热学课件：第2章 分子动（理学）理论的平衡态理论2

1、 图（a）是用直角坐标来表示靶板上的分布；图（b）则是用极坐标来表示其分布的。 现以靶心为原点，以直角坐标x、y来表示黑点的空间位置，把靶板平面沿横轴划分出很多宽为x的窄条,x的宽度比黑点的大小要大得多。 只要数出在x到x+x范围内的那条窄条中的黑点数N，把它除以靶板上总的黑点数N（N应该足够大），则其百分比就是黑点处于xx+x范围内这一窄条的概率。 1.直角坐标表示有关打靶试验的例子: 然后以 为纵坐标，以x为横坐标，画出图.若令x0，就得到一条连续曲线。 这时的纵坐标 称为黑点沿x方向分布的概率密度，表示黑点沿x方向的相对密集程度。而f(x)dx表示处于x到x+dx范围内的概率。 在曲线中

2、xx+dx微小线段下的面积则表示黑点处于xx+dx范围内的概率位置处于x1到x2范围内的概率 (归一条件) 类似地可把靶板沿y方向划分为若干个宽为y的窄条,数出 每一窄条中的黑点数，求出 并令 可得到黑点处于yy+dy范围内的概率为f(y)dy。 显然，黑点处于xx+dx，yy+dy范围内的概率就是图中打上斜线的范围内的黑点数与总黑点数之比。根据概率相乘法则，粒子处于该面积上的概率为xx+dx，yy+dy 概率密度分布函数:若要求出处于x1x2、y1y2范围内的概率，只要对x、y积分 1. 平均值：黑点的x方向坐标偏离靶心（x=0）的平均值x，y 的某一函数的平均值 说明2. 极坐标表示考虑对

3、称性麦克斯韦速度分布-麦克斯韦速率分布 drrr+dr小圆环内的dN2.3 麦克斯韦速率分布 气体分子热运动的特点是大数分子无规则运动及它们之间频繁地相互碰撞，分子以各种大小不同的速率向各个方向运动，在频繁的碰撞过程中，分子间不断交换动量和能量，使每一分子的速度不断变化。 处于平衡态的气体，虽然每个分子在某一瞬时的速度大小、方向都在随机地变化着，但是大数分子之间存在一种统计相关性，这种统计相关性表现为平均说来气体分子的速率（指速度的大小）介于v到v+dv的概率（即速率分布函数）是不会改变的。一、分子射线束实验 德国物理学家斯特恩（Sterm）最早于1920年做了分子射线束实验以测定分子射线束中

4、的分子速率分布曲线。1. 分子束中能穿过第一个凹槽的分子一般穿不过第二个凹槽，除非它的速率v 满足如下关系 测量原理通过改变角速度的大小，选择速率v 3. 以 为纵坐标（其中N是单位时间内穿过第一个圆盘上的凹槽的总分子数），以分子的速率v为横坐标作一图形，如图所示。 2. 通过细槽的宽度，选择不同的速率区间4. 当v0时，即得图（b）所示的一条光滑的曲线，称为分子束速率分布曲线。5. 在v到v+dv速率区间内的细长条的面积就表示分子速率介于vv+dv区间范围内的概率 二、麦克斯韦速率分布 1. 气体分子速率分布不同于分子束中分子的速率分布 气体分子的速率分布与分子束速率分布不同,但它们存在一定

5、关系，故可利用实验测得的曲线求得理想气体速率分布。意义：分布在速率v 附近单位速率间隔内的分子数与总分子数比率思考？2. 麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布函数m为分子质量，T 为气体热力学温度， k 为玻耳兹曼常量k = 1.3810-23 J / K这一规律称为麦克斯韦速率分布定律, 注意说明(1) 从统计的概念来看讲速率恰好等于某一值的分子数多少， 是没有意义的。(2) 麦克斯韦速率分布定律对处于平衡态下的混合气体的各 组分分别适用。3. 麦克斯韦速率分布曲线f(v)vOv( 速率分布曲线 )(1)由图可见，气体中速率很小、速率很大的分子数都很少。 (2)在dv 间隔内, 曲线下的面积

6、表示速率分布在vv+ dv 中的分子数与总分子数的比率vdv(3)在v1v2 区间内,曲线下的面积表示速率分布在v1v2 之间的分子数与总分子数的比率v1v2TvOT( 速率分布曲线 )(4)曲线下面的总面积，等于分布在整个速率范围内所有各个速率间隔中的分子数与总分子数的比率的总和 最概然速率v p f(v) 出现极大值时, 所对应的速率称为最概然速率 (5)(归一化条件)f(v) m 一定,T 越大, 这时曲线向右移动 T 一定, m 越大, 这时曲线向左移动v p 越大, v p 越小,T1f(v)vOT2( T1)m1f(v)vOm2( m1)由于曲线下的面积不变,由此可见 不同气体,

7、不同温度下的速率分布曲线的关系(6)三、分子速率的三种统计平均值 1. 平均速率式中M 为气体的摩尔质量，R 为摩尔气体常量 思考： 是否表示在v1 v2 区间内的平均速率 ？2. 方均根速率理想气体状态方程3. 最概然速率 T(1) 一般三种速率用途各 不相同 讨论分子的碰撞次数用说明讨论分子的平均平动动能用讨论速率分布一般用f(v)vO(2) 同一种气体分子的三种速率的大小关系:例: 试求氮分子及氢分子在标准状况下的平均速率。 解（1）氮分子平均速率 （2）氢分子平均速率 以上计算表明，除很轻的元素如氢、氦之外，其它气体的平均速率一般为数百米的数量级 根据麦克斯韦速率分布率，试证明速率在最

8、概然速率vpvp+v 区间内的分子数与温度 成反比( 设v 很小)将最概然速率代入麦克斯韦速率分布定律中，有例证f(v)vOvvdv例在温度为300K时，空气中速率在 (1)vp附近；(2)10vp附近，速率区间v1m/s 内的分子数占分子总数的比率是多少？麦克斯韦速率分布为解式中vp 为最概然速率 当T=300K时，空气分子的最概然速率为相对于最概然速率的速率分布(1)在v= vp附近，v1m/s内单位速率区间的分子数占分子总数的比率为(2)在v= 10vp 附近， v1m/s 的速率区间内的分子数占分子总数的比率为例：气体分子按平动动能的分布规律麦克斯韦速率分布定律理想气体在平衡态下，分子动能在 +d 区间内的分子数与总分子数的比率。意义：代入上式得思考最概然平动动能是否等于最概然速率所对应的平动动能?两边微分有N 个粒子，其速率分布函数为(1) 作速率分布曲线并求常数 a(2) 速率大于