第4章 数字逻辑基础

1、第第 四章四章 数字逻辑基础数字逻辑基础4.1 数制和码制数制和码制4.2 逻辑代数中的基本运算逻辑代数中的基本运算4.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式4.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理4.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法4.6 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法4.7 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法4.1 数制和码制数制和码制随着信息时代的到来，随着信息时代的到来，“数字数字”这两个字正这两个字正以越来越高的频率出现在各个领域，数字手表、以越来越高的频率出现在各个领域，数字手表、数字电视、数字通信、数字控制数字电视、数字通

2、信、数字控制数字化已成数字化已成为当今电子技术的发展潮流。数字电路是数字电为当今电子技术的发展潮流。数字电路是数字电子技术的核心，是计算机和数字通信的硬件基础子技术的核心，是计算机和数字通信的硬件基础。 本章首先介绍数字电路的一些基本概念及数本章首先介绍数字电路的一些基本概念及数字电路中常用的数制与码；然后介绍数字逻辑中字电路中常用的数制与码；然后介绍数字逻辑中的基本逻辑运算、逻辑函数及其表示方法。的基本逻辑运算、逻辑函数及其表示方法。 4.1.1 数字量和模拟量数字量和模拟量电子电路中的信号可以分为两大类：电子电路中的信号可以分为两大类：模拟信号模拟信号在时间上或数值上是连续变化的物理在时间

3、上或数值上是连续变化的物理量，叫量，叫模拟量模拟量，如热电偶在工作时输出的电，如热电偶在工作时输出的电压信号（被测温度的变化）。表示模拟量的压信号（被测温度的变化）。表示模拟量的信号叫信号叫模拟信号模拟信号，并把工作在模拟信号下的，并把工作在模拟信号下的电子电路称为电子电路称为模拟电路模拟电路。数字信号数字信号在时间上或数值上是不连续变化（离在时间上或数值上是不连续变化（离散）的物理量，叫散）的物理量，叫数字量数字量，如电子表的秒信，如电子表的秒信号、生产流水线上记录零件个数的计数信号号、生产流水线上记录零件个数的计数信号等。这些信号的变化发生在一系列离散的瞬等。这些信号的变化发生在一系列离散

4、的瞬间，其值也是离散的。表示数字量的信号叫间，其值也是离散的。表示数字量的信号叫数字信号数字信号，并把工作在数字信号下的电子电，并把工作在数字信号下的电子电路称为路称为数字电路数字电路。数字信号数字信号1 1、数字信号只有两个离散值、数字信号只有两个离散值 ：“0 0”和和“1 1”。注意：这里的注意：这里的“0 0” 和和“1 1” 没有大小之分没有大小之分，只代表两种对立的状态，称为逻，只代表两种对立的状态，称为逻辑辑0 0和逻辑和逻辑1 1，也称为，也称为二值数字逻辑二值数字逻辑。 2 2、数字信号在电路中往往表现为突变的电压或电流、数字信号在电路中往往表现为突变的电压或电流 Vt(V)

5、(ms)5010 20 30 40 50图1.1.1 典型的数字信号（1 1）信号只有两个电压值，）信号只有两个电压值，5V5V和和0V0V。我们可以用我们可以用5V5V来表示逻辑来表示逻辑1 1，用用0V0V来表示逻辑来表示逻辑0 0；当然也可；当然也可以用以用0V0V来表示逻辑来表示逻辑1 1，用，用5V5V来来表示逻辑表示逻辑0 0。因此这两个电压。因此这两个电压值又常被称为值又常被称为逻辑电平逻辑电平。5V5V为高电平，为高电平，0V0V为低电平。为低电平。 2 2、数字信号在电路中往往表现为突变的电压或电流、数字信号在电路中往往表现为突变的电压或电流 Vt(V)(ms)5010 20

6、 30 40 50图1.1.1 典型的数字信号（2 2）信号从高电平变为低电平，）信号从高电平变为低电平，或者从低电平变为高电平是或者从低电平变为高电平是一个突然变化的过程，这种一个突然变化的过程，这种信号又称为信号又称为脉冲信号脉冲信号。 一、数制一、数制用数字量表示物理量的大小时，仅用一位数码用数字量表示物理量的大小时，仅用一位数码往往不够用，因此经常需要用进位计数的方法组成多往往不够用，因此经常需要用进位计数的方法组成多位数码使用。我们把多位数码中每一位的构成方法以位数码使用。我们把多位数码中每一位的构成方法以及从低位到高位的进位规则称为及从低位到高位的进位规则称为数制数制。 4.1.2

7、 数制和码制数制和码制数码：数码：0 0、1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、6 6、7 7、8 8、9 9 进位规则：逢十进一进位规则：逢十进一计数的基数：计数的基数：1010十进制数的展开公式：十进制数的展开公式：ii 10kD21012105107103104101143.751、十进制、十进制其中：其中：k i为第为第i位的系数；位的系数；10i称为第称为第i位的权。位的权。数码：数码：0 0、1 1进位规则：逢二进一进位规则：逢二进一计数的基数：计数的基数：2 2二进制数的展开公式：二进制数的展开公式：ii2 kD10210122(5.75)2121212021101.112、二

8、进制、二进制其中：其中：k i为第为第i位的系数；位的系数；2i称为第称为第i位的权。位的权。数码：数码：0 09 9、A(10)A(10)、B(11)B(11)、C(12)C(12)、D(13)D(13)、E(14)E(14)、F(15)F(15)进位规则：逢十六进一进位规则：逢十六进一计数的基数：计数的基数：1616十六进制数的展开公式：十六进制数的展开公式：ii1 kD6102-101167)(42.496093161516716101622A.7F3、十六进制、十六进制其中：其中：k i为第为第i位的系数；位的系数；16i称为第称为第i位的权。位的权。1 1、二十转换、二十转换 把二进

9、制转换为等值的十进制数称为二十转换。把二进制转换为等值的十进制数称为二十转换。二、数制转换二、数制转换例、例、将二进制数将二进制数10011.10110011.101转换成十进制数。转换成十进制数。 解：解：将每一位二进制数乘以位权，然后相加，将每一位二进制数乘以位权，然后相加，可得可得(10011.101)(10011.101)B B1 12 24 40 02 23 30 02 22 21 12 21 11 12 20 01 12 21 10 02 22 21 12 23 3（19.625)19.625)D D2 2、十二转换、十二转换 把十进制转换成等值的二进制，称为十二转换。把十进制转换

10、成等值的二进制，称为十二转换。231152122222余0余1余1余1余10kkkkk01234读取次序则（则（23)23)D D = =（10111)10111)B B例例1 1、将十进制数将十进制数2323转换成二进制数。（整数的转换）转换成二进制数。（整数的转换）解：解： 用用“除除2 2取余取余”法转换法转换: :2 2、十二转换、十二转换 把十进制转换成等值的二进制，称为十二转换。把十进制转换成等值的二进制，称为十二转换。整 1= k-1读取次序则（则（0.8125)0.8125)D D = =（0.1101)0.1101)B B例例2 2、将十进制数将十进制数0.81250.812

11、5转换成二进制数。（小数的转换）转换成二进制数。（小数的转换）解：解： 用用“乘乘2 2取整取整”法转换法转换: :0.8125 21.62500.6250 21.2500整 1= k-20.2500 20.5000整 0= k-30.5000 21.0000整 1= k-43 3、二十六转换、二十六转换 把二进制转换成等值的十六进制，称为二十六转换。把二进制转换成等值的十六进制，称为二十六转换。方法：把二进制数从低位到高位将每方法：把二进制数从低位到高位将每4 4位二进制数分为一组位二进制数分为一组并代之以等值的十六进制数，即可得到对应的十六进并代之以等值的十六进制数，即可得到对应的十六进数

12、。数。例：将例：将(1011110.10110010)(1011110.10110010)2 2化为十六进制数。化为十六进制数。(101(101， 1110. 10111110. 1011， 0010)0010)2 2=( 5 E . B 2 )=( 5 E . B 2 )16164 4、十六二转换、十六二转换 把十六进制转换成等值的二进制，称为十六二转换。把十六进制转换成等值的二进制，称为十六二转换。方法：将十六进制的每一位用等值的方法：将十六进制的每一位用等值的4 4位二进制数代替。位二进制数代替。例：将例：将(8F.C6)(8F.C6)1616化为二进制数。化为二进制数。= (1000=

13、 (1000， 1111. 11001111. 1100， 0110)0110)2 2 ( 8 F . C 6 ) ( 8 F . C 6 )1616表示不同事物的数码称为代码（如邮政编码、表示不同事物的数码称为代码（如邮政编码、电话号码、运动员的编号等等），在编制代码电话号码、运动员的编号等等），在编制代码时遵循的规则称为时遵循的规则称为码制码制。三、码制三、码制（每一位的（每一位的“1”代表代表固定的数值：固定的数值：恒权恒权）5421码码编码分类编码分类（常用常用）恒权代码：恒权代码：变权代码：变权代码：8421码码循环码循环码(Gray code:格雷码格雷码）余余3循环码循环码（每一

14、位的（每一位的“1”不代表不代表固定的数值固定的数值：变权变权）BCDBCD代码代码：用：用4 4位二进制数码表示位二进制数码表示1 1位十进制数，这些位十进制数，这些代码称为二十进制代码，简称代码称为二十进制代码，简称BCDBCD代码。代码。十进十进制数制数8421BCD码码2421BCD码码5121BCD码码余余3码码余余3循环码循环码000000000000000110010100010001000101000110200100010001001010111300110011011001100101401000100011101110100501011011100010001100601

15、101100100110011101701111101101010101111810001110101110111110910011111111111001010 8421码是码是BCD代码中最常用的一种。若把每一个代码都看成是一代码中最常用的一种。若把每一个代码都看成是一个四位二进制数，各位的权依次为个四位二进制数，各位的权依次为8，4，2，1。另外，每个代码。另外，每个代码的数值恰好等于它所表示的十进制数的大小。的数值恰好等于它所表示的十进制数的大小。 2421BCD码也是一种有权码，它的另两个特点是：编码方案不唯码也是一种有权码，它的另两个特点是：编码方案不唯一（如十进制数一（如十进制数

16、“5”可以编码为可以编码为“1011”或或“0101”）；）；09、18、27等数字编码互为按位取反结果，这有助于十进制的运等数字编码互为按位取反结果，这有助于十进制的运算简化；算简化； 余余3码被看成码被看成4位二进制数时，则它的数值要比它所表示的十进制位二进制数时，则它的数值要比它所表示的十进制数码多数码多3。如果将两个余。如果将两个余3码相加，所得的和将比十进制数和所对码相加，所得的和将比十进制数和所对应的二进制数多应的二进制数多6。因此，在用余。因此，在用余3码作十进制加法运算时，若两码作十进制加法运算时，若两数之和为数之和为10，正好等于二进制数的，正好等于二进制数的16，于是从高位

17、自动产生进位，于是从高位自动产生进位信号。信号。 余余3循环码是一种无权码，其特点是：每两个相邻编码之间只有循环码是一种无权码，其特点是：每两个相邻编码之间只有一位码元不同。这一特点使数据在形成和传输时不易出现错误；一位码元不同。这一特点使数据在形成和传输时不易出现错误；格雷码（格雷码（GrayGray） 格雷码的特点是：格雷码的特点是：v 任意两个相邻码组之间只有一位码原不同（任意两个相邻码组之间只有一位码原不同（0和最大和最大数之间也只有一位不同），因此格雷码也称为循数之间也只有一位不同），因此格雷码也称为循环码；这种编码在形成和传输时不易出错；环码；这种编码在形成和传输时不易出错；v 最

18、高位的最高位的0和和1只改变一次。若以最高位的只改变一次。若以最高位的0和和1的交的交界为轴，其他低位的代码以此轴对称，利用这一界为轴，其他低位的代码以此轴对称，利用这一特点可以很容易地构成位数不同的格雷码；特点可以很容易地构成位数不同的格雷码；v 格雷码是一种无权码，不易直接进行运算，但可以格雷码是一种无权码，不易直接进行运算，但可以很容易地与二进制进行换算；很容易地与二进制进行换算；v 格雷码有许多形式，如余格雷码有许多形式，如余3循环码等；循环码等；一 种 典 型 的 格 雷 码两位格雷码两位格雷码0 00 11 11 00 0 00 0 10 1 10 1 01 1 01 1 11 0

19、 11 0 00 0 0 00 0 0 10 0 1 10 0 1 00 1 1 00 1 1 10 1 0 10 1 0 01 1 0 01 1 0 11 1 1 11 1 1 01 0 1 01 0 1 11 0 0 11 0 0 0三位格雷码三位格雷码四位格雷码四位格雷码0 00 11 11 01 01 10 10 00110 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 00 0 00 0 10 1 10 1 01 1 01 1 11 0 11 0 0例：例：四位循环码四位循环码(Gray code:格雷码格雷码）: 十十进进制制数数 Gr

20、ay码码 0 0000 1 0001 2 0011 3 0010 4 0110 5 0111 6 0101 7 0100 十十进进制制数数 Gray码码 8 1100 9 1101 10 1111 11 1110 12 1010 13 1011 14 1001 15 1000 相邻相邻相邻相邻相邻相邻相邻相邻例：例：四位循环码四位循环码(Gray code:格雷码格雷码）: 十十进进制制数数 Gray码码 0 0000 1 0001 2 0011 3 0010 4 0110 5 0111 6 0101 7 0100 十十进进制制数数 Gray码码 8 1100 9 1101 10 1111 1

21、1 1110 12 1010 13 1011 14 1001 15 1000 后两位循环码后两位循环码前两位循环码前两位循环码当两个二进制数码表示两个数量大小时，它们之间可当两个二进制数码表示两个数量大小时，它们之间可以进行数值运算，这种运算称为算术运算。以进行数值运算，这种运算称为算术运算。二进制算术运算的规则和十进制算术运算的规则基本二进制算术运算的规则和十进制算术运算的规则基本相同，唯一的区别在于二进制数是逢二进一，而十进相同，唯一的区别在于二进制数是逢二进一，而十进制数是逢十进一。制数是逢十进一。4.1.3 算术运算算术运算1 1、加法运算、加法运算1 0 0 1+ 0 1 0 11

22、1 1 02 2、减法运算、减法运算1 0 0 1 0 1 0 10 1 0 03 3、乘法运算、乘法运算4 4、除法运算、除法运算1 0 0 1 0 1 0 11 0 0 10 0 0 01 0 0 10 0 0 00 1 0 1 1 0 111001 010101011000 .1100 010101100101 10001 1、真值与机器数、真值与机器数带有正负号的数称为带有正负号的数称为符号数符号数。 一个带符号的数由两部分组成：一部分表示数一个带符号的数由两部分组成：一部分表示数的的符号符号，另一部分表示数的，另一部分表示数的数值数值。对于一个。对于一个n n位的位的二进制数，如果数

23、的第一位为符号位，则剩下的二进制数，如果数的第一位为符号位，则剩下的n-n-1 1位就表示数的数值部分。位就表示数的数值部分。 带符号数的代码表示带符号数的代码表示直接用正号直接用正号“+ +”和负号和负号“- -”表示带符号的二进表示带符号的二进制数，叫做符号数的制数，叫做符号数的真值真值。如。如+ +1011001、 - -1011001。数的真值形式是一种原始形式，不能直接用于计数的真值形式是一种原始形式，不能直接用于计算机中算机中。1 1、真值与机器数、真值与机器数带有正负号的数称为带有正负号的数称为符号数符号数。 一个带符号的数由两部分组成：一部分表示数一个带符号的数由两部分组成：一

24、部分表示数的的符号符号，另一部分表示数的，另一部分表示数的数值数值。对于一个。对于一个n n位的位的二进制数，如果数的第一位为符号位，则剩下的二进制数，如果数的第一位为符号位，则剩下的n-n-1 1位就表示数的数值部分。位就表示数的数值部分。 带符号数的代码表示带符号数的代码表示若符号数的正负号用相应的二进制数表示（一若符号数的正负号用相应的二进制数表示（一般正数用般正数用0 0表示，负数用表示，负数用1 1表示），则称为表示），则称为机器数机器数，可用于计算机中。可用于计算机中。机器数有三种表示形式：机器数有三种表示形式：原码原码、反码反码和和补码补码。符号位符号位2 2、原码、原码: :原

25、码又称为原码又称为“符号符号- -数值表示数值表示”。在以原码表示的。在以原码表示的正数和负数中，第一位表示符号位（正数用正数和负数中，第一位表示符号位（正数用0 0表示表示，负数用，负数用1 1表示），其余各位表示数置位。表示），其余各位表示数置位。带符号数的代码表示带符号数的代码表示+ 1011001原原 = 0 10110011011001原原 = 1 10110012 2、原码、原码: :1 1）、当）、当N N为正数时，为正数时，NN原原和和N N的区别只是增加一位的区别只是增加一位用用0 0表示的符号位，所以表示的符号位，所以NN原原=N=N。带符号数的代码表示带符号数的代码表示2

26、 2）、当）、当N N为负数时，为负数时，NN原原和和N N的区别是增加一位用的区别是增加一位用1 1表示的符号位。表示的符号位。3 3）、在原码表示中，有两种不同形式的）、在原码表示中，有两种不同形式的0 0，即：，即： + 0 原原 = 0 000 0 原原 = 1 000+ 1011001原原 = 0 10110011011001原原 = 1 10110013 3、反码、反码: :用反码表示时，左边第用反码表示时，左边第1 1位也为符号位（正号用位也为符号位（正号用0 0表表示，负号用示，负号用1 1表示）。对于正数，反码和原码相同表示）。对于正数，反码和原码相同；对于负数，反码的数值是

27、将原码数值按位求反。；对于负数，反码的数值是将原码数值按位求反。带符号数的代码表示带符号数的代码表示+ 1011001反反 = 0 10110011011001反反 = 1 0100110+ 1011001原原 = 0 10110011011001原原 = 1 10110013 3、反码、反码: :1 1）、正数）、正数N N的反码与原码相同；的反码与原码相同；2 2）、对于负数）、对于负数N N，其反码的符号位为，其反码的符号位为1 1，数值部分，数值部分是将原码的数值部分按位取反；是将原码的数值部分按位取反；3)3)、在反码中有两种不同的、在反码中有两种不同的0 0的表示形式，即：的表示形

28、式，即：带符号数的代码表示带符号数的代码表示+ 1011001原原 = 0 10110011011001原原 = 1 1011001+ 1011001反反 = 0 10110011011001反反 = 1 0100110 + 0 反反 = 0 000 0 反反 = 1 1114 4、补码、补码: :在补码表示中，正数的补码与其原码、反码相同；在补码表示中，正数的补码与其原码、反码相同；对于负数的补码，其符号位为对于负数的补码，其符号位为1 1，而数值位是将原，而数值位是将原码按位取反后，在最低位加码按位取反后，在最低位加1 1。带符号数的代码表示带符号数的代码表示+ 1011001补补 = 0

29、 10110011011001补补 = 1 0100111+ 1011001原原 = 0 10110011011001原原 = 1 10110014 4、补码、补码: :1 1）、正数）、正数N N的补码与原码和反码相同；的补码与原码和反码相同；2 2）、对于负数）、对于负数N N，其补码的符号位为，其补码的符号位为1 1，数值部分，数值部分是将原码的数值部分按位取反后，在最低位是将原码的数值部分按位取反后，在最低位加加1 1；3)3)、在补码表示中，、在补码表示中，0 0的表示形式是唯一的，即的表示形式是唯一的，即带符号数的代码表示带符号数的代码表示+ 1011001原原 = 0 10110

30、011011001原原 = 1 1011001+ 1011001补补 = 0 10110011011001补补 = 1 0100111 + 0 补补 = 0 000 0 补补 = 0 000例例1：求十进制数：求十进制数 +65、-65的原码、反码和补码。的原码、反码和补码。1、先求（、先求（65）10（ ？ ）22232216余余08422余余0余余0余余0余余0低位低位652余余121余余12、对正数来说，符号位（最高位）补、对正数来说，符号位（最高位）补0，且其原码反码补码，则：且其原码反码补码，则： （65）10 的原码反码补码的原码反码补码 010000013、对负数来说，符号位（最

31、高位）补、对负数来说，符号位（最高位）补1， 则：则： （65）10 的反码的反码10111110（65）10 的补码的补码10111111（65）10（1000001）2（65）10 的原码的原码11000001 例例2：设机器码长度为：设机器码长度为8，则：，则：1. （11110110）原码原码（ ？）？）真值真值 v 因为是原码，去掉符号位后直接将数值部分转换为十进制数据：因为是原码，去掉符号位后直接将数值部分转换为十进制数据：（1110110）2（64321642）10（118）10v 符号位为符号位为1，说明为负数，所以：（，说明为负数，所以：（11110110）原码原码（118）

32、真值真值2. （11110110）反码反码（ ？）？）真值真值v 先将反码转换成原码先将反码转换成原码 符号位不变，数值部分按位取反，得：符号位不变，数值部分按位取反，得：（11110110）反码反码（10001001）原码原码v 按按1中步骤将该原码转换为十进制数：中步骤将该原码转换为十进制数：（10001001）原码原码（9）真值真值3. （11110110）补码补码（ ？）？）真值真值v 对负数而言，数值部分相同的补码比反码小对负数而言，数值部分相同的补码比反码小1，得：，得：（11110110）补码补码（10）真值真值将二进制的减法运算转化成加法运算将二进制的减法运算转化成加法运算为了

33、简化运算电路，在数字电路中两数相减的运算为了简化运算电路，在数字电路中两数相减的运算是用它们的补码相加来完成的。是用它们的补码相加来完成的。符号位符号位舍去舍去例例：计算（：计算（1001）2（0101）21、求出两个数的补码、求出两个数的补码 + 1001补补= 0 10010101补补= 1 10112、将两个补码相加并舍去进位、将两个补码相加并舍去进位0 1001+ 1 10111 0 0100计算结果：计算结果：（1001）2（0101）2=(0 0100)2=(+4)104.2 逻辑代数中的基本运算逻辑代数中的基本运算描述客观事物逻辑关系的数学方法，称为布描述客观事物逻辑关系的数学方

34、法，称为布尔代数。由于布尔代数被广泛应用于解决开关电尔代数。由于布尔代数被广泛应用于解决开关电路和数字逻辑电路的分析与设计上，所以也把布路和数字逻辑电路的分析与设计上，所以也把布尔代数叫做尔代数叫做逻辑代数逻辑代数或或开关代数开关代数。 逻辑代数中也用字母表示变量，称为逻辑代数中也用字母表示变量，称为逻辑变逻辑变量量。在二值逻辑中，。在二值逻辑中，每个逻辑变量的值只有每个逻辑变量的值只有“1 1”和和“0 0”两种两种。它们不再表示数量的大小，只代表。它们不再表示数量的大小，只代表两种不同的逻辑状态。两种不同的逻辑状态。 逻辑代数的基本运算：与、或、非三种。逻辑代数的基本运算：与、或、非三种。

35、BAY全为全为1，则为则为1。ABYYBA0 0 00 0 10 1 01 1 1断断断断暗暗通通断断暗暗断断通通暗暗通通通通亮亮ABY某个事件受若干个条件影响，某个事件受若干个条件影响，若所有条件成立，其因果关系若所有条件成立，其因果关系才成立，这样的逻辑关系称逻才成立，这样的逻辑关系称逻辑乘（与）。即辑乘（与）。即YAB。BAY把实现逻辑与运算的单元电路叫做把实现逻辑与运算的单元电路叫做与与门。门。ABY“与与”门图形符号门图形符号ABY0 0 = 0 0 1 = 01 0 = 0 1 1 = 1BAY有有1，则为则为1。ABYYBA0 0 01 0 11 1 01 1 1断断断断暗暗通通

36、断断亮亮断断通通亮亮通通通通亮亮ABY一个事件的成立与否有许多条件，一个事件的成立与否有许多条件，只要其中一个或几个条件成立，事只要其中一个或几个条件成立，事件便成立，这样一种逻辑关系称逻件便成立，这样一种逻辑关系称逻辑加（或）。即辑加（或）。即YABBAY把实现逻辑或运算的单元电路叫做把实现逻辑或运算的单元电路叫做或或门。门。A1BY“或或”门图形符号门图形符号0 + 0 = 0 0 + 1 = 11 + 0 = 1 1 + 1 = 1ABYAY 0非则非则1，1非则非则0。AY1 0 0 1 断断亮亮通通暗暗YA YA条件不具备时，事件才发生。条件不具备时，事件才发生。AY 把实现逻辑非运

37、算的单元电路叫做把实现逻辑非运算的单元电路叫做非非门。门。A1Y“非非”门图形符号门图形符号AYABY 与非门与非门ABYABYA B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 或非门或非门BAYA1BYABYA B Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 与或非门与或非门CDABYA1BYCD逻辑真值表见教材逻辑真值表见教材P11表表1.2.6异或门异或门A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 相同为相同为“0”不同为不同为“1”=1BAYABY同或门同或门A B Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 相同为相同为“1”不同为不同为“0

38、”BAY=1ABY4.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式一、变量与常量间的运算规则一、变量与常量间的运算规则二、重叠律二、重叠律同一变量之间的运算规律同一变量之间的运算规律AA0 1A1AA1 0A0AA A AAA三、互补律三、互补律变量与其反变量之间的运算规律变量与其反变量之间的运算规律1A A 0AA四、交换律四、交换律ABB A ABBA4.3.1 基本公式基本公式五、结合律五、结合律六、分配律六、分配律 CBACBACBACBA CABACBACABACBA七、还原律七、还原律AA 八、求反运算八、求反运算10 01推广到多变量：推广到多变量：CBACBA

39、CBACBA 说明：说明：两个（或两个以上）变量的两个（或两个以上）变量的与非与非（或非或非）运算等于两个（或两个以上）变量的运算等于两个（或两个以上）变量的非非或或（非与非与）运算。）运算。BAABBABA九、反演律（九、反演律（ 摩根定律）摩根定律）将反号下的表达式中：将反号下的表达式中： + 各因子均取反各因子均取反确定因子顺序：确定因子顺序：先括号先括号 再乘法再乘法 后加法。后加法。注意注意:反演定律的记忆技巧反演定律的记忆技巧：CBACBA CBACBA 例例1：0DCBACBACBA CBACBA 0DCBA1)()(DCBADBCBDACA例例2：EDCBAEDACABACBA

40、CBA CBACBA )(EDCBAEDCBA)(EDCBA4.3. 若干常用公式若干常用公式1.原变量的吸收：原变量的吸收： A + AB = A证明：证明：左式左式=A(1+B)原式成立原式成立口诀：口诀：长项长项短项短项 =A =右式右式1|长中含短长中含短 留下短留下短 2. 反变量的吸收：反变量的吸收： A + A B = A + B 证明：证明：=右式右式口诀：口诀：长中含反长中含反去掉反去掉反原原(反反)变量变量反反(原原)变量变量添冗余项添冗余项BAABA 左式左式)AA(BA 1|3.混合变量的吸收：混合变量的吸收： 证明：证明：添冗余因子添冗余因子A B + A C + B

41、C=AB+AC 互互为为反反变量变量=右式右式口诀：口诀：正负相对正负相对余全完余全完（消（消冗余项）冗余项）添加添加BCCAAB 左式左式BC)AA(CAAB BCAABCCAAB )BCACA()ABCAB( CAAB 3.混合变量的吸收：混合变量的吸收： A B + A C + BC=AB+AC 互互为为反反变量变量口诀：口诀：正负相对正负相对余全完余全完（消（消冗余项）冗余项）冗余因子冗余因子含有冗余因子的含有冗余因子的项，叫冗余项。项，叫冗余项。只要该项是冗余只要该项是冗余项，就可消去！项，就可消去！ACBABCDACBACAABBCDCAAB4. 4. 其他常用公式其他常用公式AB

42、AABABAAABAAABABA这些公式可经过简单的推导即可得出。这些公式可经过简单的推导即可得出。4.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理1 1、代入定理、代入定理在任何一个包含变量在任何一个包含变量A A的逻辑等式中，若以的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式带入式中所有另外一个逻辑式带入式中所有A A的位置，则等式的位置，则等式仍然成立。仍然成立。BABA则：则：CBACBACBA2 2、反演定理、反演定理对于任意一个逻辑式对于任意一个逻辑式Y Y，若将其中所有的，若将其中所有的“”换成换成“+ +”， “+ +”换成换成“”，0 0换成换成1 1，1 1换成换成0 0，原变量换成反变量，

43、反变量换成原变量，则，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是得到的结果就是Y Y。用于求已知逻辑式的反用于求已知逻辑式的反逻辑式逻辑式使用反演定理时的规则使用反演定理时的规则：1 1、遵守、遵守“先括号、然后乘、最后加先括号、然后乘、最后加”的运算优的运算优先次序；先次序；2 2、不属于单个变量上的反号应保留不变。、不属于单个变量上的反号应保留不变。内容：内容：将函数式将函数式Y中所有的中所有的 + 变量与常数均取反变量与常数均取反 （求反运算）（求反运算）互补运算互补运算1.运算顺序：先括号运算顺序：先括号 再乘法再乘法 后加法。后加法。2.不是一个变量上的反号不动。不是一个变

44、量上的反号不动。注意注意:用处：用处：实现互补运算（求反运算）。实现互补运算（求反运算）。新表达式：新表达式：Y显然：显然：YY (变换时变换时,原函数运算的先后顺序不变原函数运算的先后顺序不变)(反函数反函数)反演定理的记忆技巧反演定理的记忆技巧：例例1：1)()(1DCBAY01DCBAY与或式与或式注意括号注意括号注意注意括号括号01DCBAYDBDACBCAY1不能改变原来不能改变原来的优先次序的优先次序)(EDCBA)(EDCBA例例2：EDCBAY2EDCBAY2与或式与或式反号不动反号不动反号不动反号不动EDCBAY2EDACABAY23 3、对偶定理、对偶定理若两逻辑式相等，则

45、它们的对偶式也相等。若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。对偶式对偶式：对于任何一个逻辑式对于任何一个逻辑式Y Y，若将其中的，若将其中的“”换成换成“+ +”， “+ +”换成换成“”， 0 0换成换成1 1，1 1换成换成0 0，则得，则得到一个新的逻辑式到一个新的逻辑式Y ,Y Y ,Y 就叫就叫Y Y的对偶式。或者说的对偶式。或者说Y Y 和和Y Y互为对偶式。互为对偶式。BCAYCBAY，则若)()()(DCBAYCDABY，则若CDBAYDCABY，则若4.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法4.5.1 4.5.1 逻辑函数逻辑函数如果以逻辑变量作为输入，以运算结果作为如果

46、以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，那么当输入变量的取值确定之后，输出输出，那么当输入变量的取值确定之后，输出的取值便随之确定。因此，输出和输入之间是的取值便随之确定。因此，输出和输入之间是一种函数关系，这种函数关系称为一种函数关系，这种函数关系称为逻辑函数逻辑函数。.，CBAFY 4.5.2 4.5.2 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法：逻辑函数的表示方法：逻辑状态表（真值表）、逻辑函数式、逻辑状态表（真值表）、逻辑函数式、逻辑图和卡诺图。逻辑图和卡诺图。有一有一T型走廊，在相会处有一盏路灯，在进入走廊的型走廊，在相会处有一盏路灯，在进入走廊的A、B、C三地各有一个

47、控制开关，都能独立进行控制。三地各有一个控制开关，都能独立进行控制。控制要求：控制要求：任意闭合一个开关，灯亮；任意闭合一个开关，灯亮；任意闭合两个开关，灯灭；任意闭合两个开关，灯灭；三个开关同时闭合，灯亮。三个开关同时闭合，灯亮。设设A、B、C代表三个开关（输入变量），开关闭合状代表三个开关（输入变量），开关闭合状态为态为“1”，断开为，断开为“0”；灯亮；灯亮Y（输出变量）为（输出变量）为“1”，灯，灯灭为灭为“0”。分别用四种方法表示逻辑函数分别用四种方法表示逻辑函数Y。ABCY4.5.2 4.5.2 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法逻辑状态表逻辑状态表：将输入变量所有将输入变量所有

48、的取值下对应的输出变量的值以的取值下对应的输出变量的值以表格的形式表示出来，即可得到表格的形式表示出来，即可得到逻辑状态表逻辑状态表（真值表真值表）。）。ABCY条件条件：任意闭合一个开关，灯亮；：任意闭合一个开关，灯亮； 任意闭合两个开关，灯灭；任意闭合两个开关，灯灭； 三个开关同时闭合，灯亮。三个开关同时闭合，灯亮。ABCY00110101100101101010110000001111逻辑状态数逻辑状态数=2n n是输入变量的个数是输入变量的个数4.5.2 4.5.2 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法逻辑状态表逻辑状态表：将输入变量所有将输入变量所有的取值下对应的输出变量的值以的取值

49、下对应的输出变量的值以表格的形式表示出来，即可得到表格的形式表示出来，即可得到逻辑状态表逻辑状态表（真值表真值表）。）。ABCY条件条件：任意闭合一个开关，灯亮；：任意闭合一个开关，灯亮； 任意闭合两个开关，灯灭；任意闭合两个开关，灯灭； 三个开关同时闭合，灯亮。三个开关同时闭合，灯亮。ABCY11100000010101000111011100001111逻辑状态数逻辑状态数=2n n是输入变量的个数是输入变量的个数4.5.2 4.5.2 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法逻辑函数式逻辑函数式：把输出与输入之把输出与输入之间的逻辑关系用间的逻辑关系用“与与”、“或或”、“非非”等运算来表达

50、，即得逻辑等运算来表达，即得逻辑函数的表达式，即函数的表达式，即逻辑函数式逻辑函数式。ABCY条件条件：任意闭合一个开关，灯亮；：任意闭合一个开关，灯亮； 任意闭合两个开关，灯灭；任意闭合两个开关，灯灭； 三个开关同时闭合，灯亮。三个开关同时闭合，灯亮。ABCY00110101100101101010110000001111由逻辑状态表写出逻辑式由逻辑状态表写出逻辑式ABCCBACBACBAY1、取取Y=1列逻辑式。列逻辑式。找出真值表中使找出真值表中使逻辑函数逻辑函数Y=1的那些输入变量取值的那些输入变量取值的组合。的组合。2、每组输入变量取值的组合对应一个、每组输入变量取值的组合对应一个乘

51、积项。乘积项。“1”写成原变量，写成原变量，“0”写写成反变量。成反变量。3、将这些乘积项相加，即得、将这些乘积项相加，即得Y的逻辑的逻辑函数式。函数式。CBACBACBAABC4.5.2 4.5.2 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法逻辑图逻辑图：将逻辑函数中各变量将逻辑函数中各变量之间的与、或、非等逻辑关系用之间的与、或、非等逻辑关系用图形符号表示出来，即得表示函图形符号表示出来，即得表示函数关系的逻辑图。数关系的逻辑图。ABCY条件条件：任意闭合一个开关，灯亮；：任意闭合一个开关，灯亮； 任意闭合两个开关，灯灭；任意闭合两个开关，灯灭； 三个开关同时闭合，灯亮。三个开关同时闭合，灯亮。

52、ABCCBACBACBAY1AA1CCA1BBBC1Y4.5.2 4.5.2 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法ABCY条件条件：任意闭合一个开关，灯亮；：任意闭合一个开关，灯亮； 任意闭合两个开关，灯灭；任意闭合两个开关，灯灭； 三个开关同时闭合，灯亮。三个开关同时闭合，灯亮。说明说明：1、逻辑图是根据逻辑式画出的逻、逻辑图是根据逻辑式画出的逻辑电路。因为同一个逻辑函数辑电路。因为同一个逻辑函数可用不同的逻辑式表达，因此可用不同的逻辑式表达，因此同一个逻辑函数的逻辑图是不同一个逻辑函数的逻辑图是不唯一的唯一的。2、逻辑函数的各种表达方法（逻、逻辑函数的各种表达方法（逻辑状态表、逻辑式、逻辑

53、图）辑状态表、逻辑式、逻辑图）之间可以互相转换。之间可以互相转换。4.5.2 4.5.2 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法逻辑图逻辑图：将逻辑函数中各变量将逻辑函数中各变量之间的与、或、非等逻辑关系用之间的与、或、非等逻辑关系用图形符号表示出来，即得表示函图形符号表示出来，即得表示函数关系的逻辑图。数关系的逻辑图。练习：练习：1、根据逻辑图，写出逻辑函数式。、根据逻辑图，写出逻辑函数式。4.5.2 4.5.2 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法ABY&G1&G2&G3&G4方法：从输入端到输出端，依次写出各个门的逻辑式，方法：从输入端到输出端，依次写出各个门的逻辑式，最后写出输出变量最后

54、写出输出变量Y的逻辑式。的逻辑式。XY1Y2练习：练习：1、根据逻辑图，写出逻辑函数式。、根据逻辑图，写出逻辑函数式。4.5.2 4.5.2 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法ABY&G1&G2&G3&G4XY1Y2ABX G1门：门：ABAAXY1G2门：门：ABBBXY2G3门：门：ABBABAYYY21G4门：门：练习：练习：2、根据逻辑式，画出逻辑图。、根据逻辑式，画出逻辑图。Y=(A+B)(A+C)4.5.2 4.5.2 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法11ABCY练习：练习：4.5.2 4.5.2 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法3、用、用“与非与非”门实现下列逻辑关系门

55、实现下列逻辑关系1）Y=ABC2）Y=A B+(A+B) CABCYY、) 1ABYC练习：练习：4.5.2 4.5.2 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法3、用、用“与非与非”门实现下列逻辑关系门实现下列逻辑关系1）Y=ABC2）Y=A B+(A+B) CCBAABYY)()2、CBAAB)(BCACABBCACABABYC4.5.3 4.5.3 逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式一、最小项和最大项一、最小项和最大项1、最小项、最小项 在在n变量逻辑函数中，若变量逻辑函数中，若m为包含为包含n个因子的个因子的乘积项，而且这乘积项，而且这n个变量均以原变量或反变量的个变量均以原变量

56、或反变量的形式在形式在m中出现一次，则称中出现一次，则称m为该组变量的最小为该组变量的最小项。项。n变量的最小项应有变量的最小项应有2n个。个。例如：例如：A、B、C三个变量的最小项有三个变量的最小项有:CBACBACBACBACABCBABCAABC 、 、 、 、 、 、共有：共有：23=8个个ABC00000011010201131004101511061117编号最小项使最小项为1的变量取值对应的十进制数 三变量最小项的编号表输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项的值等于输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项的值等于1。C B AC B AC B AC B AC B AC B AC

57、 B AC B A为了使用的方便，将最小项用为了使用的方便，将最小项用m加上它对应的十进制加上它对应的十进制数为下脚标的形式来编号。数为下脚标的形式来编号。0m1m2m3m4m5m6m7m最小项的性质：最小项的性质：1、在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且、在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为仅有一个最小项的值为1；2、全体最小项之和为、全体最小项之和为1；3、任意两个最小项的乘积为、任意两个最小项的乘积为0；4、具有相邻性（两个最小项只有一个因子不同）的、具有相邻性（两个最小项只有一个因子不同）的两个最小项之和可以合并成一项，并消去一对因两个最小项之和可以合并

58、成一项，并消去一对因子。子。BABCACBA :如2、最大项、最大项 在在n变量逻辑函数中，若变量逻辑函数中，若M为为n个变量之和，个变量之和，而且这而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次，则称中出现一次，则称M为该组变量的最大项。为该组变量的最大项。 n变变量的最大项应有量的最大项应有2n个。个。为了使用的方便，将最为了使用的方便，将最大项用大项用M加上它对应的十进制数为下脚标的形加上它对应的十进制数为下脚标的形式来编号。式来编号。例如：例如：A、B、C三个变量的最大项有三个变量的最大项有:CBACBACBACBACBACBACBACBA 、 、

59、 、 、 、 、共有：共有：23=8个个输入变量的每一组取值都使一个对应的最大项的值等于输入变量的每一组取值都使一个对应的最大项的值等于0。CBACBAC B AC B AC B ACBACBACBA为了使用的方便，将最大项用为了使用的方便，将最大项用M加上它对应的十进制加上它对应的十进制数为下脚标的形式来编号。数为下脚标的形式来编号。0M1M2M3M4M5M6M7M最大项的性质：最大项的性质：1、在输入变量的任何取值下必有一个最大项，而且、在输入变量的任何取值下必有一个最大项，而且仅有一个最大项的值为仅有一个最大项的值为0；2、全体最大项之积为、全体最大项之积为0；3、任意两个最大项的之和为

60、、任意两个最大项的之和为1；4、具有相邻性（两个最大项只有一个因子不同）的、具有相邻性（两个最大项只有一个因子不同）的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。两个最大项的乘积等于各相同变量之和。 BACBACBA :如最大项和最小项的关系：最大项和最小项的关系：iimM 000MCBACBAmCBAm则：二、逻辑函数的最小项之和形式二、逻辑函数的最小项之和形式例如：例如：BCCABY利用基本公式利用基本公式 A + A = 1 可以把任何一个逻辑函可以把任何一个逻辑函数化为最小项之和的标准形式。数化为最小项之和的标准形式。)BCA(ACABBCAABCCAB376mmmiiim)7 , 6 , 3