专题四 二次函数综合题（含答案）2025年中考数学一轮题型专练（陕西）

专题四二次函数综合题题型1二次函数的实际应用二次函数的实际应用问题,在陕西中考2022,2023,2024年连续三年进行考查,其考查本质为二次函数表达式的应用,其主要为顶点式的考查,在表达式的基础上进行实践应用的考查,知x求y或知y求x,利用二次函数性质求最值,感受数学在实际问题中的应用.类型1抛物线运动轨迹问题(2024·西安市莲湖区模拟)如图,在一场校园羽毛球比赛中,小华在点P选择吊球进行击球,当羽毛球飞行的水平距离是1m时,达到最大高度3.2m,建立如图所示的平面直角坐标系.羽毛球在空中的运行轨迹可以近似地看成抛物线的一部分,队友小乐则在点P选择扣球进行击球,羽毛球的飞行高度y1(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似地满足一次函数关系y1=-0.4x+2.8.(1)根据如图所示的平面直角坐标系,求吊球时羽毛球满足的二次函数表达式.(2)在(1)的条件下,已知球网AB与y轴的水平距离OA=3m,CA=2m,且点A,C都在x轴上,实践发现击球和吊球这两种方式都能使羽毛球过网.要使球的落地点到点C的距离更近,请通过计算判断应该选择哪种击球方式?解题指南(1)抓住最大高度这一特征,设出顶点式:y=a(x-h)2+k,然后将点P的坐标代入即可.(2)分别令一次函数与二次函数的y为0,对比两种方式在x轴的交点的横坐标到点C的横坐标的距离大小即可.类型2以建筑为背景的“过桥”问题(2024·西工大模拟)陕北窑洞,具有十分浓厚的民俗风情和乡土气息.如图,某窑洞口的下部近似为矩形OABC,上部近似为一条抛物线.已知OA=3m,AB=2m,窑洞的最高点M(抛物线的顶点)离地面OA的距离为258m.(1)建立如图所示的平面直角坐标系,求抛物线的表达式.(2)若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户DEFG,使得点D,E在矩形OABC的边BC上,点F,G在抛物线上,那么这个正方形窗户DEFG的边长为多少米?解题指南(1)借助点M为顶点,设出顶点式,然后将点B坐标代入顶点式即可.(2)设出小正方形DEFG的边长,然后用所设边长表示出点G的横坐标、纵坐标,最后代入(1)中抛物线的表达式解方程即可.(2024·西安新城区模拟)某地想将新建公园的正门设计为一个抛物线型拱门,设计部门给出了如下方案:将拱门图形放入平面直角坐标系中,如图,抛物线型拱门的跨度ON=24m,拱高PE=8m.其中,点N在x轴上,PE⊥ON,OE=EN.(1)求该抛物线的函数表达式.(2)现要在拱门中设置矩形框架,其周长越小越好(框架粗细忽略不计).设计部门给出了两个设计方案:方案一:矩形框架ABCD的周长记为C1,点A、D在抛物线上,边BC在ON上,其中AB=6m.方案二:矩形框架A'B'C'D'的周长记为C2,点A',D'在抛物线上,边B'C'在ON上,其中A'B'=4m.求这两个方案中,矩形框架的周长C1,C2,并比较C1,C2的大小.类型3以“悬挂线”为背景解决高度问题如图,在一个斜坡上架设两个塔柱AB,CD(可看作两条竖直的线段),塔柱间挂起的电缆线下垂可以近似地看成抛物线的形状.两根塔柱的高度满足AB=CD=27m,塔柱AB与CD之间的水平距离为60m,且两个塔柱底端点D与点B的高度差为12m.以点A为坐标原点,1m为单位长度构建平面直角坐标系.(1)求点B,C,D的坐标.(2)经过测量,AC段所挂电缆线对应的抛物线的形状与抛物线y=1100x2一样,且电缆线距离斜坡面竖直高度至少为15.5m时,才符合设计安全要求.请结合所学知识判断上述电缆线的架设是否符合安全要求?并说明理由(2024·陕师大附中模拟)在元旦来临之际,学校安排各班在教室进行联欢.八(2)班同学准备装点一下教室.他们在屋顶对角A,B两点之间拉了一根彩带,彩带自然下垂后呈抛物线形状.若以两面墙交线AO为y轴,以点A正下方的墙角点O为原点建立平面直角坐标系,此时彩带呈现出的抛物线表达式为y=ax2-0.6x+3.5.已知屋顶对角线AB长12m.(1)a=,该抛物线的顶点坐标为.

(2)小军想从屋顶正中心C(C为AB的中点)系一根绳子CD.将正下方彩带最低点向上提起,这样两侧的彩带就形成了两个对称的新抛物线形状(如图所示).要使两个新抛物线彩带最低点之间的水平距离为5m,且比之前的最低点提高0.3m.求这根绳子的下端D到地面的距离.题型2图形面积探究类型1面积、线段最值探究二次函数中面积问题,基本上都可以转化为线段相关问题,线段的三种表示方式:①水平型,②垂直型,③斜型.以边为分类标准,可采取不同方法进行面积的求解,现对不同类型线段的表示作以说明.(1)线段AB∥y轴时,点A,B横坐标相等,则AB=|y1-y2|=|y2-y1|=y1-y2.(2)线段BC∥x轴时,点B,C纵坐标相等,则BC=|x2-x1|=|x1-x2|=x2-x1.(3)线段AC与x轴,y轴不平行时,在Rt△ABC中,AC=AB2+BC第一步,过动点向x轴作垂线,与定边产生交点第二步,设动点坐标,表示交点坐标第三步,表示纵向线段长度|y上-y下|第四步,利用水平宽铅垂高表示三角形面积:S=12(y上-y下)(x右-x左【原创好题】“水平宽”与“铅垂高”的运用:已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),用含有A,B,C坐标的方式表示出△ABC的面积.解题指南(1)在平面直角坐标系中作△ABC,要求点A,B在点C的左、右两侧,经过点C作x轴的垂线交AB于点D,则△ABC被分成两部分,即S△ABC=S△ACD+S△BCD.(2)过点A作△ADC的高h1,过点B作△DBC的高h2,所以△ACD与△BCD的面积表示为S△ADC=12CD·h1,S△BCD=12CD·h(3)所以S△ABC=S△ADC+S△BCD=12CD·h1+12CD·h2=12CD·(h1(4)其中h1与h2的和可以看作点A与点B的水平间的距离,因此称之为“水平宽”,h1+h2=|xB-xA|,CD是点C与点D的竖直间的距离,称之为“铅垂高”,即CD=|yD-yC|,故S△ABC=S△ACD+S△BCD=12|yD-yC|·|xB-xA1.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+4与坐标轴分别交于A,B两点,抛物线y=-x2+bx+c过A,B两点,D为线段AB上一动点,过点D作CD⊥x轴于点C,交抛物线于点E.(1)求抛物线的表达式.(2)求△ABE面积的最大值.2.如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接BC.(1)求A,B,C三点的坐标.(2)若P为线段BC上的一点(不与点B,C重合),PM∥y轴,且PM交抛物线于点M,交x轴于点N.当线段PM的长度最大时,求点M的坐标.类型2面积关系探究(2018.T24)【改编】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-43x2+bx与x轴交于O,A两点,B(1,4)在抛物线上.若P是抛物线上一点,且在直线AB的上方,且满足△OAB的面积是△PAB面积的2倍,求点P的坐标.解题指南(1)第一步,将点B的坐标代入抛物线的表达式,求出b的值,根据A,B两点的坐标,求出直线AB的表达式;(2)第二步,借助三角形的面积公式,求出△OAB的面积,根据△OAB与△PAB的面积关系求出△PAB的面积;(3)第三步,设点P的坐标为t,-43t2+163t,过点P作x轴的垂线,与AB交于点N,并结合直线AB的表达式,表示出点N的坐标;(4)第四步,借助“水平宽,铅垂高”,求出PN的长度,用含有t的式子表示出PN的长度,构造方程求解即可.1.如图,抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0),抛物线与直线y=-32x+3交于C,D两点,连接(1)求m的值.(2)求A,D两点的坐标.(3)若抛物线上有一点P,满足S△ABP=4S△ABD,求点P的坐标.2.如图,在平面直角坐标系中,点A(0,-1),抛物线y=-x2+bx+c经过点B(4,5)和C(5,0).(1)求抛物线的表达式.(2)连接AB,BC,求∠ABC的正切值.(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点D,使得S△ABD=S△ABC?若存在,直接写出点D的坐标;若不存在,请说明理由.3.已知抛物线y=-x2+bx+c过点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式.(2)P为抛物线对称轴上一动点,当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时,求点P的坐标.(3)在(2)的条件下,是否存在M为抛物线第一象限上的点,使得S△BCM=S△BCP?若存在,求出点M的横坐标;若不存在,请说明理由.解题指南(1)由交点式可直接得出抛物线的解析式.(2)设P(1,m),根据列出方程,进而求得点P的坐标.

(3)作PQ∥BC交y轴于点Q,作MN∥BC交y轴于点N,先求出PQ的解析式,进而求得MN的解析式,进一步求得结果.借助“同底等高”找等面积的方法在平面直角坐标系中有△ABC,分别在BC所在直线的两侧找出一点P和Q,使得S△PBC=S△QBC=S△ABC.操作方式:(1)根据要求可知△PBC和△QBC均与△ABC具有共同的底边BC,要使它们的面积相等,只需要它们的高相等即可,因此可以设△PBC与△QBC的高均为h;(2)确定高以后,过点A作BC的平行线,则在所作平行线上存在一点P满足S△PBC=S△ABC;(3)如图,将BC所在直线向下平移AO'个单位长度,过A'作BC的平行线,则该直线上存在一点Q满足S△QBC=S△ABC;(4)运用“同底等高”法时,务必考虑不同位置的情况;(5)进行面积计算时,可以直接利用三角形面积公式求解.题型3特殊三角形问题探究类型1等腰三角形问题探究等腰三角形存在问题,可以分为两个方向来解决,几何法和代数法,其中几何法的优势在于比较直观地得到结果,对几何图形要求较高;代数法以解析几何为背景可更快地找到等量关系,方法较为单一,等腰三角形问题做完之后一定要验证是否出现三点共线的情况.方法一几何法(1)两圆一线找出点;(2)利用勾股、相似、三角函数等求线段长,由线段长求得点坐标方法二代数法(1)表示出三个点坐标A,B,C;(2)由点坐标表示出三条线段AB,AC,BC;(3)分类讨论①AB=AC;②AB=BC;③AC=BC;(4)列出方程求解(2024·铁一中模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线L的顶点E的坐标为(-2,8),且过点B(0,6),与x轴交于M,N两点.(1)求该抛物线L的表达式.(2)设抛物线L关于y轴对称后的抛物线为L',其顶点记为点D,连接MD,在抛物线L'对称轴上是否存在点Q,使得以点M,D,Q为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.(2024·西咸新区模拟)如图,抛物线L:y=ax2+bx-3(a、b为常数,且a≠0)与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.将抛物线L向右平移1个单位长度得到抛物线L'.(1)求抛物线L的函数表达式.(2)连接AC,探究抛物线L'的对称轴直线l上是否存在点P,使得以点A,C,P为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.类型2直角三角形问题探究直角三角形存在问题,菱形中对角线垂直,矩形中的内角为直角,有下列两个方向可以帮助解决问题,不同的方法适用不同方向的题目,注意区分其方法.一、勾股定理若AC2+BC2=AB2,则△ABC为直角三角形二、构造“K”字型相似过直角顶点作坐标轴的平行线,过其他两点向平行线作垂直,出现“一线三等角”模型,利用“一线三等角”的相似模型,构建方程解决问题已知抛物线L:y=ax2-2ax-8a(a≠0)与x轴交于点A,点B,且点A在点B的左侧,与y轴交于点C.(1)求出点A与点B的坐标.(2)当△ABC是以AB为斜边的直角三角形时,求抛物线L的表达式.如图,在平面直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2+bx+c(a≠0)交x轴于点A(-5,0),B(-1,0),交y轴于点C(0,5).(1)求抛物线C1的表达式和顶点D的坐标.(2)将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2,E为抛物线C2上一点,若△DOE是以DO为直角边的直角三角形,求点E的坐标.直角三角形中的找点方法和计算方法找点方法:示例:如图,在平面内有A,B两点,试着找出一点C,使得A,B,C三点构成的三角形为直角三角形.分两种情况讨论:当AB为直角边时,过点当AB为斜边时,以AB为直径作圆.如图,在直线l1,l2上的点C满足△ABC为直角三角形,但要注意一点:点C不与A,B两点重合.我们将这种找点C的方法称为“两线一圆”.计算方法:(1)利用勾股定理构造方程求解;(2)以“K”字型搭建相似三角形,列比例式构造方程求解.类型3等腰直角三角形问题探究等腰直角三角形相关问题,以等腰直角三角形和正方形问题,主要解题方法相对统一,注意如何构图能直观得到“K”字全等是解决问题的关键之处.(1)过直角顶点作坐标轴平行线,构造“K”字全等(2)方法一:设某小边长度.方法二:设点坐标,表示直角三角形中的直角边(3)利用某纵向或横向线段构建等式如图,抛物线y=-25(x+1)(x-5)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.如果P是抛物线上一点,M是该抛物线对称轴上的点,当△OMP是以OM为斜边的等腰直角三角形时,求点P的坐标.解题指南第一步,过直角顶点作平行y轴的垂线,分别过另两个顶点作垂直,构造“K”字全等;第二步,利用坐标分别表示两直角三角形的直角边;第三步,利用某边相等构造方程.(2024·高新一中模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线L:y=x2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3).(1)求出抛物线L的表达式和顶点的坐标.(2)P是抛物线L的对称轴右侧图象上的一点,过点P作x的垂线交x轴于点Q,作抛物线L关于直线PQ对称抛物线L',则C关于直线PQ的对称点为C',若△PCC'为等腰直角三角形,求出抛物线L'的表达式.题型4三角形关系问题类型1与相似三角形结合问题三角形的关系问题是陕西考试中非常常见的一个类型,中考中多次连续出现,相似问题的处理方法也相对较为固定,以固定三角形为参照,找到定角,以边为分类标准,进行分类讨论.主要有两个方法.方法一:利用一角相等,邻边成比例证明相似方法二:两组角相等的三角形相似分析目标三角形:第一类:找一角相等,用邻边成比例.第二类:找一角相等(多为90°问题),找另一角相等.方法总结:(1)分动、定三角形;(2)找等角;(3)表示边或者找另一角相等.(2024·曲江一中模拟)如图,抛物线y=ax2+bx经过坐标原点O与点A(3,0),正比例函数y=kx与抛物线交于点B72,74.(1)求该抛物线的函数表达式.(2)P是第四象限抛物线上的一个动点,过点P作PM⊥x轴于点N,交OB于点M,是否存在点P,使得△OMN与以点N,A,P为顶点的三角形相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.(2024·陕师大附中模拟)已知抛物线L1:y=x2+bx+c与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,-3),对称轴为直线x=1.(1)求此二次函数表达式和点A,B的坐标.(2)P为第四象限内抛物线L1上一动点,将抛物线L1平移得到抛物线L2,抛物线L2的顶点为点P,抛物线L2与y轴交于点E,过点P作y轴的垂线交y轴于点D.是否存在点P,使以点P,D,E为顶点的三角形与△AOC相似?如果存在,请写出平移过程,并说明理由.类型2与全等三角形结合问题1.全等为特殊的相似,相似比为1,方法与相似一致.2.注意相等角的邻边分类情况.【改编】如图,抛物线y=-23x2+103x+4的图象与x轴交于A,B两点,与y轴的正半轴交于点C,过点C的直线y=-43x+4与x轴交于点D.若M是抛物线上位于第一象限的一动点,过点M作ME⊥CD于点E,MF∥x轴交直线CD于点F,当△MEF≌△COD时,求出点M解题指南当△MEF≌△COD时,(1)找准对应角、边.结合关系式可知,∠MEF=∠COD,∠MFE=∠CDO,MF=CD.(2)根据直线CD的表达式求出线段CD的长度.由点M在抛物线上,可以设点M的坐标为m,-23m2+103m+4,再由MF∥x轴,得点F的纵坐标.根据全等三角形的对应边相等可以得出点F的横坐标为m-5.(3)由点F在直线CD上,将点F的坐标代入直线CD的表达式中,求出m的值.已知经过原点O的抛物线y=-x2+4x与x轴的另一个交点为A.(1)求点A的坐标及抛物线的对称轴.(2)B是OA的中点,N是y轴正半轴上一点,在第一象限内的抛物线上是否存在点M,使得△OMN与△OBM全等,且点B与点N为对应点?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.与全等三角形结合问题的求解步骤(1)全等三角形的问题与相似三角形的问题步骤类似,均是先列出三角形的对应关系式,再根据关系式找出对应边相等;(2)借助对应边相等,将边与边的长度关系用点的坐标进行表示,然后运用“两点间距离公式”构造方程求解.题型5特殊四边形问题探究类型1平行四边形问题探究平行四边形问题,一般分为三定一动,两定两动问题,选取固定的两个点为分类标准,①以某边为边时;②以某边为对角线时.第一步,寻找分类标准;第二步,平移点,找关系(注意:从A到B和从B到A);第三步,代入关系求值(2024·西工大附中模拟)如图,抛物线y=ax2-2x+c与直线y=kx+b都经过A(0,3),B(-3,0)两点,该抛物线的顶点为C.(1)求此抛物线和直线AB的表达式.(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E,在射线EB上是否存在一点M,过点M作x轴的垂线交抛物线于点N.使点M,N,C,E是平行四边形的四个顶点?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【改编】已知点A(-1,0)在抛物线L:y=x2-x-2上,抛物线L'与抛物线L关于原点对称,点A的对应点为点A',是否在抛物线L上存在一点P,在抛物线L'上存在一点Q,使得以AA'为边,且以A,A',P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.平行四边形中坐标的计算如图1,在平行四边形ABDC中,关于坐标的计算——平移法则:xB-xA=xD-xC,yB-yA=yD-yC,xA-xC=xB-xD,yA-yC=yB-yD.如图2,在平行四边形ADBC中,关于坐标的计算——中点坐标公式:xM=xA+xB2=xC+类型2菱形问题探究菱形存在问题,主要分两类.第一类:以平行四边形为背景,在平行四边形的基础上增加对角线垂直或邻边相等即可得菱形.(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:xA+xC2=x(3)对角线垂直:可参照直角存在问题.邻边相等:可参照等腰存在问题.(4)平移型:先平行四边形,再菱形.翻折型:先等腰,再菱形.第二类:若出现在平面内任意一点存在性问题,则去掉此点,转化为等腰存在问题,可以利用等腰存在问题策略解决问题如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OA=2,OC=6,连接AC和BC.(1)求抛物线的函数表达式.(2)若M是y轴上的动点,在坐标平面内是否存在点N,使以A,C,M,N为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.类型3矩形问题探究矩形存在性问题,主要分两类.第一类:以平行四边形为背景,在平行四边形的基础上增加对角线相等或一内角为90°即可得到矩形.(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:xA+xC=xB+xD;yA+yC=yB+yD.(3)方向一对角线相等:(xA-方向二有一角为90°.第二类:若出现在平面内任意一点存在性问题,则去掉此点,转化为直角存在问题,可以利用直角存在问题策略解决问题已知抛物线L:y=ax2+bx(a≠0)经过点B(6,0),C(3,9).(1)求抛物线L的表达式.(2)若抛物线L'与抛物线L关于x轴对称,P,Q(点P,Q不与点O,B重合)分别是抛物线L,L'上的动点,连接PO,PB,QO,QB,问四边形OPBQ能否为矩形?若能,求出满足条件的点P和点Q的坐标;若不能,请说明理由.已知抛物线L:y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求A,B,C三点的坐标.(2)抛物线L平移后得到抛物线L',点A,C在抛物线L'上的对应点分别为点A',C',若以A,C,A',C'为顶点的四边形是面积为20的矩形,求平移后的抛物线L'的表达式.类型4正方形问题探究(在菱形的基础上增加对角线相等)(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:xA+xC=xB+xD;yA+yC=yB+yD.(3)平行四边形题基础上加等腰直角三角形问题.如图,一条抛物线y=ax2+bx(a≠0)的顶点坐标为2,83,正方形ABCD的边AB落在x轴的正半轴上,点C,D在这条抛物线上.(1)求这条抛物线的表达式.(2)求正方形ABCD的边长.解题指南(1)已知顶点,可直接设抛物线的顶点式:y=a(x-h)2+k,将点的坐标代入计算即可.(2)①在正方形中,四条边均相等;②设出正方形的边长,并根据所设边长表示出正方形ABCD的顶点坐标;③注意观察正方形ABCD的顶点C,D在抛物线上;④代入相应点的坐标求出所设的边长即可.已知二次函数y=-13x2+bx+c的图象L经过原点,且与x轴的另一个交点为(1)求该二次函数的表达式.(2)作x轴的平行线,交L于A,B两点(点A在点B的左侧),过A,B两点分别作x轴的垂线,垂足分别为D,C.当以A,B,C,D为顶点的四边形是正方形时,求点A的坐标.借助抛物线判定正方形的思路步骤1.明确在抛物线上的正方形的两个顶点;2.借助抛物线表达式y=ax2+bx+c(a≠0),设出其中一个顶点坐标为(x,ax2+bx+c),然后利用抛物线对称轴表示出另一个顶点坐标;3.根据正方形四条边相等构造一元二次方程求解即可.题型6角度问题探究角相关问题是二次函数中相对较为综合性的问题,在近几年中考中也常出现在各个省市的中考题中,问题最终都会落到以下问题上来.等角问题,可直接用等角的性质来处理问题.解决策略:(1)寻找相似,出现等角;(2)利用三角函数找等角;(3)利用轴对称来找等角.【改编】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-x2+4x-3与x轴分别交于A,B两点,且点A在点B的左侧.在抛物线上是否存在一点D,使得∠DOA=45°?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.解题指南以平面直角坐标系为背景来探究角度问题,常用的思路为借助三角函数构造方程求解.本题具体步骤如下:第一步,根据∠DOA=45°,联想tan∠DOA=1;第二步,根据点D在抛物线上,可以过点D作x轴的垂线,记垂足为H,在△DOH中,tan∠DOH=DHOH第三步,由点D在抛物线上,设点D的坐标为(t,-t2+4t-3);第四步,根据DH=|yD|=|-t2+4t-3|,OH=|t|,构造方程求解即可.已知抛物线L:y=-23x2+bx+c,与y轴的交点为C(0,2),与x轴的交点分别为A(3,0),B(点A在点B右侧(1)求抛物线的表达式.(2)将抛物线沿x轴向左平移m(m>0)个单位长度,所得的抛物线与x轴的左交点为M,与y轴的交点为N,若∠NMO=∠CAO,求m的值.

参考答案题型1二次函数的实际应用类型1抛物线运动轨迹问题例1解析:(1)在y1=-0.4x+2.8中,令x=0,则y1=2.8,∴P(0,2.8).根据题意,二次函数图象的顶点坐标为(1,3.2).设二次函数的表达式为y=a(x-1)2+3.2,把P(0,2.8)代入y=a(x-1)2+3.2,得a+3.2=2.8,解得a=-0.4,∴吊球时羽毛球满足的二次函数表达式y=-0.4(x-1)2+3.2.(2)吊球时,令y=0,则-0.4(x-1)2+3.2=0,解得x1=1+22,x2=1-22(舍去),扣球时,令y=0,则-0.4x+2.8=0,解得x=7.∵OA=3m,CA=2m,∴OC=OA+AC=5.∵7-5=2,|22+1-5|=4-22<2,∴选择吊球时,球的落地点到点C的距离更近.类型2以建筑为背景的“过桥”问题例2解析:(1)由题意得点M,B的坐标分别为32,258,(3,2).设抛物线的表达式为y=ax-322+258,将点B的坐标代入上式得2=a3-322+258,解得a=-12∴抛物线的表达式为y=-12x-322+258(2)设正方形的边长为2m.把点G32-m,2+2m代入抛物线表达式,得2+2m=-1232-m-322+25解得m=12∴正方形窗户DEFG的边长为1m.变式设问解析:(1)由题意得抛物线的顶点坐标为(12,8),N(24,0).设y=a(x-12)2+8,把N(24,0)代入表达式中,得a=-118∴该抛物线的函数表达式为y=-118(x-12)2+8(2)方案一:令y=6,即6=-118(x-12)2+8解得x1=6,x2=18,∴BC=AD=12.又∵AB=CD=6,∴矩形ABCD的周长C1=2×12+2×6=36(m).方案二:令y=4,即4=-118(x-12)2+解得x1=12-62,x2=12+62,∴B'C'=A'D'=12+62-(12-62)=122.又∵A'B'=C'D'=4,∴矩形A'B'C'D'的周长C2=2×122+2×4=(242+8)m.∵C1=36=28+8=4×7+8,C2=242+8=4×62+8,∴36<242+8,即C1<C2.类型3以“悬挂线”为背景解决高度问题例3解析:(1)如图,过点C作CE⊥y轴,垂足为E,过点D作DF⊥y轴,垂足为F.记CD与x轴相交于点G.根据题意,得点B的坐标是(0,-27).∵FB=12,则GD=OF=OB-FB=27-12=15,OG=FD=EC=60,CG=CD-GD=27-15=12,∴点C的坐标是(60,12),点D的坐标是(60,-15).(2)符合安全要求.理由:设AC段所挂电缆线对应的抛物线的函数表达式为y=1100x2+bx将点C(60,12)代入表达式中,得12=1100×602+60b,解得b=-2∴y=1100x2-2由点B(0,-27),D(60,-15)可知直线BD的表达式为y=15x-27记M为抛物线上一点,过点M作x轴的垂线与BD交于点N.设点Mm,1100m2-25m,则点Nm,15m-27,故MN=1100m2-25m-15m-27=1100(m-30)2+18≥18>15∴电缆线距离斜坡面竖直高度的最小值为18m,高于安全需要的距离15.5m,故符合安全要求.变式设问解析:(1)0.05;(6,1.7).提示:由题意得抛物线的对称轴为直线x=6,则A(0,3.5),B(12,3.5),∴144a-7.2+3.5=3.5,解得a=0.05,∴抛物线的表达式为y=0.05x2-0.6x+3.5.当x=6时,y=0.05x2-0.6x+3.5=1.7,即该抛物线的顶点坐标为(6,1.7),(2)∵两个新抛物线彩带最低点之间的水平距离为5m,且比之前的最低点提高0.3m,∴左边新抛物线的顶点坐标为(3.5,2).设左边新抛物线的表达式为y=a'(x-3.5)2+2,将点A的坐标代入上式得3.5=a'(0-3.5)2+2,解得a'=649∴左侧抛物线的表达式为y=649(x-3.5)2+2当x=6时,y=649(6-3.5)2+2=271∴这根绳子的下端D到地面的距高为27198m题型2图形面积探究类型1面积、线段最值探究例1解析:如图,过点C作垂直于x轴的直线,与AB交于点D,分别过点A,B作CD的垂线段h1,h2,即S△ABC=S△ACD+S△BCD.∵S△ADC=12CD·h1,S△BCD=12CD·h∴S△ABC=S△ACD+S△BCD=12CD·(h1+h2)又∵CD=|yD-yC|,h1+h2=|xB-xA|,∴S△ABC=S△ACD+S△BCD=12(yD-yC)(xB-xA)变式设问1.解析:(1)在一次函数y=x+4中,令x=0,得y=4,令y=0,得x=-4,∴A(-4,0),B(0,4).∵点A(-4,0),B(0,4)在抛物线y=-x2+bx+c上,∴-16-4b+∴抛物线的表达式为y=-x2-3x+4.(2)设点C的坐标为(m,0)(-4≤m≤0),则点E的坐标为(m,-m2-3m+4),点D的坐标为(m,m+4),则DE=-m2-3m+4-(m+4)=-m2-4m,则S△ABE=12DE·(xB-xA)=12(-m2-4m)×4=-2m2-8m=-2(m+2)2+∵-4≤m≤0,∴当m=-2时,S取得最大值,最大值为8.故△ABE面积的最大值为8.2.解析:(1)对于y=-x2+2x+3,令x=0,则y=3,∴C(0,3),令y=0,则-x2+2x+3=0,解得x1=3,x2=-1,∴A(-1,0),B(3,0).(2)∵B(3,0),C(0,3),∴设直线BC的表达式为y=kx+b(k≠0),则0=3k+∴直线BC的表达式为y=-x+3.设点P的坐标为(t,-t+3),则点M的坐标为(t,-t2+2t+3),∴PM=-t2+2t+3+t-3=-t2+3t=-t-322+94.∵0<t<3且a=-1<0,抛物线开口向下,∴当t=32时,PM此时点M的坐标为32,154.类型2面积关系探究例2解析:将点B的坐标代入抛物线y=-43x2+bx中,有4=-43+b,解得b=令y=0,得-43x2+163x=0,可知A设直线AB的表达式为y=kx+m(k≠0),将A(4,0),B(1,4)代入,有4k+故直线AB的表达式为y=-43x+16∵S△OAB=12×4×4=∴S△OAB=2S△PAB=8,故S△PAB=4.如图,过点P作x轴的垂线,交x轴于点M,交AB于点N,过点B作BE⊥PM于点E.∴S△PAB=S△PNB+S△PNA=12PN·BE+12PN·AM=3∴PN=83设点P的坐标为t,-43t2+163t(1<t<4),Nt,-43t+163,∴PN=-43t2+163t--43t+163=83,解得t=∴点P的坐标为2,163或(3,4).变式设问1.解析:(1)抛物线y=-x2+mx+3经过点(3,0),∴-9+3m+3=0,∴m=2.(2)由(1)知,抛物线的表达式是y=-x2+2x+3,∴y=-(x-3)(x+1),∴该抛物线经过点(-1,0),(3,0).∵点B的坐标为(3,0),∴A(-1,0).由y=-x2+2x+3,∴D72,-94.综上所述,A(-1,0),D72,-94.(3)由题意知,C(0,3),D72,-94.∵S△ABP=4S△ABD,∴12AB×|yP|=4×12AB×∴|yP|=9,即yP=±9,当y=9时,-x2+2x+3=9,∴x2-2x+6=0,∴Δ=4-4×6<0,∴此方程无实数解,当y=-9时,-x2+2x+3=-9,解得x1=1+13,x2=1-13,∴点P的坐标为(1+13,-9)或(1-13,-9).2.解析:(1)把点B(4,5)和C(5,0)分别代入y=-x2+bx+c,得-16+4b+故该抛物线的表达式为y=-x2+4x+5.(2)由点A(0,-1),点B(4,5)和C(5,0),得AC2=26,BC2=26,AB2=52,∴AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°.∵AC=BC,∴△ABC是等腰直角三角形,∴∠ABC=45°,∴tan∠ABC=1.(3)如图,设直线AB与抛物线的对称轴交于点E,由y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9知,该抛物线的对称轴是直线x=2.由点A(0,-1)和点B(4,5)易得直线AB的表达式是y=32x-1把x=2代入y=32x-1,得y=2,即E(2,2)当直线CD∥AB时,设直线CD的解析式为y=32x+t把C(5,0)代入,得32×5+t=0,解得t=-15即直线CD的解析式为y=32x-15把x=2代入,得y=32×2-152=-∴D2,-92,∴点D关于点E(2,2)对称点D'2,172也符合题意.综上所述,符合条件的点D的坐标是2,-92或2,172.3.解题指南:PB=PC解析:(1)由题意得y=-(x+1)(x-3),∴y=-x2+2x+3.(2)由题意易知抛物线的对称轴为直线x=1,C(0,3),设P(1,m).∵PB2=PC2,∴(3-1)2+m2=1+(m-3)2,∴m=1,∴P(1,1).(3)存在.假设存在点M满足条件.如图,连接BM,作PQ∥BC交y轴于点Q,作MN∥BC交y轴于点N.∵点B的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,3),∴易求得直线BC的解析式为y=-x+3.∵PQ∥BC,且过点P(1,1),∴易求得直线PQ的解析式为y=-x+2,∴Q(0,2).∵C(0,3),S△BCM=S△BCP,∴N(0,4),∴直线MN的解析式为y=-x+4.由-x2+2x+3=-x+4,得x=3±5∴点M的横坐标为3+52或题型3特殊三角形问题探究类型1等腰三角形问题探究例1解析:(1)设抛物线L的表达式为y=a(x+2)2+8,将点B(0,6)代入y=a(x+2)2+8,得6=a(0+2)2+8,解得a=-12∴抛物线L的表达式为y=-12(x+2)2+8(2)存在.理由:由(1)中抛物线的表达式得点M(-6,0).如图,由题意得新抛物线的对称轴为直线x=2,D(2,8).设点Q(2,m),根据点D,Q,M的坐标,得DQ2=(8-m)2,QM2=64+m2,DM2=128.当DQ=QM时,(8-m)2=64+m2,解得m=0,∴点Q(2,0);当DQ=DM时,(8-m)2=128,解得m=8±82,∴点Q的坐标为(2,8+82)或(2,8-82);当QM=DM时,64+m2=128,解得m=-8或m=8(舍去),∴点Q的坐标为(2,-8).综上所述,点Q的坐标为(2,0)或(2,8+82)或(2,8-82)或(2,-8).变式设问解析:(1)把A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx-3中,得a-b∴抛物线L的函数表达式为y=x2-2x-3.(2)存在点P,使得以点A,C,P为顶点的三角形是等腰三角形.理由:在y=x2-2x-3中,令x=0得y=-3,∴C(0,-3).∵把抛物线y=x2-2x-3向右平移1个单位长度得到抛物线L',∴抛物线L'的函数表达式为y=(x-1)2-2(x-1)-3=x2-4x=(x-2)2-4,∴抛物线L'的对称轴为直线x=2.设P(2,t),∵A(-1,0),∴AP2=9+t2,CP2=4+(t+3)2,AC2=10.①若AP=CP,则9+t2=4+(t+3)2,解得t=-23∴点P2,-23;②若AP=AC,则9+t2=10,解得t=1或t=-1,∴点P(2,1)或(2,-1);③若CP=AC,则4+(t+3)2=10,解得t=6-3或t=-6-3,∴点P(2,6-3)或(2,-6-3).综上所述,点P的坐标为2,-23或(2,1)或(2,-1)或(2,6-3)或(2,-6-3).类型2直角三角形问题探究例2解析:(1)令y=ax2-2ax-8a=0,解得x=-2或x=4,∴点A,B的坐标分别为(-2,0),(4,0).(2)如图,由抛物线的表达式,得点C(0,-8a).∵△ABC是以AB为斜边的直角三角形,则∠ACB=90°.∵∠CAB+∠ACO=90°,∠ACO+∠OCB=90°,∴∠CAB=∠OCB.∵∠AOC=∠COB,∴△AOC∽△COB,∴COOB=AOCO,即OC2=OA·OB=2×4∴64a2=8,解得a=±24∴抛物线L的表达式为y=24x2-22x-22或y=-24x2+22变式设问解析:(1)将点A(-5,0),B(-1,0),C(0,5)代入y=ax2+bx+c,得25a-5∴y=x2+6x+5.∵y=x2+6x+5=(x+3)2-4,∴顶点D的坐标为(-3,-4).(2)设抛物线C2上任意一点的坐标为(x,y),则(x,y)关于y轴对称的点为(-x,y),∴点(-x,y)在抛物线C1上,抛物线C2的表达式为y=x2-6x+5,设E(t,t2-6t+5),如图,过点D作DG⊥x轴于点G,过点E作EH⊥x轴于点H.∵∠DOE=90°,∴∠GOD+∠HOE=90°.∵∠GOD+∠GDO=90°,∴∠HOE=∠GDO,∴△GDO∽△HOE,∴GDOH=GO∵GD=4,GO=3,HE=-t2+6t-5,OH=t,∴4t=3-t2+6t-5,∴点E的坐标为(4,-3)或54,-1516.类型3等腰直角三角形问题探究例3解析:∵抛物线y=-25(x+1)(x-5),∴抛物线的对称轴为直线x=-1+52=2,∴点M在直线x=2上,即点M如图,过点P作y轴的平行线交过点M与x轴平行的直线于点F,交x轴于点E,设点P的坐标为x,-25x2+85x+2.∵∠MPO=90°,∴∠MPF+∠OPE=90°.∵∠OPE+∠POE=90°,∴∠POE=∠MPF.∵∠PFM=∠OEP=90°,PM=PO,∴△PFM≌△OEP(AAS),∴PE=MF,则-25x2+85x+2=|x-2|,解得x=-52或x=4或x=0或x=13故点P的坐标为-52,-92或(4,2)或(0,2)或132,-92.变式设问解析:(1)由题意得c=3,1+∴抛物线L的表达式为y=x2-4x+3.(2)由抛物线的表达式得顶点坐标为(2,-1).如图,设CC'交PQ于点N.若△PCC'为等腰直角三角形时,则PN=CN=C'N.设点P(m,m2-4m+3),则m=m2-4m+3-3,解得m=0(舍去)或5,即点P的横坐标为5.∵原抛物线的对称轴为直线x=2,∴新抛物线的对称轴为直线x=2+3+3=8,∴新抛物线的顶点坐标为(8,-1),∴抛物线L'的表达式为y=(x-8)2-1.题型4三角形关系问题类型1与相似三角形结合问题例1解析:(1)将点A(3,0),B72,74代入y=ax2+bx,得9a+3∴y=x2-3x.(2)存在点P,使得△OMN与以点N,A,P为顶点的三角形相似.理由:将点B72,74代入y=kx,即74=72k,解得k=12,设P(t,t2-3t),则N(t,0),Mt,12t,∴ON=t,NM=12t∴tan∠MON=12∵A(3,0),∴AN=3-t.①当∠NPA=∠MON时,12=3-解得t=2或t=3(舍),∴P(2,-2);②当∠NAP=∠MON时,12=-解得t=3(舍)或t=12,∴P12,-54综上所述,点P的坐标为(2,-2)或12,-54.变式设问解析:(1)由题意得x=-b∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3.令y=x2-2x-3=0,则x=-1或x=3,即点A,B的坐标分别为(-1,0),(3,0).(2)设点P(m,m2-2m-3).∴平移后的抛物线的表达式为y=(x-m)2+m2-2m-3,∴点E(0,2m2-2m-3),∴DE=2m2-2m-3-(m2-2m-3)=m2,PD=m.在Rt△ACO中,tan∠ACO=13当以点P,D,E为顶点的三角形与△AOC相似时,tan∠EPD=13或3,即m2m解得m=3(舍去)或13,∴点P13,-329∵抛物线L1的顶点坐标为(1,-4),∴将L1向左平移23个单位长度再向上平移49类型2与全等三角形结合问题例2解析:∵ME⊥CD,∴∠MEF=90°.∵MF∥x轴,∴∠MFE=∠CDO.∵△MEF≌△COD,∴MF=CD.∵OC=4,OD=3,∴CD=5,∴FM=5.设Mm,-23m2+103m+4,则Fm-5,-23m2+103m+4.∵点F在直线CD上,∴-23m2+103m+4=-43(m-∴m=2或m=5,∴点M的坐标为(2,8)或(5,4).变式设问解析:(1)过原点O的抛物线y=-x2+4x与x轴的另一个交点为A.令y=0,则-x2+4x=0,解得x1=0,x2=4,∴A(4,0).∵抛物线y=-x2+4x,∴抛物线的对称轴为直线x=-4-2=∴点A的坐标为(4,0),抛物线的对称轴为直线x=2.(2)存在.∵B是OA的中点,∴B(2,0).图1①如图1,当△OMN≌△MOB时,∠MON=∠OMB,∠OMN=∠MOB,∴BM∥ON,MN∥OB,∴点M的横坐标为2,把x=2代入y=-x2+4x中,得y=-22+4×2=4,∴M(2,4).图2②如图2,当△OMN≌△OMB时,过点M作MH⊥x轴于点H.∵△OMN≌△OMB,∴∠NOM=∠BOM=45°,∴OH=MH.设M(m,-m2+4m),∴-m2+4m=m,解得m1=3,m2=0(舍去),∴M(3,3).综上所述,点M的坐标为(2,4)或(3,3).题型5特殊四边形问题探究类型1平行四边形问题探究例1解析:(1)∵抛物线y=ax2-2x+c经过A(0,3),B(-3,0)两点,∴9解得a∴抛物线y=-x2-2x+3.∵直线y=kx+b经过A(0,3),B(-3,0)两点,∴b=3,-3∴直线AB的表达式为y=x+3.(2)在射线EB上存在一点M,过点M作x轴的垂线交抛物线于点N.使点M,N,C,E是平行四边形的四个顶点.理由:∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,∴抛物线的顶点C的坐标为(-1,4).∵CE∥y轴,点E在直线y=x+3上,∴E(-1,2).∴CE=2.①如图1,连接CN.若点M在x轴的上方,四边形CEMN为平行四边形,则CE=MN.设M(a,a+3),则N(a,-a2-2a+3),∴MN=-a2-2a+3-(a+3)=-a2-3a,∴-a2-3a=2.解得a=-2或a=-1(舍去).∴M(-2,1);②如图2,连接EN,CM,MN.若点M在x轴的下方,四边形CENM为平行四边形,则CE=MN.设M(a,a+3),则N(a,-a2-2a+3),∴MN=a+3-(-a2-2a+3)=a2+3a,∴a2+3a-2=0,解得a=-3±17∵a<0,∴a=-3-17∴点M-3-172,3-17综上所述,点M的坐标为(-2,1)或M-3-172,3-17变式设问解析:存在.由抛物线L与抛物线L'的对称性可知,抛物线L'的表达式为y=-x2-x+2,点A关于原点O的对应点为点A',∴点A'(1,0),∴AA'=2,以AA'为边,且以A,A',P,Q为顶点的四边形是平行四边形,∴PQ=AA'=2,PQ∥AA'.设点P(x,x2-x-2).当点P在点Q的左侧时,点Q的横坐标为x+2,∴x2-x-2=-(x+2)2-(x+2)+2,解得x1=x2=-1,∴点P的坐标为(-1,0)(不符合题意,舍去).当点P在点Q的右侧时,点Q的横坐标为x-2,∴x2-x-2=-(x-2)2-(x-2)+2,∴x1=2+1,x2=-2+1,∴点P的坐标为(2+1,2)或(-2+1,-2).类型2菱形问题探究例2解析:(1)∵OA=2,OC=6,∴A(-2,0),C(0,-6).∵抛物线y=x2+bx+c过点A,C,∴4-2∴