电子输运理论及性质

1、能带结构能带结构输运性质输运性质载流子受到的散射或碰撞载流子受到的散射或碰撞三个问题三个问题外场下作用下载流子的运动规律外场下作用下载流子的运动规律外场和碰撞同时作用对载流子输运性质的影响外场和碰撞同时作用对载流子输运性质的影响 引入驰豫时间描述引入驰豫时间描述采用半经典模型采用半经典模型引入分布函数，并将这些影引入分布函数，并将这些影响归结到对分布函数的影响响归结到对分布函数的影响8.1 8.1 外场下外场下BlochBloch电子运动的半经典模型电子运动的半经典模型 8.2 Boltzmann8.2 Boltzmann方程方程 8.3 8.3 外场和碰撞作用外场和碰撞作用 8.4 8.4

2、驰豫时间的统计理论驰豫时间的统计理论 8.5 8.5 电电- -声子相互作用声子相互作用 8.6 8.6 金属电导率金属电导率 电阻率电阻率 8.8 8.8 磁输运性质磁输运性质 霍尔效应霍尔效应 磁电阻效应磁电阻效应 8.9 8.9 热输运性质热输运性质 热电效应热电效应 热导率热导率 热电势热电势对外电场、磁场采用经典方式处理对外电场、磁场采用经典方式处理半经典含义半经典含义对晶格周期场采用能带论量子力学方式处理对晶格周期场采用能带论量子力学方式处理模型模型每个电子具有确定的位置每个电子具有确定的位置 r 、波矢、波矢 k 和能带指标和能带指标n 建立模型描述建立模型描述r 、 k 和和n

3、 随随时间的变化规律时间的变化规律能带指标能带指标电子的速度电子的速度波矢随时间的变化波矢随时间的变化1/( )( )nkndr dtkk.ncons/( , )( )( , )ndk dte E r tkB r t (1)电子总呆在同一能带中电子总呆在同一能带中(2)忽略不同带间的跃迁忽略不同带间的跃迁8.1 Bloch8.1 Bloch电子运动的半经典模型电子运动的半经典模型1/( )( )nkndr dtkk/( , )( )( , )ndk dte E r tkB r t Bloch 电子电子的运动方程的运动方程对晶格周期场的量子力学处对晶格周期场的量子力学处理全部概括在理全部概括在

4、函数中函数中( )nk能带结构能带结构输运性质输运性质半经典模型使能带结构与输运性半经典模型使能带结构与输运性质即电子对外场的响应相联系质即电子对外场的响应相联系输运性质输运性质能带结构能带结构同基于理论得到的能带结构进行比较从同基于理论得到的能带结构进行比较从而验证能带结构的理论基础的正确与否而验证能带结构的理论基础的正确与否提供了从能带结构推断出提供了从能带结构推断出电子输运性质的理论基础电子输运性质的理论基础基于输运性质的测量结果基于输运性质的测量结果推断出电子的能带结构推断出电子的能带结构8.2 Boltzmann方程方程对固体中电子输运性质的了解，除载流对固体中电子输运性质的了解，除

5、载流子受到的散射或碰撞外，需要知道子受到的散射或碰撞外，需要知道外场外场作用下载流子的运动规律作用下载流子的运动规律以及外场和碰以及外场和碰撞同时作用对载流子输运性质的影响。撞同时作用对载流子输运性质的影响。外场下载流子运动规外场下载流子运动规律可基于半经典模型律可基于半经典模型现在要解决的是如何考虑碰撞以及碰撞和现在要解决的是如何考虑碰撞以及碰撞和外场同时作用对载流子运动规律的影响？外场同时作用对载流子运动规律的影响？引入分布函数，并将这些引入分布函数，并将这些影响归结到对分布函数的影响归结到对分布函数的影响影响定义定义对于单位体积样品，对于单位体积样品，t时刻、第时刻、第n个能带中，在（个

6、能带中，在（r,k）处处 相空间体积内的电子数为：相空间体积内的电子数为：drdk3( , ; )/8nfr k t drdk每一个电子对电每一个电子对电流密度的贡献为流密度的贡献为n通常不标出，因为考虑通常不标出，因为考虑的是同一带中的电子的是同一带中的电子ke所以总电所以总电流密度为流密度为314kJefdk 碰撞以及碰撞和外场同时碰撞以及碰撞和外场同时作用对作用对 f 的影响？的影响？在热平衡情况下，即温度均匀且没有外场作用，电子系在热平衡情况下，即温度均匀且没有外场作用，电子系统的分布函数为费米分布函数统的分布函数为费米分布函数与位置无关与位置无关。有外场有外场/温度不均匀时，电子将偏

7、离热平衡，温度不均匀时，电子将偏离热平衡，相应的分布函数相应的分布函数, , )f r k t（( , )r k点范围内, , )f r k t（如何随时间变化呢？如何随时间变化呢？0()/1()1kBkuk Tfe,)rvdt kkdt tdt（, , )r k t（, , )f r k t（t 时刻（时刻（r,k）处的电子）处的电子由于碰撞的存在，由于碰撞的存在，dt 时间内从（时间内从（r-dr,k-dk）处出发的电子并不都能到达（处出发的电子并不都能到达（r,k）处，另）处，另一方面，一方面， t 时刻（时刻（r,k）处的电子也并非都）处的电子也并非都来自来自t-dt 时刻（时刻（r-

8、dr,k-dk）处漂移来的电）处漂移来的电子，因此有：子，因此有：( , , )(,)f r k tf rdt kkdt tdt( , , )(,)f r k tf rdt kkdt tdt碰撞项若将因碰撞引起的若将因碰撞引起的 f 变化写变化写成成 则有则有(/)collft( , , )(,)()collff r k tf rdt kkdt tdtdtt必来自必来自t-dt 时刻（时刻（r-dr,k-dk）处）处漂移来的电子漂移来的电子若没有碰撞，则有若没有碰撞，则有,)f rvdt kkdt tdt（kfrfkft coll玻尔兹曼方程玻尔兹曼方程( , , )(,)()collff r

9、 k tf rdt kkdt tdtdtt右边第一项展开，保留到右边第一项展开，保留到dt的线性项，有的线性项，有( , , )( , , )()collfffff r k tf r k trk dtdttrtk ()collffffrktrtk 对于稳态对于稳态0ftkfrfkft collBoltzmann方程方程决定于体系的能带结构决定于体系的能带结构与外场有关与外场有关因此，因此，Boltzmann方程将能带结构、外场作用以及碰撞方程将能带结构、外场作用以及碰撞作用通过引入分布函数而相联系，成为研究固体电子输作用通过引入分布函数而相联系，成为研究固体电子输运性质的理论基础运性质的理论基

10、础半经典模型半经典模型1/( )( )nkndr dtkk/( , )( )( , )ndk dte E r tkB r t 8.3 外场和碰撞作用外场和碰撞作用(1)温度场温度场温度梯度的存在引起不均匀的分布函数温度梯度的存在引起不均匀的分布函数通常假定非平衡的稳态分布通常假定非平衡的稳态分布相对于平衡分布偏离甚少相对于平衡分布偏离甚少01fff01fffrrr0fr00ffTuTu(2)电场电场eEk 01.fffkkkkk0.fkk0.efkE 忽略掉温度梯忽略掉温度梯度对度对f1的影响的影响()/01/1Buk Tfekfrfkft coll(1)温度场温度场01fff00fffTur

11、Tu(2)电场电场0.effkkEk (3)磁场磁场eBk 01.fffkkkkk1.fkk1).(fekkB 000fffkkk0.().0fkkkBk(3)磁场磁场1.).(ffekkkBk kfrfkft coll玻尔兹曼方程最复杂的是碰撞项的处理，为了方便，可以做一些简化。玻尔兹曼方程最复杂的是碰撞项的处理，为了方便，可以做一些简化。假设假设没有外场没有外场，也，也没有温度梯度没有温度梯度，那么如果电子的分布函数，那么如果电子的分布函数偏离了平衡值，系统必须以碰撞机制来恢复平衡态的分布。偏离了平衡值，系统必须以碰撞机制来恢复平衡态的分布。0ffft (4)碰撞碰撞负号源于偏离随时负号源

12、于偏离随时间的增加而减小。间的增加而减小。方程的解：方程的解：/011(0)tffff te该方程说明：由于碰撞作该方程说明：由于碰撞作用，系统将以时间常数用，系统将以时间常数 弛豫回到平衡分布。弛豫回到平衡分布。一般可以用弛豫时间一般可以用弛豫时间 来描述这个恢复过程：来描述这个恢复过程：温度场、电场、磁场及碰撞作温度场、电场、磁场及碰撞作用同时存在下的用同时存在下的Boltzmann方程方程0011()efffferkrkkEB 温度场温度场电场电场磁场磁场碰撞碰撞kfrfkft coll01()collfffft (4)碰撞碰撞(1)温度场温度场00fffTurTu(2)电场电场0.ef

13、fkkEk (3)磁场磁场1.).(ffekkkBk 得得到到代入代入8.4 固体固体电阻率电阻率314kJefdk 在没有温度场、磁场的情况下，仅有电场时的在没有温度场、磁场的情况下，仅有电场时的Boltzmann方程为方程为01effkE 00feffEk泰勒定理泰勒定理：0)(0)(0).xdff xffdx（00)()()eef kfkEfkE（因此，该式相当于上述泰因此，该式相当于上述泰勒展开式的一级近似勒展开式的一级近似借助分布函数电借助分布函数电流密度可表示为流密度可表示为由于平衡分布对由于平衡分布对电流没有贡献电流没有贡献1314kJef dk 相相当当于于同时注意到同时注意到

14、00.feffEk0011()efffferkrkkEB 8.4.1 直流直流电导率电导率说明：在电场作用下，分布函数相当于平衡说明：在电场作用下，分布函数相当于平衡分布函数沿着外场相反的方向刚性移动了分布函数沿着外场相反的方向刚性移动了eEeE或者说，在或者说，在k空间中，外加电场引起费米空间中，外加电场引起费米球刚性平移了球刚性平移了注意到注意到00kkff00keffEf00()fffv E e0)()ef kfkE（eE0( )fv k1/( )kvk mk知道了分布函数就可以很方便的知道了分布函数就可以很方便的求出电流密度，只需对分布函数求出电流密度，只需对分布函数在相空间求积分：在

15、相空间求积分：1314Jevf dk 03()4fevev E dk 00()fffv E e010()ffffv E e代入代入两个等能面之间的距离为dk面元为ds体积元为dkdsdk由于：kddk kdsddk203()4kfedsdJv v E 01()exp()/ 1kkFBfEEEk T而：考虑考虑K空间的两个等能面空间的两个等能面由于由于 只在费米只在费米面附近才不为零，即面附近才不为零，即0/f0()Ff 所以积分只需考虑所以积分只需考虑在费米面附近进行在费米面附近进行23()4FFSkdSeJv v E 考虑一个立方体晶体，考虑一个立方体晶体，外场方向沿着外场方向沿着Ox方向，

16、方向，电流沿着电流沿着Ox2234FFxSxxxkdSeJvEE所以立方体晶体的电导率所以立方体晶体的电导率2234FFSxkdSev203()4kfedSdJv v E 利用对称性利用对称性2213xvv1/( )kvk mk以及关系以及关系23112FFSevdS利用利用2 1/3(3)Fkn22/34 (3)FSn/*vk m2234FFSxkdSev2()*FneEm得到得到得到得到和在自由电子气模型中得到的和在自由电子气模型中得到的结果形式上相同，不同之处有结果形式上相同，不同之处有两点，一是电子的质量为有效两点，一是电子的质量为有效质量，二是驰豫时间为费米面质量，二是驰豫时间为费米

17、面上电子的驰豫时间。上电子的驰豫时间。在多种散射机制存在下，总的散射几率是：在多种散射机制存在下，总的散射几率是：iiPP总散射驰豫时间总散射驰豫时间1111/kiiP电阻率源于传导电子的散射，固体因缺陷、杂质、晶格振动、电阻率源于传导电子的散射，固体因缺陷、杂质、晶格振动、库仑作用等，往往存在着多种散射机制库仑作用等，往往存在着多种散射机制Pi代表第代表第i 种机制种机制的散射几率的散射几率2nem由于22111kiimmnene故有意味着总电阻率是不同散意味着总电阻率是不同散射机制引起的电阻率之和射机制引起的电阻率之和马西森马西森(Matthiessen)定则定则0pheemag剩余电阻率

18、剩余电阻率声子散射有声子散射有关的电阻率关的电阻率电子电子相互作电子电子相互作用有关的电阻率用有关的电阻率磁散射有关磁散射有关的电阻率的电阻率导体导体杂质、缺陷等散射杂质、缺陷等散射电子声子相互作用电子声子相互作用电子电子相互作用电子电子相互作用磁散射磁散射导体电阻率至少包含四个部分导体电阻率至少包含四个部分8.4.2 导体电阻导体电阻率率常见的散射机制常见的散射机制导体中或多或少存在缺陷或结构不完整或含有杂质离子，这些缺导体中或多或少存在缺陷或结构不完整或含有杂质离子，这些缺陷、结构不完整性和杂质将对传导电子产生散射，引起电阻。陷、结构不完整性和杂质将对传导电子产生散射，引起电阻。0与此相对

19、应的电阻率称为剩余电阻率，记为与此相对应的电阻率称为剩余电阻率，记为 0 0起因起因剩余电阻率与样品质量有关，是一个剩余电阻率与样品质量有关，是一个与温度无关的常数与温度无关的常数。通过低温下电阻率随温度关系的通过低温下电阻率随温度关系的测量并外推到绝对零度，即可得测量并外推到绝对零度，即可得到剩余电阻率。到剩余电阻率。很明显，样品质量越好，也就很明显，样品质量越好，也就是说，尽可能少的是说，尽可能少的缺陷、结构缺陷、结构尽可能完整、没有杂质的存在，尽可能完整、没有杂质的存在， 0则越小。如果是理想导体，则越小。如果是理想导体，则剩余电阻率趋向于零。则剩余电阻率趋向于零。1、剩余电阻率、剩余电

20、阻率0 TemperatureResistivity2、磁散射有关的电阻率、磁散射有关的电阻率mag电子不仅携带电荷电子不仅携带电荷 而且还携带自旋而且还携带自旋因此，电阻率应包含一项与自旋散射或磁散射有关的部分因此，电阻率应包含一项与自旋散射或磁散射有关的部分电子的自旋自旋散射电子的自旋自旋散射磁性离子对传导电子的散射磁性离子对传导电子的散射磁性杂质对传导电子的散射磁性杂质对传导电子的散射高温高温自旋波对传导电子的散射引起的自旋波对传导电子的散射引起的电阻率随温度按电阻率随温度按T2关系变化，即关系变化，即： 低温低温2magT 在高温（在高温（TTc）时，磁自旋无序散射引起电阻率，对）时，

21、磁自旋无序散射引起电阻率，对温度的依赖性不强。温度的依赖性不强。 磁性离子对传导电子的散射磁性离子对传导电子的散射非磁金属非磁金属电阻率电阻率费米面附近电子费米面附近电子散射的驰豫时间散射的驰豫时间散射矩阵元的绝对值。散射矩阵元的绝对值。费米面能态密度。费米面能态密度。明显地，式中的物理量均与电子自旋是无关的明显地，式中的物理量均与电子自旋是无关的2*/mne21 ()FlVg E因此，在非磁性金属中，电子的输运与电子的自旋无关因此，在非磁性金属中，电子的输运与电子的自旋无关电子的自旋自旋散射电子的自旋自旋散射铁磁金属铁磁金属Stoner 提出了能带劈裂交换模型提出了能带劈裂交换模型对于铁磁过

22、渡金属来说对于铁磁过渡金属来说, 交换作用能交换作用能与动能的平衡使系统不同自旋的子带与动能的平衡使系统不同自旋的子带发生交换劈裂发生交换劈裂, 自旋向上的子带与自自旋向上的子带与自旋向下的子带发生相对位移旋向下的子带发生相对位移, 引起自引起自发磁化发磁化, 这样一来系统的动能虽然增这样一来系统的动能虽然增加了加了, 但由于其但由于其3d 电子在费密面附电子在费密面附近具有非常大的态密度近具有非常大的态密度, 动能的增加动能的增加不大不大,而交换作用能却大大减小而交换作用能却大大减小, 因而因而系统的总能量有所下降。交换劈裂使系统的总能量有所下降。交换劈裂使自旋向上的子带自旋向上的子带(多数

23、自旋多数自旋) 全部或绝全部或绝大部分被电子占据大部分被电子占据, 而自旋向下的子而自旋向下的子带带(少数自旋少数自旋) 仅部分被电子占据。二仅部分被电子占据。二者的差异造成了铁磁过渡金属元素原者的差异造成了铁磁过渡金属元素原子磁矩的非整数性子磁矩的非整数性.两子带的占据电两子带的占据电子总数之差正比于它的磁矩。子总数之差正比于它的磁矩。通常定义自旋极化度为通常定义自旋极化度为N和和N分别表示自旋向上和向下分别表示自旋向上和向下的电子数，的电子数， D和和D分别表示自分别表示自旋向上和向下子带的态密度旋向上和向下子带的态密度 材料材料 Ni Co Fe Ni80Fe20 Co50Fe50 Co

24、84Fe16 自旋极化度自旋极化度() 33 45 44 48 51 49例如例如DDPDD或或NNPNN*2/mn e, 21()FlVgE由于能带中的电子浓度、有效质量、散射的驰豫时间、电由于能带中的电子浓度、有效质量、散射的驰豫时间、电子运动的平均自由程以及费米面附近的电子态密度均与电子运动的平均自由程以及费米面附近的电子态密度均与电子自旋的取向有关，因此，在过渡族金属及其合金中的电子自旋的取向有关，因此，在过渡族金属及其合金中的电阻率应与电子自旋的取向有关。阻率应与电子自旋的取向有关。 高阻态：自旋取向无序；低阻态：自旋铁磁性取向高阻态：自旋取向无序；低阻态：自旋铁磁性取向 磁场可部分

25、引起自旋铁磁性取向，导致电阻率变小，磁场可部分引起自旋铁磁性取向，导致电阻率变小，从而铁磁金属及其合金可表现出负磁电阻效应从而铁磁金属及其合金可表现出负磁电阻效应金属中掺有少量磁性杂质，实验发现，电阻率随金属中掺有少量磁性杂质，实验发现，电阻率随温度降低而变小，在某一温度附近达到最小，然温度降低而变小，在某一温度附近达到最小，然后随温度进一步降低而增加后随温度进一步降低而增加实验现象实验现象这些反常现象实验上早已观察，多这些反常现象实验上早已观察，多年来一直是金属研究中的一个疑难年来一直是金属研究中的一个疑难问 题 ， 直 到问 题 ， 直 到 1 9 6 41 9 6 4 年 ， 近 藤 （

26、年 ， 近 藤 （ J . Kondo）提出理论对电阻极小现象提出理论对电阻极小现象以解释。以解释。磁性杂质对传导电子的散射磁性杂质对传导电子的散射实验现象实验现象金属中掺入少量磁性杂质引起低温下出金属中掺入少量磁性杂质引起低温下出现电阻极小的现象，以及与此相关的一现电阻极小的现象，以及与此相关的一系列低温反常现象，称为近藤效应。系列低温反常现象，称为近藤效应。近近藤藤效效应应而声子散射有关的电阻率随而声子散射有关的电阻率随T降低而减少降低而减少1 4() ()magimFBnJgln k T D传导电子本身携带自旋传导电子本身携带自旋磁性杂质具有局域磁矩磁性杂质具有局域磁矩杂质磁矩与传导电子

27、自旋之间存在相互作用杂质磁矩与传导电子自旋之间存在相互作用这一作用引起对传导电子额外的散射，导致这一作用引起对传导电子额外的散射，导致额外的电阻率：额外的电阻率：近近藤藤理理论论ni杂质浓度，杂质浓度，J交换积分，交换积分，D导带半宽度导带半宽度m0lnagJT当时，随温度降低按-规律增加两者的竞争必然在某一温度达到极小两者的竞争必然在某一温度达到极小实验现象实验现象1） 电子电子-电子相互吸引作用的简单模型电子相互吸引作用的简单模型1950年弗烈里希年弗烈里希(Frolich)指出：电子指出：电子-声子相互作用能把两个电声子相互作用能把两个电子耦合在一起，这种耦合就好像两个电子之间有相互作用

28、一样子耦合在一起，这种耦合就好像两个电子之间有相互作用一样为了明确其物理图像，弗烈里希给出如下一个物理模型为了明确其物理图像，弗烈里希给出如下一个物理模型整齐排列的理想点阵中的两个电子整齐排列的理想点阵中的两个电子当第一个电子通过晶格时，电子与当第一个电子通过晶格时，电子与离子点阵的库仑作用使晶格畸变离子点阵的库仑作用使晶格畸变当第二个电子通过畸变的晶格时，受到当第二个电子通过畸变的晶格时，受到畸变场作用，畸变场吸引这第二个电子畸变场作用，畸变场吸引这第二个电子如果我们忘记第一个电子对晶格造成畸变如果我们忘记第一个电子对晶格造成畸变的过程，而只看最后结果，将是第一个电的过程，而只看最后结果，将

29、是第一个电子吸引第二个电子子吸引第二个电子3 3、声子散射有关的电阻率、声子散射有关的电阻率( )()nLnV rV rRR当温度不为零时，离子实会在平衡位置附近发生当温度不为零时，离子实会在平衡位置附近发生小的振动，使得电子势变成小的振动，使得电子势变成 ()()nLnnLnHV rRRV rRRu( )()nLLnnVrV rRRRu晶体中共有化运动的电子是在和晶体中共有化运动的电子是在和晶格具有相同周期的势场中运动：晶格具有相同周期的势场中运动：对理想完整的晶体，绝对零度时离对理想完整的晶体，绝对零度时离子实处在严格周期排列的位置子实处在严格周期排列的位置1 12233nRn an an

30、 a在这样的周期场中运动的电子，其状态是由确定能量和确定在这样的周期场中运动的电子，其状态是由确定能量和确定波矢的波矢的Bloch波所描述的稳定态，这种稳定态不会发生变化。波所描述的稳定态，这种稳定态不会发生变化。明显地，周期势场因晶格振动而明显地，周期势场因晶格振动而被破坏，附加的偏离周期性势场被破坏，附加的偏离周期性势场离子实对平衡离子实对平衡位置的偏离位置的偏离 2） 电电-声子相互作用的理论描述声子相互作用的理论描述()()nLnnLnHV rRRV rRRu可看作为微扰，它使得电子从一个稳可看作为微扰，它使得电子从一个稳定态跃迁到另一稳定态，即出现散射定态跃迁到另一稳定态，即出现散射

31、 假设偏离很小，则有假设偏离很小，则有 ()()nnLnRV rR Ru为简单起见，只考虑简单格子，此时仅有声学支为简单起见，只考虑简单格子，此时仅有声学支 将波矢将波矢q、频率、频率 的简正模引起的原子位移写成实数形式的简正模引起的原子位移写成实数形式 ()cos()nnRAeq Rtue为振动方向上的单位矢量为振动方向上的单位矢量 ()1122nnq Rtq RtAeeAee1()2nnq RLnRsAeeV rR 令则有i ti tHesesi ti tHeses这是量子力学中典型的含时周期性微扰问题这是量子力学中典型的含时周期性微扰问题在这样的微扰下，在这样的微扰下，电子从电子从k态跃

32、迁到态跃迁到k态的几率为态的几率为2, 22()()k kkkkkkkkkwss 函数保证了跃迁过程中能量是守恒的，即函数保证了跃迁过程中能量是守恒的，即kkkk离子实偏离平衡位置的运动组成晶体离子实偏离平衡位置的运动组成晶体中的格波，格波的能量是量子化的。中的格波，格波的能量是量子化的。格波的量子称为声子格波的量子称为声子 因此晶格振动对电子的散射实因此晶格振动对电子的散射实际上就是声子对电子的散射。际上就是声子对电子的散射。晶格运动对电子的散射过程相当于电子晶格运动对电子的散射过程相当于电子通过吸收（通过吸收（+）或发射声子（）或发射声子（-），从一个），从一个稳定态跃迁到另一稳定态的过程

33、。稳定态跃迁到另一稳定态的过程。量子力学语言量子力学语言kkkk吸收声子吸收声子 kk发射声子发射声子 kk散射矩阵元散射矩阵元 kks1()2nnq RLnRsAeeV rR 其中1()2nnq RkkkLnkRsAeeV rR ()( )nik RknkrRer ()1( )2nni k kqRkkkLkRsAeeV r 由于晶格平移对称性，求和部分仅仅由于晶格平移对称性，求和部分仅仅当波矢之和为倒格矢方不为零，由此当波矢之和为倒格矢方不为零，由此给出晶格动量守恒关系，即给出晶格动量守恒关系，即hkkqK能量守恒关系能量守恒关系 kk动量守恒关系动量守恒关系hkkqK正常过程或正常过程或N

34、过程过程0hK 此时此时 kkkkq说明电子在初态说明电子在初态k吸收（吸收（+）或发射（）或发射（-）一个波矢为）一个波矢为q的声子跃迁到末态的声子跃迁到末态k的过程能量和动量均是守恒的。的过程能量和动量均是守恒的。kkq吸收声子吸收声子发射声子发射声子kqk倒逆过程或倒逆过程或U过程过程0hK 此时此时 kkhkkqK说明电子在初态说明电子在初态k吸收（吸收（+）或发射（）或发射（-）一个波矢为）一个波矢为q的声子的声子跃迁到末态跃迁到末态k的过程能量是守恒的，但动量并不守恒。的过程能量是守恒的，但动量并不守恒。7.4.3 驰豫时间驰豫时间1()collfft 碰撞项碰撞项该方程说明：由于

35、碰撞作该方程说明：由于碰撞作用，系统将以时间常数用，系统将以时间常数 弛豫回到平衡分布。弛豫回到平衡分布。另外一方面，碰撞另外一方面，碰撞项也可以表示为：项也可以表示为：()collfbat代表单位时间内因碰撞进入（代表单位时间内因碰撞进入（r，k）处相空间单位体积中的电子数处相空间单位体积中的电子数代表单位时间内因碰撞离开（代表单位时间内因碰撞离开（r，k）处相空间单位体积中的电子数处相空间单位体积中的电子数若电子从若电子从k态跃迁到态跃迁到k态的几率为态的几率为wk,k，计及泡利不相容，计及泡利不相容原理，则有原理，则有, ( )1( )k kkbwf kf k,( )1( )k kkaw

36、f kf k同同理有理有因此因此, ,()( )1( )( )1( )collk kk kkfwf kf kwf kf kt, ,k kk kww可以论证可以论证则有则有, () ( )( )collk kkfwf kf kt, 11( )( )k kkwf kf k, 11()( )( )collk kkfwf kf kt1()collfft 01()ffv E e在外加电场下在外加电场下对球形费米面对球形费米面kkvm如取电场方向为如取电场方向为k方向，则有方向，则有1, 1( )11( )k kkf kwf k, 11 cos k kkw 为为k和和k之间的夹角之间的夹角写成积分形式写成

37、积分形式, 3111 cos (2 )k kwdk3） 声子散射有关的声子散射有关的电阻率电阻率2()*FneEm, 3111 cos (2 )k kwdk21*()FmneE故电阻率不仅与跃迁几率有关，故电阻率不仅与跃迁几率有关，还涉及（还涉及（1-cos ）的权重因子）的权重因子很明显小角度的散射对产生电阻几乎没有贡献，起重要作用很明显小角度的散射对产生电阻几乎没有贡献，起重要作用的则是大角度散射，它使电子沿电场方向的速度有大的改变。的则是大角度散射，它使电子沿电场方向的速度有大的改变。由前面得分析看到，电子和格波的一个简正模（即一个声子）由前面得分析看到，电子和格波的一个简正模（即一个声

38、子）相互作用导致电子从相互作用导致电子从k态到态到k态的跃迁，其跃迁几率正比于该态的跃迁，其跃迁几率正比于该格波振幅的平方格波振幅的平方()cos()nnRAeq Rtu对对 所描述的格波模所描述的格波模晶格中每个原子的振动动能晶格中每个原子的振动动能222211sin ()22nduMMAq Rtdt222211sin ()22nduMMAq Rtdt对时间平均后得到对时间平均后得到2221124tduMMAdtN个原子总的振动动能为个原子总的振动动能为2214NMA可见，振幅的平方与相应格波模的能量相联系，可见，振幅的平方与相应格波模的能量相联系，用声子语言，则是比例于相应的声子数用声子语

39、言，则是比例于相应的声子数频率为频率为 的格波的声子数的格波的声子数/1( )1kTne按德拜模型，总的声子数为按德拜模型，总的声子数为0( ) ( )DNngd/20231312DkTVdeC高温高温/0kTNT低温低温/ kT 3NT同时，高温下涉及的声子波矢较大，同时，高温下涉及的声子波矢较大，(1-cos )与与温度几乎无关，因此，电阻率正比于温度，即温度几乎无关，因此，电阻率正比于温度，即T3, k kwT另外一方面，低温下涉及的声子波另外一方面，低温下涉及的声子波矢小，需要考虑矢小，需要考虑(1-cos )因子的影响因子的影响, k kwTsin/22Fqkqkk2211 cos2

40、sin/2()2Fqk/Bqk Tc21 cosT 5T布洛赫布洛赫-格林艾森格林艾森T5定律定律55/60( )(1)(1)DTphxxDATx dxTMee2( )4phDATTM0.1DT 更一般情况下电子受声子的散射引起的电阻率为：更一般情况下电子受声子的散射引起的电阻率为：A为材料有关的常数，为材料有关的常数，M原原子质量，子质量， D为德拜温度为德拜温度高温高温低温低温DT5 . 056( )124.4phDATTM意味着高温时，因电意味着高温时，因电声子相互作用引起声子相互作用引起的电阻率随温度降低的电阻率随温度降低而线性减小而线性减小意味着低温时，因电意味着低温时，因电声子相互

41、作用引起声子相互作用引起的电阻率按的电阻率按T5关系随关系随温度降低而减少温度降低而减少称为布洛赫称为布洛赫-格林艾森公式格林艾森公式4、 电子电子相互作用有关的电阻率电子电子相互作用有关的电阻率ee金属中的传导电子虽拥在一起，彼此仅相距金属中的传导电子虽拥在一起，彼此仅相距0.2nm，但在两次相互碰撞之间却运动了相当长的距离。但在两次相互碰撞之间却运动了相当长的距离。电子电子碰撞电子电子碰撞的平均自由程室的平均自由程室温下温下103 nm，1K下下10 cm这是金属的一个令人惊这是金属的一个令人惊异的性质！异的性质！为什么？为什么？注意到：正是因为如此长的平均自注意到：正是因为如此长的平均自

42、由程，才使得自由电子模型在很多由程，才使得自由电子模型在很多方面给金属性质以令人满意的描述方面给金属性质以令人满意的描述两个原因两个原因泡利不相容原理降低了电子的碰撞几率泡利不相容原理降低了电子的碰撞几率两电子之间库仑相互作用的屏蔽两电子之间库仑相互作用的屏蔽以二体碰撞为例以二体碰撞为例来说明不相容原来说明不相容原理是如何降低电理是如何降低电子的碰撞几率的子的碰撞几率的1k2k4k3k波矢为波矢为k1的电子与波矢为的电子与波矢为k2的电子碰撞的电子碰撞根据泡利不相容原理，只允许这根据泡利不相容原理，只允许这样的碰撞发生，即其终态样的碰撞发生，即其终态k3和和k4在在碰撞以前是未被电子占据的态。

43、碰撞以前是未被电子占据的态。碰撞后波矢分别变成碰撞后波矢分别变成k3和和k4考虑二体碰撞发生在激考虑二体碰撞发生在激发轨道发轨道1中的一个电子中的一个电子与费米海里填满的轨道与费米海里填满的轨道2中的一个电子之间中的一个电子之间xkyk1243为方便起见，将费米为方便起见，将费米能级取为能量零点能级取为能量零点0这样，电子这样，电子1 1的能量的能量E E1 1为正，为正，电子电子2 2的能量的能量E E2 2为负。为负。根据不相容原理，碰撞后电子根据不相容原理，碰撞后电子的轨道的轨道3 3和和4 4必定在费米球外，必定在费米球外，相应的能量相应的能量E E3 3和和E E4 4均为正值。均为

44、正值。xkyk12431E能量守恒能量守恒21EE要求120EE否则340EE而1234EEEE意味着意味着只有当轨道只有当轨道2处在费米面以下厚处在费米面以下厚度为度为E1的能壳中时碰撞过程才可能发生的能壳中时碰撞过程才可能发生因此，处在充满轨道中的电子，仅仅部分电子才可能成为电因此，处在充满轨道中的电子，仅仅部分电子才可能成为电子子1的碰撞靶体，这部分作为靶体的电子占总数的比例约为的碰撞靶体，这部分作为靶体的电子占总数的比例约为1FEE动量守恒动量守恒即使处在上述能壳中的电子可作为电子即使处在上述能壳中的电子可作为电子1的碰撞靶体，但碰撞的碰撞靶体，但碰撞过程还要求满足动量守恒，因此，处在

45、上述能壳中的电子也只过程还要求满足动量守恒，因此，处在上述能壳中的电子也只有部分参与了和电子有部分参与了和电子1的碰撞，这部分电子所占的比例近似为的碰撞，这部分电子所占的比例近似为1FEE11FFEEEE2()BFk TE因此，泡利不相容原因此，泡利不相容原理使得电子电子碰理使得电子电子碰撞几率相对于经典值撞几率相对于经典值降低了一个因子降低了一个因子用热能用热能kBT代替代替E1，则降低因子可近似为则降低因子可近似为能量能量守恒守恒动量动量守恒守恒在卢瑟福碰撞截面计算中，电子被看成是在卢瑟福碰撞截面计算中，电子被看成是一个未屏蔽的点电荷，相应的库仑势为：一个未屏蔽的点电荷，相应的库仑势为：2

46、eebT00( )4k reer r然而，电子的运动是关联的，关联的后果是使得然而，电子的运动是关联的，关联的后果是使得点电荷产生的库仑势受到屏蔽，成为屏蔽库仑势点电荷产生的库仑势受到屏蔽，成为屏蔽库仑势 0( )4er r两电子之间库仑相互作用的屏蔽两电子之间库仑相互作用的屏蔽10k称为屏蔽长度20()BFk TQQE泡利因子的出现强调了电子电子泡利因子的出现强调了电子电子相互作用的重要性，而屏蔽效应引相互作用的重要性，而屏蔽效应引起碰撞截面的减小因而降低了电子起碰撞截面的减小因而降低了电子电子相互作用的重要性电子相互作用的重要性因此，考虑电子电因此，考虑电子电子相互作用后，有效子相互作用后

47、，有效碰撞截面近似为碰撞截面近似为泡利因子泡利因子屏蔽库仑相互作屏蔽库仑相互作用下的碰撞截面用下的碰撞截面屏蔽效应在电子电子碰撞过程中所起的作用是降低碰撞截面屏蔽效应在电子电子碰撞过程中所起的作用是降低碰撞截面 Q0，使之小于未屏蔽库仑势的卢瑟福碰撞方程所估计的碰撞截面使之小于未屏蔽库仑势的卢瑟福碰撞方程所估计的碰撞截面由于电子电子相互作由于电子电子相互作用，使得有效碰撞截面用，使得有效碰撞截面正比于温度的平方，因正比于温度的平方，因此，电子电子相互作此，电子电子相互作用有关的电阻率为用有关的电阻率为1、基本概念、基本概念极化场：极化场：离子晶体中的导电电子在移动时将使周围晶格极化，离子晶体中

48、的导电电子在移动时将使周围晶格极化，正离子被吸向电子，负离子被电子排斥。这种正、负离子的正离子被吸向电子，负离子被电子排斥。这种正、负离子的相对位移，形成一个围绕电子的极化场。相对位移，形成一个围绕电子的极化场。 极化子：极化子：离子晶体中，导电电子与它周围的极化场所构成离子晶体中，导电电子与它周围的极化场所构成的一个互相作用的整体，称为极化子。的一个互相作用的整体，称为极化子。从场论角度看，极化子是慢运动电子与光学模纵声子从场论角度看，极化子是慢运动电子与光学模纵声子（LO声子）相互作用系统的准粒子。声子）相互作用系统的准粒子。大极化子与小极化子：大极化子与小极化子：极化子的尺寸由电子（或空

49、穴）周围极化子的尺寸由电子（或空穴）周围晶格畸变区域的大小决定。当这个区域比晶格常数大得多时晶格畸变区域的大小决定。当这个区域比晶格常数大得多时称为称为大极化子大极化子。当电子周围的晶格畸变区小于或等于晶格常。当电子周围的晶格畸变区小于或等于晶格常数量级时称为数量级时称为小极化子小极化子。 8.4.3 极化子极化子(polarons) 有关的电阻率有关的电阻率极化子的尺寸：极化子的尺寸：极化场中的晶格畸变可以解释为电子在其周极化场中的晶格畸变可以解释为电子在其周围激发围激发LO虚声子。因此，虚声子。因此，极化子的尺寸极化子的尺寸可以由电子发射或吸可以由电子发射或吸收收LO虚声子后的位置不确定度

50、估计。虚声子后的位置不确定度估计。121()2Lrkm 式中式中k, m, L依次是电子发射或吸收依次是电子发射或吸收LO虚声子后虚声子后的波数不确定度、电子的有效质量、声子的圆频率。的波数不确定度、电子的有效质量、声子的圆频率。对极性离子晶体半导体，如对极性离子晶体半导体，如VI和和V族化合物族化合物，能带电，能带电子的有效质量比自由电子质量小一百倍，极化子的尺寸约为子的有效质量比自由电子质量小一百倍，极化子的尺寸约为100，远大于晶格常数，这些材料中的载流子是，远大于晶格常数，这些材料中的载流子是大极化子大极化子。对于多数离子晶体，如对于多数离子晶体，如碱金属的卤化物碱金属的卤化物，其能带

51、电子的，其能带电子的有效质量可近似取自由电子质量，这样算出的极化子尺有效质量可近似取自由电子质量，这样算出的极化子尺寸略大于晶格常数，载流子近似为小极化子。寸略大于晶格常数，载流子近似为小极化子。 以离子晶体为例说明一个极化子的形成过程以离子晶体为例说明一个极化子的形成过程对于窄带半导体，如对于窄带半导体，如NiO，能带电子的有效质量较，能带电子的有效质量较大，大，r小于或等于晶格常数，属于小极化子情形。小于或等于晶格常数，属于小极化子情形。 一般来说，小极化子出现在具有窄带和强耦合的系一般来说，小极化子出现在具有窄带和强耦合的系统中。统中。 2、极化子形成过程、极化子形成过程KCl形成弹性点

52、阵形成弹性点阵 由于由于K离子带正电，如果传离子带正电，如果传导电子出现在导电子出现在K离子附近离子附近意味着，在弹性点阵情况下，意味着，在弹性点阵情况下， K K或或ClCl离子会因为同传导电子离子会因为同传导电子之间的库仑力作用而发生位之间的库仑力作用而发生位移，即所谓的晶格应变移，即所谓的晶格应变同样由于同样由于Cl离子带负电，当离子带负电，当传导电子经过时，传导电传导电子经过时，传导电子和子和Cl离子之间的库仑排斥离子之间的库仑排斥力作用使得力作用使得Cl离子远离传导离子远离传导电子电子弹性点阵弹性点阵则传导电子和则传导电子和K离子之间离子之间的库仑吸引力作用，使得的库仑吸引力作用，使

53、得K离子向传导电子靠近离子向传导电子靠近电子加上与之联系的应电子加上与之联系的应变场称为一个极化子变场称为一个极化子离子的位移增大了电子的有效惯性，因此也就增离子的位移增大了电子的有效惯性，因此也就增大了它的有效质量，从而使得传导电子的运动速大了它的有效质量，从而使得传导电子的运动速度变缓度变缓。在极端情况下，传导电子自陷于应变场中，或者在极端情况下，传导电子自陷于应变场中，或者说传导电子被因晶格畸变而产生的应变场所捕获，说传导电子被因晶格畸变而产生的应变场所捕获，成为束缚态电子成为束缚态电子。现在所关心的是，电子如何从一个束缚态过渡到现在所关心的是，电子如何从一个束缚态过渡到另一个束缚态另一

54、个束缚态极化子有关的电阻率极化子有关的电阻率高温下，传导电子借助于热激活机理可高温下，传导电子借助于热激活机理可以从一个束缚态过渡到另一个束缚态以从一个束缚态过渡到另一个束缚态 高温高温x( )V x0E无外场时无外场时势能曲线势能曲线传导电子越过势垒向左和传导电子越过势垒向左和向右的几率势一样的向右的几率势一样的00exp()BEPk T012EaF0012expBEaFPvk T右x)(xV传导电子右端势垒高度传导电子右端势垒高度由原来的由原来的E0下降至下降至012EaF而传导左端而传导左端势垒高度增至势垒高度增至0012expBEaFPvk T左外场的作用使势垒不再对称外场的作用使势垒

55、不再对称因此，传导越过因此，传导越过势垒向右的净几率为势垒向右的净几率为002sinh()2BEk TBFaPPPv ek T右左1/ P而电阻率而电阻率0/sinh()2BEk TBFaek T0/BEk TTe211/sinhxxxeex利用在弱场或高温下在弱场或高温下低温低温低温下传导电子借助隧穿机理而缓慢地通过晶体低温下传导电子借助隧穿机理而缓慢地通过晶体 三十年多前，基于极化子隧穿机理提出极化子输运理论三十年多前，基于极化子隧穿机理提出极化子输运理论按照该理论，低温（按照该理论，低温（kT2tp）下电阻率）下电阻率I. G. Lang and Yu. A Firsov, Sov. P

56、hys. JEPT 16, 1301(1963)2221pne a t其中其中tP是极化子跳跃积是极化子跳跃积分，分，a为晶格常数，为晶格常数， 为为驰豫率驰豫率21/sinh (/2)AkT 光学声子模的平均频光学声子模的平均频率，率，A 为常数，取决于为常数，取决于裸带宽和电声子耦合裸带宽和电声子耦合强度强度 低温下只有低频模式才对低温下只有低频模式才对电阻率有贡献，而高频模电阻率有贡献，而高频模式可忽略不考虑，因此，式可忽略不考虑，因此， 20( )/sinh (/2)ssTCkT其中其中 s为软光学模式的平均频率，为软光学模式的平均频率，C为正比于极化子有效质量的常数为正比于极化子有效

57、质量的常数 8.5 磁场中电子的运动磁场中电子的运动磁场中电子运动的基本方程磁场中电子运动的基本方程1( )( )( )kv kE kdkev kBdt 1、 自由电子的准经典运动自由电子的准经典运动 自由电子的能量自由电子的能量mkkE2)(22), 0, 0(BB ( )()kv kmdkekBdtm ,0yxzyxdkdkdkeBeBkkdtmdtmdt 222222()()xxyyd keBkdtmd keBkdtm 222222()0()0 xxyyd keBkdtmd keBkdtm0eBm回转频率回转频率,0yxzyxdkdkdkeBeBkkdtmdtmdt 可见可见 k空间电子

58、在空间电子在 面上做圆周运动面上做圆周运动(,)xykk实空间电子的运动实空间电子的运动( )dv kdkdtm dt( )1( )dv kev kBdtm( )kv km0 xyyxzdveBvdtmdveBvdtmdvdt ()dkekBdtm 对时间求导对时间求导2222yxyxdvd veBdtm dtd vdveBdtm dt 222222()0()0d xeBxdtmd yeBydtm可见在可见在(x, y)平面做匀速圆周运动平面做匀速圆周运动0eBm回转频率回转频率2222yxyxdvd veBdtm dtd vdveBdtm dt 2、自由电子情况的量子理论、自由电子情况的量子

59、理论 无磁场时自由电子哈密顿算符无磁场时自由电子哈密顿算符22222pHmm 2222()( )22(, , )xyziiikkkE kmkn ix y z nL为整数为整数N个电子基态个电子基态从 能 量 最 低从 能 量 最 低k=0态开始，态开始，按能量由低到按能量由低到高依次填充，高依次填充，最后得到一个最后得到一个费米球。费米球。电子的本征能量电子的本征能量磁场中电子的动磁场中电子的动量包含两部分量包含两部分21()2HpeAm2221()2xyzHpeByppmABkimPmvk运动动量运动动量势动量（场动量）势动量（场动量）fieldPeA 因此磁场中电子的哈密顿算符因此磁场中电

60、子的哈密顿算符外加磁场，假设磁场沿外加磁场，假设磁场沿z轴，轴，BBiAByi 则可取矢势则可取矢势2221()2xyzpeByppEm因此，磁场中运动的电子满足的薛定鄂方程为因此，磁场中运动的电子满足的薛定鄂方程为令令()( )xzi k x k zey2221()2xyzpeByppEm2222222() () ( )() ( )222zxkm eBykyEym ymeBm代入得到代入得到 应满足的方程应满足的方程2200,2zxkeBykEmeBm令令)()()(222020222yyyymym显然，这是简谐振子的薛定鄂方程显然，这是简谐振子的薛定鄂方程)()()(222020222yy