chap5 地球椭球与测量计算

1、第五章第五章 地球椭球地球椭球与测量计算与测量计算1、基础知识、基础知识椭球的几何特征；地球椭球的几何特征；地球椭球及其定位；椭球面椭球及其定位；椭球面上的弧长计算。上的弧长计算。2、地面观测元素化算、地面观测元素化算至椭球面至椭球面3、椭球面上大地坐标、椭球面上大地坐标的计算问题的计算问题12345A1NA2(B1,L1)平面坐标计算平面坐标计算球面坐标计算球面坐标计算(x1,y1)第五章第五章 地球椭球及椭球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算 第五章第五章 地球椭球及椭球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算 5.1 5.1 地球椭球及其定位地球椭球及其定位 应用大地测量学应用大地测量学 测量

2、的外业工作主要是在地球表面进行的，或者说测量的外业工作主要是在地球表面进行的，或者说主要是对地球表面进行观测的，由于地球表面不是一个主要是对地球表面进行观测的，由于地球表面不是一个规则的数学曲面，在其上面无法进行严密的测量计算。规则的数学曲面，在其上面无法进行严密的测量计算。因此，需要寻求一个大小和形状最接近于地球的规则形因此，需要寻求一个大小和形状最接近于地球的规则形体体地球椭球，在其表面完成测量计算工作。用椭球地球椭球，在其表面完成测量计算工作。用椭球来表示地球必须解决来表示地球必须解决2 2个问题：个问题：一是椭球一是椭球参数参数的选择的选择( (椭球的大小和形状椭球的大小和形状) )；

3、 二是确定椭球与地球的相关位置，即椭球的二是确定椭球与地球的相关位置，即椭球的定位定位( (椭球椭球与大地水准面包围的大地体应当最密合与大地水准面包围的大地体应当最密合) )。5.1 5.1 地球椭球及其定位地球椭球及其定位 应用大地测量学应用大地测量学 具有一定几何参数，经过定位，在具有一定几何参数，经过定位，在全球范围内全球范围内与大与大地体最为接近、密合最好的椭球称为地体最为接近、密合最好的椭球称为地球椭球地球椭球。 在在某一地区某一地区与大地水准面密合最好的椭球，称为与大地水准面密合最好的椭球，称为参参考椭球考椭球。5.1 5.1 地球椭球及其定位地球椭球及其定位 应用大地测量学应用大

4、地测量学5.1.1 椭球的几何参数及其关系椭球的几何参数及其关系5.1.2 垂线偏差及其基本公式垂线偏差及其基本公式5.1.3 椭球定位椭球定位5.1 5.1 地球椭球及其定位地球椭球及其定位 应用大地测量学应用大地测量学5.1.1 椭球的几何参数及其关系椭球的几何参数及其关系5.1.2 垂线偏差及其基本公式垂线偏差及其基本公式5.1.3 椭球定位椭球定位5.1.1 5.1.1 椭球的几何参数及其关系椭球的几何参数及其关系 应用大地测量学应用大地测量学 应用大地测量学应用大地测量学偏心距：偏心距： 第一偏心率：第一偏心率： （5-15-1）第二偏心率：第二偏心率： 扁率：扁率： （5-25-2

5、）椭球长半径椭球长半径a a，短半径，短半径b b 5.1.1 5.1.1 椭球的几何参数及其关系椭球的几何参数及其关系22ba 应用大地测量学应用大地测量学a a、b b、e e、ee之间的关系：之间的关系： （5-35-3） （5-45-4） （5-55-5）5.1.1 5.1.1 椭球的几何参数及其关系椭球的几何参数及其关系2211ebaeab2211eeeeee222ffe 应用大地测量学应用大地测量学克拉索夫斯基椭球克拉索夫斯基椭球19801980国家大地坐标系国家大地坐标系WGS-84WGS-84a a6378245637824563781406378140637813763781

6、37b b6356863.018776356863.018776356755.288166356755.288166356752.31426356752.3142e2e20.006693421622970.006693421622970.006694384999590.006694384999590.006694379990130.00669437999013e2e20.00673852544680.00673852544680.006739501819470.006739501819470.006739496742270.00673949674227f f1:298.31:298.31:29

7、8.2571:298.2571:298.2572235631:298.257223563几种椭球几何参数几种椭球几何参数 5.1.1 5.1.1 椭球的几何参数及其关系椭球的几何参数及其关系5.1 5.1 地球椭球及其定位地球椭球及其定位 应用大地测量学应用大地测量学5.1.1 椭球的几何参数及其关系椭球的几何参数及其关系5.1.2 垂线偏差及其基本公式垂线偏差及其基本公式5.1.3 椭球定位椭球定位5.1.2 5.1.2 垂线偏差及其基本公式垂线偏差及其基本公式 应用大地测量学应用大地测量学垂线偏差垂线偏差地面一点上，铅垂线方向和相应的椭球面法地面一点上，铅垂线方向和相应的椭球面法线方向之间

8、的夹角线方向之间的夹角u 。垂线偏差垂线偏差u u的分量的分量子午圈分量子午圈分量 和卯酉圈分量和卯酉圈分量计算公式：计算公式： （5-75-7） （5-85-8）cos)(LBsecLB5.1.2 5.1.2 垂线偏差及其基本公式垂线偏差及其基本公式 应用大地测量学应用大地测量学 天文方位角与大地方位角之间的关系式：天文方位角与大地方位角之间的关系式： （5-145-14） （5-155-15） 以上公式称为以上公式称为拉普拉斯方程式拉普拉斯方程式。 sin)(LAtanA5.1.2 5.1.2 垂线偏差及其基本公式垂线偏差及其基本公式 应用大地测量学应用大地测量学 椭球短轴与地球某一固定历

9、元的地轴不平行，起始大椭球短轴与地球某一固定历元的地轴不平行，起始大地子午面和起始天文子午面也不平行，将产生地子午面和起始天文子午面也不平行，将产生欧拉角欧拉角，设，设为为 。此时垂线偏差公式（。此时垂线偏差公式（5-85-8）及拉普拉斯方）及拉普拉斯方程式（程式（5-155-15）扩展为：）扩展为：（5-165-16） 上式称为广义垂线偏差和拉普拉斯方程。上式称为广义垂线偏差和拉普拉斯方程。ZYX,ZYXAL0secsinseccos1tansincos0cossintansecB5.1 5.1 地球椭球及其定位地球椭球及其定位 应用大地测量学应用大地测量学5.1.1 椭球的几何参数及其关系

10、椭球的几何参数及其关系5.1.2 垂线偏差及其基本公式垂线偏差及其基本公式5.1.3 椭球定位椭球定位5.1.3 5.1.3 椭球定位椭球定位 应用大地测量学应用大地测量学 椭球定位椭球定位将一定参数的椭球与大地体的相关位置将一定参数的椭球与大地体的相关位置固定下来，确定测量计算基准面的具体位置和大地测量起固定下来，确定测量计算基准面的具体位置和大地测量起算数据。算数据。 包括：定位和定向两方面。定位是指确定椭球中心的包括：定位和定向两方面。定位是指确定椭球中心的位置，定向是指确定该椭球坐标轴的指向。从数学上讲就位置，定向是指确定该椭球坐标轴的指向。从数学上讲就是要确定三个平移参数是要确定三个

11、平移参数 和三个旋转角和三个旋转角度度 。 椭球定位三个条件：椭球定位三个条件：（1 1）椭球短轴与某一指定历元的地球椭球自转轴平行；）椭球短轴与某一指定历元的地球椭球自转轴平行；（2 2）起始大地子午面与起始天文子午面相平行；）起始大地子午面与起始天文子午面相平行；（3 3）在一定区域范围内，椭球面与大地水准面（或似大）在一定区域范围内，椭球面与大地水准面（或似大地水准面）最为密合。地水准面）最为密合。),(000ZYX),(ZYX5.1.3 5.1.3 椭球定位椭球定位 应用大地测量学应用大地测量学 椭球定位通过大地原点的天文观测实现。对于大地原点：椭球定位通过大地原点的天文观测实现。对于

12、大地原点：B0= 0-0B0= 0-0L0= 0-0L0= 0-0sec0sec0A0= 0-0A0= 0-0tan0tan0H0= H0H0= H0常常+0+0 初期定位时，初期定位时，00，00，00未知，可取为未知，可取为0 0。称为。称为一点定位一点定位。 根据大地测量和天文测量数据，在根据大地测量和天文测量数据，在 条件下，求条件下，求出原点的出原点的00，00，00值。称为值。称为多点定位多点定位。第五章第五章 地球椭球及椭球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算 第二节第二节 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径 应用大地测量学应用大地测量学法截面法截面包含曲面一点法线的平面

13、。包含曲面一点法线的平面。法截线法截线法截面与曲面的截线。法截面与曲面的截线。斜截线斜截线不包含法线的平面与椭球面的截线。不包含法线的平面与椭球面的截线。子午圈子午圈包含短轴的平面与椭球面的交线。包含短轴的平面与椭球面的交线。卯酉圈卯酉圈与椭球面上一点子午圈相垂直的法截线，为该与椭球面上一点子午圈相垂直的法截线，为该点的卯酉圈。点的卯酉圈。平行圈平行圈垂直于短轴的平面与椭球面的交线。垂直于短轴的平面与椭球面的交线。 应用大地测量学应用大地测量学5.2.1 卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径5.2.2 子午圈曲率半径子午圈曲率半径5.2.3 任意方向的法截线曲率半径任意方向的法截线曲率半径5.2.4

14、平均曲率半径平均曲率半径5.2.5 曲率半径的数值计算公式曲率半径的数值计算公式5.2 5.2 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径 应用大地测量学应用大地测量学5.2.1 卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径5.2.2 子午圈曲率半径子午圈曲率半径5.2.3 任意方向的法截线曲率半径任意方向的法截线曲率半径5.2.4 平均曲率半径平均曲率半径5.2.5 曲率半径的数值计算公式曲率半径的数值计算公式5.2 5.2 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径5.2.1 5.2.1 卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径 应用大地测量学应用大地测量学TWyCPPEEGQQOVOUKKNssBBB+90N=

15、bxrxrra 应用大地测量学应用大地测量学BNrcos5.2.1 5.2.1 卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径 微分几何中麦尼厄定理：微分几何中麦尼厄定理： （5-19） （5-26） （5-23） W又称第一基本纬度函数，又称第一基本纬度函数，V称为第二基本维度函数。称为第二基本维度函数。VcWaN222221cos1sin1BeVBeW 应用大地测量学应用大地测量学5.2.1 卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径5.2.2 子午圈曲率半径子午圈曲率半径5.2.3 任意方向的法截线曲率半径任意方向的法截线曲率半径5.2.4 平均曲率半径平均曲率半径5.2.5 曲率半径的数值计算公式曲率半径的数值计算公

16、式5.2 5.2 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径5.2.2 5.2.2 子午圈曲率半径子午圈曲率半径 应用大地测量学应用大地测量学-dxdrEDCKBBMMdB332)1 (VcWeaM（5-30）5.2.2 5.2.2 子午圈曲率半径子午圈曲率半径 应用大地测量学应用大地测量学表表 M M、N N随随B B变化的规律变化的规律 B BN NM M说明说明B=0B=0N N0 0=a=aM M0 0= a(1-e= a(1-e2 2) )在赤道上，在赤道上，N N为赤为赤道半径道半径a a，M M小于小于赤道半径赤道半径a a0 0B90B90aNcaNca(1-ea(1-e2

17、2)Mc)Mc此间此间N N、M M均随均随B B的的增大而增大增大而增大B=90B=90在极点，卯酉圈在极点，卯酉圈变为子午圈变为子午圈 椭球面上任一点处的法截线中，椭球面上任一点处的法截线中，卯酉圈卯酉圈曲率半径达到曲率半径达到最大值最大值，而，而子午圈子午圈曲率半径曲率半径最小最小。因此，任一点的卯酉圈。因此，任一点的卯酉圈和子午圈的切线方向，就是椭球面在该点的和子午圈的切线方向，就是椭球面在该点的主方向主方向，其曲，其曲率半径率半径N和和M称为该点的主曲率半径。由于椭球面上任一称为该点的主曲率半径。由于椭球面上任一点处的平行圈与卯酉圈有公共切线，所以，点处的平行圈与卯酉圈有公共切线，所

18、以，经线和纬线经线和纬线上上每一点的切线也都是椭球面在该点主方向。每一点的切线也都是椭球面在该点主方向。 应用大地测量学应用大地测量学5.2.1 卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径5.2.2 子午圈曲率半径子午圈曲率半径5.2.3 任意方向的法截线曲率半径任意方向的法截线曲率半径5.2.4 平均曲率半径平均曲率半径5.2.5 曲率半径的数值计算公式曲率半径的数值计算公式5.2 5.2 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径5.2.3 5.2.3 任意方向的法截线曲率半径任意方向的法截线曲率半径 应用大地测量学应用大地测量学AMANMNRA22sincosABeNANRA22222coscos1

19、cos15.2.3 5.2.3 任意方向的法截线曲率半径任意方向的法截线曲率半径 应用大地测量学应用大地测量学 公式（公式（5-33）可以看出，任意方向）可以看出，任意方向A的法截线的法截线曲率半径曲率半径RA，不仅与纬度，不仅与纬度B有关，还与该点的法有关，还与该点的法截线的大地方位角截线的大地方位角A有关。法截线的特性：有关。法截线的特性： （1）相对于主方向对称位置的法截线具有相）相对于主方向对称位置的法截线具有相同的曲率半径。同的曲率半径。 （2）椭球面上任一点相互垂直的两个法截线）椭球面上任一点相互垂直的两个法截线曲率之和为固定值，且等于两个主方向曲率之和。曲率之和为固定值，且等于两

20、个主方向曲率之和。 应用大地测量学应用大地测量学5.2.1 卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径5.2.2 子午圈曲率半径子午圈曲率半径5.2.3 任意方向的法截线曲率半径任意方向的法截线曲率半径5.2.4 平均曲率半径平均曲率半径5.2.5 曲率半径的数值计算公式曲率半径的数值计算公式5.2 5.2 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径5.2.4 5.2.4 平均曲率半径平均曲率半径 应用大地测量学应用大地测量学2221VcWeaRMNR 应用大地测量学应用大地测量学5.2.1 卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径5.2.2 子午圈曲率半径子午圈曲率半径5.2.3 任意方向的法截线曲率半径任意方向的

21、法截线曲率半径5.2.4 平均曲率半径平均曲率半径5.2.5 曲率半径的数值计算公式曲率半径的数值计算公式5.2 5.2 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径5.2.5 5.2.5 曲率半径的数值计算公式曲率半径的数值计算公式 应用大地测量学应用大地测量学第五章第五章 地球椭球及椭球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算 应用大地测量学应用大地测量学5.3.1 子午圈弧长计算子午圈弧长计算5.3.2 平行圈弧长计算平行圈弧长计算5.3 5.3 椭球面上弧长计算椭球面上弧长计算 应用大地测量学应用大地测量学5.3.1 子午圈弧长计算子午圈弧长计算5.3.2 平行圈弧长计算平行圈弧长计算5.3

22、 5.3 椭球面上弧长计算椭球面上弧长计算 应用大地测量学应用大地测量学1 1、计算、计算B=0B=0到到B B的子午圈弧长的子午圈弧长X X由由M=dXM=dX/dB/dB（5-275-27）得：）得： 将（将（5-375-37） 代入上式，从代入上式，从0 0到到B B积分，可得积分，可得X X。可知，。可知，X X是是B B的函数。见的函数。见公式公式(5-41)(5-41)。 注意注意：将不同的椭球参数代入得相应的子午圈弧长计将不同的椭球参数代入得相应的子午圈弧长计算式。算式。5.3.1 5.3.1 子午圈弧长计算子午圈弧长计算 应用大地测量学应用大地测量学2 2、计算已知纬度、计算已

23、知纬度B1B1和和B2B2之间的子午圈弧长之间的子午圈弧长X X（1 1）分别计算）分别计算0 0到到B1B1和和0 0到到B2B2之间的子午圈弧长之间的子午圈弧长X1X1和和X2X2，然后求然后求X=X2-X1X=X2-X1；（2 2）用上述积分式求）用上述积分式求B1B1B2B2之间的子午圈弧长之间的子午圈弧长X X。5.3.1 5.3.1 子午圈弧长计算子午圈弧长计算 应用大地测量学应用大地测量学5.3.1 子午圈弧长计算子午圈弧长计算5.3.2 平行圈弧长计算平行圈弧长计算5.3 5.3 椭球面上弧长计算椭球面上弧长计算5.3.2 5.3.2 平行圈弧长计算平行圈弧长计算 应用大地测量

24、学应用大地测量学 平行圈是一个半径等于平行圈是一个半径等于 r=Nr=NCOSBCOSB的圆，纬度的圆，纬度B B处经度处经度L1L1L2L2之间的平行圈弧长之间的平行圈弧长 经度差相同，纬度不同的平行圈，弧长不同。纬度越经度差相同，纬度不同的平行圈，弧长不同。纬度越高，单位经度差点平行圈弧长越短。高，单位经度差点平行圈弧长越短。 用于计算中、小比例尺地形图中两条子午圈和两条平用于计算中、小比例尺地形图中两条子午圈和两条平行圈所包围的椭球面面积。行圈所包围的椭球面面积。 第五章第五章 地球椭球及椭球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算 应用大地测量学应用大地测量学5.4.1 相对法截线相对法截线

25、5.4.2 大地线及其特征大地线及其特征5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程5.4.4 地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面5.4.5 地面观测距离归算至椭球面地面观测距离归算至椭球面5.4.6 椭球面上的三角形解算椭球面上的三角形解算5.4 5.4 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面 应用大地测量学应用大地测量学5.4.1 相对法截线相对法截线5.4.2 大地线及其特征大地线及其特征5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程5.4.4 地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面5.4.5 地面观测距离归算至椭球面地

26、面观测距离归算至椭球面5.4.6 椭球面上的三角形解算椭球面上的三角形解算5.4 5.4 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面5.4.1 5.4.1 相对法截线相对法截线 应用大地测量学应用大地测量学 CK=NsinB CK=NsinB， （5-225-22）代入（）代入（5-215-21）得：）得：所以：所以： （5-435-43） 上式说点的纬度不同，其法线与短轴的交点到椭球中心上式说点的纬度不同，其法线与短轴的交点到椭球中心之间的距离不等，纬度越高，交点到椭球中心的距离越长。之间的距离不等，纬度越高，交点到椭球中心的距离越长。TWyCPPEEGQQOVOUKKNssBBB+90N

27、=bxrxrraBeNyOCsin)1 (2BNeBeNBNOKsinsin)1 (sin225.4.1 5.4.1 相对法截线相对法截线 应用大地测量学应用大地测量学 设设Q1Q1和和Q2Q2两点既不在同一平行圈上，也不在同一子午两点既不在同一平行圈上，也不在同一子午圈上，它们的法线圈上，它们的法线Q1n1Q1n1和和Q2n2Q2n2不相交。法截线不相交。法截线Q1m1Q2Q1m1Q2和和Q2m2Q1Q2m2Q1称为两点间的称为两点间的相对法截线。相对法截线。 正法截线正法截线与与反法截线。一般不重合。反法截线。一般不重合。 应用大地测量学应用大地测量学令令BmBm=45=45，A=45A=

28、45，不同距离，不同距离S S求得的求得的值为：值为： S S 100km 100km 0.042 0.042 60km 60km 0.015 0.015 30km 30km 0.004 0.004 在长距离的测量中，对向观测所得在长距离的测量中，对向观测所得3 3个内角不能组成个内角不能组成闭合三角形，需在两点间选择一条单一曲线闭合三角形，需在两点间选择一条单一曲线大地线。大地线。5.4.1 5.4.1 相对法截线相对法截线 应用大地测量学应用大地测量学5.4.1 相对法截线相对法截线5.4.2 大地线及其特征大地线及其特征5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程5.

29、4.4 地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面5.4.5 地面观测距离归算至椭球面地面观测距离归算至椭球面5.4.6 椭球面上的三角形解算椭球面上的三角形解算5.4 5.4 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面5.4.2 5.4.2 大地线及其特征大地线及其特征 应用大地测量学应用大地测量学1 1、大地线大地线曲面上两点间的最短曲线。（或：大地线曲面上两点间的最短曲线。（或：大地线是曲面上的一条曲线，该曲线上每一点处的密切平面都包是曲面上的一条曲线，该曲线上每一点处的密切平面都包含曲面在该点的法线。含曲面在该点的法线。Kddss2211PPPBA线法曲面切平面密切平面31 =

30、BELDK5.4.2 5.4.2 大地线及其特征大地线及其特征 应用大地测量学应用大地测量学2 2、大地线几何特征、大地线几何特征（1 1）一般情况下，曲面上的曲线并不是大地线（如球面）一般情况下，曲面上的曲线并不是大地线（如球面上的小圆）。大地线相当于椭球面上两点间的最短程曲线。上的小圆）。大地线相当于椭球面上两点间的最短程曲线。（2 2）大地线与相对法截线间的夹角为）大地线与相对法截线间的夹角为=/3/3。（3 3）大地线与相对法截线间的长度之差甚微，）大地线与相对法截线间的长度之差甚微，600km600km时二时二者之差仅为者之差仅为0.007mm0.007mm。（4 4）两点位于同一条

31、子午圈上或赤道上，则大地线与子）两点位于同一条子午圈上或赤道上，则大地线与子午圈、赤道重合。午圈、赤道重合。 应用大地测量学应用大地测量学5.4.1 相对法截线相对法截线5.4.2 大地线及其特征大地线及其特征5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程5.4.4 地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面5.4.5 地面观测距离归算至椭球面地面观测距离归算至椭球面5.4.6 椭球面上的三角形解算椭球面上的三角形解算5.4 5.4 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面5.4.3 5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程 应用大地测量学应

32、用大地测量学大地线的解析特性大地线的解析特性表述表述dBdB、dLdL、dAdA与与dSdS的关系：的关系： 大地线的三个微分方程：大地线的三个微分方程：21-+cos=rro90KMTNNNLLSPPPPBBBBdddddAdAAA 应用大地测量学应用大地测量学大地线的解析特性大地线的解析特性表述表述dBdB、dLdL、dAdA与与dSdS的关系：的关系： 大地线的大地线的克莱劳方程克莱劳方程 ： r rsinAsinA=C=C（C C为常数）为常数） 对于椭球面上一大地对于椭球面上一大地线而言，每点处平行圈线而言，每点处平行圈半径与该点处大地线方半径与该点处大地线方位角正弦的乘积是一个位角

33、正弦的乘积是一个常数（常数（大地线常数大地线常数）。）。克劳莱定理克劳莱定理5.4.3 5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程 应用大地测量学应用大地测量学5.4.1 相对法截线相对法截线5.4.2 大地线及其特征大地线及其特征5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程5.4.4 地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面5.4.5 地面观测距离归算至椭球面地面观测距离归算至椭球面5.4.6 椭球面上的三角形解算椭球面上的三角形解算5.4 5.4 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面5.4.4 5.4.4 地面观测方向归算至椭球面地

34、面观测方向归算至椭球面 应用大地测量学应用大地测量学5.4.4 5.4.4 地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面 应用大地测量学应用大地测量学1 1、垂线偏差改正、垂线偏差改正11 将地面测站点铅垂线为基准的观测方向换算成椭球面将地面测站点铅垂线为基准的观测方向换算成椭球面上以法线为准的观测方向，其改正数上以法线为准的观测方向，其改正数11为：为： （5-515-51）例：例：A=0A=0，tantan=0.01=0.01，=5=5，则，则1=0.051=0.05。 垂线偏差改正数的大小主要取决于测站点的垂线偏差垂线偏差改正数的大小主要取决于测站点的垂线偏差和观测方向的天顶距（或垂

35、直角）。仅在国家一、二等三和观测方向的天顶距（或垂直角）。仅在国家一、二等三角测量计算中，才规定加入此项改正。角测量计算中，才规定加入此项改正。 tan)cossin(cot)cossin(1AAzAA 应用大地测量学应用大地测量学 椭球上两点不在同一子午面或同一平行圈上，过两点多法线不共椭球上两点不在同一子午面或同一平行圈上，过两点多法线不共面，照准点面，照准点 B B高出椭球面某一高度高出椭球面某一高度 H2H2，使得在，使得在A A点照准点照准B B点的法截线点的法截线AbAb与与AbAb之间有一夹角之间有一夹角22。 （5-525-52）B2 B2 照准点的大地纬度；照准点的大地纬度；

36、A1 A1 测站点至照准点的大地方位角；测站点至照准点的大地方位角；H2 H2 照准点高出椭球面的高程；照准点高出椭球面的高程；M1 M1 测站点子午圈曲率半径。测站点子午圈曲率半径。例：例：A1=45A1=45，B2=45B2=45，H2=2000mH2=2000m，1=0.11=0.1局部地区的控制测量一般不必考虑此项改正。局部地区的控制测量一般不必考虑此项改正。 5.4.4 5.4.4 地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面 应用大地测量学应用大地测量学 将椭球面上法截线方向换算为大地线方向将椭球面上法截线方向换算为大地线方向所加的为截面差改正数所加的为截面差改正数33。例：例

37、：A1=45A1=45，BmBm=45=45，S=30km 3=0.001S=30km 3=0.001 截面差改正主要与测站点至照准点间的距截面差改正主要与测站点至照准点间的距离有关。只有在国家一等三角测量计算中，才离有关。只有在国家一等三角测量计算中，才进行改正。进行改正。 5.4.4 5.4.4 地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面 应用大地测量学应用大地测量学5.4.1 相对法截线相对法截线5.4.2 大地线及其特征大地线及其特征5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程5.4.4 地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面5.4.5 地面观测距离

38、归算至椭球面地面观测距离归算至椭球面5.4.6 椭球面上的三角形解算椭球面上的三角形解算5.4 5.4 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面5.4.5 5.4.5 地面观测距离归算至椭球面地面观测距离归算至椭球面 应用大地测量学应用大地测量学设设A A、B B两点的大地高分别为两点的大地高分别为H1H1为为H2H2，h=H2-H1h=H2-H1，d d为空间直线长。为空间直线长。由三角形由三角形AOBAOB按余弦公式可得：按余弦公式可得： 弦长弦长 （5-555-55） （4-284-28）（）（4-314-31）弧长弧长 应用大地测量学应用大地测量学5.4.1 相对法截线相对法截线5

39、.4.2 大地线及其特征大地线及其特征5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程5.4.4 地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面5.4.5 地面观测距离归算至椭球面地面观测距离归算至椭球面5.4.6 椭球面上的三角形解算椭球面上的三角形解算5.4 5.4 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面5.4.6 5.4.6 椭球面上的三角形解算椭球面上的三角形解算 应用大地测量学应用大地测量学目的目的将方向观测值和起算边长归算到椭球面上后，在椭球面上解将方向观测值和起算边长归算到椭球面上后，在椭球面上解算未知边长。算未知边长。方法一：按球面三角形解算公式：方法一

40、：按球面三角形解算公式： 方法二：方法二：（勒让德定理）（勒让德定理）将球面三角形改化为对应边相等的平面三角将球面三角形改化为对应边相等的平面三角形，按平面三角公式解算三角形求得球面边长。形，按平面三角公式解算三角形求得球面边长。球面三角形球面角超球面三角形球面角超 =（A0+B0+C0A0+B0+C0）-180-180= =/R/R2 2，为三为三角形面积。角形面积。 A1=A0-/3A1=A0-/3， B1=B0-/3B1=B0-/3，C1=C0-/3C1=C0-/3。 第五章第五章 地球椭球及椭球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算 应用大地测量学应用大地测量学5.5.1 概述概述5.5.

41、2 勒让德级数式勒让德级数式5.5.3 高斯平均引数正解公式高斯平均引数正解公式5.5.4 高斯平均引数反解公式高斯平均引数反解公式5.5 5.5 椭球面上大地问题解算椭球面上大地问题解算 应用大地测量学应用大地测量学5.5.1 概述概述5.5.2 勒让德级数式勒让德级数式5.5.3 高斯平均引数正解公式高斯平均引数正解公式5.5.4 高斯平均引数反解公式高斯平均引数反解公式5.5 5.5 椭球面上大地问题解算椭球面上大地问题解算5.5.1 5.5.1 概述概述 应用大地测量学应用大地测量学 大地问题正解大地问题正解已知已知P1P1点大地坐标（点大地坐标（B1B1，L1L1）、）、P1P2P1

42、P2大地线长大地线长S S和大地方位角和大地方位角A1A1，推求推求P2P2点大地坐标（点大地坐标（B2B2，L2L2）和大地方位角和大地方位角A2A2。 大地问题反解大地问题反解已知已知P1P2P1P2两点的大地坐标（两点的大地坐标（B1B1，L1L1）、（）、（B2B2，L2L2）反算）反算P1P2P1P2的的大地线长大地线长S S和大地方位角和大地方位角A1A1、A2A2。 应用大地测量学应用大地测量学 1 1、按、按解算的距离解算的距离分为：短距离（分为：短距离（400km)400km)、中距离、中距离（4004001000km)1000km)和长距离（和长距离（10001000200

43、0km)2000km)的解算。的解算。 2 2、按、按解算形式解算形式分为：直接解法和间接解法分为：直接解法和间接解法 直接解法直接解法直接解求点直接解求点B B、A A和相邻起算点的大和相邻起算点的大地经差。地经差。 间接解法间接解法先求大地经差、纬差和大地方位角先求大地经差、纬差和大地方位角差，再加入到已知点的相应大地数据中。主要用于短差，再加入到已知点的相应大地数据中。主要用于短距离大地问题的解算。距离大地问题的解算。 5.5.1 5.5.1 概述概述 应用大地测量学应用大地测量学 3 3、高斯平均引数大地问题解算公式（间接解法，适、高斯平均引数大地问题解算公式（间接解法，适用于短距离）

44、。用于短距离）。 基本思路：基本思路： a a、按照平均引数展开的泰勒级数把大地线两端点、按照平均引数展开的泰勒级数把大地线两端点的经差、纬差和方位角差各表示为大地线长的经差、纬差和方位角差各表示为大地线长S S的幂级数；的幂级数； b b、利用大地线微分方程推求幂级数中各阶导数，、利用大地线微分方程推求幂级数中各阶导数，最终得到大地问题解算公式。最终得到大地问题解算公式。 5.5.1 5.5.1 概述概述 应用大地测量学应用大地测量学5.5.1 概述概述5.5.2 勒让德级数式勒让德级数式5.5.3 高斯平均引数正解公式高斯平均引数正解公式5.5.4 高斯平均引数反解公式高斯平均引数反解公式

45、5.5 5.5 椭球面上大地问题解算椭球面上大地问题解算 应用大地测量学应用大地测量学 按照泰勒级数将按照泰勒级数将P1P1和和P2P2两点的纬差两点的纬差b b、经差、经差l l和方位和方位角差角差展开成为大地线长度展开成为大地线长度S S的幂级数，成为的幂级数，成为勒让德级勒让德级数式数式。 公式（公式（5-635-63） 公式（公式（5-695-69） 公式（公式（5-705-70） 公式（公式（5-715-71）5.5.2 5.5.2 勒让德级数式勒让德级数式 应用大地测量学应用大地测量学5.5.1 概述概述5.5.2 勒让德级数式勒让德级数式5.5.3 高斯平均引数正解公式高斯平均引数正解公式5.5.4 高斯平均引数反解公式高斯平均引数反解公式5.5 5.5 椭球面上大地问题解算椭球面上大地问题解算5.5.3 5.5.3 高斯平均引数正解公式高斯平均引数正解公式 应用大地测量学应用大地测量学 首先把勒让德级数在首先把勒让德级数在P1P1点展开改为在点展开改为在大地线长度中