高数1-7章3节 《齐次方程》 课件

1、上午7时58分9秒齐次方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三节一、齐次方程一、齐次方程*二、可化为齐次方程二、可化为齐次方程 第七章 上午7时58分10秒一、齐次方程一、齐次方程形如)(ddxyxy的方程叫做齐次方程齐次方程 .令,xyu ,xuy 则代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d两边积分, 得xxuuud)(d积分后再用xy代替 u, 便得原方程的通解.解法:分离变量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上午7时58分10秒例例1. 解微分方程.tanxyxyy解解:,xyu 令,uxuy则代入原方程得uuuxutan分离变量xxuuudds

2、incos两边积分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnCxuxCu sin即故原方程的通解为xCxysin( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)( C 为任意常数 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 上午7时58分10秒例例2. 解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解:,2dd2xyxyxy方程变形为,xyu 令则有22uuuxu分离变量xxuuudd2积分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原变量得通解即Cuux )1(yCxyx)(说明说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在(C 为任意常数)求解过程

3、中丢失了. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上午7时58分10秒例3：。解方程)0(2xyxydxdyx。，则原方程变为这是齐次方程，令原方程改写为：解：uudxduxuxyuxxyxydxdy2)0(2xdxduuu21)0(，得：时当化简并变量分离。两边积分，得cxu)ln(上午7时58分10秒不包含在通解中。也是原方程的解，且它即另外，00yu。以及一个常数解：其中解因此原方程的解为：通0)0)ln(,)ln(2ycxcxxy。其中，代入，得到通解：化简并用0)ln()ln(2cxcxxyxyu上午7时58分10秒例4：)3(2变形例。解方程yxydxdyx。，则原方程变为这是齐次方

4、程，令原方程改写为：解：uxudxduxuxyuxxyxxydxdysgn2)0(sgn2xdxxduuusgn21)0(，得：时当化简并变量分离原方程不成立。时显然0 x上午7时58分10秒不包含在通解中。也是原方程的解，且它即另外，00yu。以及一个常数解：其中解因此原方程的解为：通0)0)ln(,|ln2ycxxcxxy。时，当时，其中当，代入，得到通解：化简并用0ln00)ln(0|ln2cxxcxxcxxyxyu上午7时58分10秒例5：。解方程yxydxdy.1xyxydxdy原方程改写为：解：xdxduuuu21)0(，得：时当化简并变量分离。，则原方程变为这是齐次方程，令uud

5、xduxuxyu111|lncuux积分得：为任意常数。，其中从而原方程的通解为：cceyyx上午7时58分10秒例5：。解方程yxydxdy. 1yxdydx原方程改写为：解法二：ydyduy，得：时当化简并变量分离)0(。，则原方程变为这是齐次方程，令1udyduyuyxu1|lncyu积分得：为任意常数。，其中或从而原方程的通解为：cceycyyxyx)|(ln1上午7时58分10秒例6：。的通解求方程0)1 (2)21 (dyyxedxeyxyxuueuedyduyuyxu21) 1(2，则原方程变为这是齐次方程，令。其中为任意常数代入得通解：化简并用)(2cyexyxuyx) 1(2

6、21yxeedxdyyxyx原方程改写为：解：ydydueueuuu221)0(，得：时当化简并变量分离1|ln|2|lncyeuu积分得：上午7时58分10秒oyx可得 OMA = OAM = 例例7. 在制造探照灯反射镜面时,解解: 设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线 )(xfy 绕 x 轴旋转而成 .过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T,由光的反射定律:入射角 = 反射角xycotxyy22yxOMTMAPy取x 轴平行于光线反射方向,从而 AO = OMOPAP要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状. 而 AO 于是得微分方程 : xyy22yx

7、机动 目录 上页 下页 返回 结束 上午7时58分10秒利用曲线的对称性, 不妨设 y 0,21ddyxyxyx, vyx 则,yxv 令21ddvyvyyvyvyxddddCyvvlnln)1(ln2积分得故有1222CvyCy, xvy代入得)2(22CxCy (抛物线)221)(vvCyCyvv21故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上午7时58分10秒顶到底的距离为 h ,hdC82说明说明:)(222CxCy2,2dyhCx则将这时旋转曲面方程为hdxhdzy1642222hd若已知反射镜面的底面直径为 d ,代入通解表达式得)0,(

8、2CoyxA机动 目录 上页 下页 返回 结束 上午7时58分10秒二、可化为变量分离方程二、可化为变量分离方程(或齐次方程）的类型或齐次方程）的类型均为实常数。，的方程，其中形如111222111cbacybxacybxafdxdy上午7时58分10秒。程时，此时方程为齐次方当01 . 221 cc时，分两种情况：当02 . 22221 cc. 001 . 2 . 222112221babacc且.,21212121bkbakakbbkaak或使得则存在实数方程可变为：不妨设为前者成立，则)()(22222122ybxagcybxacybxakfdxdy上午7时58分10秒，从而可解。方程化

9、为变量分离方程令)(,2222ugbadxduuybxa)(,)(1, 011111111222ufbadxducybxaucybxafdxdycba则方程变为：时可进行变换：即方程形如特别地，当上午7时58分10秒. 002 . 2 . 222112221babacc且.,yYxX引入新变量：，从而可解。化为情形，则原方程可变为：1 . 2)()(2211XYgYbXaYbXafdXdY.00222111yxcybxacybxa有唯一解此时二元一次方程组上午7时58分10秒例例8. 求解64ddyxyxxy52xy解解:04 kh令,5, 1YyXxYXYXXYdd得再令 YX u , 得令

10、06 kh5, 1kh得XXuuudd112积分得uarctan)1(ln221uXCln代回原变量, 得原方程的通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 上午7时58分10秒15arctanxy2151ln21xy) 1(lnxC52xy利用得 C = 1 , 故所求特解为15arctanxy22)5() 1(ln21yx思考思考: 若方程改为 ,64ddyxyxxy如何求解? 提示提示:. yxv令第四节 目录 上页 下页 返回 结束 上午7时58分10秒例9：。解方程12342yxyxdxdy，因为解：0214213221uudxdu原方程化为：,2yxu作变量代换：175uudxdu即

11、：dxuduuu75) 1(075为：时，变量分离方程，化当1)57125251(cdxduu积分得：1|57|ln25251cxuu化简得：xuceu2252557或：上午7时58分10秒也是原方程的解，。即另外，07105075yxu为任意常数。，其中所以原方程的解为：cceyxxy 105572含在通解中，则取如果在通解中允许071050yxcxyceyxyxu1055722代入得通解：还原变量，用上午7时58分10秒例10：。解方程2) 1(1yxdxdy，因为解：01100211udxdu原方程化为：, 1yxu殊形式，作变量代换：方程为所研究类型的特dxuduu122变量分离方程，

12、化为：1arctancxuu积分得：为任意常数。其中代入得通解：化简并用1,) 1arctan(11cccyxyyxu上午7时58分10秒例11：。解方程31yxyxdxdy，因为解：0211112, 1yx得解：,21,21YyXxyYxX即作变量代换：.YXYXdXdY代入原方程，得：0301yxyx所以先解代数方程组上午7时58分10秒常数。为任意非其中0,) 1()2)(1(2)2(22ccxyxy，得：再作变量代换：XYu XdXduuuuuudXduu221111或122ln|12|lncXuu积分得：为任意常数。其中方程的通解为也是原方程的解，所以，即此外，容易验证，ccxyxy

13、xyxyuu,) 1()2)(1(2)2(0) 1()2)(1(2)2(01222222代入得：化简并用12xyu上午7时58分10秒例12：。解方程42yxxydxdy，因为解：0211111, 3yx得解：,13,13YyXxyYxX即作变量代换：.YXXYdXdY代入原方程，得：0402yxxy所以先解代数方程组上午7时58分10秒常数。为任意非其中代入得：化简并用0,) 1()3(3131arctan22cceyxxyuxy，得：再作变量代换：XYu XdXduuuuudXduu11112或12|lnarctan|1|ln21cXuu积分得：上午7时58分10秒的方程的一般解法：形如222111cybxacybxafdxdy采用齐次方程方法解。程