数字图像处理 第3章

1、第三章 图像变换3.1 概述3.2 傅立叶变换和性质3.3 其他可分离变换3.4 霍特林变换3.1 概述 为了有效和快速地对图像进行处理和分析常常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间，并利用在这些空间的特有性质方便地进行一定的加工，最后再转换回图像空间以得到所需要的效果。3.1 概述n图像变换可分离变换统计变换霍特林变换傅里叶变换快速傅里叶变换离散余弦变换沃尔什变换哈达玛变换 3.1 概述一、 图像变换的引入 n1. 方法：对图像信息进行变换，使能量保持但重新分配。 n2. 目的：有利于加工、处理（滤除不必要信息(如噪声)，加强/提取感兴趣的部分或特征）。 3.1 概述二、

2、 用途 1提取图像特征（如） ： （1）直流分量 ； （2）目标物边缘：F（u,v）高频分量。2图像压缩：正交变换能量集中，对集中（小）部分进行编码。 3图像增强：低通滤波，平滑噪声；高通滤 波，锐化边缘。3.1 概述n 图像变换是图像处理和分析技术的基础。在图像处理和分析技术的发展中，傅里叶变换曾经起过并仍起着重要的作用。图像傅立叶变换的物理意义n 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。 如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。n 傅立叶变换在实际

3、中有非常明显的物理意义，从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数 n傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，通常用一个二维矩阵表示空间上各点，记为 z=f(x,y) 。又因空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就必须由梯度来表示，这样我们才能通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。 n为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得

4、到频谱图，就是图 像梯度的分布图。当然，频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，这一点与是否采取移频处理没有关系。n 对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰。一幅频谱图如果带有正弦干扰，移频到原点上就可以看出，除了中心以外还存在以另一点为中心、对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的。这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰。3.1 二维离散傅里叶变换（DFT）l尺寸为MN的离散图像函数的DFT l反变换可以通过对F(u,v

5、) 求IDFT获得 1010)/(2),(1),(MxNyNvyMuxjeyxfMNvuF（3.3） 1010)/(2),(),(MuNvNvyMuxjevuFyxf（3.4） lDFT变换进行图像处理时有如下特点：l（1）直流成分为F(0,0)。l（2）幅度谱|F(u,v)|对称于原点。l（3）图像f (x, y)平移后，幅度谱不发生变化，仅有相位发生了变化。 ),(),(),(vujIvuRvuF),(),(arctan),(vuRvuIvu（3.5） （3.6） 频率域 幅值与频率 空间域 灰度傅立叶变换举例 傅立叶频谱图上明暗不一的亮点傅立叶频谱图上明暗不一的亮点的意义的意义n图像上某

6、一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。傅立叶频谱图上明暗不一的亮点傅立叶频谱图上明暗不一的亮点的意义的意义n一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们就可以直观地看出图像的能量分布：如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小）；反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的、边界分明且边界两边像素差异较大的。傅立叶变换在图像处理的重要作用n1.图像增强与图像去噪 绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通

7、滤波器来滤除高频噪声; 边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘；n2.图像分割之边缘检测。提取图像高频分量n3.图像特征提取： 形状特征：傅里叶描述子 纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征 其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、 伸缩、旋转不变性n4.图像压缩 可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换； 二维离散傅立叶变换的性质1. 线性性质：),(),(),(),(22112211vuFavuFayxfayxfa2. 比例性质：byaxFabbyaxf,1),(3. 可分离性：),(),(),(),(),(),

8、(1111vuFFFvuFFFyxfyxfFFyxfFFvuFuvvuxyyx可分离性n二维离散傅立叶变换 DFT 可分离性的基本思想是：二维 DFT 可分离为两次一维 DFTn 应用：二维快速傅立叶算法 FFT ，是通过计算两次一维FFT 实现的可分离性n傅立变换的可分离性质n先进行列变换，然后进行行变换。 10221021010102),(),(),(),(MxMuxjMuxjMxNvyjNyMxNyNvyMuxjevxFeeyxfeyxfvuF可分离性可分离性112/2/0011( , )( , )( , )NNjx Njy NxyyxF u vef x y eNNFFf x y),()

9、,(),(),(1110/210/21010/)(2vuFFFevuFeevuFyxfvuNvNvyjNuNuxjNuNvNvyuxj n二维的傅立叶变换可以通过两次一维傅立叶变换得到。因此对图像进行傅立叶变换可以先对行（水平方向）进行一维的傅立叶变换，得出的结果再对列（垂直方向）进行一维的傅立叶变换。这样就是使得图像的傅立叶变换实际上把频率分成水平分量和垂直分量，即u分量和v分量。图像是一幅只包括单条水平线的简单图像，显然它只在垂直方向上有灰度跳变（垂直方向是梯度的方向），所以从它的频谱图中只能看到垂直分量。这样就能很好的解释变换前后所出现的垂直现象。 4. 空间位移：NvyuxjevuFy

10、yxxf/ )(20000),(),(5. 频率位移：),(),(00/ )(200vvuuFeyxfNyvxuj 二维离散傅立叶变换的性质 当图像在频率域时移动时需要用到频率位移性质。频率位移性质),(),(00/ )(200vvuuFeyxfNyvxuj图像中心化把图像进行傅立叶变换后，往往要把中心移到u0=v0=N/2的位置上)2,2() 1)(,() 1()(/ )(200NvNuFyxfeeyxyxyxjNyvxuj频率位移n即将f（x,y）的图像频谱（图像能量集中在低频的 4 个角，见下图(a)）从原点（0，0）移到中心（N/2,N/2），得到一个完整的频谱，称为频谱中心化(见下图

11、(b)n将f(x,y)与一个指数项相乘就相当于把其变换后的频域中心移动到新的位置。nF(u,v)与一个指数项相乘就相当于把其反变换后的空域中心移动到新的位置。图像经过二维傅立叶变换后，其变换系数矩阵表明：n1、若变换矩阵Fn原点设在中心，其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近。若所用的二维傅立叶变换矩阵Fn的原点设在左上角，那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅立叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低频区域。 n2 、变换之后的图像在原点平移之前四角是低频，最亮，平移之后中间部分是低频，最亮，亮度大说明低频的能量大（幅角比较大）n （a）原始图像 (b) 中心

12、化前的频谱图 (c) 中心化后的频谱图图3.5 图像频谱的中心化 n变换之后的图像在原点平移之前四角是低频，最亮;平移之后中间部分是低频，最亮，亮度大说明低频的能量大。平均值平均值定义：10102),(1),(NxNyyxfNyxf由傅立叶变换定义：10102),(1)0 , 0(NxNyyxfNF因此，f(x,y)的平均值与傅立叶变换系数的关系为：),()0 , 0(yxfF6. 平均值：10102),(),(1)0 , 0(NxNyyxfyxfNF 如果是一幅图像，在原点的傅里叶变换F(0,0)等于图像的平均灰度级，也称作频率谱的直流成分。 7.离散卷积定理l设f(x,y)和g(x,y)

13、是大小分别为AB和CD的两个数组，则它们的离散卷积定义为l卷积定理 1010),(),(),(*),(MmNnnymxgnmfyxgyxf（3.12） ),(),(),(*),(vuGvuFyxgyxfDFT（3.13） 卷积定理：f(x,y)*g(x,y) F(u,v)G(u,v)f(x,y)g(x,y) F(u,v)*G(u,v)【例【例3.2】用MATLAB实现图像的傅里叶变换。 解：解：MATLAB程序如下： A=imread(pout.tif); %读入图像 imshow(A); %显示图像 A2=fft2(A); %计算二维傅里叶变换 A2=fftshift(A2); %将直流分量

14、移到频谱图的中心figure, imshow(log(abs(A2)+1),0 10); %显示变换后的频谱图 （a）原始图像 （b）图像频谱图3.7 傅里叶变换3.2 3.2 二维离散余弦变换（二维离散余弦变换（DCTDCT）l 任何实对称函数的傅里叶变换中只含余弦项，余弦变换是傅里叶变换的特例，余弦变换是简化DFT的重要方法。1010)21(cos)21(cos),(2)()(),(MxNyyvNxuMyxfMNvCuCvuFDCT逆变换为： 1010)21(cos)21(cos),()()(2),(NvMuyvNxuMvuFvCuCMNyxf（3.15） （3.15） 二维离散余弦变换二

15、维离散余弦变换n离散余弦变换，经常被信号处理和图像处理使用，用于对信号和图像(包括静止图像和运动图像)进行有损数据压缩。这是由于离散余弦变换具有很强的能量集中特性:大多数的自然信号(包括声音和图像)的能量都集中在离散余弦变换后的低频部分。n例如，在静止图像编码标准JPEG中，在运动图像编码标准MJPEG和MPEG的各个标准中都使用了离散余弦变换。在这些标准制中都使用了二维的离散余弦变换，并将结果进行量化之后进行熵编码。这时对应离散余弦变换中的n是8，并用公式对每个8x8块的每行进行变换，然后每列进行变换。得到的是一个8x8的变换系数矩阵。其中(0,0)位置的元素就是直流分量，矩阵中的其他元素根

16、据其位置表示不同频率的交流分量。 【例【例3.3】应用MATLAB实现图像的DCT变换。 解：解：MATLAB程序如下： A=imread(pout.tif); %读入图像 I=dct2(A); %对图像作DCT变换 subplot(1,2,1),imshow(A); %显示原图像 subplot(1,2,2),imshow(log(abs(I),0 5); （a）原图 （b）DCT系数图3.10 离散余弦变换3.3 其他可分离变换n1923年，美国数学系J.L Walsh提出walsh函数。1函数展开有三种：Walsh序的Walsh函数，佩利序的Walsh函数，哈达玛序的Walsh函数。 n

17、沃尔什变换主要用于图像变换，属于正交变换。这种变换压缩效率低，所以实际使用并不多。但它快速，因为计算只需加减和偶尔的右移操作。沃尔什变换的定义如下：给定一个NXN像素块Pxy（N必须是2的幂），二维WHT定义为：1、沃尔什变换3.3 其他可分离变换10)( )(1) 1( 1),(niubxbiniNuxg沃尔什（Walsh）变换是一种可分离变换。当 时，变换核为：3.3 其他可分离变换n离散沃尔什变换W(u)为：1010)( )(1) 1( )(1)(NxniubxbinixfNuW 是z的二进制表达中的第k位。例如n = 3，则对z = 6（1102），有b0(z) = 0，b1(z) =

18、 1，b2(z) = 1。 zbk3.3 其他可分离变换 由沃尔什变换核组成的矩阵是一个对称矩阵并且其行和列正交（即各行向量与各列向量的内积为0，互相独立），即：10)( )(1) 1(),(niubxbiniuxh所以离散沃尔什反变换为：1010)( )(1) 1( )()(NuniubxbiniuWxf 3.3 其他可分离变换10)( )()( )(11) 1(1),(nivbybubxbiniiniNvuyxg10)( )()( )(11) 1(1),(nivbybubxbiniiniNvuyxh 2-D的沃尔什正变换核和反变换核由以下2式给出： 这2个核完全相同，所以下面2式给出的2-

19、D沃尔什正变换和反变换也具有相同形式：3.3 其他可分离变换 沃尔什变换可用类似于FFT的算法快速地计算，快速沃尔什变换简写为FWT。 101010)( )()( )(11) 1( ),( 1),(NxNynivbybubxbiniiniyxfNvuW 101010)( )()( )(11) 1( ),( 1),(NuNvnivbybubxbiniinivuWNyxf3.3 其他可分离变换 正向变换核和反向变换核均只依赖于x, y, u, v而与f (x, y)或F(u, v)的值无关。这些核可看作1一组基本函数，一旦图像尺寸确定这些函数也完全确定。书中图3.4.1给出N = 4时沃尔什基本函

20、数的图示，其中白色表示1，而阴影表示 1。每个大方块对应固定的u和v，内部小方块对应的x和y从0变到3。 3.3 其他可分离变换2、哈达玛变换哈达玛（Hadamard）变换也是一种可分离变换。2-D的哈达玛正变换核和反变换核由以下2式给出：10 )( )()( )( ) 1(1),(niiiiivbybubxbNvuyxg 其中指数上的求和是以2为模的。 10)()()()(11),(nivibyibuibxibNvuyxh3.3 其他可分离变换 1010 )( )()( )( 10) 1)(,( 1),(NxNyvbybubxbniiiiiyxfNvuH 1010 )( )()( )( 10

21、) 1)(,( 1),(NuNvvbybubxbniiiiivuHNyxf二维哈达玛变换的变换公式如下：3.3.1 3.3.1 哈达玛变换哈达玛变换l哈达玛矩阵：元素仅由1和1组成的正交方阵。l正交方阵：指它的任意两行（或两列）都彼此正交，或者说它们对应元素之和为零。l哈达玛变换要求图像的大小为N2n 。l一维哈达玛变换核为 其中， 代表z的二进制表示的第k位值。10)()() 1(1),(niiiubxbNuxg（3.21） )(zbkl二维哈达玛的正反变换都可通过两个一维变换实现。l高阶哈达玛矩阵可以通过如下方法求得：lN8的哈达玛矩阵为 222211NNNNNHHHHNHN（3.26）

22、5261437011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111112218H（3.27） hcameraman变换cameraman=imread(tu.tif);H=hadamard(256); % hadamard矩阵hcameraman=H*cameraman*H; %hadamard变换hcameraman=hcameraman/256；imshow(hcameraman);3.4 霍特林变换n霍特林变换的定义：霍特林变换的定义： n霍特林变换霍特林变换也常称为主成分变换(PCA)或KL变换，有时也称为特征值

23、变换。是一种基于图像统计特性的变换，它的协方差矩阵除对角线以外的元素都是零，消除了数据之间的相关性，从而在信息压缩方面起着重要作用。n霍特林变换的目的霍特林变换的目的是寻找任意统计分布的数据集合的主要分量的子集。相应的奇向量组满足正交性且由它定义的子空间最优的考虑了数据的相关性。将原始数据集合变换到主分量空间使单一数据样本的互相关性降低到最低点。v1）思想目的是寻找任意统计分布的数据集合主要分量的子集。基向量满足相互正交性，且由它定义的空间最优的考虑了数据的相关性。将原始数据集合变换到主分量空间使单一数据样本的互相关性(cross-correlation)降低到最低点。3.4 霍特林变换 霍特

24、林变换在连续域对应的变换是KL变换，霍特林（Hotelling）变换也常称为特征值变换、主分量变换或离散KL变换，它基于图像的统计特性。 设从同一个随机母体得到了M个矢量采样，则其均值矢量和协方差矩阵可分别由以下2式利用采样来近似： MkkM11xmxMkkkM1TT 1xxxmmxxC2）公式3.4 霍特林变换 例：协方差矩阵计算T 11131xm21112111291xC协方差矩阵为设有1组随机矢量x = x1 x2 x3T，其中x1 = 0 0 1T，x2 = 0 1 0T，x3 = 1 0 0T，均值矢量为： 3.4 霍特林变换 令A A为由CxCx的特征矢量组成其各行的矩阵，并且A A的第1行为对应最大特征值的特征矢量，A A的最后1行为对应最小特征值的特征矢量。如果设A A是将x x转换为y y的变换矩阵，则： xmxAy上式就称为霍特林变换。3.4 霍特林