第三章量子力学初步1

1、H=E 第三章第三章 量子力学基础量子力学基础Chapter 3. Introduction to Quantum Mechanics 一个能量为E ，动量为P 的实物粒子同时具有波动性，波长和频率分别是与粒子相联系的波称为物质波或德布罗意波 - 德布罗意波长 爱因斯坦-德布罗意 关系式mhPhhmchE2指出:1. 1924.11.29，把题为“量子理论的研究”的博士论文提交给巴黎大学，二、德布罗意关系式二、德布罗意关系式教学内容 3.1 波粒二象性 德布罗意物质波3.2 波函数及其统计诠释3.3 不确定关系3.4 力学量的算符及本征值方程3.5 薛定谔方程3.6 一维问题的薛定谔方程解3.

2、7 量子力学对氢原子的处理教学要求教学要求（1）掌握德布罗依假设和波粒二象性，了解戴维孙）掌握德布罗依假设和波粒二象性，了解戴维孙革末实革末实验和双缝干涉实验。验和双缝干涉实验。（2）掌握不确定关系，并能用其解决简单的问题。）掌握不确定关系，并能用其解决简单的问题。（3）掌握波函数的物理意义。）掌握波函数的物理意义。（4）了解薛定谔方程在量子力学中的作用，掌握定态的概念，）了解薛定谔方程在量子力学中的作用，掌握定态的概念，了解求解定态薛定谔方程（本征问题）的基本步骤。了解求解定态薛定谔方程（本征问题）的基本步骤。（5）掌握运用定态薛定谔方程求解氢原子问题的基本步骤，）掌握运用定态薛定谔方程求解

3、氢原子问题的基本步骤，掌握描述电子空间运动的三个量子数。掌握描述电子空间运动的三个量子数。 重点重点 德布罗依假设和微观粒子的波粒二象性德布罗依假设和微观粒子的波粒二象性 波函数的统计诠释波函数的统计诠释 不确定关系不确定关系 定态的概念定态的概念 求解定态薛定谔方程（本征问题）的基本步骤求解定态薛定谔方程（本征问题）的基本步骤 量子力学对氢原子的描述及三个量子数量子力学对氢原子的描述及三个量子数 难点难点 波函数的统计诠释波函数的统计诠释 不确定关系不确定关系 量子力学对氢原子的描述量子力学对氢原子的描述 1）十九世纪末经典物理学的成功 2）经典物理学上空所漂浮的两朵乌云 3）旧量子论的形成

4、(冲破经典 量子假说) 1900 Planck 黑体辐射 振子能量量子化 1905 Einstein 光电效应 电磁辐射能量量子化 1913 N.Bohr 玻尔理论 原子能量量子化量子力学发展量子力学发展 4）量子力学诞生 1924 de Broglie 所有实物粒子具有波动性 1925 Heisenberg 矩阵力学 1926 Schroedinger 波动方程 1927 Heisenberg 不确定原理 1928 Dirac 相对论波动方程玻尔理论玻尔理论 玻尔理论的成功 玻尔理论的缺陷玻尔理论的成功玻尔理论的成功 量子定态得到实验验证量子定态得到实验验证 成功解释氢原子光谱成功解释氢原子

5、光谱 理论上计算理论上计算Rydberg常量常量 成功预测了类氢离子光谱成功预测了类氢离子光谱 说明特征说明特征X射线光谱射线光谱 部分阐明了元素周期表部分阐明了元素周期表玻尔理论的局限玻尔理论的局限 电子作轨道运动库仑力提供向心力电子作轨道运动库仑力提供向心力 有向心加速度而不辐射能量，定态有向心加速度而不辐射能量，定态 为什么定态？如何跃迁？为什么定态？如何跃迁？ 卢瑟福，薛定谔提出问题卢瑟福，薛定谔提出问题玻尔理论的局限玻尔理论的局限 无法解释氦原子光谱无法解释氦原子光谱 无法解释氢原子精细结构光谱无法解释氢原子精细结构光谱 无法解释分子的组成无法解释分子的组成 无法解释原子如何形成液体

6、、固体无法解释原子如何形成液体、固体“这一理论还是十分初步的理论，许多基本问题还有待解决这一理论还是十分初步的理论，许多基本问题还有待解决”放弃玻尔理论？回归经典？放弃玻尔理论？回归经典？寻找新的思想寻找新的思想 （1）经典物理中的波和粒子）经典物理中的波和粒子波和粒子是两种完全不同的能量传播方式波和粒子是两种完全不同的能量传播方式波：波：特征量波长、频率具有干涉、衍射性质；理想的波可以特征量波长、频率具有干涉、衍射性质；理想的波可以精确测量其波长、频率精确测量其波长、频率粒子：粒子：可以精确地测量位置、动量、质量等遵从牛顿运动定可以精确地测量位置、动量、质量等遵从牛顿运动定律律3.1 （2）

7、光的波粒二象性）光的波粒二象性 l 1672年年 Newton光的微粒学说光的微粒学说l 1678年年 Huygens光的波动学说光的波动学说l 19世纪世纪 Young验证光的波动学说验证光的波动学说l 19世纪末世纪末 Maxwell Hertz确定光是电磁波确定光是电磁波l 1905年年 Einstein光量子说光量子说 （3）德布罗意假设德布罗意假设1924 11 29德布罗意把题为德布罗意把题为“量子理论的研究量子理论的研究”的博士论文的博士论文提交巴黎大学，获得评委会的高度评价和爱因斯坦的称赞提交巴黎大学，获得评委会的高度评价和爱因斯坦的称赞“揭开了自然界巨大帷幕的一角揭开了自然界

8、巨大帷幕的一角”1929获得诺贝尔物理奖获得诺贝尔物理奖1. 实物微粒的波粒二象性实物微粒的波粒二象性 实物微粒是指静止质量不为零的微观粒子实物微粒是指静止质量不为零的微观粒子(m00),如电子、原子、分子、中子、质子等，以区别于如电子、原子、分子、中子、质子等，以区别于静止质量等于零的光子。静止质量等于零的光子。 De Brogile 1924年年 de Broglie 受光的波粒二象性的启示，大胆受光的波粒二象性的启示，大胆提出了实物微粒也具有波性的假设。提出了实物微粒也具有波性的假设。在光学上，是否太在光学上，是否太多针对波动的研究方法而忽略了粒子的研究方法？多针对波动的研究方法而忽略了

9、粒子的研究方法？在实物微粒上，是不是把粒子的图象想得太多而过于忽在实物微粒上，是不是把粒子的图象想得太多而过于忽略了波的图象？略了波的图象？（1）德布罗依（德布罗依（De Brogile）假设）假设EhmvhphDe Brogile关系式关系式普朗克常数的物理意义：普朗克常数的物理意义：它是量子化的量度，即它是不连续程度的最小量度单位；在物它是量子化的量度，即它是不连续程度的最小量度单位；在物质的波粒性中起着桥梁作用；在量子化和波粒性中起着非常重质的波粒性中起着桥梁作用；在量子化和波粒性中起着非常重要的作用要的作用 De Broglie提出实物微粒也具有波性，以此作为克服提出实物微粒也具有波性

10、，以此作为克服旧量子论的缺点，探求微观粒子运动的根本途径，这种实旧量子论的缺点，探求微观粒子运动的根本途径，这种实物微粒所具有的波就称为物质波或德布罗依波。物微粒所具有的波就称为物质波或德布罗依波。 这个假设形式上与这个假设形式上与Einstein关系式相同，但它实际上是一个完关系式相同，但它实际上是一个完全崭新的假设，因为它不仅适用于光，而且对实物微粒也适全崭新的假设，因为它不仅适用于光，而且对实物微粒也适用。用。 动量为动量为 p 的在一维方向运动的自由粒子（位能的在一维方向运动的自由粒子（位能V=常数常数或或V=0），其波函数可与一维平面单色波相联系得到：），其波函数可与一维平面单色波相

11、联系得到：1cos2 ()cos2 ()2 cos()cos()xxxxpEAtAthhAxpEtAxpEth 一维实物波的波函数：一维实物波的波函数：（2）德布罗意波长的估算）德布罗意波长的估算 动量为动量为P的自由粒子，当它的运动速度比光速小得多时（的自由粒子，当它的运动速度比光速小得多时（c） 221PET+V22mvmP2mE3431199 P2E2V6.626 10 2 9.11 101.602 10V1.22612.26 10 ( )VVhhhmmemA若若V=1000V，则波长为，则波长为39pm。可见对电子等实物粒子，其德布罗意。可见对电子等实物粒子，其德布罗意波长具有波长具有

12、数量级，与数量级，与x射线相近，用普通光栅无法检出其波性。射线相近，用普通光栅无法检出其波性。 （V 为加速电子运动为加速电子运动的电场电势差）的电场电势差）求以求以1.0106ms-1的速度运动的电子，其的速度运动的电子，其de Broglie波波长。波波长。大小相当于分子大小的数量级，说明原子中和分子中电子运大小相当于分子大小的数量级，说明原子中和分子中电子运动的波效应是重要的。但与宏观体系的线度相比，波效应是动的波效应是重要的。但与宏观体系的线度相比，波效应是微小的。微小的。 =（6.610-34J.s）/(9.110-31kg1.0106m.s-1)= 710-10m = 7 mvh例

13、a. 1000 kg 重的汽车以重的汽车以100ms-1的速度运动，其的速度运动，其de Broglie波波波波长为长为6.610-39 m。s-1b. 10g 重的子弹以重的子弹以500ms-1的速度运动，其的速度运动，其de Broglie波波长波波长为为1.310-34 m。c. 10-6g 重的灰尘以重的灰尘以1cms-1的速度运动，其的速度运动，其de Broglie波波长波波长为为6.610-23 m。宏观粒子也具有波动性，m大时, 0（3）De Brogile 波的实验证实波的实验证实 当当V=102104V时，从理论上已估算出电子德布罗依波时，从理论上已估算出电子德布罗依波长为

14、长为1.20.12，与，与x光相近（光相近（0.1100 ），用普通的光），用普通的光学光栅学光栅（周期（周期 ）是无法检验出其波动性的。是无法检验出其波动性的。戴维逊戴维逊- -革末实验革末实验单晶镍单晶镍（C.J.Davisson - L.H.Germer）汤姆逊实验汤姆逊实验金金- -钒多晶钒多晶（G.P.Thomson）两个证实的实验：两个证实的实验：适用条件：适用条件：(1)(1)电子，电子，(2)(2)非相对论非相对论(U(U不能太大不能太大) )。 220/1cmmm1eUm221)(225. 12/2VUnmemUhmeUmhmhph粒子的德布罗意波长：1当 时，2当 时， o

15、mm经过电场加速的电子： cc若 V =100伏 则得 =1.225 X 射线波段a. 1927年，戴维逊和革末，电子衍射实验，测量了电子波的波长，证实了德布罗意假设。1实验装置 2实验结果实验结果(1)当U不变时，I与的关系如图不同的，I不同；在有的上将出现极值。(2)当不变时，I与U的关系如图当U改变时，I亦变；而且随了U周期性的变化3实验解释 晶体结构：2)12(sin2nnd波程差： 对对Dovissn和和Germer单晶电子衍射实验，由布拉格单晶电子衍射实验，由布拉格（Bragg）方程）方程 和和 可分别计算出衍射电子的波长可分别计算出衍射电子的波长。两种方法的计算结果非常吻。两种方

16、法的计算结果非常吻合，证实电子确实具有波动性。合，证实电子确实具有波动性。 2dsinhklh k ln 12.26V 实验证明了电子确实具有波动性，也证明了德布罗意公式的正确性。)(225. 1VUnm2 , 1n 可见，当、满足此式时，测得电流的极大值。 对于通过电压U加速的电子：当U不变时，改变，可使某一满足上式，出现极大值 当不变时，改变U，可使某一U满足上式，出现极大值。对对Thomson 多晶电子衍射实验，由花纹的半径及底片多晶电子衍射实验，由花纹的半径及底片到衍射源之间的距离等数值，也可以求出到衍射源之间的距离等数值，也可以求出 。都证明实验结。都证明实验结果与理论推断一致，电子

17、确实具有波动性。果与理论推断一致，电子确实具有波动性。后来，人们采用电子、质子、氢原子和氦子等粒子流，也观察到衍后来，人们采用电子、质子、氢原子和氦子等粒子流，也观察到衍射现象，充分证明了实物微粒具有波性，而不只限于电子。电子显微镜射现象，充分证明了实物微粒具有波性，而不只限于电子。电子显微镜以及用电子衍射和中子衍射测定分子结构都是实物微粒波性的应用。以及用电子衍射和中子衍射测定分子结构都是实物微粒波性的应用。电子在电子在金金- -钒钒多晶上的多晶上的衍射衍射 Thomson 多晶电子衍射实验多晶电子衍射实验单电子双缝实验单电子双缝实验 现代实验技术可以做到一次一个电子通过缝现代实验技术可以做

18、到一次一个电子通过缝7 7个电子在观察屏上个电子在观察屏上的图像的图像100100个电子在屏个电子在屏上的图像上的图像屏上出现的电子说明了电子的粒子性屏上出现的电子说明了电子的粒子性（4）微观粒子的波粒二象性的理解微观粒子的波粒二象性的理解 随着电子数目的增多，在屏上逐渐形成了衍射图样随着电子数目的增多，在屏上逐渐形成了衍射图样说明说明 “一个电子一个电子”就具有的波动性就具有的波动性30002000070000微观粒子在某些条件下表现出粒子性；在另一些条件下表微观粒子在某些条件下表现出粒子性；在另一些条件下表现出波动性。现出波动性。两种性质虽寓于同一体中却不能同时表现出来两种性质虽寓于同一体

19、中却不能同时表现出来少女？少女？老妇？老妇？两种图像不会同时两种图像不会同时出现在你的视觉中出现在你的视觉中 de Broglie 如何得到轨道角动量量子化条件如何得到轨道角动量量子化条件由这一条件导出的由这一条件导出的表明圆轨道周长表明圆轨道周长S是波长的整数倍，这正是在圆周上形是波长的整数倍，这正是在圆周上形成稳定的驻波所需要的。成稳定的驻波所需要的。 尽管这种轨迹确定的轨道被不确定原理否定了，尽管这种轨迹确定的轨道被不确定原理否定了，但但“定态与驻波相联系定态与驻波相联系”的思想还是富有启发性的的思想还是富有启发性的. 2hnmvr nphnmvnhrS 2（5）德布罗意波和量子态）德布

20、罗意波和量子态波粒二象性的意义（1）把物质粒子与光子这两者物质存在 的形式的理论统一起来（2）把原子定态和驻波联系起来，即能 量量子化与驻波频率、波长的分立 性联系起来。 de Broglie波波不仅对建立量子不仅对建立量子力学和原子、分子结构理论有重要力学和原子、分子结构理论有重要意义，而且在技术上有重要应用意义，而且在技术上有重要应用. . 使用使用de Broglie波的电子显微镜分辨波的电子显微镜分辨率达到光学显微镜的千倍率达到光学显微镜的千倍, ,为我们打开了微为我们打开了微观世界的大门观世界的大门. . de Broglie波的提出是类比法的成功典范波的提出是类比法的成功典范 从科

21、学方法论的角度讲从科学方法论的角度讲, , 由光的波粒二象性到实物微由光的波粒二象性到实物微粒的波粒二象性是一种类比推理粒的波粒二象性是一种类比推理. . 类比是由两个或两类对类比是由两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同，推出它们在其他方面也象之间在某些方面的相似或相同，推出它们在其他方面也可能相似或相同的思想方法，是一种由特殊到特殊、由此可能相似或相同的思想方法，是一种由特殊到特殊、由此类及彼类的过类及彼类的过程程 . . 类比可以提供重要线索，启迪思想，类比可以提供重要线索，启迪思想，是发展科学知识的一种有效的试探方法是发展科学知识的一种有效的试探方法. .我们在研究工作我们在研究工作

22、中需要重视这种方法中需要重视这种方法. . 然而，它是一种或然性推理，而不然而，它是一种或然性推理，而不是必然性推理，因而有局限性，其结论的正确与否必须由是必然性推理，因而有局限性，其结论的正确与否必须由实践来检验实践来检验. .德布罗意获1929年诺贝尔物理奖戴维逊、汤姆逊共同获1937年诺贝尔物理奖又称测不准关系或测不准原理，是由微观粒子本质特性决定的物理量间的相互关系的原理，它反映物质波的一种重要性质。P4xhx P4yhy P4zhz 同理Heisenberg 3.2 不确定原理（不确定原理（uncertainty principle） 因为实物微粒具有波粒二象性，从微观体系得到的信息

23、会受到某些限制。例如一个粒子不能同时具有确定的坐标和相同方向的动量分量 。 这 一 关 系 是 1 9 2 7 年 首 先 由 海 森 堡（Heisenberg）推导得出的。电子束缝宽衍射图样电子通过单缝时发生衍射，概略地用一级衍射角所对应的动量变化分量 粗估其动量的不确定程度从电子的单缝衍射现象理解位置和动量的不确定关系从电子的单缝衍射现象理解位置和动量的不确定关系衍射图样单缝衍射一级暗纹条件德布罗意波长1. 从电子的单缝衍射现象理解位置和动量的不确定关系从电子的单缝衍射现象理解位置和动量的不确定关系2. 不确定关系的物理表述及物理意义不确定关系的物理表述及物理意义xpxtE x表示表示粒子

24、在粒子在x方向上的位置的不确定方向上的位置的不确定范围，范围， px表示表示粒子粒子在在x方向上动量的不方向上动量的不确定范围，其乘积不得小于一个常数。确定范围，其乘积不得小于一个常数。若一个粒子的能量状态是完全确定的，若一个粒子的能量状态是完全确定的，即即 E=0 ，则粒子停留在该态的时间为，则粒子停留在该态的时间为无限长，无限长， t= 。不确定关系是自然界的客观规律，不是测量技术和主观能力的问题，不确定关系是自然界的客观规律，不是测量技术和主观能力的问题，是量子理论中的一个重要概念。是量子理论中的一个重要概念。1927年海森堡提出了不确定关系坐标与同一方向上的动量分量不能同时确定。坐标与

25、同一方向上的动量分量不能同时确定。 x与与 Py 之间不存在上述关系。之间不存在上述关系。不确定原理在宏观体系中也适用，只不过是不确定量不确定原理在宏观体系中也适用，只不过是不确定量小到了可忽略的程度。小到了可忽略的程度。 说明不确定原理可用于判断哪些物体其运动规律可用经不确定原理可用于判断哪些物体其运动规律可用经典力学处理，而哪些则必须用量子力学处理。典力学处理，而哪些则必须用量子力学处理。 应用 、一维自由粒子具有确定的动量 p0，自由粒子动量的不确定度p=0，则位置不确定度？思考题、一维粒子位于x0处，即 x=0。相应波函数)()(00 xxxx则动量不确定度？对对质量质量m=10-15

26、kg的微尘，求速度的测不准量。的微尘，求速度的测不准量。设微尘位置的测量准确度为设微尘位置的测量准确度为x=10-8m。34111586.6 106.6 10/1010 xxphJ svm smm xkgm比起微尘运动的一般速度（比起微尘运动的一般速度（10-2m.s-1）是完全可以忽略）是完全可以忽略的，至于质量更大的宏观物体，的，至于质量更大的宏观物体，v就更小了。由此可见，就更小了。由此可见，可以认为宏观物质同时具有确定的位置和动量，因而服可以认为宏观物质同时具有确定的位置和动量，因而服从经典力学规则。从经典力学规则。 由测不准关系式得 ：例例求原子、分子中运动的电子的速度不确定度。电子

27、求原子、分子中运动的电子的速度不确定度。电子的质量的质量m =9.110-31kg，原子的大小为，原子的大小为10-10m。v = h/(xm) =（6.62610-34J.s）/(10-10m9.110-31kg) 106107m.s-1已知电子的运动速度约为106ms-1，即当电子的位置的不确定程度x=10-10m时，其速度的不确定程度已大于电子本身的运动速度。因此，原子、分子中电子的不能用经典力学处理。 例例原子大小为原子大小为10-10m，电子位置测量的精确度至少，电子位置测量的精确度至少x=10-10m才有意义。才有意义。x = 10-10m后来发现的质子射线、射线、中子射线、原子射

28、线和分子射线均符合测不准关系式。当今采用的电子显微镜，电子衍射、中子衍射测定分子结构的实验方法都是微粒波动性的具体应用。 质量速度速度不确定量某飞行中的子弹m = = 0.01 kgv = = 500 m / / sv = = 0.1 v 某原子中的电子m e = = 9.110 31 kgv e = = 210 6 m / / sv e = = 0.1 v e 试应用不确定关系分别估算下述电子和子弹的位置不确定量根据位置和动量不确定关系 子 弹0.10.41.110 34(m) 电 子0.10.42.910 10(m)电子的位置不确定量大到与原子的线度数量级（10 10 m ）同，因此，不可

29、能精确测定电子处在原子中的位置。子弹的位置不确定量比原子的线度还要小许多个数量级，小到任何精密仪器都无法观测。因此，对宏观物体运动的描述，不受位置和动量的不确定关系的限制。 宏观物体宏观物体 微观粒子微观粒子具有确定的坐标和动量，具有确定的坐标和动量， 没有确定的坐标和动量，没有确定的坐标和动量，可用牛顿力学描述。可用牛顿力学描述。 需用量子力学描述。需用量子力学描述。 有连续可测的运动轨道，可有连续可测的运动轨道，可 有概率分布特性，不可能分辨有概率分布特性，不可能分辨 追踪各个物体的运动轨迹。追踪各个物体的运动轨迹。 出各个粒子的轨迹。出各个粒子的轨迹。体系能量可以为任意的、连体系能量可以

30、为任意的、连 能量量子化。能量量子化。续变化的数值。续变化的数值。不确定度关系无实际意义。不确定度关系无实际意义。 遵循不确定度关系。遵循不确定度关系。微观粒子和宏观物体的特性对比微观粒子和宏观物体的特性对比 但它不是经典粒子：不能用但它不是经典粒子：不能用( )确定粒子状确定粒子状态，没有轨道概念；态，没有轨道概念；pr, 也不是经典波：抛弃了物理量在空间周期性也不是经典波：抛弃了物理量在空间周期性分布的概念，但具有波动的相干叠加性。分布的概念，但具有波动的相干叠加性。两者统一于两者统一于 Bohn 的几率波概念中。的几率波概念中。一、微观粒子具有波粒二象性一、微观粒子具有波粒二象性 3.3

31、 波函数及其物理意义波函数及其物理意义、几率波几率波 (1)几率波 分析电子的双缝衍射实验发现，衍射图样与发射电子流强度无关。且多个电子一次行为与一个电子的多次行为结果相同。 多个电子的一次行为 干涉图样明条纹暗条纹“粒子”观点到达电子多少“波动”观点波强度大小结论：到达屏某处电子数正比于波强度。结论：到达屏某处电子数正比于波强度。 若总发射电子数为若总发射电子数为M，到达某处的电子数为，到达某处的电子数为N，则到达某处的电子几率为，则到达某处的电子几率为N/ M单个电子的多次行为单个电子的多次行为结论：这种波是一种几率波结论：这种波是一种几率波“波动波动”观点观点波强度大波强度大小小“粒子粒

32、子”观点观点发现电子几率大发现电子几率大小小干涉图样干涉图样明条纹明条纹暗条纹暗条纹两者统一于两者统一于 Bohn 的几率波概念中。的几率波概念中。 物质波的波函数代表什么物理意义。物质波的波函数代表什么物理意义。19261926年玻恩提出波年玻恩提出波函数的几率解释。他指出波振幅的模方与该处发现粒子的函数的几率解释。他指出波振幅的模方与该处发现粒子的几率成正比。因此德布罗意波函数是几率幅。这个假设得几率成正比。因此德布罗意波函数是几率幅。这个假设得到散射实验的支持，取得了人们认可，玻恩因此获得到散射实验的支持，取得了人们认可，玻恩因此获得19541954年诺贝尔物理奖。年诺贝尔物理奖。回顾：

33、德布罗意关于物质的波粒二象性假设速度为质量为的自由粒子一方面可用 能量 和 动量 来描述它的粒子性另一方面可用 频率 和 波长 来描述它的波动性1. 波函数是描述具有波粒二象性的微观客体的量子状态的波函数是描述具有波粒二象性的微观客体的量子状态的函数，知道了某微观客体的波函数后，原则上可得到该微函数，知道了某微观客体的波函数后，原则上可得到该微观客体的全部知识。观客体的全部知识。下面从量子力学的基本观点出发，建立自由粒子的波函数。二二. . 假设假设 波函数波函数 在量子力学中用复数表达式：应用欧拉公式取实部 应用德布罗意公式即即即的自由粒子的波函数为沿 X方向匀速直线运动 在波动学中，描述波

34、动过程的数学函数都是空间、时间二元函数一列沿 X 轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程沿 方向匀速直线运动的自由粒子的波函数为续上在量子力学中用复数表达式：应用欧拉公式取实部 应用德布罗意公式即即即沿 方向匀速直线运动的自由粒子的波函数为的自由粒子的波函数为沿 X方向匀速直线运动 在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数一列沿 X 轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程自由粒子的波函数 自由粒子的能量和动量为常量，其波函数所描述的德布罗意波是平面波。不是常量，其波函数所描述的德布罗意波就不是平面波。对于处在外场作用下运动的非自由粒子，其能量和动量外场不同，粒子的运动状态及描述运动

35、状态的波函数也不相同。微观客体的运动状态可用波函数来描述，这是微观客体的运动状态可用波函数来描述，这是量子力学的一个基本假设量子力学的一个基本假设。2、波函数的统计解释 设描述粒子运动状态的波函数为 ，则 空间某处波的强度与在该处发现粒子的概率成正比；在该处单位体积内发现粒子的概率（概率密度）与 的模的平方成正比。是的共轭复数德布罗意波又称 概率波概率波波函数又称 概率幅概率幅取比例系数为1，即1926 年提出了对 波函数的统计解释Born因概率密度故在 矢端的体积元 内发现粒子的概率为 在波函数存在的全部空间 V 中必能找到粒子，即在全部空间 V 中 粒子出现的概率为1。此条件称为 波函数的

36、归一化条件满足归一化条件的波函数称为 归一化波函数波函数具有统计意义，其函数性质应具备三个标准条件：波函数的三个标准条件：连续因概率不会在某处发生突变，故波函数必须处处连续；单值因任一体积元内出现的概率只有一种，故波函数一定是单值的；有限因概率不可能为无限大，故波函数必须是有限的；以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只有一种符合标准条件符合不符合不符合不符合某粒子的波函数为归一化波函数概率密度概率密度最大的位置令求积分得：积分得：得得 到到 归归 一一 化化 波波 函函 数数 ：概率密度得得令求极大值的求极大值的 x 坐标坐标解得解得另外两个解另外两个解处题设处题设处处最大F uvF232

37、2( )1( )2111( )3211( )2222f xxxdAf xxAdxBf xxxxcBdxxxCf xC22212( , )( ),2121( , )22nEitnnnnitnnnntN eHeHitnnHN H et 本征方程本征方程AA本征值本征值本征值波函数本征值波函数力学量算符力学量算符例如：谐振子例如：谐振子60三.态叠加原理假设II 若若 1 1, , 2, n为某一微观体系可能的状态，由它们线性组合所得为某一微观体系可能的状态，由它们线性组合所得 的也是该的也是该体系可能存在的状态，即体系可能存在的状态，即 1122iinnicccc式中式中c c1 1, ,c2,

38、cn为线性组合常数，为线性组合常数， 状态中各个状态中各个 i出现的几率为出现的几率为| |ci| |2 2 。*22A()A() A iiijjijijiiiijiiiadccdc cdc adc a 显然，体系在状态 时，平均值 是 的权重平均值。 aia由非本征态力学量的平均值公式可得微观粒子的运动状态用波函数完全来描述微观粒子的运动状态用波函数完全来描述考虑电子双缝干涉考虑电子双缝干涉 l= C= C1 11 1 + C + C2 22 2 也是电子的可能状态。也是电子的可能状态。 l空间找到电子的几率则是：空间找到电子的几率则是： l|2 2 = |C = |C1 11 1+ C+

39、C2 22 2| |2 2 l = (C = (C1 1* *1 1* *+ C+ C2 2* *2 2* *) (C) (C1 11 1+ C+ C2 22 2) ) l = |C = |C1 1 1 1| |2 2+ |C+ |C2 22 2| |2 2 + C + C1 1* *C C2 21 1* *2 2 + C + C1 1C C2 2* *1 12 2* * P1 12 2S1S2电子源电子源感感光光屏屏电子穿过狭缝电子穿过狭缝出现在点出现在点的几率密度的几率密度电子穿过狭缝电子穿过狭缝出现在点出现在点的几率密度的几率密度相干项相干项 正是由于相干项的正是由于相干项的出现，才产生

40、了干出现，才产生了干涉花纹。涉花纹。一个电子有一个电子有 1 1 和和 2 2 两种可能的状态，两种可能的状态， 是是这两种状态的叠加。这两种状态的叠加。 上式中的后两项代表相干项，显示出波动性。所以微观上式中的后两项代表相干项，显示出波动性。所以微观世界的统计规律是几率幅相加律世界的统计规律是几率幅相加律( (不是经典几率直接相加不是经典几率直接相加) )。物理学大师费曼把几率幅叠加称为物理学大师费曼把几率幅叠加称为“量子力学的第一原量子力学的第一原理理”。他这样写到。他这样写到“如果一个事件可能有几种方式实现，如果一个事件可能有几种方式实现，则该事件的几率幅就是各种单独实现的几率幅之和，于

41、是则该事件的几率幅就是各种单独实现的几率幅之和，于是出现了干涉出现了干涉”。显示了波动性。显示了波动性。 波函数是几率幅，波函数又是描述量子体系的态函数，波函数是几率幅，波函数又是描述量子体系的态函数，所以波的叠加就是态的叠加。波的叠加导致了干涉、衍射所以波的叠加就是态的叠加。波的叠加导致了干涉、衍射的波动性。的波动性。 态的叠加更深刻的含义是，如果态态的叠加更深刻的含义是，如果态1是系统的一个可是系统的一个可能态，能态， 2也是系统的另一个可能态，那么也是系统的另一个可能态，那么c1c11+c2 2 也也是系统的可能态是系统的可能态。这个态既不完全是。这个态既不完全是1 ，也不完全是态，也不

42、完全是态2 。而是它们各占几率为。而是它们各占几率为| |c c1 1| |2 2| |c c2 2 | |2 2的混合态。这种混的混合态。这种混合态导致了量子干涉效应。也导致了在叠加态下测量结果合态导致了量子干涉效应。也导致了在叠加态下测量结果的不确定性。的不确定性。德布罗意波（概率波）不同于 经典波（如机械波、电磁波）德布罗意波经 典 波是振动状态的传播不代表任何物理量的传播波强（振幅的平方）代表通过某点的能流密度波强（振幅的平方）代表粒子在某处出现的概率密度概率密度分布取决于空间各点波强的比例，并非取决于波强的绝对值。能流密度分布取决于空间各点的波强的绝对值。 因此，将波函数在空间各点的

43、振幅同时增大 C倍，不影响粒子的概率密度分布，即 和C 所描述德布罗意波的状态相同。 因此，将波函数在空间各点的振幅同时增大 C倍，则个处的能流密度增大 C 倍，变为另一种能流密度分布状态。波函数存在归一化问题。波动方程无归一化问题。波函数存在归一化问题。，直接叠加就可以了。是确定的，比如对位置合成，所得力学量经典波的叠加导致波的须满足线性方程。必性关系，所以表示。因为叠加满足线的态用是随时间变化的，完全一般),(),(trtr的不确定性。叠加导致了观测结果但如前所述，波函数的的叠加波函数的叠加与经典波例例 根据不确定关系估计氢原子的玻尔半径和基态能量值。根据不确定关系估计氢原子的玻尔半径和基

44、态能量值。解：设氢原子的电子在解：设氢原子的电子在 其原子半径其原子半径 r 范围内运动，即范围内运动，即 x r。根据不确定关系：根据不确定关系：p x = h - - p = h / x = h / r- - - 基态氢原子呈对称性，即基态氢原子呈对称性，即 动量平均值动量平均值 p = 0- - p = p - p = p - 0 = p - - 电子动能为电子动能为：EK = p2 / 2me = h2 / 2me r2- - 电子势能为电子势能为：EP = - e2 /4 o rEK = h2 / 2me r2 , EP = - e2 /4 o r- -基态能量为基态能量为 E 的极

45、小值的极小值 , 即：即： 电子总能量电子总能量：E = h2 / 2me r2 - e2 /4 o r- - E / r = - h2 / me r3 + e2 /4 o r2 = 0- - = 0.529 A o= - 13.6 eV 基态能量基态能量：Eo = h2 / 2me ro2 - e2 /4 o ro- -= - h2 / 2me ro2- - 玻尔半径：玻尔半径：re = 4h2 o / me e2 = o h2 / me e2 - - -1.力学量算符的引出如何在坐标表象的态函数 中求粒子的动量px的平均值。式中的px(x)是在坐标取值的动量值。海森伯不确定关系指出这是不可

46、能的， px(x)是没有意义的。我们必须引入动量(表象)波函数 是粒子动量在p pdp间隔内的几率，那么动量的平均值方可写成*( )( ) ( )xxpx pxx dxyy+ - =*( )( )pp pp dpff+ - =)(xdppp2| )(|),( 3.4 力学量算符及其力学量算符及其 本正值本正值 但又出现了一个问题，如果物理量既含动量又含坐标，如能量E=p2/2m+V(x) ，又如何求能量的平均值呢?所以我们必须给出一个更一般的表达式。其实(x) 和(px)之间有一种变换关系傅立叶变换，即 2)()(2)()(/dxexpdpepxhxipxxhxipxxx这样dxdppepxp

47、dppdxexpdppppxxhxipxxxxhxpixxxxxxx2)()(*)()(2)()()()(*/*/（1）dxxxixdxdpepxixdxdppexixxhxipxxxhxipxx)()(*2)()(*2)()(*/(2)在推导（2）式时，利用了如下算符作用关系：hxipxhxipxxepexi/ （2）式指出，如果把动量px改换成算符形式 ，那么用坐标表象的波函数 (x) ，也可求动量的平均值。上推导还给出动量算符px的本征值方程式:xi hxipxhxipxxepexi/ 2. 力学量算符及本征值方程 量子力学与经典力学相比有两个显著的区别，一个是专门引入态函数(波函数)描

48、述体系的状态，另一个是用算符表示力学量。在坐标表象中即在 (x) 中求动量的平均值,须把px换成算符形式 ,记为 ,xi xipxzippyippxxyy ip p22222mTmpEk类似的动量的算符是动能的算符是 在坐标表象中，凡x函数的力学量，其算符就是本身。如势能V(x)的算符就是V(x) 。这样总能量(动能加势能)的算符是(r)VmH 222 在经典力学中，由位置矢量和动量可组合成其他力学量，如角动量力学量L=rp。在量子力学里，相应的角动量算符是r)(rp rLii在直角坐标系中)()()(xyyxipypxLzxxzipxpzLyzzyipzpyLxyzzxyyzx 在球坐标系

49、(r,) 中，借助于直角坐标和球坐标之间的如下关系（见下图）xyrzrzryzyxrrxtancoscossinsincossin2222不难给出角动量各分量表达式iLiLiLzyx)sincot(cos)coscot(sin角动量平方算符在球坐标系的表示是22222222sin1sinsin1zyxLLLL 力学量算符有一个重要的性质，即代表力学量的两个算符的乘积一般是不对易的。用符号 的对易关系，若 两个算符对易，即满足交换率；若 ，两个算符不对易。很容易证明FGGFFGFG,表示0,FG0,FG0,yxzxzyzyxpzpzpypypxpxipzpypx 利用上关系式和角动量直角坐标分量

50、算符的表达式,也不难证明0, 0,22 zyxzxzyzyxLLLLiLLLiLLLiLL例如L 在数学上,算符 的一般定义是,当它作用倒一个函数f上后,可以把f映射为另一个函数g,即 当函数f与g只差一个常数时,即 ,该方程称函数f的本征方程，f称本征函数,一组数 称本征值。例如能量的本征方程是角动量平方算符的本征方程是角动量 沿z方向的分量算符 的本征方程是自旋角动量的本征方程是gfffnnnEH),()(),(),(lllYllaYYL221 L iLz)()(mi21121212 zSS 薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在量子力学中的地位和作用相当于牛顿力学中的牛顿方程，电磁学

51、中的麦克斯韦方程，它描述了量子系统状态的演化规律。下面用一种直观的方法引出薛定谔方程。 考察质量为m，动量为p，能量为E=p2/2m的自由粒子的一维运动，它对应的德布罗意波是波矢为k圆频率为 的平面波，即式中的k=2/,=2r按照德布罗意关系式=h/p和关系式E=h ,自由运动的粒子的动量pn和能量E与平波面波矢k和圆频率有如下关系)(),(tkxioetxhEkhpx一、自由粒子的薛定谔方程 3.5 薛定谔方程薛定谔方程于是德布罗意平面波可改写为/ )(),(Etxpioxetx 这个德布罗意波函数就是描述具有确定能量和动量的自由粒子运动的态函数。不难看出，若要从这个态函数中提取粒子的动能，

52、动量信息，则必须用时间和空间坐标的微分算符作用其上方可给出，即xpxiEti对于非相对论自由粒子能量动量关系式mkmpEx2222）（或 也可以通过如下算符作用在波函数 上得到),(),(txxmtxti2222 该式就是自由粒子一维运动的波方程,将其推广到三维情况,E=p2/2m波动方程是),(),(tmttir2r22 2222222zyx式中 是拉普拉斯算符.如果粒子在势场V(r,t)中作三维运动,粒子的总能量是)( ,tVmpEr22 )(t , x二、含时薛定谔方程 称哈密顿算符，该式就是薛定谔方程，该方程是线性齐次方程，因而它保证了波函数 (即态函数)的叠加性。相应的波方程应该是)

53、,(),(),(),(tHttVmttirrr2r22 H式中如果势场不显含时间t ,即V=V(r),那么薛定谔方程成为),()(),(tVmttirr2r22 仔细观察上式两边，不难发现方程的左边只含对时间微商的运算，右边只涉及对空间微商的运算，故可取分离变量式，即 )()(),(tftrr三、定态及定态薛定谔方程并将其代人上式后,得到如下等式EVmdttdftfi )()()()()(rr2r12 式中E是既不依赖时间又不依赖空间坐标的常量(能量)。由上式分离出)()(tEftfti它的解是/)(iEtoeftf/)(),(iEtetrr因此波函数具有形式（定态波函数）其中波函数的空间部分

54、满足EHEVm )()()(或rrr22式中)(r222VmH 称定态薛定谔方程 一般说来该方程不是对任意的E(能量)值才有解，只对一系列特定、分立值才有解，故这些特定的E值可以用整数n编序成En，表明能量是量子化的。可见能量量子化自然蕴含在薛定谔方程中。方程 正是能量本征方程。En是系统的一切可能的能量本征值，即常称的能级。n是本征值En对应的本征函数或本征态。力学量能量用哈密顿算符表示；哈密顿算符有本征方程，通过求解该方程给出力学系统的一切可能的能量本征值及对应的本征函数，这是量子力学的基本假设。求解能量本征方程是量子力学最主要的任务。nnnEH由粒子运动实际情况正确写出势函数V(x)代入

55、定态薛定谔方程解方程解出能量本征值和相应的本征函数求出概率密度分布及其他力学量量子力学解题的一般思路自由粒子方势阱0)(xV方势阱0)(xV)(xV0)(xV无限深方势阱)(xV几种势函数)(xV方势阱0)(xV)(xV方势阱是实际情况的极端化和简化分子束缚在箱子内三维方势阱金属中的电子例如势垒)(xV梯形势散射问题)(xV势垒隧道贯穿)(xV)(xV其他形式超晶格谐振子a金属V(x)V=V0V=V0EV=0 x极限V=0EVVV(x)x0a 无限深方势阱(potential well)1、一维无限深方形势阱 分立谱V=0EVVV(x)x0a特点：粒子在势阱内受力为零势能为零在阱内自由运动在阱

56、外势能为无穷大在阱壁上受极大的斥力 不能到阱外例：一个粒子在如图所示的势场中运动，它的势能为 这种势场称为一维无限深势阱。在一维无限深势阱中粒子如何运动？它的波函数如何？能量如何？ 0)(xUaxxax,00 势函数粒子在阱内自由运动不能到阱外(1)薛定谔方程和波函数)(xV0(x)ax阱外a0)(xVx00)(xV阱内 )(ax0哈密顿量)(2222xVxmHdd定态薛定谔方程阱外：)()(211222xExxmdd)()(222222xExxmdd阱内：a0)(xVx0根据波函数有限的条件阱外0,0)(2xaxx1)阱外分区求通解)()(222222xExxmdd)()(dd2222xEx

57、xm令222mEk 2)阱内0)()(2 xkx(为了方便将波函数脚标去掉)将方程写成通解kxBkxAxsincos)(式中 A 和 B 是待定常数由波函数标准条件和边界条件定特解通解是0A0)0()0(02处处xkxBxsin)(0sinkaB0)()(2aaax处处解的形式kxBkxAxsincos)(解的形式为能量取值)0(knka), 3 , 2 , 1(nank0sinkaB0BA已经为零了 B不能再为零了即), 3 , 2 , 1(22222nnmaEn222nmEk 222an只能 ka 等于零要求故能量可能值但由上式1 )每个可能的值叫能量本征值 2 )束缚态 粒子能量取值分立

58、 (能级概念) 能量量子化 3 )最低能量不为零-波粒二象性的必然结果 因为静止的波是不存在的。 4 )当n 趋于无穷时,能量趋于连续 5 )通常表达式写为讨论, 2 , 122222nnmLEnL-阱宽), 3 , 2 , 1(22222nnmaEn本征函数系由归一性质 定常数 B1xxxad )()(*01sin022axkxBdaB2得本征函数这组函数构成本征函数系。), 3 , 2 , 1(sin2)(.nxanaxn考虑到振动因子tEine（驻波解）tnEinnex)(定态波函数), 3 , 2 , 1(sin2 nexanatnEi概率密度*nnnnnP, 2 , 1sin22nx

59、ana本征能量和本征函数的可能取值nnnPEn32122212maExaasin21axaPsin221124EE xaaPxaa2sin22sin2222xaaPxaa3sin23sin2233139EE (2)小结：xanansin2,2, 1sin22nxanaPn22222nmaEn一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度 x4 x3 x2 x1 4E3E2E1E)(xoa 23x 3 n 24x 4 n 22x 2 n 21x 1 naoa21 2a 323a 24a n时，量子经典符合玻尔对应原理|2n|an很大En0平均效应明显2. 隧道效应我们考虑粒子在势能为的方势垒中的运动，

60、势能曲线如下图所示。axUaxxxUo 000,)( 粒子通过一维方势垒的运动是一般散射问题的基础。所谓散射问题是指一定动量p和一定能量E的粒子经过势场，在势场力作用下偏离原入射方向，被散射在各个方向上。粒子被一维方势垒的散射，只出现在两个方向上透射和反射方向。一维散射问题归结为求粒子经方势垒后的透射系数|t|2和反射系数|r|2 。它们分别定义为粒子的透射几率流密度J透与入射几率流密度J入之比,反射几率流密度J反与入射几率流密度J入之比： 假设入射粒子的能量为E，被势垒散射后能量保持不变，那么可认为体系的状态是定态，几率流密度仅取决|2,于是问题完全归结求定态波函数上。几率流密度是粒子几率密