小波分析多分辨分析和正交小波变换学习教案

1、会计学1小波分析小波分析(fnx)多分辨分析多分辨分析(fnx)和正交和正交小波变换小波变换第一页，共51页。2( )f tdtR 2()RL22,( ), ,()()()( )f gR kR kf tgtwtRLL第2页/共51页第二页，共51页。_( ( ), ( )( ) ( )f t g tf tdtg tR( , )( ,)f gg f1212(, )( , )( , ), ,ff gf gf gR ( ,)0,0( ,)0f fff f当且仅当时2,( )f gL R( ( ), ( )0f tg t21/ 20( )( )Rf tf tdt第3页/共51页第三页，共51页。三角不

2、等式000gfgf222200002fgfgfg（）（平行四边形对角线规则）度规则）不等式，内积和向量长（Shwarzgfgf00),2()LR1( )nkkt0,1,2,kkn1 ( )nkkt1( )0kt nkk=第4页/共51页第四页，共51页。1 ( )kkt2()LR, 2 , 1| )()(2ktspanRLk)()()()(21RLtftctfkkk第5页/共51页第五页，共51页。1 ()kktnWmW2( )LR( ),( ),mnf tWg tWf t（）和g(t)都是正交的mnmnWWWW则称和是正交子空间，第6页/共51页第六页，共51页。2( )( )f tL R(

3、 )jft第7页/共51页第七页，共51页。给定一个(y )连续信号f(t) ，我们可用不同的基函数并在不同的分辨率水平上对它作近似。如下图所示，令显然(xinrn)， (t) 的整数位移相互之间是正交的，即这样，由 (t) 的整数位移 (t k) 就构成了一组正交基。设空间(kngjin)V 0由这一组正交基所构成，这样， f(t) 在空间(kngjin) V 0中的投影（记作f 0(t ) ）可表为：0000,( )()( )kkkkkfttktcc0,()ktk其中00,( )kktc是的权函数第8页/共51页第八页，共51页。f 0(t) 如上图所示，它可以看作是f(t)在 V 0中的

4、近似。 是离散(lsn)序列。0kc第9页/共51页第九页，共51页。令( )()2,jttkj k是由 作二进制伸缩(shn su)及整数位移所产生的函数系列，显然， 和, 是正交的。这一结论可证明如下：( ) t,( )j kt,( )j mt, 2( ),( )(2) *(2)2( ) *( )2jjjj kj kt tjjkmtttktk dttktm dt第10页/共51页第十页，共51页。将 作二倍的扩展后得 ，由 作整数倍位移所产生(chnshng)的函数组( ) t( )2t( )2t( )()1,2ttkk当然也是两两正交的（对整数k ），它们也构成了一组正交基。我们(w m

5、en)称由这一组基形成的空间为 V -1 ，记信号f(t) 在 V -1中的投影为f -1 (t) ，则111,( )( )kkktcft第11页/共51页第十一页，共51页。将 作1/2倍的压缩后得 ，由 作整数倍位移(wiy)所产生的函数组( ) t(2 ) t(2 ) t( )(2)1,ttkk当然(dngrn)也是两两正交的（对整数k ），它们也构成了一组正交基。我们称由这一组基形成的空间为 ，记信号x(t) 在 中的投影为 ，则111,( )( )kkktcft1V1V1( )ft第12页/共51页第十二页，共51页。中的每一个函数都变成无穷的窄，因此，有,( )j kt( )jft

6、( )jft,( )j kt( )|( )jjftf t( ) tjVjV( )f t( )f t第13页/共51页第十三页，共51页。另一方面，若j -，那么, k j (t )中的每一个函数都变成无穷的宽，因此， 对f(t)的近似(jn s)误差最大.( )|jjft不难发现(fxin)：低分辨率的基函数 完全(wnqun)可以由高一级分辨率的基函数 所决定。从空间上来讲，低分辨率的空间V-1应包含在高分辨率的空间V0 中，即：( )2t( ) t10VV第14页/共51页第十四页，共51页。/2jj jkt (jkft,( )j kt( ) t,( )(2)jj kttk( )jft)(

7、)(),()(,tftfttfjkjZkjkjcjkc第15页/共51页第十五页，共51页。jkc jkC)(1tfn)(tfn第16页/共51页第十六页，共51页。)()(),()(| )(2,RLtfttftfVjkjkjkjjjcjV2( )jVL RjV( )jft( )f t2101( )jjVVVVL Rjj zV,( )j ktjkc( )jft,( )j kt第17页/共51页第十七页，共51页。,( )j ktkmmjkjtt)(),(,第18页/共51页第十八页，共51页。)()(),()(,tftfttfjkjZkjkjc)(),()(),(,ttfttfkjkjjjkc

8、kjjctfjkjtftf220)(),()(,( )j kjtVjjjjjkjVtftfVVt) () (,/) (11,)(),()(),()()(),()(),(,1,1ttfttftfttfttfkjjkjjjkjjkjj（cjkkjjkjjkjttfttfttf)(),()(),()(),(,1,（第19页/共51页第十九页，共51页。（平方(pngfng)可积） 2( )( )jjftVL R2120( )jjjKKft222000( )( )( )jCDf tftf t第20页/共51页第二十页，共51页。( )jftjkc2jklc22:|jjkkklcc 2202)(,Kjk

9、KjkCtcCDAkkjjkRiesz基条件(tiojin) 第21页/共51页第二十一页，共51页。)(,0)(221RLVVRLVVjZjjZjjj,( )|( )(2),jjj kj kVspantttk kZ,( )j kt2220,( )jjkkKKjADkj kktCcC第22页/共51页第二十二页，共51页。2）221( )0,( )jjjjj Zj ZVVL RVVL R/2,( )|( )2(2),jjjj kj kVspantttk kZjjzV第23页/共51页第二十三页，共51页。2( )(2), nnnthtnhl（双尺度(chd)方程） ()tk) t（第24页/共

10、51页第二十四页，共51页。t（ ）/2/2,01/2(1)/211/21,( )2(2 )2(2*2)22(2)2( )jjjjjnnjjnnjnnntthtnhtnht10VV101/WVV011VWV 2( )L RjV1jV第25页/共51页第二十五页，共51页。按照前面的分析(fnx)，毕竟 不等于 ，也即 比 对f(t) 近似的好，但二者之间肯定有误差。这一误差是由 和 的宽度不同而产生的，因此，这一差别应是一些“细节”信号，我们记之为0( )ft1( )ft1( )wt011( )( )( )ftftwt该式的含义是： f(t)在高分辨率基函数所形成的空间中的近似(jn s)等于

11、它在低分辨率空间中的近似(jn s)再加上某些细节。1V0V()tk( /2)tk第26页/共51页第二十六页，共51页。设有一基本(jbn)函数( )(2 )(21)ttt细节(xji) 属于子空间 ,由基函数 张成。1( )wt1W( ) t( ) t( /2)( )(1)ttt第27页/共51页第二十七页，共51页。)(2RL1jVjVjW2V1V1W0V0W1111 0jjjjjjjjj pj pVWVWWVWWWVp， 2kkLRW 2kLRW （10kjjpjkkVVW）1jjVV1/jjjWVV1jjjVWV推而广之(tu r gung zh)10VV101/WVV011VWV第

12、28页/共51页第二十八页，共51页。称为小波函数。上式也表明了称为小波函数。上式也表明了的传递关系的传递关系01VV( ) t2),2()(lhnthtnnn01WV ()tk1V2),2()(lgntgtnnn（双尺度(chd)方程） ( ) t01WV1VjW第29页/共51页第二十九页，共51页。 ()tn2ngl ()tk0W1jjVV和/2,( )|( )2(2),jjjj kj kWspantttk kZ/2/2,01/2(1)/211/21,( )2(2 )2(2*2)22(2)2( )jjjjjnnjjnnjnnnttgtngtngt0W1VjW1jV第30页/共51页第三十

13、页，共51页。因此(ync)，任意可以分解为各个子空间分量的直和。jW,( )j ktjW( )jwt,( )( )jjj kkk Zw ttd,( )j kt( )jw tjW2( )( )f tL R 2jLRW jW2( )( )f tL R( )jjw tW2,( )( )( )( )( )jjj kkjj k Zf tw ttf tL Rd第31页/共51页第三十一页，共51页。看出，其频率范围是由决定的（实际上是指标(zhbio)j决定，k只起平移作用，不影响频率范围）。为频宽与 相同低通滤波函数。2,( )( )| ,j kL Rspantj kZjV( )jftjW( )jjw

14、 tWjV( )jft,( )( )jjj kkkZfttc,( )j kt,( )j kt( )jft第32页/共51页第三十二页，共51页。1jV1,( )jkt,( )j kt2/2( )()2,2jji kjej k( ), j k*2j2j11jjjVWV11( )( )( )jjjftftwt( )jft1( )jft1( )( )jjftft1( )jwt第33页/共51页第三十三页，共51页。jV)(tfj)(,tkj的频率范围1jV)(1tfj)(, 1tkj2jV)(2tfj)(, 2tkj1jW)(1twj)(, 1tkj2jW)(2twj)(, 2tkj第34页/共51

15、页第三十四页，共51页。2( )jL RW2( )( )f tL R( )f t( )jw t( )f t第35页/共51页第三十五页，共51页。2),2()(lhnthtnnn2),2()(lgntgtnnn1/2,01,( )2( )jnjnntht1/2,01,( )2( )jnjnntgt0V1V0W1VjV1jV1jVjW第36页/共51页第三十六页，共51页。(2)( )2222( )222( )( )(2)(2)(2)( )22( )()222i ti tnRRit ninixinnnRRinixinnnRt edthtn edthhtn eedtnx eedxhhex edxe

16、第37页/共51页第三十七页，共51页。(2)( )2222( )222( )( )(2)(2)(2)( )22( )( )222i ti tnRRit ninixinnnRRinixinnnRt edtgtn edtggtn eedtnx eedxggex edxenninnninninninegGehHGegHeh2)(2)()()()(2)2()()()(2)2(第38页/共51页第三十八页，共51页。代表的是的有限频率范围，结合前面的子频带含义，可知反映的是高频部分，因此，起了高通滤波作用，相应的为高通滤波器。( ) (2)tn( )H(2)(2 ) ()tn(2) nh( )G(2)

17、(2 )( )Gng(2 ) ()tn( )H( )第39页/共51页第三十九页，共51页。t（）( )(2)nnthtn2( )(2), nnntgtngl/2,( )|( )2(2),jjjj kj kWspantttk kZ/2,( )|( )2(2),jjjj kj kVspanttt k kZ第40页/共51页第四十页，共51页。2,( )( )( )( )( )jjj kkjj k Zf tw ttf tL Rd( ) t nhngnnntht)2()(nnntgt)2()(001VWV第41页/共51页第四十一页，共51页。( ) t( ) tnnntht)2()(nnntgt)

18、2()(nnnhg1)1( ) t（第八章给出了来源(liyun)）第42页/共51页第四十二页，共51页。1,jjjjjVWVVWjZjV,( )j kt()tnjW,( )j kt,( )j kt2( )L R,( )( )( ( ),( )jjj kj kkkj k Zf ttf ttdd第43页/共51页第四十三页，共51页。0,222( ( ), () (2),(2()(2),(2(2)(2),(2)12knmnmk m inmniknmnii nn nkntt kht nht kmht nhtk mht nht ihh 11( (2), (2)(2) (2)(2) (2) (2)22RRt nt it nt idtt nt id t0,21( ),()2knnknttkg g()tk第44页/共51页第四十四页，共51页。/2/2,0,_20,( ),( )(2(2 ),2(2)2 ( (2