高等数学实验-1

1、 数学实验数学实验 高等数学分册高等数学分册-1数学实验 第5.1章 函数与极限第1章函数与极限验证性试验验证性试验实验一实验一 函数图形函数图形实验二实验二 函数的极限函数的极限实验三实验三 复合函数与反函数复合函数与反函数第1章函数与极限-验证性实验 实验一 函数图形【实验目的】1.了解基本初等函数及图形特征，会用Matlab图形命令画图；2.会画复合函数、参量函数及分段函数的图形。【实验要求】 熟悉Matlab图形命令plot第1章函数与极限-验证性实验【实验内容】1.利用图形命令分别在同一坐标系下画出下列基本初等函数的图形，并观察图形特征（1）【实验过程】 1.（1）x=-1:0.01

2、:1; y1=x;y2=x.2;y3=x.3;y4=x.4; plot(x,y1,-,x,y2,:,x,y3,*,x,y4,-);gtext(y=x),gtext(y=x2),gtext(y=x3),gtext(y=x4)432,xyxyxyxy第1章函数与极限-验证性实验运行结果： 图1-1 幂函数图第1章函数与极限-验证性实验（2） x=linspace(-1,1,60);y1=2.x;y2=10.x;y3=(1/3).x;y4=exp(x);plot(x,y1,-,x,y2,:,x,y3,*,x,y4,-); xxxxeyyyy,)31(,10,2第1章函数与极限-验证性实验运行结果：

3、图1-2 指数函数图第1章函数与极限-验证性实验2.利用图形命令画出下列函数的图形（1） ;x=-5:0.01:5;y=3*x.2-x.3;plot(x,y);323xxy 5 , 5x第1章函数与极限-验证性实验运行结果： 图1-3 函数的 图形323xxy第1章函数与极限-验证性实验（2） ; x=-pi:0.01:pi; y=cos(4*x); plot(x,y);xy4cos,x第1章函数与极限-验证性实验运行结果： 图1-4 函数 的图形xy4cos第1章函数与极限-验证性实验 实验二 函数的极限【实验目的】1.熟悉函数极限的概念；2.掌握求各种类型函数的极限的方法；3.会用Matl

4、ab命令求函数极限。【实验要求】熟悉Matlab中求极限的命令limit第1章函数与极限-验证性实验【实验内容】1.计算下列极限(1) (2)【实验过程】（1） syms x a b limit(sin(a*x)/sin(b*x), x,0)运行结果：ans =a/bbxaxxsinsinlim0 xxxxsincos1lim0第1章函数与极限-验证性实验（2）syms x limit(1-cos(x)/(x*sin(x),x,0)运行结果：ans =1/2第1章函数与极限-验证性实验 实验三 复合函数与反函数【实验目的】1.了解简单函数与复合函数的关系，理解能构成复合函数的条件，掌握如何求几

5、个函数的复合函数；2.掌握函数的反函数概念，会求函数的反函数。【实验要求】 熟悉Matlab中求复合函数的命令compose，以及求反函数的命令finverse。第1章函数与极限-验证性实验【实验内容】1求下列函数的复合函数(1) ，求【实验过程】1.（1）syms x y f=1/(1+x2); g=sin(y); compose(f,g)运行结果：ans =1/(sin(y)2+1) 由上述结果可知： ygxfsin,112)(ygf21( ( )sin1f g yy第1章函数与极限-验证性实验2求下列函数的反函数 （1）(1) syms xy=1/tan(x); g=finverse(y

6、)运行结果：g =atan(1/x) 由上述结果可知： 的反函数为xytan1xytan1xg1arctan第1章函数与极限设计性实验设计性实验实验一实验一 数据拟合问题数据拟合问题实验二实验二 复利问题复利问题第1章函数与极限设计性实验 实验一实验一 数据拟合问题数据拟合问题【实验目的】1.加深对函数基本概念的理解；2.讨论了函数的实际应用问题；3.掌握Matlab软件中有关函数、画图等命令。【实验要求】掌握函数基本知识，Matlab软件第1章函数与极限设计性实验【实验内容】 某研究所为了研究氮肥(N)的施肥量与土豆产量的影响，做了十次实验，实验数据见表1，其中ha表示公顷，t表示吨，kg表

7、示千克。试分析氮肥的施肥量与土豆产量之间的关系。第1章函数与极限设计性实验表1 氮肥施肥量与土豆产量关系的实验数据【实验方案】 设y代表土豆产量，x代表氮肥的施肥量。显然，y和x之间应该有某种关系，假设y与x之间的关系为函数关系，则问题就转化为已知数据点(xi,yi)位置关系，寻找函数y=y(x)。这就是数据拟合问题。 施肥量x(kg/ha)03467101135202259336404471产量y(t/ha)15.1821.3625.7232.2934.0339.4543.1543.4640.8330.75 所谓数据拟合，就是从一组实验数据点(xi,yi)出发，寻找函数y=y(x)的一个近似

8、表达式y=f(x)(称为经验公式)。从几何上看，就是希望根据给定的这些数据点(xi,yi) ，求曲线y=y(x)的一条近似曲线y=f(x)。近似曲线y=f(x)不必过每一个数据点，但如果近似曲线的效果要好的话，那么数据点 (xi,yi)离近似曲线的距离应该尽量小。 用偏差平方和函数来刻画近似曲线的效果，偏差平方和函数越小则近似曲线的拟合效果越好，因此最好的近似曲线应该满足21min( ( ) niiiwf xy 多项式函数由于性质良好，计算方便，常常用来进行数据拟合。 可以考虑采用1，x，x2作为基函数来拟合这组数据(即用二次多项式函数a0+a1x+a2x2作为经验公式)，此时偏差平方和函数为

9、 其中n为数据点的数目。要使偏差平方和函数W最小，需要220121(-)niiiiwaa xa xy201211102301211111234201211112nnniiiiiinnnniiiiiiiiinnnniiiiiiiiiwnaaxaxyawaxaxaxx yawaxaxaxx ya该方程组称为法方程组。第1章函数与极限设计性实验 将实验数据(xi,yi)代入上式，解得 a0=14.7391,a1=0.1973139,a2=-0.000339492 即拟合函数为 y=14.7391+0.1973139x-0.000339492x2 从图1-10可以看出拟合效果比较好，但是是否还可以更好

10、呢？一般而言，拟合次数的提高可以使得拟合效果变好，但是并不是次数越高越好。 现在提高拟合次数，将基函数由1，x，x2修改为1，x，x2，x3(三次拟合)，1，x，x2，x3，x4(四次拟合)，得到拟合图1-5至图1-9。 从图形可以看出拟合曲线的次数在二、三、四、五次拟合的效果都相差不大，但是高次拟合效果反而不理想，例如本例中的八次拟合，所以在本例中使用二次拟合效果就比较好了，拟合函数为 y=14.7391+0.1973139x-0.000339492x2第1章函数与极限设计性实验【实验过程】clearx=0 34 67 101 135 202 259 336 404 471;y=15.18

11、21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75;p=polyfit(x,y,2); disp(num2str(p(1),*x2+,num2str(p(2),*x+,num2str(p(3);xx=linspace(0,471,100);yy=polyval(p,xx);plot(x,y,r*,xx,yy)第1章函数与极限设计性实验运行结果： 图1-5 二次拟合 图1-6 三次拟合 图1-7 四次拟合 图1-8 五次拟合第1章函数与极限设计性实验 图1-9 八次拟合 八次拟合时的系统提示：Warning: Polynomial is b

12、adly conditioned. Add points with distinct X values, reduce the degree of the polynomial, or try centering and scaling as described in HELP POLYFIT.第1章函数与极限设计性实验 实验二实验二 复利问题复利问题【实验目的】1.加深对函数极限概念的理解2.讨论极限在实际问题中的应用3.会用Matlab命令求函数极限【实验要求】掌握极限概念，Matlab软件求函数极限的命令limit第1章函数与极限设计性实验【实验内容】 复利，即利滚利。不仅是一个经济问题

13、，而且是一个古老又现代的经济社会问题。随着商品经济的发展，复利计算将日益普遍，同时复利的期限将日益变短，即不仅用年息、月息，而且用旬息、日息、半日息表示利息率。现在我们已进入电子商务时代，允许储户随时存款或取款，如果一个储户连续不断存款和取款，结算本息的频率趋于无穷大，每次结算后将本息全部存入银行，这意味着银行不断地向储户支付利息，称为连续复利问题。 若银行一年活期年利率为0.06，那么储户存10万元的人民币，如果银行允许储户在一年内可任意次结算，在不计利息税的情况下，由于复利，显然这比一年结算一次要多，因为多次结算增加了复利。结算越频繁，获利越大。连续复利会造成总结算额无限增大吗？随着结算次

14、数的无限增加，一年后该储户是否会成为百万富翁？第1章函数与极限设计性实验【实验方案】 设本金为p，年利率为r，若一年分为n期(即储户结算频率为n)，每期利率为r/n，存期为t年。 依题意，第一期到期后利息为 本金*利率=p*r/n 第一期到期后的本利和是 本金+利息=p+p*r/n=p(1+r/n)第1章函数与极限设计性实验 因规定按复利计息，故第二期开始时的本金为p(1+r/n)，第二期到期后的利息应为 本金*利率= p(1+r/n)*r/n第二期到期后的本利和是 本金+利息= p(1+r/n)+ p(1+r/n)*r/n =p(1+r/n)2 ， 第n期到期后的本利和是 p(1+r/n)n

15、 存期为t年(事实上是有tn期)，到期后的本利和为 p(1+r/n)tn 随着结算次数的无限增加，即在上式中n,t=1年后本息共计 10.6184(万元) 随着结算次数的无限增加，一年后本息总和将稳定于10.6184万元，储户并不能通过该方法成为百万富翁。nnlim100000r/n（1+）第1章函数与极限设计性实验 实际上，若年利率为r，一年结算无限次，总结算额有一个上限，即100000*exp(r)元。它表明在n时，结果将稳定于这个值。而且用复利计息时，只要年利率不大，按季、月、天连续计算所得结果相差不大。第1章函数与极限设计性实验 【实验过程】 syms n a=limit(100000*(1+0.06/n)n,n,inf)a =100000*exp(3/50)一年结算无限次，总结算额有上限为 syms n ra=limit(100000*(1+r/n)n,n,inf)a =100000*exp(r)作业 思考与提高 1.本世纪初，瘟疫还常在某些地区流行。现假设有这样一种传染病，任何人得病后，在传染期内不会死亡，且最初设有A人患病，每个人年平均传染率为k