第六章 非正弦周期电路分析 2014下半年

1、第六章 非正弦周期电路分析26-1 非正弦周期信号的傅里叶级数分解非正弦周期信号的傅里叶级数分解在实际电气系统中，经常会遇到在实际电气系统中，经常会遇到非正弦非正弦的激励源问题，例的激励源问题，例如电力系统的交流发电机所产生的电动势，其波形并非理如电力系统的交流发电机所产生的电动势，其波形并非理想的正弦曲线，而是接近正弦波的周期性波形。即使是正想的正弦曲线，而是接近正弦波的周期性波形。即使是正弦激励源电路，若电路中存在弦激励源电路，若电路中存在非线性器件非线性器件，也会产生非正，也会产生非正弦的响应。在电子通信工程中，遇到的电信号大都为非正弦的响应。在电子通信工程中，遇到的电信号大都为非正弦量

2、，如常见的方波、三角波、脉冲波等，有些电信号甚弦量，如常见的方波、三角波、脉冲波等，有些电信号甚至是非周期性的。至是非周期性的。谐波分析法谐波分析法将非正弦激励分解为一系列不同频率正弦量的分析方法。将非正弦激励分解为一系列不同频率正弦量的分析方法。背景背景3Z Z1 1Z Z2 2u1i1u2u1t tt t分解分解u2t t合成合成非正弦周期信号分解和电路分析方法介绍非正弦周期信号分解和电路分析方法介绍:t t计算计算直流和正弦交流分析直流和正弦交流分析41）当电路激励源为直流电源或单一频率的正弦交流电源时，）当电路激励源为直流电源或单一频率的正弦交流电源时， 可采用直流电路和正弦交流电路（

3、相量分析）的计算方法。可采用直流电路和正弦交流电路（相量分析）的计算方法。总结总结:非正弦周期信号非正弦周期信号一系列不同频率的正弦分量一系列不同频率的正弦分量 每一频率正弦交流电计算每一频率正弦交流电计算一系列不同频率的响应分量合成一系列不同频率的响应分量合成 分解分解计算计算合成合成2）当激励源为非正弦周期电源时，分析方法为：）当激励源为非正弦周期电源时，分析方法为：叠加定理叠加定理5( )T,( )()()( ),设周期函数的周期为则有为任意整数如果函数满足狄利克雷条件 那么它就可以分解成傅里叶级数.f tf tf tkTkf t=+0111011122( ),( )(cossin)2(

4、 )cos()22,;cossinarctan对于上述周期函数可表示成傅里叶级数 或式中称为基波角频率 两式中系数之间有关系式nnnnnnnnnnnnnnnnnnf taf tantbntaf tAntTaAbAAabbawwwypwyyy=+=+= -=+骣-=桫 60111220112222122011222212222222( )(cossin)2(cossin)2(cossin)2sincos1sincos令 取 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaf tantbntaababntntababaababntntababbabaabaawwwwwwyyyy

5、=+=+-=+-+-=+=-=+=2222 令 nnnnbAab+=+22cossinarctannnnnnnnnnnnnaAbAAabbayyy= -=+骣-=桫 70111011( )(coscossinsin)2( )cos()2nnnnnnnaf tAntntaf tAntywywwy=+-=+22cossinarctannnnnnnnnnnnnaAbAAabbayyy= -=+骣-=桫 2201122221( )(cossin)2nnnnnnnnnaabf tabntntababww=-=+-+80111122cos(,nn 3n展开式中除第一项外,每一项都是不同频率的正弦量,称为周

6、期函数的直流分量(恒定分量),第二项)称为基波分量, 基波角频率其变化周期与原函数周期相同 其余各项(n1)统称为高次谐波.高次谐波分量的频率是基波频率的整数倍. 当 =2时称为二次谐波,= 时称为三次谐波.是 次谐波的初相角naAtTpwywy+=011( )cos()2nnnaf tAntwy=+920022110221102( ),( ),22( )( )22( )cos( )cos22( )sin( )sin当已知时 傅里叶级数表达式中各谐波分量的系数可由下面的公式求得对于上述周期函数可表示成傅里叶级数TTTTTnTTTnTf tf taf tdtf tdtTTaf tntdtf tn

7、tdtTTbf tntdtf tntdtTTwwww-= 蝌蝌蝌10,44( ),.2442.例6-1-1图6-1-1所示为对称方波电压, 其表达式可写为求此信号的傅里叶级数展开式TTUtu tTTTTUtt-=- - 1124420224421244211124422( )()()02( )cos2()coscos()cos4sin2(解:根据傅里叶级数的系数推导公式,可得TTTTTTTTTnTTTTTTTaf tdtU dtU dtU dtTTaf tntdtTUntdtUntdtUntdtTUnnwwwwpp-轾犏=-+-=犏犏臌=轾犏=-+-犏犏臌轾犏=犏臌=蝌蝌蝌(1)241),()

8、,0,().为奇数为偶数nUnnnp- 122121112( )sin0.411( )coscos3cos5.35由此可得所求信号的傅里叶级数展开式为TnTbf tntdtTUu ttttwwwwp-=骣=-+-桫L13在实际工程计算中，由于傅里叶级数展开为无穷级数，因此在实际工程计算中，由于傅里叶级数展开为无穷级数，因此要根据级数展开后的收敛情况、电路频率特性及精度要求，要根据级数展开后的收敛情况、电路频率特性及精度要求，来确定所取的项数。一般只要取前面几项主要谐波分量即来确定所取的项数。一般只要取前面几项主要谐波分量即可。例如，对于上述方波展开的傅里叶级数表达式，当取不可。例如，对于上述方

9、波展开的傅里叶级数表达式，当取不同项数合成时，其合成波形画于下面的图中。由图可见，当同项数合成时，其合成波形画于下面的图中。由图可见，当取谐波项数越多时，合成波形就越接近于原来的理想方波，取谐波项数越多时，合成波形就越接近于原来的理想方波，与原波形偏差越小。与原波形偏差越小。14函数对称性与系数关系函数对称性与系数关系2002211022110222( )( )22( )cos( )cos22( )sin( )sinTTTTTnTTTnTaf t dtf t dtTTaf tntdtf tntdtTTbf tntdtf tntdtTTwwww-=蝌蝌蝌110,asin,(613( )(b),c

10、os,)0( )(.)0,0如果函数为偶函数波形对称于轴(见图6-1-3 ),此时它的傅里叶级数展开式中不存在项谐波 即此项不必计算.如果函数为奇函数,即有波形对称于原点 见图它的傅里叶级数中不包含项谐波与直流分量 即有nnYf tftbf tftanntatww=-=-= -=-150242( )(),2c ,0,(1,2,).如果函数满足即将波形移动半个周期后与原波形对称于轴(见图6-1-3 )则其傅里叶级数展开后不包含偶次谐波分量,即有kTf tf tXAAAAk= -+=LL2002211022110222( )( )22( )cos( )cos22( )sin( )sinTTTTTn

11、TTTnTaf t dtf t dtTTaf tntdtf tntdtTTbf tntdtf tntdtTTwwww-=蝌蝌蝌1621202110200112200111222( )cos22( )cos( )cos222( )cos()cos()2222( )cos()cos()22nTTnTTTTnTTaaf tntdtTf tntdtf tntdtTTTtTTaf tntdtfndTTnTTf tntdtfndTT 仅对进行证明，其余证明类推。 上式第二项中令00112222( )cos()cos()2( )()2TTTf tntdtfndTTTf tf t 由于n(注意我们现在讨论的是

12、 为偶数的情况)1700112200112222( ) cos( ) cos22( ) cos( ) cos0TTnTTaf tntdtfndTTf tntdtf tntdtTT 18指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数1111111110111111010( )cossin,2cos,2sin,2( )22222已知函数可展开成傅里叶级数利用欧拉公式可得nnnnjntjntjntjntjntjntjntjntnnnjntnnnaf tantbnteenteentjaeeeef tabjaajbajewwwwwwwwwwwww=-=+=-=轾+-犏=+犏臌骣 -+=+桫邋112jntnne

13、bw-=轾骣犏犏桫臌10102( )cos2( )sinTnTnaf tntdtTbf tntdtTww=191111101112( )sin,.22,0,0,( )( )2,( )因为对于变量 为奇函数 故有同时 当时因此可以把表达式中的各项统一表达为上式就是傅里叶级数复指数形式的表达式 它把一个周期信号表示成一系列以为指数的复指Tnjntjntnnnnnnnjntjntnnnnnbf tntdtnTajbajbeenbf tajbf teF ef tjntwwwwww- -= -= - = - =+-=-=邋邋&cos(sin)222,.数函数式,式中系数与傅里叶三角函数展开式中的系数一致

14、njnnnnnnnnnnajbAjAAFea byyy-=&22cossinnnnnnnnnnaAbAAabyy= -=+20111100221( )(cossin)21( )1( )可由下式直接求出:或 nTnnnTjntTjntnTFajbFf tntjntdtTf tedtTFf tedtTwwww-轾=-犏犏臌=&1,( ).,)( ),( ).为的函数 它代表了信号中各谐波分量的所有信息的模对应谐波分量幅值的一半 而的幅角(当 取正值时则为对应谐波分量的初相角.它是一个已知信号的频域表达式 与信号的时域表达式是完全等价的nnnFnf tFFnf tf tw&11( )2jntjntn

15、nnnnajbf teF eww= - = - -=邋&22cossinnnnnnnnnnaAbAAabyy= -=+2njnnAFey=&211221( )TjntnTFf t edtTw-=&1111() ,().,( )称为给定信号的频谱函数.的幅值随的变化关系称为振幅频谱,的相位随变化的关系称为相位频谱由于因此振幅频谱为偶函数 而相位频谱则为奇函数.信号所包含的各谐波幅值与相位可用幅频特性和相频特性图来直观表示.nnnnnnnnFFnFnFnnaabbf twwwyw-= -&11( )2jntjntnnnnnajbf teF eww= - = - -=邋&211022110222(

16、)cos( )cos22( )sin( )sinTTnTTTnTaf tntdtf tntdtTTbf tntdtf tntdtTTwwww-=蝌蝌22cossinnnnnnnnnnaAbAAabyy= -=+220,22( ),.220,22例6-1-2周期脉冲信号如图6-1-4a所示,求该信号的频谱函数U(n ), 并作振幅频谱和相位频谱图.解: 由波形图可知Ttu tUtTtwtttt- -=-时，导纳呈感性。当外加电压的有效值当外加电压的有效值U固定而频固定而频率变化，则可得响应电流的有效率变化，则可得响应电流的有效值与频率变化的关系为值与频率变化的关系为22( )( )1()UIUy

17、RLC对于相同振幅的外加信号，响应电流中对于相同振幅的外加信号，响应电流中0 0及附近频率的分量较及附近频率的分量较大，即这种电路具有从一系列信号中选择所需信号的功能。大，即这种电路具有从一系列信号中选择所需信号的功能。64电路参数对幅频特性的影响电路参数对幅频特性的影响22220000222220000002200022000( )1()()() ()1()()1()()( )1()1()UUILRLRCCUURLRQIQUIRIIQ 式中，为谐振时最大电流。把上式改写为0LQR001LC0()UIR650LQR是谐振电路的品质因数22000( )1()1()IIQ当外加电压幅值相同时，在不

18、同当外加电压幅值相同时，在不同频率下产生的电流值频率下产生的电流值I()与最大与最大谐振电流谐振电流I(0)之比之比品质因数品质因数Q对电路频率特性的影响对电路频率特性的影响Q值越大曲线越尖锐，电路对除值越大曲线越尖锐，电路对除0频率以外的信号削减越多，这频率以外的信号削减越多，这意味着谐振电路的选择性越好。意味着谐振电路的选择性越好。反之，当反之，当Q值变小时，电路选择值变小时，电路选择性较差。性较差。66Q值大的优缺点值大的优缺点（1）Q值大电路选择所需频率信号值大电路选择所需频率信号的能力强的能力强（2）如果谐振电路的）如果谐振电路的Q值很大，值很大，则会把许多有效信号滤掉，从而则会把许多有效信号滤掉，从而引起严重的失真。引起严重的失真。通频带通频带谐振电路的通频带谐振电路的通频带B定义为两个半功率点的频率范围宽度定义为两个半功率点的频率范围宽度200,2 /2I R00当外加电压幅度相等，以谐振频率时在谐振电路上获得的功率P为基准，当电压频率偏离外加信号电压在谐振电路中产生的功率减小到一半（或者说外加信号产生的电