高数1-1函数.

1、第一章 函数与极限第一节第一节 映射与函数映射与函数一、基本概念一、基本概念1.1.集合集合: :具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体总体.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.,21naaaA所具有的特征所具有的特征xxM 有限集有限集无限集无限集,Ma ,Ma 列举法：列举法：描述法：描述法：*A A：表示：表示A不含不含0：表示：表示A中元素都为正中元素都为正数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:.,RQQZZN )(记作记作例如例如,01,2 xRxx规定规定

2、空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.,的的子子集集是是就就说说则则必必若若BABxAx .BA 记作记作.,相等相等与与就称集合就称集合且且若若BAABBA )(BA 例如例如,2 , 1 A,0232 xxxC.CA 则则.,的真子集的真子集是是则称则称且且若若BABABA BA 记作记作集合的运算集合的运算1.并：;BxAxxBA 或或2.交：;BxAxxBA 且且3.差：;/BxAxxBA 且且全集（基本集）：I余集（补集）：cAAI 集合的运算律集合的运算律1.交换律：2.结合律：3.分配律：4.摩根律：ABBAABBA ,)

3、;()(),()(CBACBACBACBA );()()(),()()(CBCACBACBCACBA ;)(,)(CCCCCCBABABABA 2.2.区间区间: :是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.,baRba 且且bxax 称为开区间称为开区间,),(ba记作记作bxax 称为闭区间称为闭区间,ba记作记作oxaboxabbxax bxax 称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,),ba记作记作,(ba记作记作),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定

4、义区间长度的定义: :两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.3.3.绝对值绝对值: : 00aaaaa)0( a运算性质运算性质:;baab ;baba .bababa )0( aaxaxa)0( aaxaxax或绝对值不等式绝对值不等式:,aax),(aax4.4.邻域邻域: :. 0, 且且是两个实数是两个实数与与设设a).(0aU 记记作作,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径 . )( axaxaUxa a a ,邻邻域域的的去去心心的的点点 a. 0)( axxaU,邻域邻域的的称为点称为点数集数集 aa

5、xx ,邻域的右称为点数集aaxx,邻域的左称为点数集aaxxaa a axx5.5.常量与变量常量与变量: : 在某过程中数值保持不变的量称为在某过程中数值保持不变的量称为常量常量,注意注意常量与变量是相对常量与变量是相对“过程过程”而言的而言的.通常用字母通常用字母a, b, c等表示常量等表示常量,而数值变化的量称为而数值变化的量称为变量变量.常量与变量的表示方法：常量与变量的表示方法：用字母用字母x, y, t等表示变量等表示变量.因变量因变量自变量自变量.)(,000处的函数值处的函数值为函数在点为函数在点称称时时当当xxfDx .),(称为函数的值域称为函数的值域函数值全体组成的数

6、集函数值全体组成的数集DxxfyyW 变量变量y按照一定法则总有按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称确定的数值和它对应，则称y是是x的的函数函数，记作，记作定定义义 设设x和和y是是两两个个变变量量, ,D是是一一个个给给定定的的数数集集，数集数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域)(xfy 如如果果对对于于每每个个数数Dx ,()0 x)(0 xf自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素: : 定义域定义域与与对应法则对应法则.xyDW约定约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值的一切实数值.21xy 例如

7、，例如， 1 , 1 : D211xy 例如，例如，)1 , 1(: D定义定义: :.)(),(),(的图形的图形函数函数称为称为点集点集xfyDxxfyyxC oxy),(yxxyWD 如果自变量在定如果自变量在定义域内任取一个数值义域内任取一个数值时，对应的函数值总时，对应的函数值总是只有一个，这种函是只有一个，这种函数叫做单值函数，否数叫做单值函数，否则叫与多值函数则叫与多值函数例如，例如，222ayx (1) 符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyoxxx sgn(2) 取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过

8、的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 阶梯曲线阶梯曲线-2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyoxCQxQxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3) 狄利克雷函数狄利克雷函数(4) 取最值函数取最值函数)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg0,0,)(5xxxxxxf）绝对值函数：（xy 在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.在自然科学和工程技术中，经常会遇到分段函数的情形。在自然科学

9、和工程技术中，经常会遇到分段函数的情形。:,的函数关系是与体积相当小时，压强当体积例如VpV020,VVVVVVVkp都是常量其中, k范德瓦尔斯方程三、函数的运算三、函数的运算2211),(;),(DxxgyDxxfy设21DDD且:) 1 (gf 和（差）Dxxgxfxgf),()()(:)2(gf 积Dxxgxfxgf),()()(:) 3(gf商, 0)(,)()()(DxxgxDxxgxfxgf四、反函数四、反函数0 x0yxyDW)(xfy 函数函数o0 x0yDxyW)(1yfx反函数o)(:11DfDf 映射设函数)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(x

10、y 反函数反函数 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.xy 五、复合函数五、复合函数,uy 设,12xu21xy定义定义:,自变量x,中间变量u,因变量y注意注意: :1.不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的;,arcsinuy 例如;22xu)2arcsin(2xy2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构成.,2cotxy 例如,uy ,cotvu .2xv 例例1 1).(,0, 10, 2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx求设解解1)(),(1)(,

11、)()(xxxexfx,1)(10时当x, 0 x或, 12)( xx;20 x, 0 x或, 11)(2 xx; 1x,1)(20时当x, 0 x或, 12)( xx;2x, 0 x或, 11)(2 xx; 01x综上所述综上所述.2, 120011, 2,)(2122xxxxxexexfxx六、函数的特性六、函数的特性1函数的有界性函数的有界性:,)(成立有Mxf.)(上有上界在则称函数Xxf, 0,.)(XxMDXDxf若的定义域为设,)(成立有Mxf.)(上有下界在则称函数XxfM-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX0 xMxfXxM)(,011使，如果.)(上无界在

12、则称Xxf,)(成立有Mxf, 0XxM如果.)(上有界在则称函数Xxf有界既有上界，又有下界2函数的单调性函数的单调性:,)(DIDxf区间的定义域为设函数,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI;)(上是单调增加的在区间则称函数Ixf恒有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI),()(21xfxf)(xfy )(1xf)(2xfxyoI;)(上是单调减少的在区间则称函数Ixf,)(DIDxf区间的定义域为设函数,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI恒有),()(21xfxf)(xfcxf)(是常数）（c)(xf)(xfc0c0c)(1xf)(2xf)(1xf)(2xf定

13、理定理1 1 （1）单调函数与函数（2）单调函数与函数当时，依同向变化；时，依同反向变化。与则两函数的和也和它们依同向变化。与那么这两个函数的乘积与它们依同向变化。是常数）（c当（3）若两个单调函数依同向变化，（4）若两个正值（或负值）单调函数依同向变化，依同向（或反向）变化。)(xf)(1xf)(xf)(xf)(1xf)(ufy )(xgu )(xgfy （5）单调函数与函数在不等于零的同号区间里依反向变化。和它的反函数依同向变化。和单调函数依同向（或反向）变化，那么复合函数是单调递增（或递减）的。（6）单调函数（7）如果单调函数3函数的奇偶性函数的奇偶性:有关于原点对称设,DxD)()(x

14、fxf;)(为偶函数称xf偶函数偶函数xy)( xfy ox-x)( xf)( xf有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf ;)(为奇函数为奇函数称称xf奇函数奇函数)( xf yx)(xfox-x)(xfy 定理定理2 2 （1）两个奇（或偶）函数的代数和仍是奇（或偶）函数。（2）奇（或偶）函数的积是偶函数；一个奇函数和一个 偶函数的积是奇函数。（3）如果奇函数的反函数存在，且定义在对称于原点的 数集上，那么这个反函数也是奇函数。（4）奇（或偶）函数的倒数函数（分母不为零）仍为奇 （或偶）函数。)(ufy )(xgu S)(xg)(uf)(xgfy )(xg)(u

15、f)(xgfy 是函数和的复合函数，定义在对称于原点的数集上：是奇函数，则当是奇（或偶）函数时，复合函数是奇（或偶）函数；是偶函数，则不论是奇函数或偶函数，复合函数都是偶函数。（5）设函数)(xgfy 若若4函数的周期性函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.2l 2l23l 23l,)(Dxf的定义域为的定义域为设函数设函数如果存在一个不为零的如果存在一个不为零的)()(xflxf 且且为周为周则称则称)(xf.)( ,DlxDxl 使得对于任一使得对于任一数数.)(,的周期的周期称为称为期函数期函数xfl.恒成立恒成立 周期函数的一切周

16、期所组成的数集一定是一个无界的无穷数集。 Rxtan)(2Zkkxx 但是，周期函数的定义域不一定就是 例如，周期函数的定义域就是有些周期函数可能找不到最小正周期 例如，常量函数cxf)( )(xfDTcxfk)()0,(kck为常数，且DT)(/xfk)0(kk为常数，且, 0)(Dxxfx)(baxf), 0(DbaxaaT /定理定理3 3 设是定义在集合上的周期函数，它的最小正周期是，则有任然是上的周期函数，求最小正周期仍为（2）函数是在集合上的周期函数，最小正周期仍为（3）函数是以为最小正周期的周期函数。 （1）函数T)(ufE)(xgu DDxExg)()(xgfE定理定理4 4

17、如果是定义在集合上的函数，而是定义在集合上的周期函数，当时，那么复合函数是集合上的周期函数。)(1xf)(2xfD1T2T21TTD1T2T定理定理5 如果和都是定义在集合上的周期函数，它们的正周期分别为和，若是有理数，那么它们的和、上的周期函数。与的公倍数是它们的和、差与积的一个周期。 差与积也是定义在例例3 3解解,01)(cQxQxxD设.)().21(),57(的性质的性质并讨论并讨论求求xDDDD , 1)57( D, 0)21( D, 1)( xDDoxy1单值函数单值函数, 有界函数有界函数,偶函数偶函数,周期函数周期函数(无最小正周期无最小正周期)不是单调函数不是单调函数,七、

18、基本初等函数七、基本初等函数1、幂函数幂函数)( 是常数是常数 xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 2、指数函数、指数函数)1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey 3、对数函数、对数函数)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( 4、三角函数、三角函数正弦函数正弦函数xysin xysin xycos xycos 余弦函数余弦函数正切函数正切函数xytan xytan xycot 余切函数余切函数xycot 正割函数正割函数xysec xysec xycsc 余割函数余割函数xycsc

19、 5、反三角函数、反三角函数xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函数数xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函数数xyarctan xyarctan 反正切函数反正切函数 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.xycot 反余切函数反余切函数arcxycot arc初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子一个式子表示表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数2sinhxxeex 双曲正弦双曲正弦xycosh xysinh ),(:D奇函数奇函数.2coshxxeex 双曲余弦双曲余弦),(:D偶函数偶函数.1、双曲函数、双曲函数xey21 xey 21xxxxeeeexxx coshsinhtanh双曲正切双曲正切奇函数奇函数,),(: D有界函数