第3章 船体数学放样

1、 第三章 船体数学放样第一节 船体数学放样的基本概念一、概述 船体放样是船体建造的第一道工序，后续工序所需要的数据一般都取自于船体放样。船体放样的方法有两种：手工放样和数学放样。1、数学放样的定义 船体数学放样就是数学方程定义船体型线或船体型表面而建立数学方程，然后通过计算机的高速运算完成船体放样工作。2、数学放样的注意内容（1）船体型线放样；（2）船体结构线放样；（3）船体构件展开；（4）零件图形的生成与后处理。3、数学放样的方法（1）剖面线法 模拟手工放样原理，建立船体型线的数学样条函数，并通过计算机的运算，完成船体型线的修改、光顺等放样工作。（2）曲面法 按几何要求和物理条件建立描述船体

2、型表面的曲面方程，并通过计算机的运算完成放样工作。4、数学放样的优点（1）为实现船体建造的自动化奠定了基础。（2）进一步沟通设计和建造的关系。（3）减轻放样工人的劳动强度，缩短放样周期，降低原材料消耗。（4）提高放样精度。（5）可以取消造价昂贵的放样楼和样板储存室。 应用相应的数学放样系统开展造船工作，可以大大节约人力、物力、财力，大大缩短造船周期，提高了生成效率。 二、曲线插值1、问题引出 给定一系列离散的点，通过这些点可以建立相应的曲线。 一般情况下，我们可以选择曲线使其点点通过这些点，这种生成曲线的方法，称为插值方法。2、插值的概念 已知某函数过点(1,3), (2,5), (4,11)

3、，那么该曲线过点(5,17)吗，f(2.5)=? 通过一系列点(xi,yi),理论上讲应存在相应的函数表达式，而且还不一定唯一。 但是，反过来说，如果某函数通过规定的一系列点，我们也不能说它就是要求的函数表达式。 如对于函数 ，其曲线经过点(1,1)，(0,0)，(1,1)，但是反过来我们不能说通过上述3点的曲线就是 ，我们知道 ， ，也过上面的3个点。所谓曲线插值就是选择的函数（曲线）表达式点点通过已知型值点。 它要求曲线必须严格的点点通过已知的点，就像一个一个的点“插”了上去。所选的曲线（函数）必须要点点通过已知的型值点，那么这个函数应该是什么样的呢？3、插值函数的概念要使曲线点点通过已知

4、型值点，我们必须要选取合适的函数表达式。 在给的坐标系中，给定一系列型值点通过这些型值点必然存在一函数 ，但是这一函数的表达式可能很难或者根本无法写出，我们给出一简单函数，使其也点点通过已知型值点，即 ，我们就称为函数 的插 数。曲线插值是一种操作的方法。而插值函数是利用插值的方法所得到的一个新的函数，是插值的一个应用。4、线性插值 如图某函数 通过两点 ，现要求出函数上另一点 处的函数值。显然，仅仅有通过两点这一条件是无法定出函数 的。 目前，我们所知道的条件只有函数通过给定的两个点，也就是说我们要找到通过这两点的函数。显然，通过两点最简单的函数为线性函数，也就是直线。通过这两点的线性函数为

5、令 为一次多项式：将两点代入直线方程可以得到：这就是原函数的插值函数。5、二次插值 从图形中可以发现：用直线段来代替曲线来近似求 处的函数值误差是很大的。 如果再增加一个插值点其插值结果必然会更接近原函数值，效果要比线性插值好。 显然：通过三点的简单函数为二次函数，图形为抛物线。我们称这种插值为二次插值或抛物线插值。6、基函数通过点 和 的线性插值函数写成两点式为：这里令：显然有于是，插值函数写成：这里称 为基函数或者形函数同样，对于通过 三点的二次函数也可以用上述的基函数的形式进行表达。这里也显然有： 满足通过三点的条件。由上面的基函数的形式非常方便的就可以写出相应的插值函数，但是基函数的形

6、式好像比较复杂，基函数的形式有没有什么规律可以遵循呢？观察基函数的形式：这是一系列的分式。分子中：除了 外全部都出现了；分母中：除了 外全部都出现了；基函数书写规律（1）分子中不出现 项； （2）分母中不出现 项； （3）分子分母项目相同，形式类似。6、拉格朗日插值 由前面的讨论，我们可以发现二次插值比一次插值要精确，那么如果再增加一个插值点则可以得到三次插值势必更加精确。 根据基函数的形式，我们只要根据基函数的书写规律，很容易就可以写出其插值函数。当插值点的个数取i+1时：则三、曲线拟合 曲线插值要求所选用的曲线必须点点通过已知点，但是有些时候由于种种原因可能致使型值点本身就不准确，甚至有错

7、误，这样插值得到的曲线也必然是不合理的。 在实际的应用中，我们还经常采用另外一种得到曲线的方法，即曲线拟合。 这种方法不要求曲线严格的通过所有的型值点，而只是要求曲线符合离散点分布的总体轮廓，同时保证偏离原始点尽可能的小。最小二乘法 对m组试验数据 找到一个合适的函数 来拟合该组数据。设所求的函数关系式为n次多项式：应用最小二乘法原理可以得到m个方程： 取右端误差的平方和的最小值，通过求偏导的方式求出待定系数。=第二节船体型线的数学光顺船体型线光顺的数学描述，船体型线光顺性准则一、光顺的概念1、工程光顺 “光顺”是一个工程上的概念，要求曲线要光滑且和顺。 目前还没有一个确切的定义，它是一个依据

8、实际工作者根据多年生产实践积累的经验，用眼睛观察所绘制的曲线其标准是判断曲线的变化是否满足光顺且和顺。2、数学光滑 以三次样条函数为例 一个（段）三次样条函数满足函数、一阶导数、二阶导数连续：两段曲线连接处满足函数、一阶导数、二阶导数连续条件。3、工程光顺的要求 除了要求曲线满足“光滑”的条件外，还要求曲线要“和顺”。 所谓“和顺”，就是曲线在满足光滑条件的基础上， 要其变换趋势没有局部凹凸和弯曲程度剧烈变化等现象。二、船体型线光顺性判别准则1、手工放样光顺性判别的方法（1）型线上没有不符合设计要求的间断和折角点（2）型线的弯曲方向的变化应符合设计要求（3）型线弯曲程度的变化必须是均匀的2、数

9、学光顺的型线光顺性判别（1）型线的插值或拟合函数应满足函数及其一阶、二阶导数 的连续；（2）型线的曲率符号变化应符合设计要求，没有多余拐点；（3）型线的曲率数值变化均匀。3、型值调整的准则型线光顺的型值调整，应使调整量尽可能的小三、型线光顺性判别准则的数学意义（1）型线的插值或拟合函数应满足函数及其一阶、二阶导数的连续（1）型线上没有不符合设计要求的间断和折角点要求函数应该是连续的。要求函数的一阶导数连续。显然，三次样条函数本身已经满足了这一条件。（2）型线的曲率符号变化应符号设计要求，没有多余拐点（2）型线的弯曲方向的变化应符合设计要求什么可以反映曲线的弯曲方向？ 可以反映曲线的弯曲方向！我

10、们约定当曲线在某处为凸时，曲率为负；为凹时曲率为正。所以，根据曲率符号的变化可以表征曲率弯曲方向的变化！ 则说明曲线在 ， 两点处弯曲方向相反！何谓拐点？高等数学中给出：所谓拐点就是二阶导数等于0的点可见，曲线的二阶导数可以用曲线的曲率来表示！二阶导数为0点，其实就是曲率为0点，那么曲率为0点也就必然就是拐点。同时，我们还注意到：曲率是反映曲线的弯曲方向的。三次样条函数本身满足了二阶导数连续当曲率由负变化到正时，必然要经过0点！曲率为0的点就是拐点！其实，拐点也就是曲线弯曲方向发生改变的点。于是，曲线有没有拐点的判别式为：（3）型线的曲率数值变化均匀（3）型线弯曲程度的变化必须是均匀的甲同学的

11、英语成绩如下：一、63；二、68；三、72；四、8585-720；72-680；68-630我们认为其成绩总是上升趋势，变化是均匀的。乙同学的英语考试成绩如下：一、63；二、52；三、72；四、6963-520;52-72=-38.50我们认为其成绩时而上升，时而下降，变化是不均匀的。注：这里说其成绩的变化是否均匀，只是看成绩是否总是保持 增（变化率大于0）或减（变化率小于0）就可以了，而不管其变化率大小的变化！什么可以表示曲线的弯曲程度？ 表示曲线在i点弯曲半径。 的正负可以反映曲线的弯曲方向，那么其数值的大小还可以反映曲线的弯曲程度。所以，曲线的弯曲程度变化可以用其曲率数值变化是否均匀来判

12、断。某曲线的曲率数值如下：一、；二、；三、；四、；五、；六、可见，该曲线在第五点处曲率数值变化不均匀。总结：1、根据型线光顺性的判别准则（手工放样），我们可以看出：曲线有没有（多余）的拐点。2、什么可以反映曲线的弯曲程度，它就可以用来判断曲线的弯曲程度变化是否均匀。三、型线光顺性判别准则在实际中的应用 根据型线光顺性的判别准则，可以比较容易的判别曲线的光顺性。1、拐点的判别：曲率棒的指向反映了曲线的弯曲方向。该曲线没有拐点。没有拐点只能说明曲线达到了初步光顺的程度，还需要判别曲率数值变化的均匀性2、曲率数值变化均匀性的判别曲率棒的长度反映了曲线的弯曲程度一般情况下，如果曲率数值不出现连续的变号

13、则认为曲率数值变化是均匀的。满足曲率数值变化均匀为精光顺。显然，此曲线不满足精光顺的要求第三节 船体外板的数学展开测地线法展开船体外板测地线展开船体外板的数值表示一、手工测地线法展开如图所示一外板，手工展开的步骤是1、做测地线；2、求实长；3、作展开图。二、数值测地线展开数值展开沿用手工展开的步骤，只是将这些步骤转化为数值表示。1、板的边缘线的确定1）求肋骨曲线方程根据给定的型值和边界条件可以生成型线图。如图，生成的横剖线图。肋骨曲线与站线曲线类同，根据生成的横剖线通过插值的方式可以得到肋骨曲线。2、外板端接缝的得到 根据工艺的要求，外板的端接缝要求与肋骨曲线类同，但是不能重合。一般要求端接缝

14、为：肋号 100同样，端接缝可以作为半肋骨号插值得到。 船体上的一块外板，总是由前后横（端）接缝和上下纵接缝包围而成。3、外板纵接缝的得到在外板接缝线中，纵接缝排列最为复杂。国内至今还没有实现计算机程序自动排列纵接缝线。目前，主要采用在配好船体结构线、端接缝线及首、尾柱缝线的肋骨型线图上，用类似于手工的方法粗排纵缝线。（1）给定纵接缝与各肋骨交点的高度值。采用插值的方法可以得到各交点的半宽值。（2）给定纵接缝与各肋骨交点的半宽值采用插值的方法可以得到各交点的高度值。这样就得到了上下纵接缝与各肋骨的交点。2、测地线法展开外板1、求测地点（1）取板内中间肋骨号 由于各肋骨线与纵缝线的交点都是已知的

15、，故Ei，Fi的坐标值都是知道的。（2）取弦线中点A 取中间弦线的中点坐标A，则A点坐标也是可求的。（3）过中间肋骨弦线中间A作自身的垂线L 直线L与相邻前后肋骨2号肋骨、4号肋骨的交点分别为O2,O4,与自身肋骨3号肋骨的交点为O3. 由于直线方程已知，肋骨样条曲线也是已知的，所以通过求直线与曲线的交点可以求得交点O2,O4和O3.用牛顿迭代法可以求得O3点。同理可以求得O2/O4点。（4）求O1和O5点 过O2点做自身弦线的垂线，与前根肋骨交于a3点，后根肋骨交于b1点 a3b1在手工展开中，是反向量取 得到O1点在数学展开中，由于弧 很小，可以用（两点间的直线长）来代替。以b1点为圆心，

16、 为半径作圆。根据实际情况舍弃一个解同样的方法可以得到05点这样，就求得了所有的测地点，完成了第一步工作。012、求实长所做的这些工作都是在肋骨型线图中的，而肋骨型线图是一个投影图，所以上下纵缝线、端缝线、测地线也都为投影线。这些线在肋骨型线图中都没有反映实型，为了展开外板必须求出这些线的实际长度。（1）肋骨线弧（实）长 在讨论辛浦生法的应用时已经给出了求取肋骨线实长的方法。 在求肋骨弧长的实长时往往是以测地点为界将肋骨线分为上下两部分，然后分别利用弧长积分进行计算。（2）求上下纵缝线实长 在船体的外板布置上，总是尽可能保持板缝线平直；而各测地线之间的曲率也比较小。所以，一般用空间折线来代替这些空间曲线。（3）求中间肋骨弯度3、做展开图（1）确定坐标系展开扇形板的坐标系是以展开图上的测地线为 轴；以中间肋骨的展开弦线为 轴；坐标原点取测地线与中间肋骨展开弦线的交点。（2）作展开图确定各测地点：确定各纵接缝与中间肋骨交点：中间肋骨线与上下纵缝线的交点在中间肋骨展开弦上。为了简化令：确定