信号与系统第一章-2(含作业)

1、第第第1-1-1-1 1 1页页页第一章第一章 信号与系统的基本概念信号与系统的基本概念 1.1 1.1 信号的描述信号的描述 1.2 1.2 信号的分类信号的分类 1.3 1.3 信号的基本运算（重点）信号的基本运算（重点） 1.4 1.4 阶跃函数和冲激函数（重点与难点）阶跃函数和冲激函数（重点与难点） 1.5 1.5 系统的描述系统的描述 1.6 1.6 系统的性质和分类系统的性质和分类 1.7 LTI1.7 LTI系统分析方法概述系统分析方法概述第第第1-1-1-2 2 2页页页 1.5 1.5 系统的描述系统的描述 由若干相互作用、相互联系的事物按一定规律由若干相互作用、相互联系的事

2、物按一定规律组成具有特定功能的整体称为系统。组成具有特定功能的整体称为系统。 系统分析的过程共分为四步，一是分析实际物系统分析的过程共分为四步，一是分析实际物理问题，二是建立数学模型，三是求出解答，四是理问题，二是建立数学模型，三是求出解答，四是给出结果的物理解释。给出结果的物理解释。第第第1-1-1-3 3 3页页页即时系统（无记忆系统）：即时系统（无记忆系统）：响应仅取决于激励，即电阻组成，用代数方程描述。响应仅取决于激励，即电阻组成，用代数方程描述。动态系统（记忆系统）：动态系统（记忆系统）：相应与激励有关，而且与过去历史状态有关（初始条相应与激励有关，而且与过去历史状态有关（初始条件）

3、。含有记忆元件（电容、电感），由微分方程描件）。含有记忆元件（电容、电感），由微分方程描述。述。 本书主要讨论动态系统。本书主要讨论动态系统。 系统的描述分为两种，一是数学模型，二是框图表系统的描述分为两种，一是数学模型，二是框图表示，并且两种描述可互换。示，并且两种描述可互换。 第第第1-1-1-4 4 4页页页一、系统的数学模型一、系统的数学模型 连续系统的数学模型是连续系统的数学模型是微分方程微分方程。 离散系统的数学模型是离散系统的数学模型是差分方程差分方程。连续系统连续信号连续信号离散系统离散信号离散信号请回顾应用相关数请回顾应用相关数学知识学知识第第第1-1-1-5 5 5页页页连

4、续系统的数学模型连续系统的数学模型激励：激励：响应：响应：对电容元件：对电容元件： 对电感元件：对电感元件：)(tuC)(tusCuidtduCdtdCudtdqi+-uiLdttdiLtu)()()(tusRLC)(tuC)(tiRLCRLC串联电路模型串联电路模型首先建立各个元器件的模型首先建立各个元器件的模型（请回忆相关知识）（请回忆相关知识）第第第1-1-1-6 6 6页页页由基尔霍夫电压定律（由基尔霍夫电压定律（KVL）有：）有：)(tusRLC)(tuC)(tiRLCRLC串联电路模型串联电路模型dttduCtiutRidttdiLtuCCs)()()()()(CCCsudtduR

5、CdtudLCtu2)()(1)(1)()(tuLCtuLCtuLRtuSCCC 然后是电路相关定律建立关于系统的微分方程然后是电路相关定律建立关于系统的微分方程第第第1-1-1-7 7 7页页页二、系统的框图表示二、系统的框图表示1.1.加法器加法器2.2.乘法器乘法器3.3.标量乘法器（数乘器，比例器）标量乘法器（数乘器，比例器）4.4.微分器微分器5.5.积分器积分器6.6.延时器延时器接着学习一般系统的一般表接着学习一般系统的一般表示方式示方式第第第1-1-1-8 8 8页页页( () )( () )( () )tftfty21 加法器加法器乘法器乘法器标量乘法器（数乘器，比例器）标量

6、乘法器（数乘器，比例器） )()()(21tftfty)(ty)(1tf)(2tf)(ty)(1tf)(2tf)(ty)(1tf)(2tf)()(tfAtyA)(tf)(tyA)(tf)(ty第第第1-1-1-9 9 9页页页dtd微分器微分器积分器积分器dttdfty)()()(tf)(ty)(tf)(tytdttfty)()(延时器延时器) 1()()()(kfkyTtfty)(tfT)(TtfD)(kf) 1( kf第第第1-1-1-101010页页页例例1：某连续系统的框图如图所示，写出该系统的：某连续系统的框图如图所示，写出该系统的微分方程。微分方程。)(tf)(ty)(ty)(ty

7、 1a0a)()()()(10tyatyatfty )()()()(10tftyatyaty 第第第1-1-1-111111页页页例例2:某连续系统如图所示，写出该系统的微分方程。某连续系统如图所示，写出该系统的微分方程。)(tf)(ty1a0a0b)(tx1b2b)(tx)(tx )()()()()()()()(01201txbtxbtxbtytftxatxatx )()()()()()(01201tfbtfbtfbtyatyaty 第第第1-1-1-121212页页页)()()( )()()()( )()()()(01210111210001020 xbxbxbtytxabtxabxabt

8、yatxabtxabtxabtya证明：)()()()( )()()()(01201txbtxbtxbtytftxatxatx 已知：)()()()()()()()()()(01201001101201tfbtfbtfbxaxaxbxaxaxbxaxaxbtyatyaty )()()()()()(01201tfbtfbtfbtyatyaty 此类结构的求解此类结构的求解规律：观察上面规律：观察上面方程方程x及各阶导及各阶导数的系数，匹配数的系数，匹配到到y上，然后相上，然后相加整理。叫做系加整理。叫做系数匹配法。数匹配法。第第第1-1-1-131313页页页例3： 某离散系统如图所示，写出该系

9、统的差分方程。)(ty1a0aDD）2( kx）1( kx)(kx0b2b)(kf)2()()2() 1()(0201kfbkfbkyakyaky)2()()( )2() 1()()(0201kxbkxbkykxakxakxkf此类结构的求解规律：观此类结构的求解规律：观察上面方程察上面方程x及各阶差分及各阶差分的系数，匹配到的系数，匹配到y上，然上，然后相加整理。叫做系数匹后相加整理。叫做系数匹配法。配法。第第第1-1-1-141414页页页一一线性系统线性系统线性系统：指具有线性特性的系统。线性系统：指具有线性特性的系统。 线性线性: :指均匀性，叠加性。指均匀性，叠加性。均匀性均匀性(

10、(齐次性齐次性):):叠加性：叠加性：1.6 1.6 系统的特性和分析方法系统的特性和分析方法( )( )( )( )tytftytf)()()()()()()()(21212211tytytftftytftytf类似于正比类似于正比例而不是普例而不是普通的线性函通的线性函数特点数特点第第第1-1-1-151515页页页线性特性线性特性: :HH( ( ) )( ( ) )tftf2211 H( ( ) )( ( ) )tyty2211 )(1tf( )tf2( )ty1( )ty2)()()()(22112211ttttyyff如果系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是线性的。如果系统既是齐

11、次的又是可加的，则称该系统是线性的。线性系统的条件线性系统的条件 动态系统动态系统响应响应不仅与激励不仅与激励 f () 有关，而且与有关，而且与可分解性可分解性 零状态线性零状态线性 y () = T f () , x(0) yzi()=T0，x(0)， yzs() = T f () , 0零输入线性零输入线性 动态系统动态系统是线性系统，要满足下面是线性系统，要满足下面3个条件：个条件：系统的系统的初始状态初始状态x(0)有关有关, 初始状态也称初始状态也称“内部激内部激励励”。线性系统的条件线性系统的条件输出的可分解性：输出的可分解性： y () = yzi()+ yzs() 零状态线性

12、：零状态线性： Taf1(t) +bf2(t) , 0 = aT f1 () , 0 +bT f2 () , 0 y () = T f () , x(0) yzi()=T0，x(0)， yzs() = T f () , 0零输入线性：零输入线性：T0,ax1(0) +bx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0)线性线性系统（连续、离散）系统（连续、离散） 线性线性微分（差分）方程微分（差分）方程 左边表示输入左边表示输入右边表示零时刻状态右边表示零时刻状态输入为零输入为零零时刻状态为零零时刻状态为零例例1：判断下列系统是否为线性系统？：判断下列系统是否为线性系统？xxfxxtyt

13、td)()sin()0(e)(0解：解：xxfxtyxtytzstzid)()sin()(),0(e)(0y (t) = yzs(t) + yzi(t) ， 满足可分解性；满足可分解性；Ta f1(t)+ b f2(t) , 0 xxfxxxfxxxfxfxtttd)()sin(bd)()sin(ad)(b)()asin(0201021= aTf1(t), 0 +bT f2(t) , 0，满足零状态线性；满足零状态线性；T0,ax1(0) + bx2(0) = e- -tax1(0) +bx2(0) = ae- -tx1(0)+ be- -tx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(

14、0), 满足零输入线性；满足零输入线性；所以，所以，该系统为线性系统。该系统为线性系统。第第第1-1-1-191919页页页 例例2：判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统? ? 解：分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否解：分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有均匀性和叠加性。可以证明具有均匀性和叠加性。可以证明: : 系统不满足均匀性系统不满足均匀性 系统不具有叠加性系统不具有叠加性 此系统为非线性系统。此系统为非线性系统。0 )(5)(10d)(dttetrttr第第第1-1-1-202020页页页设信号设信号e(t)作用系统，响应为

15、作用系统，响应为r(t),当当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性则作用于系统时，若此系统具有线性则原方程两端乘原方程两端乘A： (1),(2)两式矛盾。故此系统不满足均匀性。两式矛盾。故此系统不满足均匀性。证明均匀性：证明均匀性：) 1 (0 )(5)(10d)(dttAetArttAr)2(0 )(5)(10d)(dttAetrttrA0 )(5)(10d)(dttetrttr第第第1-1-1-212121页页页(5)、(6)式矛盾，该系统为不具有叠加性。 假设有两个输入信号 分别激励系统，则由所给微分方程式分别有： 当 同时作用于系统时，若该系统为线性系统，应有(3)+(4)得证明叠

16、加性证明叠加性:( )( )( )( )( )( )4(0510dd)3(0510dd222111ttetrttrttetrttr)()(21tete及)()(21tete( )( )( )( )( )( )5(0510dd212121ttetetrtrtrtrt( )( )( )( )( )( )6(01010dd212121ttetetrtrtrtrt第第第1-1-1-222222页页页 二、时不变性系统二、时不变性系统 如果系统的参数都是常数，它不随时间变化，则如果系统的参数都是常数，它不随时间变化，则称该系统为时不变系统，否则称为时变系统。称该系统为时不变系统，否则称为时变系统。 描述

17、线性时不变系统的数学模型是常系数线性微描述线性时不变系统的数学模型是常系数线性微分（或差分）方程，而描述线性时变系统的数学模型分（或差分）方程，而描述线性时变系统的数学模型是变系数线性微分（或差分）方程。是变系数线性微分（或差分）方程。 认识：认识： 从方程看从方程看: :系数是否随时间而变系数是否随时间而变 电路分析上看电路分析上看: :元件的参数值是否随时间而变元件的参数值是否随时间而变 判断方法：判断方法： 先时移，再经系统先经系统，再时移先时移，再经系统先经系统，再时移第第第1-1-1-232323页页页)(tf)(0ttf)(tyZS)(0ttyZSttttOOOO时不变系统时不变系

18、统LTI系统的时不变性第第第1-1-1-242424页页页例例1：判断下列两个系统是否为非时变系统：判断下列两个系统是否为非时变系统系统的作用是对输入信号作余弦运算。系统的作用是对输入信号作余弦运算。 )()()1(00ttetet 时移时移0 )(cos)(011 tttetr经过系统经过系统)(cos)()2(tete经过系统经过系统此系统为时不变系统。此系统为时不变系统。( ( ) )( ( ) )trtr1211 ( ( ) )( ( ) )0cos ttetr0 )(cos)(0120t tttetr时移时移excitement,激激励励第第第1-1-1-252525页页页)()()

19、1(00ttetet 时移时移0cos)()(021 ttttetr经经过过系系统统ttetecos)()()2(经过系统经过系统0)cos()()(00220 tttttetrt时移时移此系统为时变系统。此系统为时变系统。)()(2221trtr 系统作用系统作用:输入信号乘输入信号乘cos(t)( ( ) )( ( ) )0cos tttetr例例2：判断如下系统是否为时不变系统：判断如下系统是否为时不变系统第第第1-1-1-262626页页页例例3：判断系统：判断系统 是否为线性非时变系统？是否为线性非时变系统？( ( ) )( ( ) )tftty 先判断是否为线性系统？先判断是否为线

20、性系统？可见：先线性运算，再经系统先经系统，再线可见：先线性运算，再经系统先经系统，再线性运算性运算, ,所以此系统是线性系统所以此系统是线性系统 1C2C( ( ) )tf1( ( ) )tf2( ( ) )tfC11( ( ) )tfC22( ( ) )( ( ) ) tfCtfCt2211 H H( ( ) )tf1( ( ) )tf2( ( ) )tft1 ( ( ) )tft2 1C2C( ( ) )tftC11 ( ( ) )tftC22 ( ( ) )( ( ) )ttfCttfC2211 H 第第第1-1-1-272727页页页 H( ( ) )tf( ( ) )tft DE(

21、 () ) ( () ) tft DE ( ( ) )tf H( () ) tft( () ) tf再判断是否为时不变系统？再判断是否为时不变系统？ 可见：可见： 时移、再经系统时移、再经系统经系统、再时移经系统、再时移 所以此系统是时变系统。所以此系统是时变系统。第第第1-1-1-282828页页页系 统)(ty)(tfdttdy )(dttdf)(系统)(ty)(tftdy)(tdf)(利用线性和时不变可以证明微分特性和积分特性利用线性和时不变可以证明微分特性和积分特性微分性：微分性：积分性：积分性：利用线性证明，可推广至高阶。利用线性证明，可推广至高阶。第第第1-1-1-292929页页

22、页 三、因果性三、因果性 因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时，因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出（响应）的系统。也就是说，因果系才会出现输出（响应）的系统。也就是说，因果系统的输出（响应）不会出现在输入信号激励系统以统的输出（响应）不会出现在输入信号激励系统以前的时刻。系统的这种特性称为因果特性。符合因前的时刻。系统的这种特性称为因果特性。符合因果性的系统称为因果系统果性的系统称为因果系统( (非超前系统非超前系统) )。 判断方法：输出不超前于输入。判断方法：输出不超前于输入。第第第1-1-1-303030页页页 实际的物理可实现系统均为因果系统。非因果实际的物理可实现

23、系统均为因果系统。非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信号的压缩、系统的概念与特性也有实际的意义，如信号的压缩、扩展，语音信号处理等。扩展，语音信号处理等。 若信号的自变量不是时若信号的自变量不是时间，如位移、距离、亮度等为变量的物理系统中研间，如位移、距离、亮度等为变量的物理系统中研究因果性显得不很重要。究因果性显得不很重要。第第第1-1-1-313131页页页例：判断下列系统为是否为因果系统例：判断下列系统为是否为因果系统)2()() 1()()()()2(2) 1(3)()()() 1(3)(tftykfkyifkykfkfkydftytftyzszskizszstzszs 第第第1

24、-1-1-323232页页页四、稳定性四、稳定性 一个系统，若对有界的激励一个系统，若对有界的激励f(f(. .) )所产生的零状所产生的零状态响应态响应y yf f( (. .) )也是有界时，则称该系统为也是有界时，则称该系统为有界输入有有界输入有界输出稳定界输出稳定，简称，简称稳定稳定。即。即 若若f(.)，其，其yf(.) 则称系统是稳定的。则称系统是稳定的。 例：例：y f (k) = f (k) + f(k-1) 是稳定系统；是稳定系统； 而而 是不稳定系统。是不稳定系统。 因为，当因为，当f (t) =(t)有界，有界， 当当t 时，它也时，它也，无界。，无界。tttxx)(d)(txxftyd)()(f关于是否稳定，后面的章节中会有详细判据关于是否稳定，后面的章节中会有详细判据第第第1-1-1-333333页页页五、五、LTILTI系统分析方法概述系统分析