第五章抽样分布

1、1内容回顾内容回顾2三个大数定律三个大数定律 切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律伯努利大数定律伯努利大数定律辛钦大数定律辛钦大数定律 伯努利大数定律伯努利大数定律以严密的数学形式论证了频率以严密的数学形式论证了频率的稳定性的稳定性. . 辛钦大数定律为辛钦大数定律为用样本均值近似代替理论均值提用样本均值近似代替理论均值提供了理论依据供了理论依据。1 11 11 11 1 n nn np pi ii ii ii in nn n ( ( ) )p pA An nf f A Ap pn n 1 11 1 n np pi ii in n 3中心极限定理中心极限定理 林德伯格列维定理林德伯格列维定理棣莫佛

2、拉普拉斯定理棣莫佛拉普拉斯定理 中心极限定理表明中心极限定理表明, 在一定的条件下在一定的条件下, 当独当独立随机变量的个数增加时立随机变量的个数增加时, 其和的分布趋于正态其和的分布趋于正态分布分布. )(),(21近似近似 nnNnii ( ( , , ) ), ,B B n n p p : :若 )(),(近近似似npqnpN 4例例4: 保险业是最早使用概率论的部门之一，保险公司保险业是最早使用概率论的部门之一，保险公司为了估计企业的利润，需要计算各种概率。为了估计企业的利润，需要计算各种概率。假设现假设现要设置一项保险：一辆自行车年交保费要设置一项保险：一辆自行车年交保费2元，若自元

3、，若自行车丢失，保险公司赔偿行车丢失，保险公司赔偿200元，设在一年内自行元，设在一年内自行车丢失的概率为车丢失的概率为0.001,问至少要有多少辆自行车投问至少要有多少辆自行车投保才能以不小于保才能以不小于0.9的概率保证这一保险不亏本？的概率保证这一保险不亏本？ 解解: 设有设有n 辆自行车投保，辆自行车投保，Yn 表示一年内表示一年内 n 辆自行车辆自行车中丢失的数量。则中丢失的数量。则 Yn B(n, 0.001)问题归结为问题归结为n至少为多少时至少为多少时， P2n-200 Yn 00.9 上式化为上式化为 PYn0.01n0.9 5化为化为 PYn0.01n0.9 nnnnnYP

4、nYPnn0009990001001000099900010010.9 . 0)000999. 0009. 0( nn查表查表29100099900090.nn解不等式得解不等式得n21.Yn B(n, 0.001),(0. 001 ,0. 000999 )()(0. 001 ,0. 000999 )()n nYNnnYNnn: :近似 ( ( ) )0 0. . 9 9x xF F 1 1. . 2 29 9( () )0 0. . 9 9F F6例例5 在一家保险公司里有在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每个人参加寿命保险，每人每年付人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概

5、率为元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问：元，问：(1)保险公司亏本的概率有多大？保险公司亏本的概率有多大？解解 设设X表示一年内死亡的人数，则表示一年内死亡的人数，则XB(n,p)，其中，其中n= 10000，p=0.6%， np=60， npq=59.64于是由于是由中心极限定理中心极限定理XN(np,npq)XN(60, 59.64)设设Y表示保险公司一年的利润，则表示保险公司一年的利润，则 Y=10000 12- -1000X P(Y 0)=P(10000 12- -1000X 0) =P(X 120)

6、=1 P(X 120) 1 (7.769)=0;7P(Y40000)=P(10000 12- -1000X40000) =P(X80) 8060806059 6459 64.查表得查表得 ()0. 9952()0. 99522. 592. 59F F(2) 该保险公司一年的利润不少于该保险公司一年的利润不少于40000元的概率元的概率 2 2 5 59 9. 0 0 9 99 95 52 2.8 设赔偿金为设赔偿金为a元，则元，则 P(Y10000)=P(10000 12- -aX10000) =P(X110000/a)0.99 11000011000060600 990 9959 6459

7、64.a 1 14 41 10 0 4 44 4.a查表查表 ( ( ) )0 0. . 9 99 9x xF F ()()2 332 339 9. .0. 90. 9F F 1 11 10 00 00 00 06 60 02 2 3 33 35 59 9 6 64 4.a(3)其他条件不变，为使保险公司一年的利润有其他条件不变，为使保险公司一年的利润有99%的的概率不少于概率不少于10000元，赔偿金至多可设为多少？元，赔偿金至多可设为多少？9 某电厂供应某电厂供应10000户人家用电，设每户用电的概户人家用电，设每户用电的概率为率为0.8。（1）求同时用电户数超过）求同时用电户数超过810

8、0户的概率。户的概率。（2）若每户用电）若每户用电100瓦，问电厂至少需要多大的发瓦，问电厂至少需要多大的发电量才能以电量才能以0.975的概率保证供电？的概率保证供电？课堂练习课堂练习1011数理统计数理统计是研究怎样以是研究怎样以有效的方式有效的方式收集、收集、 整整理和分析理和分析带有随机性的数据带有随机性的数据，以便对所考察的，以便对所考察的问题作出问题作出推断和预测推断和预测，从而为采取一定的决策，从而为采取一定的决策和行动提供依据和建议。和行动提供依据和建议。12数理统计不同于一般的资料统计，它更侧重于应数理统计不同于一般的资料统计，它更侧重于应用用随机现象本身的规律性随机现象本身

9、的规律性进行资料的收集、整理进行资料的收集、整理和分析。和分析。由于由于大量随机现象必然呈现出它的规律性大量随机现象必然呈现出它的规律性，因而，因而从理论上讲从理论上讲，只要对随机现象进行足够多次观察，只要对随机现象进行足够多次观察，被研究的随机现象的规律性一定能清楚地呈现出被研究的随机现象的规律性一定能清楚地呈现出来。来。 但客观上只允许我们对随机现象进行但客观上只允许我们对随机现象进行次数不多的观察试验，也就是说，我们获得的只次数不多的观察试验，也就是说，我们获得的只是局部观察资料。是局部观察资料。13现实世界中存在着各式各样的数据，分析这些数据现实世界中存在着各式各样的数据，分析这些数据

10、需要多种多样的方法。需要多种多样的方法。因此因此,数理统计中的方法和支持这些方法的相应理数理统计中的方法和支持这些方法的相应理论是相当丰富的，概括起来可以归纳成两大类论是相当丰富的，概括起来可以归纳成两大类: 参数估计参数估计根据数据，用一些方法对分布的未知根据数据，用一些方法对分布的未知参数进行估计。参数进行估计。 假设检验假设检验根据数据，用一些方法对分布的未知根据数据，用一些方法对分布的未知参数进行检验。参数进行检验。它们构成了它们构成了统计推断统计推断的两种基本形式。这两种推断的两种基本形式。这两种推断渗透到了数理统计的每个分支渗透到了数理统计的每个分支。1415 一、总体与样本一、总

11、体与样本研究某批灯泡的质量总体总体 一个统计问题总有它明确的研究对象。研一个统计问题总有它明确的研究对象。研究对象的全体称为究对象的全体称为总体总体(母体母体)，总体中每个成，总体中每个成员称为员称为个体个体. （有（有限总体限总体和和无限总体无限总体）定义定义5.116 然而在统计研究中，人们关心总体仅仅然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心其每个个体的一项是关心其每个个体的一项(或几项或几项)数量指标数量指标和和该数量指标在总体中的分布情况该数量指标在总体中的分布情况. 这时，这时，每个个体具有的数量指标的全体每个个体具有的数量指标的全体就是就是总体总体.某批某批灯泡的寿命灯泡的寿命该批

12、灯泡寿命的该批灯泡寿命的全体全体就是总体总体 具有一定概率分布具有一定概率分布的总体的总体称为称为统计总体统计总体指数总体指数总体正态总体正态总体 .17 由于每个个体的出现是随机的，所以相应由于每个个体的出现是随机的，所以相应的的数量指标的出现也带有随机性数量指标的出现也带有随机性。从而可以把。从而可以把这种这种数量指标看作一个随机变量数量指标看作一个随机变量，因此，因此随机变随机变量的分布就是该数量指标在总体中的分布量的分布就是该数量指标在总体中的分布。 所以，总体就可以用一个随机变量及其分所以，总体就可以用一个随机变量及其分布来描述。布来描述。 例如：研究某批灯泡的寿命时，关心的数量例如

13、：研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量 表示，或用其分布函数表示，或用其分布函数 表示表示.)(xF18 类似地，在研究某地区中学生的营养状况时，类似地，在研究某地区中学生的营养状况时，若关心的数量指标是身高和体重，我们用若关心的数量指标是身高和体重，我们用X和和Y分别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随分别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量机变量(X,Y)或其联合分布函数或其联合分布函数F(x,y)来表示来表示.数理统计中，总体这个数理统计中，总体这个概念的要旨是概念的要旨是：总体就总体就是一个是一个

14、 概率分布概率分布.19被研究对象（被研究对象（总体总体）的概率分布）的概率分布F(x, ) (或或f(x, ), p(xi, ) 往往是未知的，往往是未知的， 或大体知其分布而参数或大体知其分布而参数 未知。未知。 为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程为息，这一抽取过程为 “抽样抽样”定义定义5. 2从总体中随机抽取若干个体组成的集合称为从总体中随机抽取若干个体组成的集合称为样本样本样本样本所包含的个体数称为所包含的个体数称为样本容量样本

15、容量抽样抽样分为分为有放回抽样有放回抽样与与无放回抽样无放回抽样20 抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为了抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑抽样方法抽样方法. 最常用的一种抽样方法叫作最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽简单随机抽样样”.Xn由简单随机抽样得到的样本称为由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本简单随机样本，它，它可以用与总体独立同分布的可以用与总体独立同分布的n个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量 表示表示. 一旦取定一组样本，得到的是一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数个具

16、体的数 x1,x2,xn，称为称为样本的一次观察值样本的一次观察值，简称，简称样本值样本值 .21980, 960, 1030, 1300, 850样本也是随机变量样本也是随机变量研究某批灯泡的寿命总体总体X抽到哪抽到哪5支是随机的支是随机的X1, X2, X3, X4, X512,nXXX12, , nxxxn22总体、样本、样本观察值的关系总体、样本、样本观察值的关系总体总体 样本样本 样本观察值样本观察值 理论分布理论分布 统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料样本观察值，去样本观察值，去推断总体的情况推断总体的情况总体分布总体分布. 样本是联系两者的样本是联系两者的桥梁桥梁. 总

17、体分布决定了样本取值的概率规律，也就总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体观察值去推断总体.23二、统计表与统计图二、统计表与统计图1. 离散型：对离散型：对pi 的初步估计的初步估计作条形图作条形图2. 连续型：对连续型：对f(x) 的初步估计的初步估计-作频率直方图作频率直方图三、样本分布函数三、样本分布函数（对对F(x)的初步估计的初步估计）称为称为样本分布函数样本分布函数 或或经验分布函数经验分布函数。nnn111频频率率：x定义定义5.3（P.119）设）设 是来自总体是来自总体X的样

18、本值，的样本值，nxxx,21重排：重排： nxxx21的的频频率率令令RxxX , )(xFn 1, 0 xx 21,1xxxn 1,kkxxxnk) 321xxx nxx, 124 , , ( ) 1 ( ), lim ( )( )1.nnnxnFxF xP FxF x 对对于于任任一一实实数数当当时时以以概概率率一一致致收收敛敛于于分分布布函函数数即即 , ( ) ( ) , ( ) .nxnFxF xF x对对于于任任一一实实数数当当充充分分大大 时时 经经验验分分布布函函数数的的任任一一个个观观察察值值与与总总体体分分布布函函数数只只有有微微小小的的差差别别 从从而而在在实实际际上上

19、可可当当作作意意义义来来使使用用：格林汶科定理（格林汶科定理（Glivenko Th）25例例（P.119）从成年人群中随机抽）从成年人群中随机抽10人，测得身高（单人，测得身高（单位：位：cm)为：为： 168 168 170 160 154 177 160 177 168 170 求样本分布函数。求样本分布函数。 )(10 xF154 x160154 x168160 x170168 x177170 x177 x, 0,10/1,10/3,10/6,10/8, 1解解 将样本值重排，并求出其频率将样本值重排，并求出其频率26图形见图形见P.120对连续型问题，可作一曲线以估计其分布函数。对连

20、续型问题，可作一曲线以估计其分布函数。27四、样本的数字特征四、样本的数字特征总体总体X有数字特征：有数字特征：EX均值均值. 1DX方差方差. 2kEXPk)20106.(.3题题阶阶原原点点矩矩)1(EXk为为 kEXXEk)(. 4 阶中心矩阶中心矩)2(DXk为为 )8 . 3(,()()7 . 3(,(1公公式式连连公公式式离离dxxfxpxEXkiikik28样本数字特征样本数字特征(随机变量随机变量)：的的样样本本为为来来自自XXXXn,21 niiXnX11. 1 样样本本均均值值 niiXXnS122)(11. 2 样样本本方方差差 nikikXnMk11.3阶阶原原点点矩矩

21、样样本本 nikikXXnCk1)(1.4阶阶中中心心矩矩样样本本为样本值为样本值nxxx,21样本数字特征观察值样本数字特征观察值(数数)： niixnx11 niixxns122)(11 nikikxnm11 nikikxxnc1)(1Xk为为1 2912, , nXXX)(xFX12, , .nXXXn11niiXn1, maxiinX 1, minii nX 5 统计量统计量30 由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工加工”，这就要构造一些，这就要构造一些样本的函数样本的函数，它把样，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来本中所含的（

22、某一方面）的信息集中起来.定义定义5.4不含任何未知参数的样本的函数不含任何未知参数的样本的函数 称为称为统计量统计量. 它是完全由样本决定的量它是完全由样本决定的量.g(X1,X2,Xn) 即如果即如果g(X1,X2,Xn)中中不含有未知参数不含有未知参数， 则则 称称g(X1,X2,Xn)为为统计量统计量。 构造统计量的目的是用它来推断总体构造统计量的目的是用它来推断总体.31),(2NX如如2,未知，未知，(X1,X2,Xn)为为X的一个的一个 样本样本niiXnX11niiX12均为统计量均为统计量X221iX不是统计量不是统计量若若已知，已知，2未知，未知， (X1,X2,X5)为为

23、X的一个样本的一个样本521,maxXXXX均为统计量均为统计量),min(211nXXXX ),max(21nnXXXX 1 1n nX XX X32?,),(,22321哪些不是哪些不是些是统计量些是统计量判断下列各式哪判断下列各式哪为未知为未知为已知为已知其中其中样本样本的一个的一个是来自总体是来自总体设设 NXXX,11XT ,3212XeXXT ),(313213XXXT ),max(3214XXXT ,2215 XXT).(123222126XXXT 是是不是不是练习练习335.2 几种常用的分布几种常用的分布345.2 几种常用的分布几种常用的分布（统计三大分布）（统计三大分布）

24、一、一、 2 （卡方）分布（卡方）分布1. 定义定义 2 称随机变量称随机变量 2 服从服从自由度自由度为为n的的 2 分布分布，记为，记为 2 2(n).).0()(01时时收收敛敛其其中中， rdxexrxr.)21(, 1)1(),0)()1( rrrr有有358 n4 n)(2 指指数数分分布布 n 2 分布图分布图362. 性质性质1 若若 2 2(n) ，则，则 E 2 =n, D 2 =2n;且且 与与 相互独立，则相互独立，则21 22 2 (可加性）：若可加性）：若),(),(22221221nn )(2122221nn 可推广到可推广到k个的情形。个的情形。3. 分位点分位

25、点)()(22给给定定 nP 2 分布的上分布的上 分位点分位点（表三表三）例如：例如：,14,01. 0 n 141.29)14()256.(201. 0 得得查查表表三三 P01. 0141.29),14(222 P则则即即若若01. 0)(141.29 dxxf即即37 2( )pn通通过过查查表表求求的的值值 20.025(8) 20.975(10) 20.1(25),535.17 ,247. 3 .382.34 例例1P256 附表三附表三 2分分布表布表 2 22 22 2( (2 24 4) ), , 0 0. . 0 05 5, ,P Pc cc c : :若求例例2 20.

26、950. 95PcPc Q Q2 20. 950. 95(24)(24)c c 1 13 3. . 8 84 48 82 20 0 0 05 55 50 0 .()2 21 11 1 6 64 45 59 99 92 2 ( .)6 67 7 2 21 11 1 .22221 121212 2 ( )()nun384. 与正态分布之间的关系与正态分布之间的关系定理定理5.1（P.123 ）设随机变量）设随机变量且且它它们们相相互互独独立立，则则), 2 , 1()1 , 0(niNXi )(2122nXnii 自由度自由度：构成平方和的独立项数。：构成平方和的独立项数。nXXXn,21个独立项

27、：个独立项：本平方和中，有本平方和中，有39例例),(2NX(X1,X2,X3)为为X的一个样本的一个样本 求求222222123123XXX的分布。的分布。解解 因为因为(X1,X2,X3)为为X的一个样本的一个样本则则0 0 1 1 ( , )iXNi=1,2,32 22 22 22 21 12 23 33 3 ( )XXX , i=1,2,32 2 ( ,)iXN40例例 总体总体XN(1,4),抽取样本抽取样本(X1,Xn)2 21 11 1 ()niiYXn最大可以取多少最大可以取多少?1 10 00 00 09 95 5 ().,P Y要要 解解:XiN(1,4),2 22 21

28、11 11 10 0 1 12 22 2 ( , )() ( )niiiXXNnY/4251000 95251000 954 4()().YPP Y2 22 25 50 0 0 05 5 ( ).Pn即即是是要要 2 22 20 0 0 05 52 25 5 .,( )?查分布表 使得的nn2 21 15 51 15 50 0 0 05 52 24 4 9 99 96 62 25 51 15 5 ,().nn查查表表知知时时 的的分分位位点点为为故故41二、二、t 分布分布定义定义5.6 随机变量随机变量t 的概率密度为的概率密度为称称t 服从服从自由度为自由度为n 的的t 分布分布，记为，记

29、为 t t(n).双侧分位点双侧分位点（表四）（表四）)()(|2给给定定 nttP例如：例如：,21,05. 0 n ,080. 2)21()257.(2 tP得得查查表表四四单侧分位点单侧分位点 也可由表四查得，也可由表四查得，)(nt )(nttPn45时时,用极限分布用极限分布(正态正态)近似计算近似计算,即即tp(n)up42定理定理5.2 （P.124）设）设 X N(0,1), Y 2(n), 且且 X与与Y 独立，则独立，则)(/ntnYXt #43三、三、F分布分布定义定义5.7 随机变量随机变量 F 的概率密度的概率密度称称 F服从服从第一自由度为第一自由度为n1，第二自由

30、度为，第二自由度为 n2的的F分布，分布，记为记为 F F(n1, n2).)(),(21小小 nnFFPF 分布的分布的上分位点上分位点(由由表五表五给出给出)当当 较大时较大时, 利用后面的推论查分位点。利用后面的推论查分位点。 0, x0 xF 44定理定理5.3 （P.12）设）设 ， 且且X与与Y相互独立，则相互独立，则)(),(2212nYnX ),(/2121nnFnYnXF 推论推论 若若 F F(n1, n2) ，则，则),(1),(),(11221112nnFnnFnnFF 且且0.95(12,9).F例例，求求0.950.0511(12,9)0.357(9,12)2.80

31、FF 455.3 抽样分布定理抽样分布定理462( ,)XN 2, 12(,)ng XXX? ?12(,)ng XXX12, ,nX XX2, 47设设 是来自正态总体是来自正态总体 的样本，的样本，nXXX,21),(2 N下面介绍几个常用统计量的分布（下面介绍几个常用统计量的分布（Th5.4, 5.6, 5.7）。）。1. 单个正态总体单个正态总体)1(/. 5 ntnSXt nNX2,. 1 )1 , 0(/. 2NnXu )1()(1)1(. 32122222 nXXSnnii )()(1. 421222nXnii 相相互互独独立立与与2SX48比较公式比较公式3和和4的自由度：的自由

32、度：)()()(21XXXXXXn 0 XnXXXn )(21所以只有所以只有n-1项是独立的！项是独立的！公式公式4中中n项均独立：项均独立： nXXX,21因为公式因为公式3构成平方和构成平方和 的的n项满足：项满足： niiXX12)(故自由度为故自由度为n-1。 ().()()niinSXnX 2 22 22 22 22 22 21 11 11 13 31 1 .()( )niiXn 2 22 22 22 21 11 14 449 nNX2,. 1 )1 , 0(/. 2NnXu 复习复习P.69(2.74)的推广：的推广：相相互互独独立立niiiniN ,), 2 , 1)(,(21

33、2 ),(12211 niiiniiiniiiaaNa 证证相相互互独独立立，niXXXNX,),(212 , XEnXD2 故得故得1。 标准化得标准化得2。证明证明 Th5.4).,(2nN 即即)1,1(112211 nininiinnNXnX 重要结果：重要结果：50)()(1. 421222nXnii )1(/. 5 ntnSXt 证明证明 Th5.7证证,2121相互独立相互独立相互独立知，相互独立知， nnXXXXXX),()123.( 1 . 5221nXPThnii 知知由由即公式即公式4得证。得证。).1 , 0(NXi 且且每每个个（P.62性质）性质）51)1 , 0(

34、/NnXu )1()1(2222 nSn 由定理由定理5.6（1）得）得u与与 相互独立，相互独立，2 )1/()124.(2 . 52 nuP 得得由定理由定理 t(n-1)1/()1(/22 nSnnX nSX/ 即公式即公式5得证。得证。52例例（P.126 ，定理，定理5.4的应用的应用）.24. 0|21|)2()2 ,21(,22521 XPNXXX求求的的一一个个样样本本，为为来来自自总总体体解解 由由24 . 0)252,21(2NX)1 , 0(4 . 021NX 得得故故 6 . 04 . 02124. 0|21|XPXP1)6 . 0(2 4514. 0 53例例（ P.130 定理定理5.1，定理，定理5.6的应用的应用）.235)(65.36)2()3 , 0(,151221521 iiXXPNXXX求求的的一一个个样样本本，为为来来自自总总体体解解 由定理由定理5.6知知)14()(3121512222 iiXX 215122215123235)(31365.36235)(65.36iiiiXXPXXP11.2607. 422 P5411.2607. 42222 PP07.411.2611.2607. 422 P 对对n=1