第二章1_插值法2.1~2.3

1、1第第2 2章章 插插 值值 法法22.1 2.1 引言引言 2.2 Lagrange2.2 Lagrange插值插值2.3 2.3 均差与均差与NewtonNewton插值多项式插值多项式2.4 Hermite2.4 Hermite插值插值2.5 2.5 分段低次插值分段低次插值2.6 2.6 三次样条插值三次样条插值32.1 2.1 引引 言言 设函数 在区间 上有定义，且已知在点)(xfy ,ba 上的值 ，bxxxan10nyyy,10函数 ，)(xP), 1 , 0()(niyxPii（1.1）成立，就称 为 的插值函数插值函数，点 称为插插)(xP)(xfnxxx,10值节点值节点

2、，包含节点的区间 称为插值区间插值区间，求插值函数,ba若存在一简单使)(xP的方法称为插值法插值法. .2.1.1 2.1.1 插值问题的提出插值问题的提出4 插值函数插值函数 p (x) 作为作为 f (x) 的近似，可以选自不同的近似，可以选自不同类型的函数类型的函数, 如如 p (x) 为代数多项式、三角多项式、有为代数多项式、三角多项式、有理分式理分式；其函数性态可以是光滑的、亦可以是分段光其函数性态可以是光滑的、亦可以是分段光滑的。其中，滑的。其中，代数多项式代数多项式类的插值函数占有重要地位：类的插值函数占有重要地位： (a) 结构简单、计算机容易处理、任何多项式的导数结构简单、

3、计算机容易处理、任何多项式的导数和积分也易确定。和积分也易确定。(b) 著名的著名的Weierstrass逼近定理逼近定理(定义在闭区间上的定义在闭区间上的任何连续函数任何连续函数 f(x) , 存在代数多项式存在代数多项式p(x)一致逼近一致逼近f(x),并达到所要求的精度并达到所要求的精度)。因此，我们主要考虑代数多项式的插值问题。因此，我们主要考虑代数多项式的插值问题。2022-6-2945nnxaxaaxP10)(（1.2） 若 是次数不超过 n 的代数多项式，即)(xP其中 为实数，就称 为插值多项式插值多项式，ia)( xP本章只讨论多项式插值与分段插值. 若 为分段的多项式，就称

4、为分段插值分段插值. .)( xP 若 为三角多项式 ，就称为三角插值三角插值. .)( xP相应的插值法称为多项式插值多项式插值. .6 从几何上看，插值法就是就曲线 ，使其通过给定的 个点 ，并用它近似已知曲线 . )(xPy 1nniyxii, 1 ,0),()(xfy 图2-1见图2-1.71. 插值问题是否可解. 若有解,是否唯一.2. 如何求插值函数P(x).3. P(x)与 f(x)的误差如何估计.4. 当插值节点无限加密时, P(x)是否收敛 于f(x).插值法的研究内容插值法的研究内容8【问题问题】 设函数 在区间 上有定义，且已知在点)(xfy ,ba 上的值 ，bxxxa

5、n10nyyy,10的多项式 ，使得)(xP., 1 , 0,)(niyxPii（1.3）求次数不超过n2.1.2 2.1.2 插值多项式的存在唯一性插值多项式的存在唯一性9 在次数不超过 的多项式集合 中，满足条件(1.3)的插值多项式 是存在唯一的. nHnnnHxP)( 由（1.3）式得到关于系数 的线性方程组因此，线性方程组（1.3）的解存在唯一，证毕.定理定理1 1证明证明其系数矩阵的行列式(是Vandermande行列式)naaa,10.,101111000010nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa（1.4）. 0)(111det)det(101100njijin

6、nnnnxxxxxxxxA（1.5）10插值余项与误差估计插值余项与误差估计 若在 上用 近似 ， ,ba)(xPn)(xf),()()(xPxfxRnn 设 在 上连续， 在 内)()(xfn,ba)()1(xfn ),(ba存在，节点 是满足条件(2.6)的插值多项式，)(,10 xPbxxxann则对任何 ，插值余项,bax )()!1()()()()(11(xnfxPxfxRnnnn这里 且依赖于 ，),(bax则其截断误差为也称为插值多项式的余项余项. .定理定理2 2).()()(101nnxxxxxxx11 余项表达式只有在 的高阶导数存在时才能应用. )(xf 但 在 内的具体

7、位置通常不可能给出，),(ba如果可以求出 那么插值多项式 逼近 的截断误差限是 ,)(max1)1(nnbxaMxf)(xPn)(xf. )()!1()(11xnMxRnnn12 2.2.1 2.2.1 线性插值与抛物插值线性插值与抛物插值 对给定的插值点，可以用多种不同的方法求得形如(1.2)的插值多项式. 先讨论 的简单情形.1n【问题问题】给定区间 及端点函数值 ，,10 xx)(),(1100 xfyxfy要求线性插值多项式 ，)(1xL.)(,)(111001yxLyxL2.2 Lagrange 2.2 Lagrange 插值插值使它满足13)(1xL)()(0010101xxxx

8、yyyxL（点斜式），101001011)(yxxxxyxxxxxL（两点式），（2.1） 由两点式看出， 是由两个线性函数)(1xL,)(1010 xxxxxl,)(0101xxxxxl（2.2）的线性组合得到，其系数分别为 及 ，即ky1ky)()()(11001xlyxlyxL（2.3）14显然， 及 也是线性插值多项式，在节点 及)(0 xl)(1xl0 x1x称 及 为线性插值基函数线性插值基函数，)(0 xl)(1xl, 1)(00 xl;0)(10 xl,0)(01xl, 1)(11xl上满足条件图形见图2-3.15图2-316下面讨论 的情形.2n 假定插值节点为 ， ， ，要

9、求二次插值多项式1kxkx1kx),(2xL) 1, 1()(2kkkjyxLjj 几何上 是通过三点 的抛物线.)(2xL),(),(),(1111kkkkkkyxyxyx 可以用基函数的方法求 的表达式，此时基函数)(2xL);1,(,0)(, 1)(111kkjxlxljkkk);1, 1(,0)(, 1)(kkjxlxljkkk（2.4）)., 1(,0)(, 1)(111kkjxlxljkkk使它满足),(1xlk ),(xlk)(1xlk 是二次函数，且在节点上满足条件17 接下来讨论满足（2.4）的插值基函数的求法，以求 为例，)(1xlk 由插值条件，它应有两个零点 及 ，kx

10、1kx),)()(11kkkxxxxAxl可由插值条件 定出1)(11kkxl其中 为待定系数，A)(1111kkkkxxxxA于是.)()()(11111kkkkkkkxxxxxxxxxl可表示为18同理.)()()(1111kkkkkkkxxxxxxxxxl.)()()(11111kkkkkkkxxxxxxxxxl 二次插值基函数 ， ， 在区间 上的图形见图2-4.)(1xlk )(xlk)(1xlk ,11kkxx19图2-420 利用 ， ， ，)(1xlk )(xlk)(1xlk )()()()(11112xlyxlyxlyxLkkkkkk（2.5）显然，将 , ， 代入 (2.5

11、) ,)(1xlk )(xlk)(1xlk )()()(111112kkkkkkkxxxxxxxxyxL)()(1111kkkkkkkxxxxxxxxy.)()(11111kkkkkkkxxxxxxxxy立即得到二次插值多项式).1, 1( ,)(2kkkjyxLjj它满足条件得21 2.2.2 2.2.2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式 将前面的方法推广到一般情形，讨论如何构造通过 个节点 的 次插值多项式 .1nnxxx10n)( xLn)., 1 ,0()(njyxLjjn（2.6） 根据插值的定义 应满足)(xLn先定义 次插值基函数.n 为构造 ，)(xLn22 定义定义1 1

12、 若 次多项式 在 个节点 n), 1 ,0()(njxLj1n), 1 , 0,(., 0;, 1)(nkjjkjkxlkj（2.7）就称这 个 次多项式 为节点 1nn)(,),(),(10 xlxlxln上的 次插值基函数次插值基函数.nxxx,10nnxxx10上满足条件23显然它满足条件（2.7）. 于是，满足条件（2.6）的插值多项式 可表示为 )( xLn. )()(0nkkknxlyxL（2.9）)()()()()()()(110110nkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxl)., 1 , 0(nk（2.8） 与前面的推导类似， 次插值基函数为 n24由 的定

13、义，知)(xlk)., 1 ,0()()(0njyxlyxLjnkjkkjn形如（2.9）的插值多项式 称为拉格朗拉格朗日插值多项式插值多项式，)( xLn而(2.3)与(2.5)是 和 的特殊情形.1n2n容易求得 ),()()()(1101nkkkkkkknxxxxxxxxx),()()(101nnxxxxxxx（2.10） 若引入记号 25于是公式（2.9）可改写成 .)()()()(011nkknknknxxxxyxL（2.11） 注意注意: : 次插值多项式 通常是次数为 的多项式，n)(xLnn特殊情况下次数可能小于 .n26若取 ，则 0m.1)(0nkkxl（2.18）.,1

14、,0.)(0nmxxlxnkmkmk（2.17）可得, 1 , 0,)(nmxxfm若令它可用来检验函数组 的正确性., 1 ,0),(nkxlk27当 时，线性插值余项为 1n),)()(21)()(21)(1021xxxxfxfxR ,10 xx（2.17）当 时，抛物插值余项为 2n),)()()(61)(2102xxxxxxfxR ,20 xx（2.18）28由题意, 取 ,314567. 0,32. 000yx.352274. 0,36. 022yx（1）用线性插值计算，的值并估计截断误差. ,333487. 034. 0sin,314567. 032. 0sin,352274.03

15、6.0sin,333487. 0,34. 011yx例例1 1已知3367.0sin用线性插值及抛物插值计算解解,34. 0,32. 010 xx取由公式（2.1）29)3367. 0(3367. 0sin1L0167. 002. 001892. 0314567. 0)3367. 0(00101xxxyyy.330365. 030 由（2.17）,其截断误差,)(2)(1021xxxxMxR其中 )(max102xfMxxx 于是 )3367.0(3367.0sin)3367.0(11LR0033. 00167. 03335. 021xxxxsinmax10,3335.0sin1x.1092.

16、 0531（2） 用抛物插值计算，由公式（2.5）得 )()()()(3367.0sin21012012010210 xxxxxxxxyxxxxxxxxy)()(1202102xxxxxxxxy)3367.0(2L333487.00008.0107689.0314567.040008.0105511.0352274.00004.01089.344330374. 032 由（2.18）,截断误差限,)()(6)(21032xxxxxxMxR其中 )(max203xfMxxx 于是 这个结果与6位有效数字的正弦函数表完全一样，0cos x,828.0这说明查表时用二次插值精度已相当高了. 33)3

17、367.0(3367.0sin)3367.0(22LR0233. 0033. 00167. 0828. 061.10178.06342.3 2.3 均差与牛顿插值公式均差与牛顿插值公式 2.3.1 2.3.1 插值多项式的逐次生成插值多项式的逐次生成 利用插值基函数很容易得到Lagrange插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数 均要重新计算.), 1 ,0)(nkxlk【Lagrange插值多项式的缺陷】35),()(),()(111001xfxPxfxP利用点斜式直线方程得 为了克服这一缺点，我们设计一种逐次生成插值多项式的方法：对n=1,插值多项

18、式 满足)(1xP).()()()()(0010101xxxxxfxfxfxP它可看成零次插值 的修正：)()(00 xfxP),()()(01001xxaxPxP其中 是函数 的差商.01011)()(xxxfxfa)(xf36,)()(01011xxxfxfa.)()()()()()()(1201010202120221222xxxxxfxfxxxfxfxxxxxPxPa其中),)()()(1020102xxxxaxxaaxP 对n=2，插值多项式 可表示为 )(2xP这里 是函数 的“差分的差分”，称为“二阶差分”，也称“均差”. 2a)(xf37)()()(102010 xxxxaxx

19、aaxPn)()(10nnxxxxa（3.1）其中 为待定系数，naaa,10), 1 ,0()(njfxPjjn确定 . 一般地，插值多项式 表示为如下便于计算的形式 可由 个插值条件1n)(xPn（3.2）38 称 为函数 关于点 的一阶均差一阶均差. 000)()(,xxxfxfxxfkkk)(xfkxx ,0110010,xxxxfxxfxxxfkkk称为 的二阶均差二阶均差.)(xf定义定义2 2 2.3.2 2.3.2 均差及其性质均差及其性质3911102010,kkkkkkxxxxxfxxxfxxxf（3.3） 一般地，称为 的 阶均差阶均差k)(xf（均差也称为差商）.40

20、均差有如下的基本性质基本性质： .)()()()(,011010kjkjjjjjjjkxxxxxxxxxfxxxf（3.4）这个性质可用归纳法证明. 1 阶均差可表为函数值 的线性组合，)(,),(),(10kxfxfxfk 这性质也表明均差与节点的排列次序无关，称为均差的对称性. 即41 3 若 在 上存在 阶导数，且节点)(xf,ban,10baxxxn.,!)(,)(10banfxxxfnk（3.5）这公式可直接用罗尔定理证明.,010110 xxxxfxxfxxxfkkkk(3.3) 2 由性质1及（3.3）可得 ,0120110 xxxfxxxxfxxxfkkk即则 阶均差与导数关系

21、如下：n42,)(,)(,)(,)()()(4321043214324344321032132332102122101100 xxxxxfxxxxfxxxfxxfxfxxxxxfxxxfxxfxfxxxxfxxfxfxxxfxfxxfxxfxkk四阶均差三阶均差二阶均差一阶均差1表2 均差计算可列均差表如下（表2-1）. 43 2.3.3 Newton 2.3.3 Newton 插值多项式插值多项式 根据均差定义，把 看成 上一点，x,ba),(,)()(000 xxxxfxfxf),(,110100 xxxxxfxxfxxf).(,101010nnnnxxxxxxfxxxfxxxf可得44只

22、要把后一式代入前一式，就得到 )(,)()(0100 xxxxfxfxf)(,10210 xxxxxxxf),()(xRxNnn)(,)()(0100 xxxxfxfxNn)(,10210 xxxxxxxf其中 )()(,1010nnxxxxxxxf)(,10 xxxxfnn（3.6）),()(,1010nnxxxxxxxf45),(,)()()(10 xxxxfxNxfxRnnnn（3.7） 是由（2.10）定义的. )(1xn 显然，由（3.6）确定的多项式 满足插值条件，)(xNn且次数不超过 ，n)., 1 , 0(,0nkxxfakk称 为牛顿（牛顿（NewtonNewton）均差插

23、值多项式）均差插值多项式. )(xNn 系数 就是均差表2-1中加横线的各阶均差，它比拉格朗日插值计算量省，且便于程序设计.ka其系数为 它就是形如（3.1）的多项式，46 但（3.7）更有一般性，它在 是由离散点给出的情形或 导数不存在时也是适用的.ff （3.7）为插值余项，由插值多项式唯一性知，它与拉格朗日插值多项式的余项应该是等价的. 事实上，利用均差与导数关系式就可以证明这一点. 牛顿插值多项式的优点还在于它的递进性，当增加插值节点时，只要在原来插值多项式的基础上增加一项即可.47 首先根据给定函数表造出均差表. 给出 的函数表（见表2-2），求4次牛顿插值多项式，并由此计算 的近似

24、值.)596.0(f)(xf0.000120.031260.228630.524931.515331.253821.050.031340.213000.433481.384101.026520.900.197330.358931.275730.888110.800.280001.186000.696750.651.116000.578150.550.410750.40五阶均差四阶均差三阶均差二阶均差一阶均差2表2)f(xxkk例例4 448 从均差表看到4阶均差近似常数，5阶均差近似为0. 故取4次插值多项式 做近似即可. )(4xN)55. 0)(4 . 0(28. 0)4 . 0(116.

25、 141075. 0)(4xxxxN)65. 0)(55. 0)(4 . 0(19733. 0 xxx于是 ,63192.0)596.0()596.0(4 Nf),8 . 0)(65. 0)(55. 0)(4 . 0(03134. 0 xxxx 按牛顿插值公式，将数据代入49截断误差 .1063.3)596.0(,)(95504xxfxR这说明截断误差很小，可忽略不计. 502.3.4 2.3.4 差分与等距节点的差分与等距节点的NewtonNewton插值插值 实际应用时经常遇到等距节点的情形，这时插值公式可以进一步简化，计算也简单得多. 2.3.4.1 2.3.4.1 差分及其性质差分及其

26、性质 设函数 在等距节点 上的值 为已知，这里 为常数，称为步长步长.)(xfy ), 1 , 0(0nkkhxxk)(kkxff h 为了得到等距节点的插值公式，先介绍差分的概念.51记号 ,1kkkfff（4.1）,1kkkfff（4.2）,)2/()2/(2121kkkkkffhxfhxff（4.3）分别称为 在 处以 为步长的向前差分向前差分，向后差分向后差分)(xfkxh 符号 ， ， 分别称为向前差分算子向前差分算子，向后差分算子向后差分算子定义定义3 3及中心差分中心差分. 及中心差分算子中心差分算子.52 利用一阶差分可定义二阶差分为 .21212kkkkkkffffff一般地

27、可定义 阶差分阶差分为 m.111kmkmkmfff.111kmkmkmfff 中心差分 用到了 及 这两个值，但它们并不是函数表上的值.kf21kf21kf 如果用函数表上的值，一阶中心差分应写成53这样，二阶中心差分为 21212kkkfff 除了已引入的差分算子外，常用算子符号还有不变算不变算子子 及移位算子移位算子 ，IE,kkffI,1kkffE于是，由,)(1kkkkkkfIEfIfEfff),(IE ,121kkkfff,121kkkfff.2)(1111kkkkkkkfffffff定义如下：可得54,1EI,2121EE同理可得 55 差分基本性质. 性质性质1 1knknfI

28、Ef)(knknfEIf)(1其中 为二项式展开系数. !) 1() 1(jjnnnjn例如各阶差分均可用函数值表示.kjnnjjfEjn0) 1(（3.9a）,) 1(0jknnjjfjnknjnjjnfEjn0) 1(（3.9b）,) 1(0njknjjnfjn56 性质性质2 2 例如，可用向前差分表示 ，knf所以 .0kjnjknfjnf（3.10）knknfEf可用各阶差分表示函数值.因为knfI)(,0kjnjfjn57 性质性质3 3kkkkkkxxffxxf111,kkkkkkkkkxxxxfxxfxxxf212121,2122kfh 例如，对向前差分，均差与差分有密切关系.

29、由定义,hfkhhxfxfhxfxfkkkk2)()()()(11258同理，对向后差分有 ,1!1,1kmmmkkkfhmxxxf 利用（4.7）及均差与导数的关系又可得到),()(nnknfhf （3.12）其中 ，),(nkkxx,1!1,kmmmkkfhmxxf).,2,1(nm 一般地有 这就是差分与导数的关系.（3.11a）（3.11b）594434222343133244043212233032122021100443322)()()()()()()()()()()()()()(ffffffffffffffffffffffffffk 3表2 计算差分可列差分表（见表2-3），表中

30、 为向前差分， 为向后差分. 60 2.3.4.2 2.3.4.2 等距节点的等距节点的NewtonNewton插值公式插值公式 将牛顿均差插值多项式（3.6）中各阶均差用相应差分代替，就可得到各种形式的等距节点插值公式. .)() 1()(101kjkjkhktttxx 如果节点 ，要计算 附近点 ), 1 , 0(0nkkhxxk0 x的函数 的值，x)(xf 这里只推导常用的前插与后插公式.于是, 10,0tthxx可令6102000! 2) 1()(fttftfthxNn,!) 1() 1(0fnntttn（3.13）将此式及均差与差分的关系代入牛顿插值公式，则得 ),()!1()()

31、 1()()1(1nnnfhnntttxR).,(0nxx（3.14）称为NewtonNewton前插公式前插公式， 由（3.7）得余项62 如果要表示 附近的函数值 ，也可使用牛顿插值公式（3.6），但为了降低误差，插值点应按 的次序排列，nx)(xf01,xxxnn)(,)()(1nnnnnxxxxfxfxN)(,121nnnnnxxxxxxxf 作变换 ，并利用公式均差与向后差分关系公式（4.8），01,tthxxn这时).()(,101xxxxxxxfnnn得63称其为牛顿后插公式牛顿后插公式，)()()(thxNxfxRnnn),()!1()() 1()1(1nnfhnnttt（4.13）其中 ).,(0nxx02! 2) 1()(fttftfthxNnnnn,!) 1() 1(nnfnnttt（4.12）其余项64 通常求开头部分插值点附近函数值时使用牛顿前插公式，求插值节点末尾附近函数值时使用牛顿后插公式. 如果用相同节点进行插值，则向前向后两种公式只是形式上差别，其计算结果是相同的.65为使用牛顿插值公式，先构造差分表（表2-4）. 给出 在 xxfcos)(1 .0,6 , 1 ,0,hkkhxk