )215( QPAPAT并且并且 是系统的李雅普诺夫函数。是系统的李雅普诺夫函数。PxxxVT)(xQxxQxxPAPAxPAxxPxAxxPxPxxxVTTTTTTTT)()()(定理说明：定理说明：1. 1. 如

39、果任取的一个正定实对称矩阵如果任取的一个正定实对称矩阵Q Q，则满足矩阵则满足矩阵的实对称矩阵的实对称矩阵P P是惟一的，若是惟一的，若P P正定，则系统在平衡正定，则系统在平衡状态状态x xe e=0=0为为大范围渐进稳定大范围渐进稳定的。的。P P的正定性是一个的正定性是一个充分必要条件。充分必要条件。2. 2. 为计算简便，在选取正定实对称矩阵为计算简便，在选取正定实对称矩阵Q Q时选单位时选单位阵阵I I，于是方程简化为：，于是方程简化为：)215( QPAPAT225IPAPAT 2. V(x) 2. V(x)的求法的求法IPAPATxxxVT)( 例例5.4.15.4.1 设线性定常系统为设线性定常系统为: ,: ,P256P256例例5-85-8试判别该系统的稳定性试判别该系统的稳定性( (其平衡状态为其平衡状态为x xe e=0)=0)。xx1110解：解：为了便于对比，先用李氏第一法判断。为了便于对比，先用李氏第一法判断。2721272121112jjAI系统是渐近稳定的系统是渐近稳定的设设李雅普诺夫函数为：李雅普诺夫函数为：PxxxVT)(IPAPAT令：3221ppppPPT则有：则有：10011110111032213221pppppppp展开有展开有：122012323212pppppp1212123P正定正定系统是渐近稳定的系