1076常微分方程-国家开放大学2018年1月至2021年7月期末考试真题及答案（201801-202107不少于6套）

1、试卷代号：1076常微分方程 试题（半开卷） 2018年1月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1微分方程ylnydx+(x - Iny)dy =0是( ) A.线性方程 B可分离变量方程 C全微分方程 D贝努利方程 2方程dydx=1-y2 +1( ) A.有奇解y=1 B有奇解y=l C无奇解 D有奇解y =-1 3若f（x，y）在全平面上连续且对了满足李普希兹条件，那么方程dydx =f(x，y)的任一解的存在区间( ) A.必为（-，0） B必为(0，+) C必为(-，+) D因解而定 4三阶线性齐次微分方程的所有解构成一个( )线性空间 A1维 B2维 C 3维 D4维 5平

2、面系统 的奇点类型是（ ） A.鞍点 B不稳定结点 C不稳定焦点 D稳定焦点二、填空题（每小题3分，本题共15分）6初值问题 的解所满足的积分方程是 。7方程 满足初值解的存在且惟一性的区域是 。8常微分方程的一个不可延展解的存在区间一定是 区间9二阶线性方程y”+2y+y=0的基本解组是 。. 10点(x0，Y0)是方程组 奇点的充分条件是 。三、计算题（每小题8分，本题共40分）11用分离变量求方程的解。12.求一阶线性非齐次方程 的解13.求全微分方程(X3+ xy2 +x2z)dx +x2ydy =o的解14.求恰当导数方程yy” +(y)2=0的解15.求一阶隐式方程(y)2 -2x

3、y+l=0的解四、计算题（本题共15分）16.求下列常系数线性微分方程组的解：五、证明题（本题共15分） 试卷代号：1076常微分方程试题答案及评分标准（半开卷）（供参考） 2018年1月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1A 2C 3D 4C 5B二、填空题（每小题3分，本题共15分） 7满足y0的上半平面 8开 9e-xxe-x。 10.P(xo,Yo) =Q(Xo,Yo) =0三、计算题（每小题8分，本题共40分） 11解分离变量积分，得 eydy= (x+sinx)dx+c (4分) ey =12X2-一COSX +C （8分） 12解先解齐次方程，通解为坐dyy= -1+x

4、xdx +C 即y=Ce-xx （4分） 令非齐次方程的特解为y=C(x) e-xx 代入原方程，求出C(x) =X3 +C 原方程的通解为y=e-xx 3 (x3+C) （8分） 13解 因为，所以原方程是全微分方程 （3分） 取(xo，y0)= (0，0)，通积分为(X3 +xy2 +x2)dx =C （6分） 即 14X4+124X2y2+13X3= C （8分） 14.解原方程为恰当导数方程，可改写为(yy)=0 即yy =C （4分） 积分得通积分y2 =C，z+C2 （8分） 15解令y =p，x 一去+詈，原方程的参数形式为 四、计算题（本题共15分） 16.解特征方程为 五、证

5、明题(本题共15分) 17.证明由已知条件，该方程在整个xoy平面上满足解的存在惟一及解的延展定理条件 显然了y=1是方程的两个常数解 （5分） 任取初值(x0，Y0)，其中x0(-，+)，ly0l1.记过该点的解为了y=y(x)，由上面分析可知，一方面y=y(x)可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过y =1，下方不能穿过y= -1，否则与惟一性矛盾故该解的存在区间必为（-，+） （15分）试卷代号：1076常微分方程 试题（半开卷）2018年7月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1微分方程y-yx=x的通解为y=( ) A. - x2+C B. x2+C Cx2+Cx

6、D-x2+Cx2方程dydx=3y23过点(0，0)的解( ) A只有一个 B只有两个 C只有三个 D有无数个3方程dydx=y2过点(1，1)的解的存在区间是( ) A(一，+) B（一，2） C(0，+) D(1，+)4方程x+x=0的任一非零解在(t，x)平面上( )零点 A.无 B只有一个 C只有两个 D有无数个5已知方程xy+y=4x的一个特解为x2，又对应齐次方程xy+y=0有一个特解为lnx，则原方程的通解为( ) A.y=C1+C2lnx+x2 B.y=C1x2+C2lnx+x2C.y=C1x+C2lnx+x2 D.y=C1x3+C2lnx+x2二、填空题（每小题3分，本题共1

7、5分） 6微分方程yy-x(y)3+2cosx=0是 阶微分方程 7方程dydx=1-y2满足初值解存在且惟一的区域是 8纯量方dydx=a(x)y的所有解构成一个 维线性空间，其中a(x)是连续函数 9。二阶方程y+xy+x2y=0的等价方程组是 10.方程组dxdt=2x+ydydt=3x+4y的奇点(0，0)的类型是 三、计算题（每小题8分，本题共40分）11.用分离变量求方程1+xydx+1-yxdy=0的解，12求一阶线性非齐次方程dydx+2xy=4x的解13.求全微分方程e-ydx-2y+xe-ydy=0的解14.求克莱洛方程y=xy+x(y)3的解15.求可降阶的高阶方程xy-

8、y=3x2的解，四、计算题（本题共15分）16.求二阶常系数线性微分方程x+x=sint的解，五、证明题（本题共15分） 17.设f(y)在(-，+)上连续可微，求证：对任意的x0-,+，y01，方程dydx=(y2-1)f(y) 满足初值条件yx0=y0的解必在(-，+)上存在，试卷代号：1076常微分方程试题答案及评分标准（半开卷） 2018年7月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1C 2D 3B 4D 5A二、填空题（每小题3分，本题共15分） 6二 7满足y1的条形区域 8.19y=y1y1=-xy1-x2y 10不稳定结点三、计算题（每小题8分，本题共40分） 11.解将方

9、程改写为 y-1ydy=x+1xdx(4分) 积分得通积分为y-lny=x+lnx+C，即y-x-lnxy=C （8分） 12解对应的齐次方程dydx+2xy=0 的通解为：y=Ce-x2 （4分） 令非齐次方程解为：y=C(x)e-x2 代入原方程，得Cx=2e-x2+C 原方程通解为：y=Ce-x2+2 （8分） 13解因为Mx,y=e-y，Nx，y=-2y+xe-y，My=-e-y=Nx， 所以原方程是全微分方程 （3分） 取x0，y0=(0，0)，原方程的通积分为0 xe-ydx-0y2ydy=C（6分） 即xe-y-y2=C （8分） 14.解 由克莱洛方程的通解公式，得 y=Cx+

10、2C3 （8分） 15解令y=z则y=dzdx，代入有xdzdx-z=3x2 （4分） 可得此线性菲齐次方程通解为z=3x2+C1x 即dydx=3x2+C1x 原方程通解是y=x3+12C1x2+C2（8分）四、计算题（本题共15分） 16解对应齐次方程的特征方程是 2+1=0 特征根为1,2=i，齐次方程的通解为 x=C1cost+C2sint （6分） 因为i=i是一重特征根，故非齐次方程有形如 x1t=t(Acost+Bsint) 的特解，代入原方程，得A=-12，B=0 (12分) 故原方程的通解为x=C1cost+C2sint-12tcost （15分）五、证明题（本题共15分）

11、17.证明该方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理 又y=1是该方程的两个常数解 (5分) 现取x0(一，+ )，|y0|1，记过点(x0，y0)的解为y(x)一方面该解可向平面的无穷远无限延展，另一方面又不能上下穿越，y=1，否则将破坏解的惟一性因此，该解只能在区域G=x，yy1，x-,+内沿x轴两侧无限延展，显然其定义区间必是(一，+ ) (15分)试卷代号：1076常微分方程 试题（半开卷）2019年1月一、单项选择题（每小题3分本题共15分）1微分方程xy=l的通解为y=( )AC+Inx BC- Inx CClnx Dxlnx2方程芝dydx1-y2过点（2，1）共有(

12、)个解 A无数 B一 C两 D三3方程y+xy+xy =x2e。的任一解的最大存在区间一定是( )A（一，0） B（一，。） C0，) D1，)4n维方程组dYdxF(x，Y)的任一解的图像是n+1维空间(x，Y)中的( ) A一个曲面 Bn个曲面 Cn条曲线 D一条曲线5平面自治系统在相平面上的一条轨线，对应( )积分曲线 A. 一条 B两条 C无穷多条 D三条二、填空题（每小题3分，本题共15分）6微分方程d3xdy3 +xy =0是_阶微分方程7方程dydx=xsin(x+y)满足解的存在惟一性定理条件的区域是_。8n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个_维线性空间。9二阶方程y+f(x)

13、y+g(x)y=0 的等价方程组是_。I0平面系统 dxdt=2x+3ydydt=x+3y的奇点类型是_。 三、计算题（每小题8分，本题共40分）11用分离变量求方程dydx=12（y2-1）的解12求一阶线性非齐次方程xdydx=y-x3的解在此处键入公式。13求全微分方程（ex-yx2）dx+1xdy=o的解14求克莱洛方程yxy+y十（y）2的解15求可降阶的高阶方程xy+y4x的解，四、计算题（本题共15分）16求下列常系数线性微分方程组的解： dxdt=2x-3ydydt=x-2y 五、证明题（本题共15分）17试证明：对任意x0及满足条件0y01的y0，方程dydx=yy -11+

14、x2 +y2 的满足条件y(x0) =y0的解yy(x)在(-，+)上存在.试卷代号：1076常微分方程 试题答案及评分标准（半开卷）（供参考）2019年1月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1A 2A 3B 4D 5C二、填空题（每小题3分，本题共15分） 6三 7全平面8n9 dydx=y1 dy1dx=-f(x)y1-g(x)y 10不稳定结点dy1dx=-f(x)y1-g(x)y三、计算题（每小题8分，本题共40分11解：当y1时，分离变量积分得 2 y2-1dx = dx+ C1 （4分）In y-1 y+1=x+ C1 解得通解y-1 y+1=Cex，即y= 1+Cex1-

15、Cex （8分）12解方程改写成dydxyxx2齐次通解为y=Cx令非齐次通解为y=C(x)x （3分）代入得 C(x)=-12x2+C （8分）方程通解为y= Cx-12x2 （3分）13解因为，所以原方程是全微分方程。取（x0，y0）=(1，0)，原方程的通积分为1x(ex-yx2)dx+0ydy=C1即ex+ yx14解 有克莱洛方程的通解公式，得y=Cx+C+C215解令yz，yz代入方程得xdzdx+ z=4x即(zx)=4x积分，得zx=2x2+Cx于是 dydx=2x+Cx原方程的通解为y=x2+Cln|x|+C1四、计算题（本题共15分）16解特征方程-E=2-31-2-=(+

16、1)( -1)=0特征根为1=1，2=-11和2对应的特征分量分别是31和11原方程组的通解是 xy=C13etet+e-te-tet五、证明题（本题共15分） 17证明 由于 f(x,y)=y(y-1)1+x2+y2 fy=2y-11+x2+y2-y(y-1)2y(1+x2+y2)2 在全平面上连续，所以原方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理条件 （7分） 又显然y=0，y=l是方程的两个特解 （10分） 现任取x0（-，+），y0(0，1)，记yy(x)为过(x0，y0)的解，那么这个解可以惟一地向平面的边界无限延展，又上不能穿越y=1，下不能穿越y=0，因此它的存在区间必为

17、（-，+） (15分)试卷代号：1076国家开放大学2019年春季学期期末统一考试常微分方程试题（半开卷）2019年7月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1.微分方程x2y-y=通解为y=( ).A. e1x (z+C)B. e-1x (x+C)C.e-x(x+C)D. ex (x+C)2.方程dydx=x2cosy的所有常数解是( ).A.y=0B.y=2C. y=32D. y=2+k,k=0,1, 2,3.方程y”+X2y+X3y=xsinx的任一解的最大存在区间必为( ).A.（-，0）B.(0，+)C.( -，+)D.(1，+)4.一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差(

18、).A.不是其对应齐次微分方程组的解B.是非齐次微分方程组的解C.是非齐次微分方程组的通解D.是其对应齐次微分方程组的解-y5.方程组dydt=-ydydt=x的奇点(0，0)的类型是( ).A.中心B.焦点C.鞍点D.结点二、填空题（每小题3分，本题共15分）6.微分方程x(y)2+2yy-3x=0是_阶微分方程.7.方程dydx=x2+cosy满足解的存在惟一性定理条件的区域是_.8.方程dydx1-y2 的奇解是_.9.二阶线性方程y”+y=0的基本解组是_.10.向量函数组在区间上的朗斯基行列式W(x)=0是它们线性相关的条件，三、计算题（每小题8分，本题共40分）11.用分离变量求方

19、程dydt=y(y-1)的解.12.求一阶线性非齐次方程dydx+yx=x2的解.13.求全微分方程2xydx+(x2-yx)dy=0的解.14.求克莱洛方程y=xy+y2的解.15.求可降阶的高阶方程y3y”+1=0的解.四、计算题（本题共l5分）16.求二阶常系数线性微分方程y”-5y=sin5x的解.五、证明题（本题共15分）17.若f(u)在(-，+)上连续可微，且当uo时，uf(u)0，求证：方程dydx=x2f(siny) 的任一解y=y(x)均在（-，+）上存在.试卷代号：1076常微分方程试题答案及评分标准（半开卷）2019年7月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1B

20、 2D 3C 4D 5A二、填空题（每小题3分，本题共15分） 6一 7全平面 8Y=1 9cosx，sinx 10.必要三、计算题（每小题8分，本题共40分） 11.解:当y(y-l)0时，分离变量，得 1y(y-1)dy=dx(3分) 积分，得1y(y-1)dy=dx+c1（5分） 通积分为lny-1-lny=x+c1，即y-1y=Cex （8分） 12.解齐次方程的通解为y=Cx（4分） 设原方程的通解为y=C(x)x 代入原方程，得Cx=x44+C 所以，原方程的通解为y=1x(c+14x4) （8分） 13解因为Mx,y=2xy,Nx,y=x2-1y2,My=2x=Nx,以原方程是全

21、微分方程 (3分) 取(x0,y0)=(0，1)，原方程的通积分为0 x2xydx+1y-1y2dy=C1(6分） 即x2y+1y=C（8分） 14.解克莱洛方程，通解为 y=Cx+C2（8分） 15解令y=p,y=pdpdy代入方程，得pdp=-1y3dy （3分） 积分，得22p2=12y-2+c1,p2=1y2+C=1+Cy2y2 dydx=1+Cy2y （5分） 分离变量，积分得ydy1+cy2=dx+C2 原方程的通积分为1+Cy2=(Cx+C3)2（8分）四、计算题（本题共15分） 16.解方程的特征根为1=0,2=5 齐次方程的通解为y=C1+C2e5x（6分） 因为i=5i不是

22、特征根。所以，设非齐次方程的特解为 y1x=Asin5x+Bcos5x 代入原方程，比较系数得-25A+25B=1-25A-25B=0 确定出A=-150,B=150（12分） 原方程的通解为y=c1+C2e5x+150(cos5x-sin5x) (15分)五、证明题（本题共15分） 17.证明 由已知条件，方程在全平面上满足存在唯一性定理及解的延展定理条件 （6分） 由已知条件容易证明f(0)=0于是方程有无穷多个常数解y=n，n=0,1，2，它们是平面上的一族平行直线 (9分) 设(x0，y0)是任一初始点，则相应的初值解y=y(x)的函数图像或者是上述平行线中的一条，或是介于某两条平行线

23、之间，由解的唯一性和延展定理易知其存在区间为(-，+) (15分)试卷代号：1076 座位号口口国家开放大学2 0 1 9年秋季学期期末统一考试常微分方程试题（半开卷） r2020年1月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1. 一阶线性微分方程dydx+p(x)y=q(x)的积分因子是( ) A=e-qxdx B=eqxdx C. =e-pxdxD. =e-pxdx2方程dydx=1-y2+1( ) A无奇解 B. 有奇解y=1 C有奇解y=1 D有奇解y= -13二阶方程y+ 2xy+xy =0的等价方程组是( )Ay=y1 y1=2xy1+xy By=y1 y1=-2xy1-xy C

24、y=y1 y1=2xy1-xy Dy=y1 y1=-2xy1+xy4三阶线性齐次微分方程的所有解构成一个( )线性空间 A1维 B2维 C3维 D4维 5方程组曲dxdt=-ydydt=x 的奇点(o，o)的类型是( ). A焦点 B. 中心 C鞍点 D结点二、填空题（每小题3分，本题共15分） 6方程(y+1)dx+(x+1)dy =0所有常数解是_ 7方程dydx=| y |满足初值解存在且唯一的区域是 8向量函数组Y1(x),Y2(x)，Yn(x)线性相关的_条件是它们的朗斯基行列式W(x)=0 9方程x +2x+x=et的任一解的图像是三维室间（t,x,x）中的_ 10.点（x0，y0

25、）是方程组dxdt=P（x，y）dydt=Q（x，y） 点的充分条件是_ 。三、计算题（每小题8分本题共40分）求下列方程的通解或通积分：11求变量可分离方程tany dx - cotx:dy=0的解12求一阶线性非齐次方程dydx+1+xxy=3xe-x的解13.求全微分方程-yxdx(y3+lnx)dy=0的解14求克莱洛方程y=xy +y2的解15.求恰当导数方程yy+ (y)2+ 3x2 =0的解四、计算题（本题共15分） 16求下列方程组的通解 dxdt=2x-3ydydt=x-2y 17证明：一阶微分方程 dydx=sinyx2+y2+1的任一解的存在区间必是(-，+)试卷代号：1

26、076国家开放大学2 0 1 9年秋季学期期末统一考试常微分方程试题答案及评分标准（半开卷）2020年1月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1D 2A 3B 4C 5B二、填空题（每小题3分，本题共10分） 6y =-1,x=-1 7全平面 8必要 9一条曲线 10.P(x0 ,y0)=Q(x0,y0)=0三、计算题（每小题8分，本题共40分） 11求变量可分离方程tan y dx - cotxdy =0的解 解 当x2+k，yk，k = 0，1，2，时，分离变量，两端取积分得dytany=dxcotx+ln|C| （4分） 即ln|siny|=-ln|cosx|+ln|C| 通积分

27、为：sinycosx=C （8分） 12求一阶线性非齐次方程dyy=-1+xxdx+C的解. 解 先解齐次方程，通解为：dyy=-1+xxdx+C 即 y=Ce-xx （4分） 令非齐次方程的特解为：y=C(x)e-xx 代人原方程，求出C(x) =x3+C 原方程的通解为：y=e-xx (x3+C ) （8分） 注：直接用通解公式求出方程通解，同样给分 1 3求全微分方程yxdx+y3+lnxdy=0的解 解 因为My=1x=Nx，所以原方程是全微分方程. （3分） 取(x0，y0)=(1，0)，原方程的通积分为： （6分） 1xyxdx+0yy3dy=C 即ylnx+14y4=C （8分）

28、 14.求克莱洛方程y=xy+ y2的解 解 克莱洛方程，通解为：y=Cx+C2 （8分） 15求恰当导数方程yy+（y）2+3x2 =0的解 解 原方程是恰当导数方程，可写成：(yy+x3)=0 即 yy+x3=C1 （4分） 分离变量解此方程，通积分为：12y2=C1x-14x4+C2 （8分）四、计算题（本题共15分） 16求下列方程组的通解dxdt=2x-3ydydt=x-2y 解 特征方程IA-EI=2- -31 -2-=+1-1=0 （5分） 特征根为1=1，2=-1 （7分）1和2对应的特征向量分别是31和11 （12分） 原方程组的通解是xy=C13etet+C2e-te-t

29、(15分)五、证明题(本题共15分) 17证明：一阶微分方程 dydx=sinyx2+y2+1 的任一解的存在区间必是（-，+） 证明 方翟在全平面上满足解的存在唯一性定理的条件，又y=k，k=0，1，2，是方程的常数解 （6分） 对平面上任取的（x0，y0） 若y0=k，则对应的是常数解y=k，其存在区间显然是（-，+） 若y0(k，(k+1)，则过该点的解可以向平面无穷远无限延展，但是上下又不能穿越y=k和y=（k十1），于是解的存在区间必是（-，+） (15分)试卷代号：1076国家开放大学2 0 2 0年春季学期期末统一考试 1常微分方程 试题 2020年7月一、单项选择题（每小题3分

30、，本题共15分） 1积分方程yx=1+0 x3t2y(t)dt的解是( ) Ay=1 By=ex Cy=ex2 Dy=ex3 2若f(x，y)在全平面上连续且对y，满足李普希兹条件，那么方程dydx=f(x,y)的任一解的存在区间( ) A因解而定 B必为(一，0) C必为（-，+） D必为（0，+） 3一阶线性非齐次方程组dYdx=Axy+Fx，Y=(y1，yn)T的任一解的图像是n+1维空间(x，y1，yn)中的( ) A一个曲面 B一条曲线 C一族曲线 D一族曲面 4已知方程xy+y=4x的一个特解为x2，又对应齐次方程xy+y=0有一个特解为lnx，则原方程的通解为( ) Ay=C1x

31、+C2lnx+x2 By=C1x2+C2lnx+x2Cy=C1+C2lnx+x2 Dy=C1x3+C2lnx+x2 5平面系统dxdt=2x+ydydt=3x+4y的奇点(0，0)的类型是( ) A鞍点 B不稳定结点 C不稳定焦点 D稳定焦点二、填空题（每小冠3分，本题共15分）6方程xsinydx+ycosx=0的所有常数解是_.7常微分方程的一个不可延展解的存在区间一定是_区间8二阶线性方程y+y=0的基本解组是_.9n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个_维线性空间 10根据零解稳定性定义，系统dxdt=y dydt=-x的零解是_.三、计算题（每小题8分，本题共40分）求下列方程的通解或

32、通积分：11求变量可分离方程 x2-1y+2xy2=0 的解12求一阶线性非齐次方程 dydx+yx=x2 的解13求全微分方程 e-ydx-2y +xeydy=0 的解，14求克莱洛方程 y=xy+y+(y)2 的解15求可降阶的高阶方程y3y+1=0的解.四、计算题（本题共15分） 16求下列方程组的通解.dxdt=y dydt=2x+y五、证明题（本题共15分）17若f(u)在(-，+)上连续可微，且当u0时，uf（u）0，求证：方程dydx=x2f(sinx)的任一解y=y(x)均在(-，+)上存在.试卷代号：1076国家开放大学2 0 2 0年春季学期期末统一考试常微分方程 试题答案

33、及评分标准（供参考） 2020年7月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1D 2A 3B 4C 5B二、填空题（每小题3分，本题共15分） 6x=2+k，y= k，k=0,1，2， 7开 8cosx，sinx 9n 10.稳定的三、计算题（每小题8分，本题共40分） 11.求变量可分离方程(x2-1)y+ 2xy2=0的解 解 当x1,yo时，分离变量积分，得-1y2dy=2x(x2-1)dx （4分） 积分得1y2=ln | x2 -1 |+C 即通积分为：y=1ln | x2 -1 |+C-（8分） 12求一阶线性非齐次方程dydx+yx=x2的解 解 齐次方程的通解为：y=Cx

34、（4分） 设原方程的通解为：了一 - 代入原方程，得C(x)=x44+C 所以，原方程的通解为：y=1x（C+14x4）（8分） 注：直接用通解公式求出方程通解，同样给分 13.求全微分方程e-y dx -（2y+xe-y）dy =0的解 解 因为Mx=- e-y=Nx， 所以，原方程是全微分方程（3分） 取(x0，y0)=(0，0)，原方程的通积分为：0 xe-ydx-0y2ydy=C（6分） 即xe-y - y2 =C（8分） 14.求克莱洛方程y=-xy +y+ (y)2的解. 解 克莱洛方程的通解为：y=Cx+C+C2（8分） 15求可降阶的高阶方程y3y”+1=0的解 解 令y=p，

35、y=pdpdx等代人方程，得 Pdp=-1y3dy（3分） 积分，得12p2=12y-2+C1,p2=1y2+C=1+Cy2y2, dydx=1+Cy2y（5分） 分离变量，积分得ydy1+Cy2=dx+C2 原方程的通积分为：1+ Cy2=（Cx +C3）2（8分）四、计算题（本题共15分） 16求下列方程组的通解dxdt=ydydt=2x+y 解 特征方程为：| A-E|= -121-=0 即2-2=0 特征根为1=2，2 =-1（5分） 1=2对应特征向量应满足：-2121-2a1b1=00 可确定出a1b1=12(10分) 同样可算出2=一1对应的特征向量为a2b2=1-1 (12分)

36、 所以，原方程组的通解为：xy=C1e2t2e2t+C2e-t-e-t(15分)五、证明题(本题共15分) 17.若f(u)在（-，+）上连续可微，且当u0时，uf(u) 0，求证：方程 dydx=x2f(siny) 的任一解y=y(x)均在（-，+）上存在 证明 由已知条件，方程在全平面上满足存在唯一性定理及解的延展定理条件（6分） 由已知条件容易证明f(0)=0于是方程有无穷多个常数解了y=n,n=0，1，2，它们是平面上的一族平行直线， （9分） 设(x0，y0)是任一初始点，则相应的初值解y=y(x)的函数图像或者是上述平行线中的一条，或是介于某两条平行线之间由解的唯一性和延展定理易知

37、其存在区间为（-，+）（15分） 试卷代号：1076国家开放大学2020年秋季学期期末统一考试常微分方程 试题2021年1月一、单项选择题(每小题3分，本题共15分）1.微分方程x2y-y=x2e-1x的通解为y=( ).A.ex(x+C)B. e1x(x+C)C.e-x(x+C)D. e-1x(x+C)2.方程dydx=y+1的奇解( ).A.一个也没有B.有无数个C.只有一个D.只有两个3.n维方程组dYdx=F(x，Y)的任一解的图像是n+l维空间(x，Y)中的( ).A.一个曲面B.n个曲面C.一条曲线D.n条曲线4.若1x，2(x)是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，则它们( )

38、共同零点.A.在x=-1处可以有B.在x=0处可以有C.没有D.在x=1处可以有5.方程组dxdt=x+2ydydt=x的奇点(0，0)的类型是( ).A.中心B.鞍点C.焦点D.结点二、填空题（每小题3分，本题共15分）6.微分方程(y)2-xy=ysinx是_阶微分方程.7.方程dydx=x2+cosy满足解的存在惟一性定理条件的区域是_.8.向量函数组在区间I上的朗斯基行列式W(x)=O是它们线性相关的_条件.9.二阶方程y+xy+x2y=0的等价方程组是_.1O.根据零解稳定性定义，系统dxdt=xdydt=y的零解是_.三、计算题（每小题8分，本题共40分）求下列方程的通解或通积分：

39、11.求变量可分离方程dydx=ylny的解.12.求一阶线性非齐次方程dydx+3y=e2x的解.13.求全微分方程2xydx+x2-1y2dy=0)的解.14.求克莱洛方程y=xy+2(y)3的解.15.求恰当导数方程yy-y2+y2cosx=0的解.四、计算题（本题共15分）16.求下列方程组的通解.dxdt=x+ydydt=4x+y 五、证明题（本题共15分）17.设f(y)在(-，+)上连续可微，求证：对任意的x0-，+，y01，方程dydx=(y2-1)f(y)满足初值条件yx0=y0的解必在(-，+)上存在. 试卷代号：1076国家开放大学2020年秋季学期期末统一考试常微分方程

40、 试题答案及评分标准（供参考）2021年1月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1.D2.A3.C4.C5.B二、填空题（每小题3分，本题共15分）6.一7.全平面8.必要9.y=y1 y1=-xy1-x2y10.不稳定的三、计算题（每小题8分，本题共40分）11.求变量可分离方程dydx=ylny的解.解:当y0，y1时，分离变量取不定积分，得dyylny=dx+C 4分，通积分为：lny=Cex （8分）12.求一阶线性非齐次方程dydx+3y=e2x的解.解:齐次方程的通解为：y=Ce-3x （4分）令非齐次方程的特解为：y=C(x)e-3x代入原方程，确定Cx=15e5x+C原方程的通解为：y=Ce-3x+15e2x （8分）注：直接用通解公式求ILJ,方程通解，同样给分.13.求全微分方程2xydx+（x2-1y2）dy=0的解.解:因为My=2x=Nx所以，原方程是全微分方程.（3分）取x0，y0=(0，1)，原方程的通积分为：0 x2xy+1y(-1y2)dy=C1 （6分）即x2y+1y=C （8分）14.求克莱洛方程y=xy+2(y)3的解，解:克莱洛方程的通解为：y=Cx+2C3 （8分）15.求恰当导数方程了yy-(y)2+y2COSx=0的解，解:方程改写成yy-(y)2y2+COSx=0或yy+sinx=0，即1ydydx+sinx=C1(4分)