昆明理工大学第六届数学建模竞赛论文

1、白卡纸力学模型研究摘要 本文是为了研究白卡纸的力学模型。当时，白卡纸处于弹性形变阶段，在此阶段有: 根据附件中的数据，我们运用matbal软件编程，得到了关于白卡纸在拉伸实验中应力-应变的前13个数据随时间变化的图形，以便找到屈服点。从图中我们可以推测最初的7个数据为屈服平台的一部分数据。由于故屈服平台的数据在某个值附近波动，我们假设该部分数据呈正态分布。我们可取屈服极限为在均值。记附件数据中的第一个应变量为，假设=-是屈服极限点的应变量，则第一阶段的弹性线性曲线斜率：=为了进一步简便，我们引入符号，则K可化为：=此刻我们取=0.01，=0.4491，=0.38，=17.14。则第一阶段的弹性

2、线性曲线方程： . （0)通过此模型，模拟出了白卡纸弹性形变阶段的应变量与应力理论数值，为表格2。 当时,粘塑性元件开始产生变形,同时也产生塑性滑移，粘弹性力模型中塑性元件为线性强化,强化参数F。定义如下:在此阶段有的白卡纸弹塑粘性力学模型：白卡纸经历了线性弹性阶段后，立即进入屈服阶段。我们对该阶段数据（表三）经过MATLAB软件线性拟合得到方程为： （0.45910.4891）白卡纸经历了屈服阶段以后，会迅速进入硬化阶段。由于的实验数据关系图（图四）可知该阶段的随着成非线性变化，我们通过matlab中非线性拟合函数和最小二乘法方法对F和进行非线性拟合，得到F的参数和函数，其模型如下：=（，

3、，）F=-+-+8.1491)代人原方程，可得：关键词：弹塑粘性力学 最小二乘法 matlab线性拟合 matlab非线性拟合问题的重述白卡纸应用十分广泛, 工程中人们使用纸制模型研究工程结构的承载能力、稳定性、抗震性能等。使用纸质材料制作模型具有加工方便，价格低廉，绿色环保等优点，能满足快速建模的需要，能准确反映结构设计的合理性。因此，有必要研究其材料的力学性能。 （ 图一） 为此,下面请根据试验数据(见附件):建立线性弹性变形阶段模型,并确定;建立多阶段的应力-应变模型;符号说明为方便文章的阅读，我们对文中主要的符号进行必要的说明。文中还会出现一些符号，为更方便理解，那些符号将会随图标明，

4、并在文中注明含义。 ： 总应力 ：线性弹性阶段的恒定应力 ：线性弹性阶段的应力 ：屈服阶段的应力 ：硬化阶段的应力 ：总应变 ：线性弹性阶段的应变 ：屈服弹性阶段的应变 ：硬化阶段的应变 ：屈服极限 ：屈服阶段的的粘性系数 ：硬化阶段的的粘性系数 ：强化系数 ：线性弹性阶段的弹性模量 ：屈服阶段的弹性模量 ：附件数据中的第一个应变量 ：屈服极限点的应变量 ：应力变化量 ：屈服阶段中最后的一个应变量问题分析 纸张是一种粘弹性物质,其变形规律是复杂的,既有敏弹性现象,又滞弹性和塑性流动现象。其受力变形不仅与应力大小有关,而且与形变发展速度有关。采用某种简单的基本复合模型难以描述其流变状态，为了使其

5、接近荷载下物质性能的实际情况,通常需要若干弹性构件、粘性构件塑性构件组成较复杂的复合模型,达到近似所研究物体的变形特性。图一就是纸张的一种粘弹性力学模型，根据流变学模型理论,白卡纸是一种粘弹塑性材料。而且在此中模型下白卡纸要经过一下四个变形阶段： 纸张应力与应变示意图（图二）1、弹性阶段（Ob段）在拉伸的初始阶段，-曲线（Oa段）为一直线，说明应力与应变成正比，即满足胡克定理，此阶段称为线形阶段。线性段的最高点则称为材料的比例极限（p），线性段的直线斜率即为材料的弹性摸量E。2、屈服阶段（bc段）超过弹性阶段后，应力几乎不变，只是在某一微小范围内上下波动，而应变却急剧增长，这种现象成为屈服。使

6、材料发生屈服的应力称为屈服应力或屈服极限（s），而应力几乎不变阶段称作屈服平台。3、硬化阶段（ce段）经过屈服阶段后，应力应变曲线呈现曲线上升趋势，这说明材料的抗变形能力又增强了，这种现象称为应变硬化。在硬化阶段应力应变曲线存在一个最高点，该最高点对应的应力称为材料的强度极限（b），强度极限所对应的载荷为试件所能承受的最大载荷 Fb。4、颈缩阶段（ef段）试样拉伸达到强度极限b之前，在标距范围内的变形是均匀的。当应力增大至强度极限b之后，试样出现局部显著收缩，这一现象称为颈缩。颈缩出现后，使试件继续变形所需载荷减小，故应力应变曲线呈现下降趋势，直至最后在f点断裂。基于上述阶段的讨论，我们可以对

7、问题提出以下分析。第一个问题分析如下：通过对附件实验数据做出图（如图四），图中没有直线，说明数据缺少弹性阶段的应力和应变，我们分析得到附件实验数据并非是纸张全过程变形对应的应力量和应变量。由于附件实验数据的前七个应力变化甚微，而后变化及其迅速，我们推断这七个应变量就对应着屈服阶段的数据（如表三）。于是要建立线性弹性阶段的模型，我们只有用已知屈服阶段的数据来估计线性弹性阶段的数据，从而解决第一个问题。第二个问题的分析如下：对于第二个问题，我们根据题目给出的粘弹性力学模型，找到该模型对应的数学模型，利用数据拟合的方法估计出数学模型中的相关参数，即可建立多阶段的应力与应变模型。模型假设1.在某特定的

8、温度下，白卡纸进行的单向拉伸作用实验，即在我们的研究中假设白卡纸的形变不受温度影响。2.在弹性变形阶段的时间十分短暂，所以认为受恒定应力作用。3.假设附件数据给出的屈服平台数据就是白卡纸形变屈服平台的完整数据，没有缺失，或则两者有缺失，但缺失的数据很少，通常只相差1到5个数据。 五模型的建立与求解5.1、线性弹性变形阶段模型的建立与求解 线性弹性变形阶段模型的建立根据流变学模型理论,白卡纸是一种粘弹塑性材料。图1所示白卡纸的粘弹性力学模型,总应力,总应变。对该模型有:=+ （1）在拉伸的初始阶段，-曲线为一直线，说明应力与应变成正比，即满足胡克定理，此阶段称为线形阶段。在该线性段中，直线斜率即

9、为白卡纸的弹性模量，所以建立本构方程有：=* （2）当时,是线性弹性变形阶段。所以，在此阶段有:= * （3） 并且由上面问题分析可以知道，就等于(为屈服极限)。、线性弹性变形阶段模型的求解 根据附件中的数据，我们运用matbal软件编程，得到了关于白卡纸在拉伸实验中应力-应变的前13个数据随时间变化的图形，以便找到屈服点。如下所示。 应力、应变随时间变化图（图三） 从图中可以推测，最初的7个数据为屈服平台的一部分数据。进入屈服平台时，应力理论上是保持恒定。由于各种干扰源的存在，即使材料在屈服阶段真的力值保持绝对恒定，计算机所采集的数据也不会绝对保持恒定。故屈服平台的数据在某个值附近波动，且数

10、据呈正态分布。用spass stastics软件可求得以上七个应力的相关数据（详细见附件）：均值.041904均值的 95% 置信区间下限上限（表一）根据屈服极限的定义（屈服极限定义：超过弹性阶段后，应力几乎不变，只是在某一微小范围内上下波动，即到达了屈服阶段，由于下屈服点比较稳定，屈服极限就取下屈服点），我们可取屈服极限为在均值。记附件数据中的第一个应变量为，假设=-是屈服极限点的应变量，则第一阶段的弹性线性曲线斜率： = （4） 为了进一步简便，我们引入符号，则K可化为： = (5)其中=0.4591，当（是一个很小的自然数）变为0使得减小，相应地在分子加上，保持值不变。此刻我们取=0.0

11、1，=0.4491，=0.38，=17.14。则第一阶段的弹性线性曲线方程： . （0) （6）线性弹性模型求解结果：应变值 应力应变值 应力应变值 应力004008005009002006000.3000300700100400800200500900300600400700100500800200600900300700（表二）5.2、白卡纸后阶段应力-应变模型的建立 当时,粘塑性元件开始产生变形,同时也产生塑性滑移，粘弹性力模型中塑性元件为线性强化,强化参数F。定义如下:在此阶段有: （7） 、白卡纸屈服阶段的应力-应变模型的求解 白卡纸经历了线性弹性阶段后，立即进入屈服阶段。在此阶段粘

12、弹性模型的的关系式子为（7）中第二个方程，其中= 0.4491.屈服阶段应力的数值屈服阶段应变的数值（表三）=11.4714. 白卡纸屈服阶段的应力-应变模型为： （0.45910.4891） （8）、白卡纸硬化阶段的应力-应变模型的求解 白卡纸经历了屈服阶段以后，会迅速进入硬化阶段。在这个阶段粘弹性模型的的关系式子为（7）中第三个方程，其中=-0.449-0.4891.此阶段的强化参数，由于的实验数据关系图（图四）可知该阶段的随着成非线性变化，可推断F是关于的函数，否则不会随着成非线性变化。我们通过matlab中非线性拟合函数和最小二乘法方法对F和进行非线性拟合，得到F的参数X0和函数，其模型如下：X0=（， ，）F=-035+-+ h=0:0.05:7; h=0:0.01:0.46; g=17.14*h; h=h; g=g; r=h g p=data(1:100,1); l=data(1:100,2); axis(0,1,0,100); plot(h,g,b.) axis(0,1,0,100) hold on plot(h,g,b.) hold on plot(l,p,r.)p=7.436 7.518 7.576 7.576 7.646 7.734 7.804;l=0.4591 0.4641 0.4691 0.4741 0.4791 0.4841