第一节系统微分方程

1、第三章 系统数学模型机械工程控制基础第一节 系统微分方程 主讲人 ：王 辉第三章 系统数学模型机械工程控制基础一、控制系统的数学模型一、控制系统的数学模型 研究一个自动控制系统，单是分析系统的作用原理及其大致的运动过程是不够的，还必须同时进行数量上的分析，才能做到深入掌握自动控制系统运动规律的实质，才能将理论有效的应用到实际工程中去。 第三章 系统数学模型机械工程控制基础1、什么是控制系统的数学模型 描述系统输入、输出物理量，以及内部物理量之间关系的数学表达式。2、线性系统与非线性系统： 系统的数学模型能用线性微分方程描述的系统称为线性系统。否则为非线性系统第三章 系统数学模型机械工程控制基础

2、第三章 系统数学模型机械工程控制基础4、数学模型的类型第三章 系统数学模型机械工程控制基础5、系统数学模型的建立方法 分析法：从元件或系统所依据的物理或化学规律出发，建立数学模型并经实验验证。如电学上的欧母定律，力学上的牛顿定律等 实验法：根据实验数据，拟合出比较接近实际的数学模型。如：对实际系统加入一定形式的输入信号，用求取系统输出响应的方法建立数学模型。第三章 系统数学模型机械工程控制基础二、二、 列写系统微分方程式的一般方法列写系统微分方程式的一般方法 系统微分方程(differential equation)是描述控制系统动态性能的一种数学模型。 为使所建立的数学模型即简单又具有足够的

3、精度，在推演系统的数学模型时，必须对系统作全面深入考察，以求能把那些对系统性能影响较小的一些次要因数略去。 用解析法推演系统的数学模型的前提是对系统的作用原理和系统中个元件的物理属性有着深入的了解。第三章 系统数学模型机械工程控制基础用解析法建立系统微分方程式的一般步骤是：用解析法建立系统微分方程式的一般步骤是：(1) 确定系统和各元件的输入量和输出量；(2) 根据基本的物理、化学等定律，列写出系统中每个元件的输入与输出的微分方程式；(3) 在所有元件的方程中消去中间变量，从而求得描述系统输入与输出关系的微分方程式。(4) 整理所得的微分方程。将与输出有关的项放在方程的左侧，与输入有关的项放在

4、方程的右侧，各阶导数按降幂排列第三章 系统数学模型机械工程控制基础第三章 系统数学模型机械工程控制基础1. 电学系统电学系统例例3-1 图图3-1为一电路，试写出输入电压与输出电压之间的微为一电路，试写出输入电压与输出电压之间的微分方程式。分方程式。rcuudtdiLiRidtCuc1解: 根据基尔霍尔夫定律，可写出下列方程组图图3-1 电路网络电路网络第三章 系统数学模型机械工程控制基础 消去中间消去中间i i变量变量,则得则得 或写作或写作式中，式中， 式（式（3-1）就是图）就是图3-1所示电路的数学模型，所示电路的数学模型，它描它描述了该电路在述了该电路在 作用下电容两端电压作用下电容

5、两端电压 的变化规律的变化规律。 22CCCrd uduLCRCuudtdtrccCcCLuudtduTdtudTT22 （31） .,RCTRLTCLcuru第三章 系统数学模型机械工程控制基础例例3-2 已知一已知一R-C网络如图所示，试写出该网网络如图所示，试写出该网络输入与输出之间的微分方程。络输入与输出之间的微分方程。解解 当后级的输入阻抗很大，即对前级网络的影响可以当后级的输入阻抗很大，即对前级网络的影响可以忽略不计时，由基尔霍夫电流定律写出下列的方程组忽略不计时，由基尔霍夫电流定律写出下列的方程组图图3-2 两级两级R-C电路电路第三章 系统数学模型机械工程控制基础ruRidti

6、iC11211)(1dtiiCRidtiC)(112112222cudtiC221消去中间变量消去中间变量 ,得得 或写为或写为21ii 、rcccuudtduCRCRCRdtudCCRR)(212211222121rcccuudtduTTTdtudTT)(3212221（3-2）第三章 系统数学模型机械工程控制基础kd-反电势常数Km-电磁力矩常数例例3-3:图3-3第三章 系统数学模型机械工程控制基础图33第三章 系统数学模型机械工程控制基础2. 机械系统机械系统2. 机械系统机械系统例例:3-4图图34 机械系统机械系统第三章 系统数学模型机械工程控制基础例例:3-5图图35 机械系统机械系统第三章 系统数学模型机械工程控制基础三、三、 非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化第三章 系统数学模型机械工程控制基