一定是直角三角形吗-教学设计及点评

PAGEPAGE6义务教育教科书数学八年级上（北京师范大学出版社）1.2《一定是直角三角形吗》教学设计陕西师范大学附属中学王李萍一、教学内容解析本节课的教学内容是探索勾股定理的逆定理，并能运用它们解决一些简单问题.《一定是直角三角形吗》是北师大版数学八年级上册第一章第2节的内容.勾股定理的逆定理属于事实性知识，本节课继探索勾股定理之后，勾股定理应用之前，在本章起着承上启下的作用.同时，勾股定理的逆定理又是初中阶段学生判定直角三角形非常重要的依据.本节课将勾股定理的条件和结论互相交换得到一个新的命题，探索并证明这个命题是真命题，这也是我们数学中研究问题的常用视角.同时，勾股定理的逆定理是从边的角度判定一个三角形是直角三角形，和前面学过的一些判定方法不同，它是通过数的计算来作形的判断，体现了数形结合的数学思想.探索定理的过程又体现了科学探索的一般方法“特殊验证—大胆猜想—小心求证”，从特殊到一般再回到特殊问题.故学习本节内容有利于培养学生主动提出问题、发现问题、和探索解决问题方法的能力，同时拓展学生思维，体会数形结合的数学思想，同时树立正确、科学的价值观．所以，本节课的教学重点是：探索并证明勾股定理的逆定理.二、教学目标设置根据《课标》要求和教学内容解析，确定本节课教学目标如下：（1）理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念；（2）能根据三角形三边的条件判断三角形是否为直角三角形；（3）经历一般规律的探索过程,发展学生的抽象思维能力；经历从实验到验证的过程，发展学生的数学归纳能力；（4）体验生活中数学的应用价值，感受数学来源于生活并应用于生活，激发学生学数学和用数学的兴趣；在探索过程中体验成功的喜悦，在合作交流的过程中提高团队意识.三、学生学情分析从知识上看，学生已经探索并学习勾股定理，知道勾股定理是直角三角形重要的性质，勾股定理是根据“形”的特征得到“数”的关系.同时，七年级学习了全等三角形，知道通过全等三角形可以将数量和位置关系进行转化.从八年级学生的理解能力和思维特征上看，七年级学习中已经积累了一定的逆向思维、逆向研究的经验，如：已知两直线平行，有什么样的结论？反之，满足什么条件的两直线平行？这既揭示了知识前后的内在联系，也是一种研究问题的常见视角.因而，本课时由勾股定理出发逆向思考获得逆命题，学生应该已经具备这样的意识，但具体研究中，可能要用到反证法、构造全等三角形等思路，对现阶段学生而言可能还具有一定困难，需要教师适时的引导.因此，本节课的难点为：探索勾股定理逆定理的过程及定理的证明.四、教学策略分析：数学是一门培养学生思维，发展学生思维的重要学科，因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”，让学生了解探究问题一般过程和方法.根据本课内容特点，本节课采用“实验—猜想—归纳—论证—应用”的模式进行，从创设问题情景入手，通过知识再现，逆向思考得到关于直角三角形判别条件的猜想，通过动手操作验证猜想的合理性，由合情推理得到一般结论，再通过演绎推理证明结论的正确性.本节课通过“问题串”启发引导学生寻找边的关系判断直角三角.通过“弱”和“强”的提示语试图调动不同层次学生思维的深入，学生分组遵循“组间无差距”、“组内有梯度”的原则，营造“可探索”的环境，使学生积极参与，互相讨论，一步步地掌握勾股定理逆定理的内容，更好地理解并证明勾股定理的逆定理，从而体会转化与划归的数学思想.同时采用多媒体辅助教学，将不同组学生的做法进行展示，鼓励学生积极主动从不同角度阐述自己的想法，并及时肯定或优化解题思路，使学生学习数学更有成就感，培养学生学习数学的信心.五、教学过程：教学过程设计说明第一环节：问题引入1、温故知新：上节课我们一起研究了勾股定理，对直角三角形的认识更加深入，那么你知道直角三角形有什么特征？（学生思考时教师在黑板上画出直角三角形ABC,并标注直角和各边，学生回答后，引导学生从角和边两个角度进行梳理.）2、提出问题：①（口述）反过来，一个三角形满足什么条件就是直角三角形？你如何得到一个直角三角形？②（展示）：你能用一根绳子得到直角三角形吗？3、古埃及人的智慧：金字塔的地基必须严格地成为正方形，四个角就必须是严格的直角；不管是哪一个角有微小的偏差，都会使整个建筑物走形。那时候还没有发明测量仪器，要做出周长一公里那么大的正方形，怎样准确画出直角，很可能是古埃及人要解决的最大难题。第二环节：探究勾股定理的逆定理1、探索发现：聪明的埃及人制作了这样一条神奇的绳子，就像大家现在手中拿到的一样.古埃及人在一条绳子上打了一些等距的结，你能用这条绳子围成一个直角三角形吗？说说你的理由.（四人小组合作，得到直角三角形，并验证它是直角三角形）师：利用等距的节点使得你得到的三角形满足什么条件？（三角形的三边长分别为3、4、5）师：你是如何判断它是直角三角形的？（学生可以测量最大角，也可以测量另外两个较小的角，还可以通过反证法说明它不可能是锐角三角形或钝角三角形，也可以引导学生关注直角边长为3、4的直角三角形与边长为3、4、5的三角形之间的全等关系，从而说明它是直角三角形.）师：通过验证我们发现边长为3、4、5（单位：cm）的三角形是直角三角形，且，那么其它满足这个条件的三角形也是直角三角形吗？2、特殊验证：下面有四组数分别是一个三角形的三边长a，b，c（单位：cm）:①5，12，13；②1.5，2，2.5；③4，7.5，8.5；④6，8，10，这四组数都满足.分别以每组数为三边长作出三角形，它们都是直角三角形吗？你是怎么判断的？（作图前，可以先提问学生“已知三角形的三边长如何画出这个三角形？”给学生方法上的指导.）经过学生充分讨论后，汇总各小组实验结果发现：①5，12，13满足，可以构成直角三角形；②3.5，12，12.5满足，可以构成直角三角形；③4，7.5，8.5满足，可以构成直角三角形；④6，8，10满足，可以构成直角三角形.3、大胆猜想：从上面的分组实验，我们能不能得出一个更一般的结论？如果一个三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.4、小心求证：如何来论证这个猜想？有同学认为测量的方法此时不可行，觉得这个猜想可能不对.你认为这个猜想正确吗？你能给出一个更有说服力的理由吗？你能结合图形写出这个猜想的条件和结论吗？独立思考后和你的同伴交流.（此问题给学生一定的活动时间和适当的引导，根据前面特殊验证的经验，没有数据，不能直接测量，提出“哪种方法可以继续推广呢？”学生先独立思考后小组合作讨论，叙述的理由只要合理都给与肯定.）理由1：上节课“议一议”活动的结论：锐角三角形和钝角三角形中，任意两边的平方和都不等于第三边的平方，则这几个三角形一定不是锐角三角形或者钝角三角形，只能是直角三角形.理由2：以a和b为邻边长，构造三角形，观察随着夹角的增大第三边的变化趋势：越来越大；根据勾股定理，夹角是直角时，第三边长度等于c，夹角不是直角时，第三边长度肯定不等于c，因此边长为，满足，那么这个三角形是直角三角形.理由3：构造全等三角形进行证明：已知：如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，且.你能否判断△ABC是直角三角形？并说明理由.解：是，理由如下：（根据学生给出的理由教师完善并引导学生条理化，如果没有同学介绍第3种，教师可以直接介绍方法让学生说出证明过程）第三环节：勾股定理的逆定理及勾股数通过以上探究得到如下定理：勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.(教师引导学生认识此定理的条件和结论，为后面反思总结做铺垫，同时追问“那条边所对的角是直角”)符号语言：∵在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c，且，∴△ABC为直角三角形，且∠C=90°.满足的三个正整数，称为勾股数.（教师此时直接提问，之前验证的数据中有没有勾股数，哪些都是勾股数，巩固勾股数的定义，同时也让学生体会：边长是勾股数的三角形是直角三角形.）思考：1．这个结论与勾股定理的区别和联系.2．如果，那么这个三角形可能是直角三角形吗？（学生独立思考后作答，教师板书勾股定理逆定理的内容并列举勾股数）结论：1.将勾股定理的条件和结论互换就得到这个结论.2.如果，那么这个三角形不是直角三角形.温故知新主要让学生回忆直角三角形的性质，梳理直角三角形六要素之间的关系；问题1回忆直角三角形的判定方法，学生一般会选择从角的方向利用测量仪器来判定，此时条件、结论是可以互换的；问题2引发学生的认知冲突从而引出古埃及人的智慧.介绍古埃及人智慧，激发学生对数学文化的兴趣，体会数学来源于生活并应用于生活.同时了解探索勾股定理逆定理的必要性.为下一个环节做铺垫.探索发现：让学生动手操作得到直角三角形，并体会古人在没有精确测量仪器时如何利用边长3、4、5得到直角三角形.从而发现通过边的关系也可以判定直角三角形.特殊验证：进行更多的实验验证，对“探索发现”的结论和说理方法进行推广.大胆猜想：从特殊到一般，发展合情推理能力.通过特殊的验证，学生能较容易得出猜想.教师需要更加清晰地引导学生分析猜想的条件和结论.小心求证：体验数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律，发展学生的演绎推理能力.一般来说，学生不会仅仅满足于测量活动的结果，部分学生会进行理性的思考.也可能有部分同学因为测量工具或者方法的影响得到不一样的结论.及时提出问题，让学生明确，仅仅基于测量结果得到的结论未必可靠，需要进一步通过说理等方式使学生确信结论的可靠性，同时明晰结论.通过第二环节的测量验证和说理论证，得出猜想的是正确的.此环节叙述勾股定理逆定理的符号语言，让学生明确条件和结论，以及说明一个三角形是直角三角形时需要找出直角.同时也要让学生体会数的关系可以推出形的特征.认识常见的勾股数能较为快速的判断直角三角形.人们对勾股数的研究也很深入，此时抛砖引玉为课后研究勾股数提供基础.思考1进一步让学生认识该定理与勾股定理之间的关系，为日后学习互逆定理打好基础，同时体会数学上变换条件和结论是研究问题的常见视角.思考2用反证法和勾股定理来说明这个三角形不是直角三角形，进一步引导学生理解体会勾股定理和逆定理的区别。第四环节：例题讲解应用定理1、初步应用：下列哪组数能作为直角三角形的三边长？说说你的理由.（1）7，24，25；（2）15，17，8；（3）3，5，6.（使用定理判定时需要先找到最长边，再进行关系验证，如果有同学使用了来验证，及时肯定并板书公式的变形；有了思考2可以直接通过关系不满足来否定是直角三角形.学生独立思考后回答，教师补充.）2、问题解决：一个零件的形状如图1所示，其中∠A=90°，按规定这个零件中∠DBC也应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示，这个零件合格吗？图1图1图2（本题需要学生先使用勾股定理求出BD，再利用勾股定理的逆定理判定直角三角形从而指出直角.学生先独立思考，再进行板演，教师规范书写过程.）图2此环节分为初步应用和巩固提高两部分，初步应用注重于定理本身的使用.巩固提高需要使用勾股定理进行计算，再使用逆定理进行验证，让学生对判定和性质进行区分，增强定理使用的灵活性.第五环节：小结与思考问题：回顾本节课，我们探索了什么问题？如何探索的？获得了什么结论？说说你的感受.（师生相互交流总结出：1．今天所学内容①会利用三角形三边数量关系判断一个三角形是直角三角形；②满足的三个正整数，称为勾股数；2．从今天所学内容及所作练习中总结出的经验与方法：①数学是源于生活又服务于生活的；②数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律；③利用三角形三边数量关系判断一个三角形是直角三角形时，当遇见数据较大时，要懂得将作适当变形，便于计算.）通过问题让学生回忆本节课的主要内容，从知识性和方法性两方面入手，既有提示语弱的问题，又有提示语强的问题，试图照顾到不同层次学生对本节课的认识，学生自述，教师补充并引导.第六环节：布置作业，课堂延伸1、基础巩固：习题1.3第1，2，3题；2、动手实践：做一条古埃及人“神奇的绳子”，有哪些方法？与你的同伴进行交流.3、思考交流：你还有其它的方法来证明这个结论吗？独立思考后与你的同伴交流.（基础巩固在作业本上完成，动手实践学生课后完成，方法多样，重在勾股数的应用，思考交流拓宽学生视野.）基础巩固是勾股定理及其逆定理的直接使用，巩固课堂内容，提高学生灵活运用知识的能力；动手实践具有一定的挑战性和开放性，发展学生的主动应用数学、灵活运用知识的意识，难度稍大，课后可以小组合作完成；思考交流试图拓宽学生解决问题的视野，由浅入深，层层递进，满足不同学生的需求.第七环节：教学反思本节课的教学设计是建立在“以学生的发展为本，为学生的终身学习奠定基础”的教育理念上，融入了新课标的思想内涵，尊重学生的直观感觉，并从学生的直观感觉出发逐步将学生的思维引向严密性、逻辑证明等方面，设计中突出体现了学生的主体地位。1、引入环节力求自然，从直角三角形的特征入手，让学生了解，直角三角形的特征主要从角和边的方向考虑，反过来，再提出“如何得到直角三角形”时，也应该有角方面考虑和边方面的考虑.学生在回答此问题时重点是利用测量工具测量直角或测量另外两个锐角，也就是从角的