高数D隐函数求导PPT学习教案

1、会计学1高数高数D隐函数求导隐函数求导31xy若由方程0),(yxF可确定 y 是 x 的函数 ,由)(xfy 表示的函数 , 称为显函数 .把一个隐函数例如,013 yx可确定显函数03275xxyy可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .函数为隐函数 .则称此隐函数求导方法: 0),(yxF0)(,(dd xyxFx两边对 x 求导( 注意 y = y(x) )(含导数 的方程)y化成显函数，叫做隐函数的显化第1页/共23页03275xxyy)(xyy 在 x = 0 处的导数.0ddxxy解: 方程两边对 x 求导)32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x

2、025211dd46yxxy因 x = 0 时 y = 0 , 故210ddxxy0确定的隐函数第2页/共23页191622yx在点)3,2(23处的切线方程.解: 椭圆方程两边对 x 求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为323y43)2( x即03843 yx第3页/共23页)0(sinxxyx的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐式xxylnsinln两边对 x 求导yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx第4页/共23页 1) 对幂指函数),(),(,xvvxuuuyv其中可用对数,lnlnuvy yy1uv ln,u

3、vu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意:求导法求导 :第5页/共23页例如,)1,0,0(babaaxxbbaybax两边取对数yln两边对 x 求导yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb第6页/共23页(1)(2)(4)(3)(4)xxyxxxuuu )ln(21lny对 x 求导21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx两边取对数2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x第7页/共23页( ) t当单调且若参数方程)()(tytx可确定一个

4、 y 与 x 之间的函数)(, )(tt可导, 则0)( t时, 有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)( t时, 有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此时把 x 看成是 y 的函数 )关系,( ) t单调且当第8页/共23页)(, )(tt二阶可导,22ddxy)dd(ddxyx)(2t)()(tt )()(tt )(t)()()()()(3ttttt 3xyxxy d dd()dddyttxxtxdd)()(ddttxy)(tx且,0)( t则由此参数方程所确定的函数)(xfy 可求二阶导数 .利用新的参数方程,可得记第9页/共23页)()(dd

5、22ttxy,)()(ttxydd?)(tfx, 且,0)( tf求.dd22xy ddxy)(tft )(tf , t dd22xy1)(tf 已知解:)()(tftfty练习: 书P112 题8(1),1221tytxxydd;1t22ddxy21tt31t解:注意 :对谁求导? 第10页/共23页 1tvx 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小:速度的水平分量为,dd1vtx垂直分量为,dd2tgvty故抛射体速度大小22)dd()dd(tytxv2221)(gtvv再求速度方向(即轨迹的切线方向):设 为切线倾角,tanxyddtyddtxdd12vtgv

6、则2212tgtvyyxO第11页/共23页yxO22121 tgtvytvx速度的水平分量,dd1vtx垂直分量,dd2tgvtytan12vtgv 在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为12arctanvv达到最高点的时刻高度ygv2221落地时刻,22gvt 抛射最远距离xgvv212速度的方向2vt g22vt g,2gvt 0ddty第12页/共23页)(, )(tyytxx设为两可导函数yx ,之间有联系tytxdd,dd之间也有联系称为相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率第13页/共23页其速率为,minm

7、140当气球高度为 500 m 时, 观察员视线的仰角增加率是多少? 500h解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,则tan500h两边对 t 求导2sectddthdd5001已知,minm140ddth h = 500m 时,1tan22tan1sec,2sec2td 0)minrad/(问此时第14页/共23页试求当容器内水Rhxhr例7. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 ,今以 自顶部向容器内注水 ,scm253位等于锥高的一半时水面上升的速度.解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x ,水的VhR231)(231xhrh)

8、(33322xhhhR两边对 t 求导tVdd22hR2)(xh,ddtx而,)(25222xhRh,2时当hx hxhRr故txdd) scm(25dd3tV) scm(100dd2Rtx体积为 V , 则Rxr第15页/共23页1. 隐函数求导法则直接对方程两边求导2. 对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3. 参数方程求导法极坐标方程求导4. 相关变化率问题列出依赖于 t 的相关变量关系式对 t 求导相关变化率之间的关系式转化求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式第16页/共23页1. 求螺线r在对应于的点处的切线方程.解: 化为参数方程sincosryrxc

9、ossinxyddddyddxcossinsincos当时对应点斜率xykdd222, ),0(2M 切线方程为22xy22MxO点击图中任意处动画播放暂停第17页/共23页,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求.y1y2y提示: 分别用对数微分法求.,21yy答案:21yyy) 1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)2(31xxxx)2(32)2(3ln21xxxxx第18页/共23页)(xyy 由方程eeyxy确定 , , )0(y解:方程两边对 x 求导,得0eyxyyy再求导, 得2eyy yxy)(e02 y当0 x时, 1y故由 得e1)0( y再代入 得2e1)0( y 求. )0(y 第19页/共23页P111 1(1) , (4) ; 2 ; 3 (3) , (4) ; 4 (2) , (4); 5 (2) ; 6 ; 7 (2) ; 8 (2) ,(4) ; 9 (2) ; 10 ; 12 第五节 第20页/共23页求其反函数的导数 .,exxy解:xyddyxdd方法1xe1y1xe11方法2等式两边同时对 求导y1yxddxeyxddyxddxe11